Algebra
Wissenswertes über: Zahlensysteme und Rechengesetze, Komplexe Zahlen, Potenzen, Wurzeln und Logarithmen, Matrizen, Gleichungen, Ungleichungen
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Komplexe Zahlen
Die Gleichung \({x^2} = - 1\) kann im Bereich der reellen Zahlen nicht gelöst werden, da x dabei die Wurzel aus einer negativen Zahl wäre, was unzulässig ist.
\({x^2} = - 1 \to x = \sqrt { - 1}\)
Leonhard Euler führte den Begriff \({i^2} = - 1\) in die Mathematik ein und definierte den Ausdruck \(z = a + i \cdot b = a + b \cdot \sqrt { - 1} \). Eine komplexe Zahl setzt sich somit aus einem Realteil und einem Imaginärteil zusammen. a und b sind dabei reelle Zahlen, i ist die sogenannte imaginäre Einheit. Die reellen Zahlen sind jener Spezialfall der komplexen Zahlen, für die der Imaginärteil der komplexen Zahl Null ist.
Definition der imaginären Einheit i
Die imaginäre Einheit i ist jene Zahl, deren Quadrat gleich -1 ist, also \({i^2} = - 1\). Das ist eine Definition. Wir können damit Wurzeln aus negativen reellen Zahlen ziehen und Gleichungen vom Typ x2+1=0 lösen.
\(\eqalign{ & {x^2} + 1 = 0 \cr & {x^2} = - 1\,\,\,\,\,\left| {\sqrt {} } \right. \cr & x = \sqrt { - 1} = i \cr} \)
Achtung, man muss zwischen der Definition \(\sqrt { - 1} = i\) unterscheiden und zwischen den beiden Lösungen der 2. Wurzel der Zahl z=-1 im Bereich der komplexen Zahlen:
\(w = \sqrt { - 1} \)
Wie jede 2-te Wurzel hat auch die Quadratwurzel aus -1 zwei Lösungen:
- Nämlich eine, als Hauptwert bezeichnete, 1. Lösung w0=+i mit der Probe i²=-1 und
- eine um 180° verschobene 2. Lösung w1=-i mit der Probe (-i)²=-1.
Eine detailliertere Erklärung findet sich, wenn man "Wurzeln komplexer Zahlen" in den Suchslot eingibt.
- i ist eine komplexe Zahl, deren Realteil null ist, und deren Imaginärteil eben i ist. i selbst hat keinen Realteil und wird in der gaußschen Zahlenebene als Vektor mit der Länge 1 in Richtung der positiven imaginären Achse dargestellt.
- -i hat keinen Realteil und wird in der gaußschen Zahlenebene als Vektor mit der Länge 1 in Richtung der negativen imaginären Achse dargestellt.
- +i und -i schließen in der gaußschen Zahlenebene einen 180° Winkel ein.
Beachte:
\(\begin{array}{l} \sqrt { - 1} = i \leftarrow {\rm{true}}\\ \sqrt { - 1} = - i \leftarrow {\rm{false}}\\ i = \pm \sqrt 1 \leftarrow {\rm{false}}\\ \\ - \sqrt { - 1} = - i \leftarrow {\rm{true}}\\ - \sqrt { - i} = i \leftarrow {\rm{false}}\\ \\ {i^2} = - 1 \leftarrow {\rm{true}}\\ {\left( { - i} \right)^2} = - 1 \leftarrow {\rm{true}} \end{array}\)
Anmerkung für Elektrotechniker: Da in der Wechsel- und Drehstromrechnung durchgängig mit komplexen Zahlen gerechnet wird und i für die zeitabhängige Stromstärke i(t) steht, verwenden Elektrotechniker statt dem Buchstaben i den Buchstaben j, somit \(\sqrt { - 1} = j\)
Gleichheit komplexer Zahlen
Zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn sie sowohl in ihrem Real-als auch in ihrem Imaginärteil übereinstimmen.
Höhere Potenzen der imaginären Einheit i
Die höheren Potenzen von i kann man wie folgt vereinfachen:
\({i = \sqrt { - 1} }\) | |
\({{i^2} = - 1}\) | |
\({{i^3} = {i^2} \cdot i = - 1 \cdot i = - i}\) | |
\({{i^4} = {i^2} \cdot {i^2} = \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 1} \right) = 1}\) | |
\({{i^5} = \left( {{i^4}} \right) \cdot i = 1 \cdot i = i}\) | |
\({{i^6} = \left( {{i^4}} \right) \cdot {i^2} = 1 \cdot \left( { - 1} \right) = - 1}\) | |
\({{i^7} = \left( {{i^4}} \right) \cdot {i^3} = 1 \cdot \left( { - i} \right) = - i}\) | |
\({{i^8} = {{\left( {{i^4}} \right)}^2} = {{\left( 1 \right)}^2} = 1}\) | |
\({{i^9} = {{\left( {{i^4}} \right)}^2} \cdot i = {{\left( 1 \right)}^2} \cdot i = i}\) | |
\({{i^{10}} = {{\left( {{i^4}} \right)}^2} \cdot {i^2} = 1 \cdot \left( { - 1} \right) = - 1}\) | |
\({{i^{11}} = {{\left( {{i^4}} \right)}^2} \cdot {i^3} = {{\left( 1 \right)}^2} \cdot \left( { - i} \right) = - i}\) | |
\({{i^{12}} = {{\left( {{i^4}} \right)}^3} = 1}\) | |
\({{i^{13}} = {{\left( {{i^4}} \right)}^3} \cdot i = 1 \cdot i = i}\) |
Wir erkennen dabei ab i2 folgende Abfolge: -1, -i, 1, i die sich danach immer wieder wiederholt. Es bietet sich eine Zerlegung in Vielfache von i4 wegen i4=1 an.
Beispiele:
\(\eqalign{ & - {i^3} = - \left( {{i^3}} \right) = - \left( { - i} \right) = i \cr & \cr & {( - i)^5} = {\left( { - i} \right)^2} \cdot {\left( { - i} \right)^2} \cdot \left( { - i} \right) = \cr & = {i^2} \cdot {i^2} \cdot \left( { - i} \right) = \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - i} \right) = \cr & = 1 \cdot \left( { - i} \right) = - i \cr} \)
Gaußsche Zahlenebene
Grafisch werden komplexe Zahlen in der gaußschen Zahlenebene dargestellt. Vergleichbar zu einem Vektor in der Ebene, wird der Realteil in Richtung der x-Achse und der Imaginärteil in Richtung der y-Achse (=imaginäre Achse) aufgetragen. Für komplexe Zahlen verwendet man verschiedene Darstellungsformen, nachfolgend die kartesische Darstellung auch Normalform genannt.
\(z = a + ib\)
Für die Darstellung in Polarkoordinaten \(z = \left( {r\left| \varphi \right.} \right)\) gilt:
\(r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
\(\varphi = \arctan \dfrac{b}{a}\)
Achtung: Zur Bestimmung von \(\varphi\) auf den Quadranten in dem z liegt achten!
Graphische Darstellung einer komplexen Zahl in der gaußschen Zahlenebene
Auf der x-Achse wird der Realteil also a bzw. r·cos \(\varphi\) aufgetragen, auf der y-Achse wird der Imaginärteil also b bzw. r·sin \(\varphi\) aufgetragen. Die komplexe Zahlenebene entspricht dabei der gaußsche Zahlenebene, wobei die x-Achse als reelle Achse und die y-Achse als imaginäre Achse bezeichnet werden.
