Algebra
Wissenswertes über: Zahlensysteme und Rechengesetze, Komplexe Zahlen, Potenzen, Wurzeln und Logarithmen, Matrizen, Gleichungen, Ungleichungen
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Intervalle
Intervalle dienen dazu Zahlenbereiche noch oben und nach unten abzugrenzen. Eine Menge reeller Zahlen heißt Intervall, wenn diese Zahlen durch eine Strecke auf der Zahlengerade darstellbar sind.
Offenes Intervall
Bei einem offenen Intervall, bzw. einem Intervall mit offenen Grenzen, sind beide Grenzen selbst nicht mit eingeschlossen.. Das offene Intervall umfasst alle Zahlen, die zwischen dem unteren „u“ und dem oberen „o“ Grenzwert liegen, jedoch sind die beiden Grenzwerte „u“ bzw. „o“ selbst nicht Teil vom offenen Intervall.
\(\eqalign{ & u < x < o \cr & \left] {u;o} \right[ = \left\{ {x \in {\Bbb R}\left| {u < x < o} \right.} \right\} \cr}\)
Abgeschlossenes Intervall
Bei einem abgeschlossenen Intervall,bzw. einem Intervall mit geschlossenen Grenzen, sind beide Grenzen mit eingeschlossen. Das abgeschlossene Intervall umfasst alle Zahlen, die zwischen dem unteren „u“ und dem oberen „o“ Grenzwert liegen, inklusive der beiden Grenzwerte „u“ bzw. „o“.
\(\eqalign{ & u \leqslant x \leqslant o \cr & \left[ {u;o} \right] = \left\{ {x \in {\Bbb R}\left| {u \leqslant x \leqslant o} \right.} \right\} \cr}\)
Halboffenes Intervall
Das halboffene Intervall hat eine offene und eine geschlossene Grenze. Das halboffene Intervall umfasst alle Zahlen, die zwischen dem unteren „u“ und dem oberen „o“ Grenzwert liegen, jedoch ist eine der beiden Grenzen „u“ bzw. „o“ selbst mit eingeschlossen, während die jeweils andere Grenze nicht eingeschlossen ist.
\(\eqalign{ & u \leqslant x < o\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ {u;o} \right[ = \left\{ {x \in {\Bbb R}\left| {u \leqslant x < o} \right.} \right\} \cr & u < x \leqslant o\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left] {u;o} \right] = \left\{ {x \in {\Bbb R}\left| {u < x \leqslant o} \right.} \right\} \cr} \)
Unendliches Intervall
Das unendliche Intervall hat nur eine untere oder eine obere Grenze, die entweder zum Intervall gehört oder nicht. Aus der Zahlengerade wird so ein Zahlenstrahl.
\(\eqalign{ & u \leqslant x \cr & \left[ {u;\infty } \right] = \left\{ {x \in {\Bbb R}\left| {u \leqslant x} \right.} \right\} \cr} \)
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Bedarfsmatrizen
Verflechtungsmatrix
Die Verflechtungs- oder Technologie- oder Input-Outputmatrix zeigt die Abhängigkeit von Produkten und Ressourcen.
Für den 1. Zwischenschritt eines zweistufigen Produktionsprozesses stellt man den 1. Teil der Verflechtungsmatrix auf, indem man die Rohstoffe in die Zeilen und die Zwischenprodukte in die Spalten schreibt.
Leseprobe: „Für das Zwischenprodukt Z1 werden x1 Einheiten vom Rohstoff R1 benötigt.
Z1 | Z2 | Z3 | |
R1 | x1 | x2 | x3 |
R2 | x4 | x5 | x6 |
\({V_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{x_2}}&{{x_3}}\\ {{x_4}}&{{x_5}}&{{x_6}} \end{array}} \right)\)
Für den 2. Zwischenschritt eines zweistufigen Produktionsprozesses stellt man den 2. Teil der Verflechtungsmatrix auf, indem man die Zwischenprodukte in die Zeilen und die Endprodukte in die Spalten schreibt.
Leseprobe: „Für das Endprodukt E1 werden x12 Einheiten vom Zwischenprodukt Z1 benötigt.