\(\eqalign{ & z = a + ib \cr & z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi ) \cr}\)
Illustration einer komplexen Zahl in der gaußschen Zahlenebene
Betrag einer komplexen Zahl
Stellt man sich eine komplexe Zahl als Vektor in der gaußschen Zahlenebene vor, wobei der Schaft vom Vektor im Ursprung und die Spitze vom Vektor an der Stelle \(\left( {a\left| b \right.} \right)\) liegt, so entspricht der Betrag der komplexen Zahl der Länge vom Vektor.
\(\eqalign{ & \left| z \right| = \left| {a + ib} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \cr & \left| {\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right| = \dfrac{{\left| {{z_1}} \right|}}{{\left| {{z_2}} \right|}} \cr & \left| {{z_1} \cdot {z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right| \cdot \left| {{z_2}} \right| \cr & \left| {{z^n}} \right| = {\left| z \right|^n} \cr}\)
Konjugiert komplexe Zahl
Die zu einer komplexen Zahl konjugiert komplexe Zahl erhält man, indem man das Vorzeichen des Imaginärteils wechselt, während das Vorzeichen der Realteils unverändert bleibt.
\(\eqalign{ & z = a + ib \cr & \overline z = a - ib \cr}\)
Geometrisch entspricht dies einer Spiegelung der komplexen Zahl um die x-Achse.
Multipliziert man eine komplexe Zahl mit ihrer konjugiert komplexen Zahl, dann ist das Produkt immer eine reelle Zahl.
Illustration einer komplexen Zahl und der zugehörigen konjugiert komplexen Zahl
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.
Dezimalzahl
Dezimalzahlen sind Zahlen, die ein Komma enthalten. Sie sind eine alternative Schreibweise für Brüche. Eine Dezimalzahl besteht aus den Vorkommastellen (dem "Ganzen"), dem Komma und den Nachkomma-Stellen (den "Dezimalen").
Festkommadarstellung
Bei einer Festkommazahl ist festgelegt, wie viele Vorkommastellen es in der Darstellung der Dezimalzahl geben darf.
Eine Festkommazahl besteht aus einer festen Anzahl von Ziffern, wodurch die Position des Kommas (nach der x-ten Vorkommastelle) fest vorgegeben ist.
Lichtgeschwindigkeit als Festkommazahl.:
\({c_0} = 299{\text{ }}792{\text{ }}458\,\,\dfrac{m}{s}\)
Gleitkommadarstellung
Eine Gleitkommazahl besteht aus einer Mantisse, und einer Zehnerpotenz.
Durch die geschickte Wahl des Exponenten, kann man erzwingen, dass die Mantisse zwischen 1 und 10 liegt.
Lichtgeschwindigkeit als Gleitkommazahl:
\({c_0} = 2,99792458{\text{ }}.{\text{ }}{10^8}\,\,\dfrac{m}{s}\)
Zusammenhang Dezimalzahl und Bruch
Die Menge der rationalen Zahlen ist die Menge der ganzen Zahlen, erweitert um die Brüche. Es handelt sich dabei um die Menge aller positiven oder negativen Zahlen, die sich als
- Bruch (Quotient) darstellen lassen, wobei sowohl im Zähler als auch im Nenner ganze Zahlen stehen
- Dezimalzahl darstellen lassen, wobei sich eine Dezimalzahl aus einer ganzen Zahl, einem Komma und einem Bruchteil der ganzen Zahl zusammensetzt
Umwandlung Dezimalzahl in Bruch
Um eine Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln, bestimmt man die Anzahl der relevanten Nachkommastellen.
- Bei einer relevanten Nachkommastelle erweitert man den Bruch mit 10 Zehntel,
- Bei zwei relevanten Nachkommastellen erweitert man den Bruch mit 100 Hundertstel
- usw
1. Beispiel:
\(8,3 = 8,3 \cdot \dfrac{{10}}{{10}} = \dfrac{{8,3 \cdot 10}}{{10}} = \dfrac{{83}}{{10}}\)
Beispiel:
\(7,5400 = 7,54 = 7,54 \cdot \dfrac{{100}}{{100}} = \dfrac{{7,54 \cdot 100}}{{100}} = \dfrac{{754}}{{100}}\)
2. Beispiel:
Umwandlung einer rein periodischen Dezimalzahl in einen Bruch:
\(0,\mathop 1\limits^ \bullet = \dfrac{Z}{N}\)
Wir multiplizieren mit 10 und subtrahieren davon die rein periodische Dezimalzahl
\(\begin{array}{*{20}{c}} {10 \cdot 0,\mathop 1\limits^ \bullet }& = &{1,\mathop 1\limits^ \bullet }\\ { - 1 \cdot 0,\mathop 1\limits^ \bullet }& = &{0,\mathop 1\limits^ \bullet }\\ \hline {9 \cdot 0,\mathop 1\limits^ \bullet }& = &1 \end{array}\)
Nun machen wir \(0,\mathop 1\limits^ \bullet \) durch Division durch 9 explizit und erhalten
\(0,\mathop 1\limits^ \bullet = \dfrac{1}{9}\)
3. Beispiel:
Umwandlung einer rein periodischen Dezimalzahl in einen Bruch:
\(0,\mathop 9\limits^ \bullet = \dfrac{Z}{N}\)
Wir multiplizieren mit 10 und subtrahieren davon die rein periodische Dezimalzahl
\(\begin{array}{*{20}{c}} {10 \cdot 0,\mathop 9\limits^ \bullet }& = &{9,\mathop 9\limits^ \bullet }\\ { - 1 \cdot 0,\mathop 9\limits^ \bullet }& = &{0,\mathop 9\limits^ \bullet }\\ \hline {9 \cdot 0,\mathop 9\limits^ \bullet }& = &9 \end{array}\)
Nun machen wir \(0,\mathop 9\limits^ \bullet \) durch Division durch 9 explizit und erhalten
\(0,\mathop 9\limits^ \bullet = \dfrac{9}{9} = 1\)
4. Beispiel
Umwandlung einer rein periodischen Dezimalzahl in einen Bruch:
\(0,\overline {25} = \dfrac{Z}{N}\)
Wir multiplizieren mit 100 und subtrahieren davon die rein periodische Dezimalzahl
\(\begin{array}{*{20}{c}}
{100 \cdot 0,\overline {25} }& = &{25,\overline {25} }\\
{ - 1 \cdot 0,\overline {25} }& = &{0,\overline {25} }\\
\hline
{99 \cdot 0,\overline {25} }& = &{25}
\end{array}\)
Nun machen wir \(0,\overline {25} \) durch Division durch 99 explizit und erhalten
\(0,\overline {25} = \dfrac{{25}}{{99}}\)
Umwandlung Bruch in Dezimalzahl
Um einen Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln, dividiert man den Zähler durch den Nenner. Die Division wird zur Kopfrechnung wenn es möglich ist den Bruch so umzuformen, dass im Nenner ein Vielfaches von 10 steht.
Beispiel
\(\dfrac{3}{4} = 3:4 = 0,75\)
Beispiel:
\(\dfrac{{16}}{5} = \dfrac{{16}}{5} \cdot \dfrac{2}{2} = \dfrac{{32}}{{10}} = 32:10 = 3,2\)
Periodische Dezimalzahl
Periodische Dezimalzahlen entstehen beim Umwandeln von Brüchen in Dezimalzahlen, wenn sich eine oder mehrere Nachkommastellen einer Dezimalzahl unendlich oft wiederholen. Man unterscheidet zwischen
- rein periodischen Zahlen, bei denen die Periode unmittelbar nach dem Komma entsteht
Beispiel: \(1:7 = 0,142857\,\,142857\,\,\overline {142857} \) - gemischt periodische Zahlen, bei denen die Periode nicht unmittelbar nach dem Komma entsteht, sondern erst später
Beispiel: \(1:6 = 0,166\mathop 6\limits^ \bullet \) - Periodenlänge: Anzahl der Ziffern, welche die Periode bilden
- Vorperiode: Zahl zwischen dem Komma und dem Beginn der Periode
- Periodenpunkt: Besteht die Periode aus lediglich einer einzigen Stelle / Ziffer, so macht man über dieser Zahl einen Punkt um die Perioden darzustellen
- Periodenstrich: Besteht die Periode aus mehreren Stellen / Ziffern, so macht man über diesen Ziffern einen Strich um die Periode darzustellen.
Addition bzw. Subtraktion von Dezimalzahlen
Dezimalzahlen werden addiert, indem man sie komma-genau untereinander schreibt und dann stellenweise addiert bzw. subtrahiert. Jede Zahl muss die selbe Anzahl an Nachkommastellen haben, wobei man fehlende Nachkommastellen durch Nullen auffüllt.
Beispiel:
\(\begin{array}{l} 18,3 + 25,77 = 44,07\\ \\ \begin{array}{*{20}{l}} 1&8&,&3&0\\ 2&5&,&7&7\\ \hline 4&4&,&0&7 \end{array} \end{array}\)
Beispiel:
\(\begin{array}{l} 25,77 - 18,3 = 7,47\\ \\ \begin{array}{*{20}{l}} {}&2&5&,&7&7\\ - &1&8&,&3&0\\ \hline {}&0&7&,&4&7 \end{array} \end{array}\)
Multiplikation von Dezimalzahlen
Man multipliziert zwei Dezimalzahlen zunächst ohne das Komma zu berücksichtigen. Das Produkt hat dann gleich viele relevante Nachkommastellen wie die beiden Faktoren zusammen.
Beispiel:
\(\begin{array}{l} 17,3 \cdot 6,250 = \\ 17,3 \cdot 6,25 \end{array}\)
Wir haben die nicht relevante Nachkomma-Null weggelassen.
Als nächstes multiplizieren wir, ohne die Kommastellen zu berücksichtigen
Der 1. Faktor hat 1 und der 2. Faktor hat 2 Nachkommastellen, daher muss das Produkt 1+2=3 Nachkommastellen haben, was wir im letzten Schritt berücksichtigen:
\(\begin{array}{*{20}{l}} 1&7&,&3& \cdot &6&,&2&5\\ \hline 1&0&3&8& \cdot &{}&{}&{}&{}\\ {}&{}&3&4&6& \cdot &{}&{}&{}\\ {}&{}&{}&8&6&5&{}&{}&{}\\ \hline 1&0&8&1&2&5&{}&{}&{}\\ 1&0&8&,&1&2&5&{}&{} \end{array}\)
\(17,3 \cdot 6,25 = 108,125\)
Division von Dezimalzahlen
Man dividiert eine Dezimalzahl durch eine andere Dezimalzahl, indem man das Komma von beiden Dezimalzahlen so weit nach rechts verschiebt, bis der Divisor eine ganze Zahl ist. Anschließend führt man die Division, so wie vertraut, durch.
Beispiel:
\(27,3:0,07 = \)
Der Divisor hat 2 Dezimalstellen, daher müssen wir das Komma von Dividend und Divisor um 2 Stellen nach rechts verschieben. Das entspricht einer Erweiterung von Zähler und Nenner um den Faktor 100. Man kann das auf 2 Arten veranschaulichen
- Erweitern um 100:
\(\dfrac{{27,3}}{{0,07}} \cdot \dfrac{{100}}{{100}} = \dfrac{{2730}}{7} = 2730:7\)
- Verschieben vom Komma:
\(\begin{array}{l} 27,3:0,07\,\,\,\,\,\left| { \cdot 100} \right.\\ 2730:7 \end{array}\)
In beiden Fällen wurde die Division umgeformt zu:
\(2730:7\)
Wir führen die Division durch:
\(\begin{array}{*{20}{l}} 2&7&3&0&:&7& = &3&9&0\\ {}&6&3& \cdot &{}&{}&{}&{}&{}&{}\\ {}&{}&{}&0&{}&{}&{}&{}&{}&{} \end{array}\)
... und erhalten die Entsprechung
\(2730:7 = 390\,\,\,\, \buildrel \wedge \over = \,\,\,\,27,3:0,07 = 390\)
Zahlen mit Hilfe von Zehnerpotenzen darstellen
Man kann jede Dezimalzahl als Produkt einer Mantisse und einer Zehnerpotenz darstellen. Die Mantisse ist die Gleitkommazahl vor der Potenz. Zehnerpotenzen sind Potenzen zur Basis 10. Durch die geschickte Wahl des Exponenten der Zehnerpotenz, kann man erzwingen, dass die Mantisse zwischen 1 und 10 liegt.
Zehnerpotenzen und ihre SI-Präfixe kleiner 1
Für SI-Präfixe kleiner als 1 ist der Exponent eine negative ganze Zahl. Diese Schreibweise eignet sich besonders gut für sehr kleine Zahlen.
Bezeichnung | SI-Präfix | Symbol | Potenz | |
Trillionstel | atto | a | 10-18 | |
Billiardstel | femto | f | 10-15 | |
Billionstel | piko | p | 10-12 | |
Milliardstel | nano | n | 10-9 | ppb |
Millionstel | mikro | \(\mu\) | 10-6 | ppm |
Tausendstel | milli | m | 10-3 | Promille |
Hundertstel | zenti | c | 10-2 | Prozent |
Zehntel | dezi | d | 10-1 |
Zehnerpotenzen und ihre SI-Präfixe größer gleich 1
Für SI-Präfixe größer gleich 1 ist der Exponent eine positive ganze Zahl. Diese Schreibweise eignet sich besonders gut für sehr große Zahlen.
Bezeichnung | SI-Präfix | Symbol | Potenz |
Eins | 100 | ||
Zehn | deka | da | 101 |
Hundert | hekto | h | 102 |
Tausend | kilo | k | 103 |
Million | Mega | M | 106 |
Milliarde | Giga | G | 109 |
Billion | Tera | T | 1012 |
Billiarde | Pekta | P | 1015 |
Trillion | Exa | E | 1018 |
Die SI-Präfixe haben auch in die Sprache Eingang gefunden
Ein "Mikroskop" sollte also ein Millionstel von einem Meter auflösen können. Ein "Megastar" müsste also mindestens 1 Million Fans haben
Teiler
Der Teiler a ist jene Zahl, durch die man eine andere Zahl b ohne Rest teilen kann.
\(a\left| b \right.\) ... sprich "a teilt b"
a ist Teiler von b, wenn es ein \(n \in {\Bbb N}\) gibt, sodass \(n \cdot a = b\). Bei der Division von b durch a darf kein Rest bleiben, andernfalls ist a kein Teiler von b.
Teiler schreibt man in der Praxis vorzugsweise als Brüche \(\dfrac{b}{a} = n\) an, wobei der Nenner den Teiler (vom Ganzen) angibt und der Zähler wieviele Teilstücke gemeint sind.
Beispiel:
\(\dfrac{{12}}{3} = 4 \to 3\left| {12} \right.\)
2, 3, 4, 6 und 12 sind ein Teiler von 12.
Teilbarkeitsregeln
Teilbarkeitsregeln treffen eine Aussage darüber, ob einfache natürliche Zahlen ohne Rest teilbar sind.
Durch 2 teilbar, | wenn die letze Ziffer 0, 2, 4, 6, 8, also eine gerade Zahl ist |
Durch 3 teilbar, | wenn die Ziffernsumme, auch Quersumme genannt, also die Summe ihrer Ziffern, durch 3 teilbar ist. |
Durch 4 teilbar, | wenn die aus den letzten 2 Ziffern gebildete Zahl durch 4 teilbar ist, oder „00“ ist. |
Durch 5 teilbar, | wenn die letzte Ziffer 0 oder 5 ist. |
Durch 6 teilbar, | wenn die Zahl durch 2 und durch 3 teilbar ist. |
Durch 8 teilbar, | wenn die aus den letzten 3 Ziffern gebildete Zahl durch 8 teilbar ist, oder "000" ist. |
Durch 9 teilbar, | wenn ihre Quersumme (=die Summer ihrer Ziffern) durch 9 teilbar ist. |
Durch 10 teilbar, | wenn die letzte Ziffer „0“ ist. |
Durch 12 teilbar, | wenn die Zahl sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist. |
Durch 15 teilbar, | wenn die Zahl sowohl durch 3 als auch durch 5 teilbar ist. |
Durch 25 teilbar, | wenn die letzten zwei Ziffern 00, 25, 50, oder 75 sind. |
Größter gemeinsamer Teiler ggT
Der ggT der beiden Zahlen m und n, ist die größte natürliche Zahl, die sowohl m als auch n teilt.
Zunächst faktorisiert man beide Zahlen, d.h. man zerlegt sie in ihre Primfaktoren. Anschließend bildet man das Produkt aus all jenen Primfaktoren, die in beiden Faktorisierungen enthalten sind.
Beispiel:
Gesucht ist der ggT von 18 und 24
Man bedient sich der Methode der Primfaktorenzerlegung (siehe weiter unten)
\(\left. {\matrix{ {18} \cr 9 \cr 3 \cr 1 \cr {} \cr } } \right|\matrix{ 2 \cr 3 \cr 3 \cr {} \cr {} \cr }\) + \(\left. {\matrix{ {24} \cr {12} \cr 6 \cr 3 \cr 1 \cr } } \right|\matrix{ 2 \cr 2 \cr 2 \cr 3 \cr {} \cr }\) \( \Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{ggT}}\left( {18,24} \right) = 2 \cdot 3 = 6\)
Der ggT von 18 und 24 ist 6
Primfaktorenzerlegung
Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass man jede natürliche Zahl, die größer als 1 ist als Produkt von Primzahlen anschreiben kann.
- 1. Schritt: Man prüft von der kleinsten Primzahl 2 ausgehend aufsteigend alle Primzahlen durch, ob sie die zu faktorisierende Zahl ganzzahlig (also ohne Rest) teilen
- 2. Schritt: Hat man so einen Teiler gefunden, so notiert man diese Primzahl.
- 3. Schritt: Man teilt die zu faktorisierende Zahl durch die Primzahl und fängt wieder beim 1. Schritt neu an
- 4. Schritt: Bleibt am Schluss nur mehr eine Primzahl über, kann man die ursprünglich zu faktorisierende Zahl als das Produkt aller notierten Primzahlen und der übrig gebliebenen Primzahl anschreiben
Beispiel:
Gesucht ist die Primfaktorenzerlegung von 18
- 1. Schritt: 2 teilt 18 ohne Rest
- 2. Schritt: Wir notieren 2
- 3. Schritt: Wir teilen 18 durch 2 und erhalten 9
- 1. Schritt: 3 teilt 9
- 2. Schritt: Wir notieren 3
- 3. Schritt: Wir teilen 9 durch 3 und erhalten die Primzahl 3
- 4. Schritt: Die Primfaktoren sind 2, 3 und 3 somit lautet die Primfaktorenzerlegung von \(18 = 2 \cdot 3 \cdot 3\)
Teilerfremde Zahlen
Weist die Primfaktorenzerlegung zweier oder mehrere Zahlen keine gemeinsamen Primfaktoren aus, so spricht man von teilerfremden Zahlen. In diesem Fall ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen die Zahl 1, die bekanntlich keine Primzahl ist. Zwei unterschiedliche Primzahlen sind grundsätzlich teilerfremd.
Zusammenhang zwischen ggT und kgV:
Das Produkt aus dem größten gemeinsamen Teiler mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen zweier Zahlen, ist gleich dem Produkt der beiden Zahlen selber.
Vielfache
Eine Zahl b ist ein Vielfaches (das n-fache) von einer Zahl a, wenn a ein Teiler von b ist.
\(b = n \cdot a\)
Kleinstes gemeinsames Vielfaches kgV
Das kleinste gemeinsame Vielfache kgV zweier Zahlen m und n ist die kleinste natürliche Zahl, die sowohl Vielfaches von m als auch von n ist.
- Zunächst faktorisiert man beide Zahlen, d.h. man zerlegt sie in ihre Primfaktoren.
- In beiden Zerlegungen vorkommende gleiche Faktoren streicht man einmal weg.
- Anschließen bildet man das Produkt aus all jenen Primfaktoren, die nach der Streichung noch in den beiden Faktorisierungen enthalten sind.
Beispiel:
Gesucht ist das kkV von 18 und 24
\(\left. {\matrix{ {18} \cr 9 \cr 3 \cr 1 \cr {} \cr } } \right|\matrix{ \not{2} \cr \not{3} \cr 3 \cr {} \cr {} \cr }\) + \(\left. {\matrix{ {24} \cr {12} \cr 6 \cr 3 \cr 1 \cr } } \right|\matrix{ 2 \cr 2 \cr 2 \cr 3 \cr {} \cr }\) \( \Rightarrow \,\,\,\,\,{\rm{kgV}}\left( {18,24} \right) = 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 72\)
Das kkV von 18 und 24 ist 72.
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.
Darstellungsformen komplexer Zahlen
Für komplexe Zahlen gibt es verschiedene Darstellungsformen, die ihre Berechtigung in der Tatsache haben, dass damit jeweils andere Rechenoperationen besonders einfach durchgeführt werden können. Man unterscheidet zwischen der kartesischen Darstellung und der Darstellung in Polarform. Bei Letzterer unterscheidet man weiter nach trigonometrischer und exponentieller Darstellung
Komplexe Zahl in kartesischer Darstellung
Komplexe Zahlen in kartesischer Darstellung, setzen sich aus dem Realteil a und dem um 90° gegen den Uhrzeitersinn gedrehten Imaginärteil ib zusammen.
Die kartesische Darstellung wird auch Komponentenform, algebraische Normalform bzw. Binomialform genannt. Die kartesische Darstellung hat den Vorteil, dass sich Addition bzw. Subtraktion zweier komplexer Zahlen auf die Durchführung einer simplen Addition bzw. Subtraktion von den jeweiligen Real- bzw. Imaginärteilen beschränkt.
\(\eqalign{ & z = a + ib \cr & {\text{mit:}}\,i = \sqrt { - 1} \cr}\)
- a = Re(z) … a ist der Realteil von z
- b = Im(z) … b ist der Imaginärteil von z
- i … imaginäre Einheit
Vorsicht: Sowohl der Realteil a als auch der Imaginärteil b einer komplexen Zahl sind selbst reelle Zahlen. Erst im Zusammenspiel mit der imaginären Einheit i entsteht die komplexe Zahl. Der imaginäre Einheit i entspricht geometrisch eine 90 Grad Drehung gegen den Uhrzeigersinn.
Komplexe Zahl als Zahlenpaar
Eine komplexe Zahl kann als reelles Zahlenpaar bestehend aus Real- und Imaginärteil angeschrieben werden.
\(z = (a\left| b \right.)\)
Komplexe Zahl in Polarform, d.h. mit Betrag und Argument
Für die Polarform gibt es die trigonometrische und die exponentielle Darstellung.
\(\eqalign{ & z = \left| z \right| \cdot (\cos \varphi + i\sin \varphi ) \cr & z = r{e^{i\varphi }} = \left| z \right| \cdot {e^{i\varphi }} \cr}\)
Dabei entspricht
- Betrag r dem Abstand vom Koordinatenursprung
- Argument \(\varphi\) dem Winkel zwischen der reellen Achse und dem Vektor vom Koordinatenursprung bis zum Punkt z
Komplexe Zahl in trigonometrischer Darstellung
Eine komplexe Zahl z in trigonometrischer Darstellung wird mittels Betrag r und den Winkelfunktionen cos φ und sin φ dargestellt.
\(z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\)
Komplexe Zahl in exponentieller Darstellung
Komplexe Zahlen in exponentieller Darstellung werden mit Hilfe vom Betrag r=|z| und dem Winkel φ als Exponent der eulerschen Zahl e dargestellt. Die exponentielle Darstellung hat den Vorteil, dass sich die Multiplikation bzw. Division zweier komplexer Zahlen auf das Durchführen einer Addition bzw. Subtraktion vereinfachen.
\(\eqalign{ & z = r{e^{i\varphi }} = \left| z \right| \cdot {e^{i\varphi }} \cr & {e^{i\varphi }} = \cos \varphi + i\sin \varphi \cr}\)
Diese Darstellungsform nennt man auch exponentielle Normalform bzw. Euler’sche Form einer komplexen Zahl.
\({z_1} \cdot {z_2} = {r_1}{e^{i{\varphi _1}}} \cdot {r_2}{e^{i{\varphi _2}}} = {r_1}{r_2} \cdot {e^{i\left( {{\varphi _1} + {\varphi _2}} \right)}}\)
\(\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \dfrac{{{r_1}}}{{{r_2}}} \cdot {e^{i\left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)}}\)
Umrechnung von komplexen Zahlen
Für die Notation von komplexen Zahlen bieten sich die kartesische, trigonometrische und exponentielle bzw. Euler‘sche Darstellung an. Selbstverständlich kann man zwischen diesen Darstellungen wie folgt umrechnen:
\(a = r \cdot \cos \varphi ;\)
\(b = r \cdot \sin \varphi ;\)
\(r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ;\)
\(\tan \varphi = \dfrac{b}{a};\)
\(z = (a\left| b \right.)\)
Illustration der unterschiedlichen Notationen einer komplexen Zahl
Rechenoperationen mit komplexen Zahlen
In Teilbereichen der Physik und der Technik, etwa bei der Rechnung mit Wechsel- oder Drehströmen in der Elektrotechnik, bedient man sich der Rechenoperationen mit komplexen Zahlen. Das ist zunächst verwunderlich, da es in der klassischen Physik eigentlich nur reelle aber keine imaginären Größen gibt. Das Resultat jeder Rechenoperation mit komplexen Zahlen ist wieder eine komplexe Zahl, doch deren Real- und deren Imaginärteil sind jeweils reelle Größen, die eine physikalische Bedeutung haben können.
Ein Beispiel aus der Elektrotechnik: Multipliziert man etwa eine zeitabhängige Stromstärke I mit einer phasenverschobenen Spannung U so erhält man die (komplexe) Scheinleistung S. Der Realteil von S ist die Wirkleistung P und der Imaginärteil von S ist die Blindleistung Q, beides sind reale physikalische Größen mit reellem Wert.
Addition komplexer Zahlen
Komplexe Zahlen lassen sich besonders einfach in der kartesischen Darstellung addieren, indem man jeweils separat (Realteil + Realteil) und (Imaginärteil + Imaginärteil) rechnet.
\(\eqalign{ & {z_1} + {z_2} = ({a_1} + {a_2}) + i \cdot ({b_1} + {b_2}) \cr & {z_1} + {z_2} = {r_1} \cdot \cos ({\varphi _1}) + i \cdot {r_1} \cdot sin({\varphi _1}) + {r_2} \cdot \cos \left( {{\varphi _2}} \right) + i \cdot {r_2} \cdot \sin \left( {{\varphi _2}} \right) \cr & {z_1} + {z_2} = {r_1} \cdot {e^{i{\varphi _1}}} + {r_2} \cdot {e^{i{\varphi _2}}} \cr}\)
Subtraktion komplexer Zahlen
Komplexe Zahlen lassen sich besonders einfach in der kartesischen Darstellung subtrahieren, indem man jeweils separat (Realteil minus Realteil) und (Imaginärteil minus Imaginärteil) rechnet.
\(\eqalign{ & {z_1} - {z_2} = ({a_1} - {a_2}) + i \cdot ({b_1} - {b_2}) \cr & {z_1} - {z_2} = {r_1} \cdot \cos ({\varphi _1}) + i \cdot {r_1} \cdot sin({\varphi _1}) - {r_2} \cdot \cos \left( {{\varphi _2}} \right) - i \cdot {r_2} \cdot \sin \left( {{\varphi _2}} \right) \cr & {z_1} - {z_2} = {r_1} \cdot {e^{i{\varphi _1}}} - {r_2} \cdot {e^{i{\varphi _2}}} \cr}\)
Multiplikation komplexer Zahlen
Komplexe Zahlen lassen sich besonders einfach in der Polarform multiplizieren. Merke: Produkt der Beträge, Summe der Argumente
\(\eqalign{ & {z_1} \cdot {z_2} = \left( {{a_1}{a_2} - {b_1}{b_2}} \right) + \left( {{a_1}{b_2} + {b_1}{a_2}} \right)i \cr & {z_1} \cdot {z_2} = {r_1}.{r_2}\left[ {\cos \left( {{\varphi _1} + {\varphi _2}} \right) + i\sin \left( {{\varphi _1} + {\varphi _2}} \right)} \right] \cr & {z_1} \cdot {z_2} = {r_1}{e^{i{\varphi _1}}} \cdot {r_2}{e^{i{\varphi _2}}} = {r_1}{r_2} \cdot {e^{i\left( {{\varphi _1} + {\varphi _2}} \right)}} \cr}\)
Division komplexer Zahlen
Komplexe Zahlen lassen sich besonders einfach in der Polarform multiplizieren. Merke: Quotient der Beträge, Differenz der Argumente
\(\eqalign{ & \dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} \cdot \dfrac{{\overline {{z_2}} }}{{\overline {{z_2}} }} = \dfrac{{\left( {{a_1} + i{b_1}} \right)}}{{\left( {{a_2} + i{b_2}} \right)}} \cdot \dfrac{{\left( {{a_2} - i{b_2}} \right)}}{{\left( {{a_2} - i{b_2}} \right)}} = \dfrac{{\left( {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right)}}{{a_2^2 + b_2^2}} + \dfrac{{\left( {{b_1}{a_2} - {a_1}{b_2}} \right)}}{{a_2^2 + b_2^2}}i \cr & \dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \dfrac{{{r_1}}}{{{r_2}}}\left[ {\cos \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right) + i\sin \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)} \right] \cr & \dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \dfrac{{{r_1}}}{{{r_2}}} \cdot {e^{i\left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)}} \cr}\)
Satz von Moivre
Der Satz von Movire erleichtert das Potenzieren komplexer Zahlen in Polarform, da man das Potenzieren auf die Multiplikation eines Winkels (\({n\varphi }\)) vereinfacht.
\({z^n} = {\left| z \right|^n} \cdot {\left( {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right)^n} = {\left| z \right|^n} \cdot {\left( {{e^{i\varphi }}} \right)^n} = {\left| z \right|^n} \cdot {e^{in\varphi }} = {\left| z \right|^n} \cdot \left[ {\cos \left( {n\varphi } \right) + i\sin \left( {n\varphi } \right)} \right]\)
Potenzen komplexer Zahlen
Um eine komplexe Zahl mit n zu potenzieren, bietet sich die Polarform an, da dabei lediglich der Betrag r zur n-ten Potenz zu nehmen ist und das Argument \(\varphi\) mit n zu multiplizieren ist.
\(\eqalign{ & {z^n} = {\left( {r \cdot {e^{i\varphi }}} \right)^n} = {r^n} \cdot {e^{i \cdot n \cdot \varphi }} \cr & {z^n} = {r^n}(\cos \left( {n\varphi } \right) + i\sin \left( {n\varphi } \right)) \cr} \)
Wurzeln komplexer Zahlen
Für das Wurzelziehen von komplexen Zahlen ist es zweckmäßig auf eine Polarform (trigonometrische Form oder Exponentialform) umzurechnen, da dabei lediglich die Wurzel aus dem Betrag r gezogen werden muss und das Argument durch n zu dividieren ist.
Die n-te Wurzel einer komplexen (und somit auch einer reellen) Zahl, hat im Bereich der komplexen Zahlen n Lösungen. Den ersten Wert, für k=0, bezeichnet man als den Hauptwert, alle anderen (n-1) Wurzelwerte sind zum Hauptwert um den Winkel \(\dfrac{{2 \cdot \pi }}{n}\) versetzt.
allgemein, die n-te Wurzel der komplexen Zahl z:
\(\begin{array}{l} \sqrt[n]{z} = {z^{\frac{1}{n}}} = {\left( {a + ib} \right)^{\frac{1}{n}}} = \\ = \sqrt[n]{r}\left( {\cos \frac{{\varphi + k2\pi }}{n} + i\sin \frac{{\varphi + k2\pi }}{n}} \right) = \\ = \sqrt[n]{r} \cdot {e^{i\frac{{\varphi + k2\pi }}{n}}} \end{array}\)
speziell, die 2-te Wurzel der komplexen Zahl z:
\(\sqrt z = \sqrt r \cdot {e^{i \cdot \left( {\frac{\varphi }{2} + k\pi } \right)}}{\text{ mit k = 0}}{\text{,1}}\)
wobei:
\(\eqalign{ & z = a + i \cdot b \cr & r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \cr & \varphi = \arctan \left( {\frac{b}{a}} \right) \cr & 2\pi \buildrel \wedge \over = 360^\circ ;\,\,\,\,\,k = 0,1,2,...,n - 1; \cr} \)
Achtung: Beim Winkel \(\varphi \) ist zu berücksichtigen, in welchem Quadranten der gaußschen Ebene sich die komplexe Zahl z befindet.
Beispiel: Soll zeigen, dass man den Hauptwert der 3-ten Wurzel ganz einfach erhält, will man auch die beiden verschobenen Lösungen kennen, muss man schon etwas rechnen!
\(\eqalign{ & z = 1 \cr & w = \root 3 \of z = \root 3 \of 1 = 1{\text{ }}...{\text{ Hauptwert}} \cr & \cr & r = 1 \cr & \varphi = 0 \cr & \cr & \root 3 \of z = \root n \of r \cdot {e^{i \cdot \frac{{\varphi + 2k\pi }}{n}}} \cr & \root 3 \of 1 = 1 \cdot {e^{i \cdot \frac{{2k\pi }}{3}}} \cr & k = 0:{w_0} = 1 \cdot {e^0} = 1{\text{ }}...{\text{ Hauptwert}} \cr & k = 1:{w_1} = 1 \cdot {e^{i \cdot \frac{{2 \cdot \pi }}{3}}} \approx - 0,5 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i \cr & k = 2:{w_2} = 1 \cdot {e^{i \cdot \frac{{4 \cdot \pi }}{3}}} \approx - 0,5 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i \cr} \)
Beispiel: Soll zeigen, dass man den Hauptwert der 2-ten Wurzel ganz einfach erhält, will man auch die verschobene 2. Lösung kennen, muss man schon etwas rechnen!
\(\eqalign{ & z = - 4 \cr & w = \sqrt z = \sqrt { - 4} = \sqrt 4 \cdot \sqrt { - 1} = 2 \cdot i{\text{ }}...{\text{ Hauptwert}} \cr & \cr & r = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {0^2}} = 4 \cr & \varphi = \arctan \left( {\frac{0}{{ - 4}}} \right) = \arctan \left( 0 \right) = 180 \overset{\wedge}\to{=} \pi \cr & \cr & \sqrt z = \sqrt r \cdot {e^{i \cdot \left( {\frac{\varphi }{2} + k \cdot \pi } \right)}}{\text{ mit k = 0}}{\text{,1}} \cr & \sqrt { - 4} \cdot {e^{i\left( {\frac{\pi }{2} + k \cdot \pi } \right)}}{\text{ mit k = 0}}{\text{,1}} \cr & k = 0:{w_0} = \sqrt { - 4} = \sqrt 4 \cdot {e^{i \cdot \left( {\frac{\pi }{2} + 0 \cdot \pi } \right)}} = 2 \cdot \left( i \right) = 2 \cdot i{\text{ }}...{\text{ Hauptwert}} \cr & k = 1:{w_1} = \sqrt { - 4} = \sqrt 4 \cdot {e^{i \cdot \left( {\frac{{3\pi }}{2}} \right)}} = 2 \cdot \left( { - i} \right) = 2 \cdot \left( { - i} \right) \cr} \)
Logarithmen komplexer Zahlen
Die komplexe Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der komplexen Exponentialfunktion. Für das Logarithmieren ist es zweckmäßig auf Polarform umzurechnen, da dann lediglich der reelle Logarithmus vom Betrag r berechnet werden muss und sich der Imaginärteil zu \(i\left( {\varphi + 2k\pi } \right)\) ergibt. Bedingt durch die Periodizität der Exponentialfunktion ist der Imaginärteil lediglich auf ganzzahlige Vielfache k von 2π bestimmt.
\(\eqalign{ & \ln z = \ln \left( {r \cdot {e^{i\varphi }}} \right) = \ln r + i\left( {\varphi + 2k\pi } \right) \cr & \ln z = \ln \left| z \right| + i\left( {\varphi + 2k\pi } \right) \cr}\)
Zerlegung der Winkelfunktionen komplexer Zahlen in Real- und Imaginärteil
\(\begin{array}{l} \sin \left( {a + ib} \right) = \sin \left( a \right) \cdot \cosh \left( b \right) + i \cdot \cos \left( a \right) \cdot \sinh \left( b \right)\\ \cos \left( {a + ib} \right) = \cos \left( a \right) \cdot \cosh \left( b \right) - i \cdot \sin \left( a \right) \cdot \sinh \left( b \right)\\ \tan \left( {a + ib} \right) = \dfrac{{\sin \left( a \right) \cdot \cosh \left( b \right) + i \cdot \cos \left( a \right) \cdot \sinh \left( b \right)}}{{\cos \left( a \right) \cdot \cosh \left( b \right) - i \cdot \sin \left( a \right) \cdot \sinh \left( b \right)}} = \\ = \dfrac{{\sin \left( {2a} \right) + i \cdot \sinh \left( {2b} \right)}}{{\cos \left( {2a} \right) + \cosh \left( {2b} \right)}} \end{array}\)
Zerlegung der Hyperbelfunktionen komplexer Zahlen in Real- und Imaginärteil
\(\begin{array}{l} \sinh \left( {a + ib} \right) = \sinh \left( a \right) \cdot \cos \left( b \right) + i \cdot \cosh \left( a \right) \cdot \sin \left( b \right)\\ \cosh \left( {a + ib} \right) = \cosh \left( a \right) \cdot \cos \left( b \right) + i \cdot \sinh \left( a \right) \cdot \sin \left( b \right)\\ \tanh \left( {a + ib} \right) = \dfrac{{\sinh \left( a \right) \cdot \cos \left( b \right) + i \cdot \cosh \left( a \right) \cdot \sin \left( b \right)}}{{\cosh \left( a \right) \cdot \cos \left( b \right) + i \cdot \sinh \left( a \right) \cdot \sin \left( b \right)}} = \\ = \dfrac{{\sinh \left( {2a} \right) + i \cdot \sin \left( {2b} \right)}}{{\cosh \left( {2a} \right) + \cos \left( {2b} \right)}} \end{array}\)
Eulersche Formel
Die eulersche Formel stellt das Bindeglied zwischen den komplexen Zahlen und den Winkelfunktionen her, indem sie für einen vorgegebenen Winkel \(\varphi\) eine Verknüpfung herstellt zwischen der Exponentialfunktion e mit dem imaginären Exponenten i einerseits und mit den trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus andererseits
\(\eqalign{ & {e^{i\varphi }} = \cos \varphi + i\sin \varphi \cr & {e^{ - i\varphi }} = \cos \left( { - \varphi } \right) + i\sin \left( { - \varphi } \right) = \cos \varphi - i\sin \varphi \cr}\)
bzw:
\(\begin{array}{l} {e^{iy}} = \cos y + i \cdot \sin y\\ {e^{x + iy}} = {e^x} \cdot \left( {\cos y + i \cdot \sin y} \right) \end{array}\)
Aus der Addition bzw. der Subtraktion der beiden Gleichungen folgt:
\(\eqalign{ & \cos \varphi = \dfrac{{{e^{i\varphi }} + {e^{ - i\varphi }}}}{2}; \cr & \sin \varphi = \dfrac{{{e^{i\varphi }} - {e^{ - i\varphi }}}}{{2i}}; \cr}\)
Eulersche Identität
Die Euler'sche Identität gibt einen einfachen Zusammenhang zwischen den fünf wichtigen Zahlen, der Euler'schen Zahl e, der Kreiszahl \(\pi\), der imaginären Einheit i, der reellen Einheit 1 und der Null.
\({e^{i\pi }} + 1 = 0\)
Da e und \(\pi\) irrationale Zahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen sind und i die Wurzel aus -1 ist, wirkt es verblüffend, dass es einen Term aus diesen 3 Zahlen gibt, dessen Wert exakt -1 ist.
Herleitung der Euler'schen Identität aus der Euler'schen Formel
Wenn man in der Euler'schen Formel \({e^{i\varphi }} = \cos \varphi + i\sin \varphi\) wie folgt setzt: \(\varphi = \pi\) so erhält man \({e^{i\pi }} = \cos \pi + i\sin \pi = - 1 + i0\) bzw. vereinfacht \({e^{i\pi }} = - 1\) oder umgeformt \({e^{i\pi }} + 1 = 0\) die Euler'sche Identität.
Darstellung der komplexen Winkelfunktionen durch Exponentialfunktionen
\(\begin{array}{l} \sin z = \dfrac{{{e^{iz}} - {e^{ - iz}}}}{{2i}}\\ \cos z = \dfrac{{{e^{iz}} + {e^{ - iz}}}}{2}\\ \tan z = - i \cdot \dfrac{{{e^{iz}} - {e^{ - iz}}}}{{{e^{iz}} + {e^{ - iz}}}} \end{array}\)
\({\cos ^2}z + {\sin ^2}z = 1\)
Darstellung der komplexen Hyperbelfunktionen durch Exponentialfunktionen
\(\begin{array}{l} \sinh z = \dfrac{{{e^z} - {e^{ - z}}}}{2}\\ \cosh z = \dfrac{{{e^z} + {e^{ - z}}}}{2}\\ \tanh z = \dfrac{{{e^z} - {e^{ - z}}}}{{{e^z} + {e^{ - z}}}} \end{array}\)
\({\cosh ^2}z - {\sinh ^2}z = 1\)
Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung
Im Bereich der komplexen Zahlen lassen sich nun auch jene quadratischen Gleichungen lösen, deren Diskriminante kleiner Null ist - d.h. deren Wert unter der Wurzel negativ ist. In diesem Fall gibt es 2 zu einander konjugiert komplexe Lösungen.
pq Formel
\(\eqalign{ & {z^2} + pz + q = 0 \cr & p,q \in {\Bbb R} \cr & {z_{1,2}} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {{{\left( {\dfrac{p}{2}} \right)}^2} - q} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt D \cr}\)
- D > 0: Es gibt 2 Lösungen in R
- D = 0: Es gibt eine Doppellösung in R
- D < 0: Es gibt 2 konjugiert komplexe Lösungen in C
\(D < 0: \pm \sqrt { - D} = \pm \sqrt { - 1 \cdot D} = \pm \sqrt { - 1} \cdot \sqrt D = \pm i \cdot \sqrt D \)
Wurzelsatz von Vieta für eine quadratische Gleichung mit komplexen Lösungen
Der Satz von Vieta macht eine Aussage über den Zusammenhang zwischen den Koeffizienten p und q einer quadratischen Gleichung in normierter Darstellung mit einer Variablen x auf der einen Seite und den Lösungen (Nullstellen) zi auf der anderen Seite
\(\eqalign{ & p = - \left( {{z_1} + {z_2}} \right) \cr & q = {z_1} \cdot {z_2} \cr}\)
abc Formel, auch „Mitternachtsformel“
\(\eqalign{ & a \cdot {z^2} + b \cdot z + c = 0 \cr & a,b,c \in {\Bbb R} \cr & a \ne 0 \cr & {z_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}} \cr}\)
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.
Fundamentalsatz der Algebra (komplexe Zahlen)
Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass jede ganze rationale Funktion y=pn(x) genau n reelle oder komplexe Nullstellen besitzt, wobei k-fache Nullstellen auch k-fach gezählt werden. Fallen mehrere Nullstellen zusammen, so spricht man von der Vielfachheit der Nullstelle bzw. von k-fachen Nullstellen. Sind alle Koeffizienten a des Polynoms reell, so sind die entsprechenden Nullstellen entweder reell und / oder paarweise konjugiert komplex.
\(\eqalign{ & {p_n}\left( x \right) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_2}{x^2} + {a_1}x + {a_0} = \cr & = {a_n} \cdot \left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right) \cdot ... \cdot \left( {x - {x_n}} \right) \cdot {\text{Restglied}} \cr} \)
Es handelt sich dabei um einen reinen Existenzsatz. Explizite Lösungsformeln gibt es etwa für quadratische Gleichungen mit der abc Formel oder der pq Formel. Durch sogenannte Faktorisierung oder Abspaltung von Linearfaktoren (x-xi) wandelt man die Summendarstellung in eine Produktdarstellung um, bei der die Lösungen der Gleichung bzw. die Nullstellen der Funktion sofort ablesbar sind.
Bezeichnungen von einfachen Polynomen:
Grad | Bezeichnung | allgemeine Schreibweise |
0 | konstant | \({a_0}\) |
1 | linear | \({a_1} \cdot z + {a_0}\) |
2 | quadratisch | \({a_2} \cdot {z^2} + {a_1} \cdot z + {a_0}\) |
3 | kubisch | \({a_3} \cdot {z^3} + {a_2} \cdot {z^2} + {a_1} \cdot z + {a_0}\) |
4 | quartisch | \({a_4} \cdot {z^4} + {a_3} \cdot {z^3} + {a_2} \cdot {z^2} + {a_1} \cdot z + {a_0}\) |
5 | quintisch | \({a_5} \cdot {z^5} + {a_4} \cdot {z^4} + {a_3} \cdot {z^3} + {a_2} \cdot {z^2} + {a_1} \cdot z + {a_0}\) |
Faktorisieren bzw. Abspaltung von Linearfaktoren bei komplexen Polynomen
Faktorisieren
Mit Faktorisieren bezeichnet man die Umwandlung eines Polynoms von der Summendarstellung in eine Produktdarstellung.
\({p_n}\left( z \right) = {a_n} \cdot {z^n} + {a_{n - a}} \cdot {z^{n - a}} + ... + {a_1} \cdot z + {a_0} = 0\) ⇒ \(p\left( z \right) = {p_n}\left( z \right) \cdot \,\,...\,\,\cdot \,{p_2}\left( z \right) \cdot {p_1}\left( z \right)\)
Abspaltung von Linearfaktoren
Jedes Polynom n-ten Grades lässt sich also als Produkt von n Linearfaktoren anschreiben.
Kennt man von einer algebraischen Gleichung mit reellen Koeffizienten an, .. a0 eine (erste) Lösung z0, so kann man den Linearfaktor (z-z0) abspalten und so das Polynom im Grad reduzieren / vereinfachen.
\({p_n}\left( z \right) = {a_n} \cdot {z^n} + {a_{n - a}} \cdot {z^{n - a}} + ... + {a_1} \cdot z + {a_0} = 0\) ... Summendarstellung
Ist z 0 eine Lösung (Nullstelle) vom Polynom pn(z)=0, so gilt:
\({{\text{p}}_n}\left( z \right) = \left( {z - {z_0}} \right) \cdot {q_{n - 1}}\left( z \right)\) ... Produktdarstellung
wobei q ein einfacheres Polynom - das sogenannte Restglied ist.
- Wenn z0 eine reelle Zahl (also eine Nullstelle) ist, so ist das Restglied vom Grad n-1.
- Wenn z0 eine komplexe Zahl ist, so ist das Restglied vom Grad n-2, da komplexe Lösungen immer paarweise auftreten.
Das Polynom n-ten Grades lässt sich somit durch wiederholte Abspaltung von (komplexen) Linearfaktoren wie folgt faktorisieren:
\({p_n}\left( z \right) = {a_n} \cdot \left( {z - {z_0}} \right) \cdot \left( {z - {z_s}} \right) \cdot ... \cdot \left( {z - {z_n}} \right)\)
- Für Polynome ohne konstantes Glied gilt: Sie können durch Herausheben der niedrigsten Potenz von z faktorisiert werden.
- Für Polynome mit ausschließlich ganzzahligen Koeffizienten a gilt: Allfällige ganzzahlige Nullstellen sind stets ein Teiler des konstanten Gliedes a0.
Systeme linearer Ungleichungen mit einer Variablen
Von einem System linearer Ungleichungen spricht man, wenn man die gemeinsame Lösung von 2 oder mehreren linearen Ungleichungen finden soll.
\(\eqalign{ & ax + b < 0 \cr & cx + d > 0 \cr}\)
Zuerst löst man die Ungleichungen getrennt voneinander.
Konjunktive Systeme linearer Ungleichungen
Bei konjunktiven Systemen werden die einzelnen Lösungen durch ein „und“ bzw. „\(\wedge\)“ zu einer Gesamtlösung verknüpft.
\({L_{Ges}} = {L_1} \wedge {L_2}\)
Disjunktive Systeme linearer Ungleichungen
Bei disjunktiven Systemen werden die einzelnen Lösungen durch ein „oder“ bzw. „\(\vee\)“ zu einer Gesamtlösung verknüpft.
\({L_{Ges}} = {L_1} \vee {L_2}\)
Aufgaben
Aufgabe 5
Addition von Wurzel im Bereich der komplexen Zahlen
Vereinfache unter Verwendung des Hauptwerts:
\(w = \sqrt { - 4} + \sqrt { - 9} + \sqrt { - 16}\)
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.
Aufgabe 31
Betrag komplexer Zahlen
Berechne:
\(w = {\text{|7 - 4i|}}\)
Aufgabe 37
Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung
Gegeben sei nachfolgende quadratische Gleichung:
Berechne:
\(\dfrac{{2x - 9}}{{x - 1}} - \dfrac{{3x + 5}}{{x + 2}} = 3\)
Aufgabe 42
Potenzen mit reellen Exponenten
Vereinfache:
\(w = {( - 1)^n}\)
Aufgabe 68
Quadratische Gleichung mit einer Variablen
Gegeben sei folgende quadratische Gleichung:
\(a{x^2} + bx + c = 0;{\text{ a}}{\text{, b}}{\text{, c }} \in {\Bbb R}\,\,\,\,\,a \ne 0\)
Zeige an Hand des Beispiels a=4 und c= -100 für den Spezialfall b=0, wie man Gleichungen vom Typ \(a{x^2} + c = 0\) lösen kann.
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.
Aufgabe 253
Zahlenstrahl
Ergänze die Beschriftung des Zahlenstrahls für jene Werte, die in die Kästchen gehören
Aufgabe 6
Subtraktion komplexer Zahlen
Berechne:
\(\eqalign{ & w = {z_1} - {z_2} \cr & {z_1} = 4 + 5i \cr & {z_2} = 2 + 3i \cr}\)
Aufgabe 43
Potenzen mit reellen Exponenten
Vereinfache:
\(w = {( - 1)^{2n}}\)
Aufgabe 69
Quadratische Gleichung mit einer Variablen
Gegeben sei folgende quadratische Gleichung
\({x^2} = k\)
Für welche k hat diese Gleichung eine, zwei bzw. keine Lösung in R?
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.
Aufgabe 7
Subtraktion komplexer Zahlen
Berechne:
\(\eqalign{ & w = {z_1} - {z_2} \cr & {z_1} = - 2 + 3i \cr & {z_2} = 1 - 2i \cr}\)
Aufgabe 44
Potenzen mit reellen Exponenten
Vereinfache:
\(w = {( - 1)^{2n - 1}}\)
Aufgabe 70
Quadratische Gleichung mit einer Variablen
Gegeben sei folgende quadratische Gleichung:
Berechne:
\({\left( {x - 3} \right)^2} = 25\)