E1 | E2 | |
Z1 | x12 | x11 |
Z2 | x10 | x9 |
Z3 | x8 | x7 |
\({V_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{12}}}&{{x_{11}}}\\ {{x_{10}}}&{{x_9}}\\ {{x_8}}&{{x_7}} \end{array}} \right)\)
Somit ergibt sich die Verflechtungsmatrix, welche die Abhängigkeit der Endprodukte von den Rohstoffen angibt - ohne die Zwischenprodukte explizit auszuweisen - durch Matrizenmultiplikation wie folgt:
- Anmerkung: Damit man überhaupt 2 Matrizen mit einander multiplizieren kann, muss die Spaltenanzahl der 1. Matrix gleich groß wie die Zeilenanzahl der 2. Matrix sein. Das Produkt der beiden Matrizen ist wieder eine Matrix, die so viele Zeilen wie die 1. Matrix und so viele Spalten wie die 2. Matrix hat.
Hier sind das jeweils die Zwischenprodukte, daher ist die Verflechtungsmatrix eine quadratische Matrix. - Rechenregel: Das Element in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte der resultierenden Verflechtungsmatrix errechnet sich aus der Summe aller Produkte der i-ten Zeile von Matrix A und der j-ten Spalte von Matrix B.
\(\begin{array}{l} V = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{x_2}}&{{x_3}}\\ {{x_4}}&{{x_5}}&{{x_6}} \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{12}}}&{{x_{11}}}\\ {{x_{10}}}&{{x_9}}\\ {{x_8}}&{{x_7}} \end{array}} \right) = \\ = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {{x_1} \cdot {x_{12}}} \right) + \left( {{x_2} \cdot {x_{10}}} \right) + \left( {{x_3} \cdot {x_8}} \right)}&{\left( {{x_1} \cdot {x_{11}}} \right) + \left( {{x_2} \cdot {x_9}} \right) + \left( {{x_3} \cdot {x_8}} \right)}\\ {\left( {{x_4} \cdot {x_{12}}} \right) + \left( {{x_5} \cdot {x_{10}}} \right) + \left( {{x_6} \cdot {x_8}} \right)}&{\left( {{x_4} \cdot {x_{11}}} \right) + \left( {{x_5} \cdot {x_9}} \right) + \left( {{x_6} \cdot {x_8}} \right)} \end{array}} \right) \end{array}\)
Verflechtungsdiagramm bzw. Gozintograph
Gozinot steht für „goes into“. Der Gozintograph zeigt, wie viele Rohstoffe man für ein Zwischenprodukt und wie viele Zwischenprodukte man für ein Endprodukt benötigt, indem eine Richtung angegeben ist.
Produktionsprozesse in Matrizenschreibweise
Für ein Leontief Modell *), einem Input-Output Modell für die Planung von Produktionsprozessen, errechnet man die notwendige Produktion x bei vorgegebener Nachfrage n und einer den Produktionsprozess abbildenden Technologiematrix A wie folgt.
\(\begin{array}{l} \overrightarrow x = V \cdot \overrightarrow x + \overrightarrow n \\ \overrightarrow x = {\left( {E - V} \right)^{ - 1}} \cdot \overrightarrow n \end{array}\)
V | Input-Outputmatrix bzw. quadratische Verflechtungsmatrix (hat gleich viele Zeilen wie Spalten), stellt den Zusammenhang zwischen Rohstoffen und den Zwischenprodukten sowie den Endprodukten her; Anzahl der Zeilen = Anzahl der Spalten = Anzahl Rohstoffe + Anzahl Zwischenprodukte + Anzahl Endprodukte |
E | Einheitsmatrix: Eine quadratische Diagonalmatrix deren „Diagonal-Komponenten“ gleich 1 sind und bei der alle anderen Komponenten gleich 0 sind |
\(\overrightarrow x\) | Produktionsvektor: Einspaltenvektor, gibt die Menge an, die im Produktionsprozess hergestellt wird |
\(\overrightarrow n\) | Nachfragevektor: Einspaltenvektor, gibt die nachgefragte Menge an. Hat gleich viel Zeilen wie die Verflechtungsmatrix |
*) Wassily Leontief = Nobelpreisträger
Zahlensysteme bzw. Stellenwertsysteme
Bei Zahlensystemen bzw. bei Stellenwertsystemen wird jeder Stelle einer Zahl ein Wert zugeordnet. Dieser Wert jeder Stelle hängt von zwei Parametern ab und zwar von der Höhe der Ziffer selbst und von der Position in der Zahl, an der die Ziffer steht. Aus der Summe der Stellenwerte ergibt sich der Zahlenwert. In der täglichen Praxis haben sich verschiedene Zahlensysteme etabliert, die man einfach in einander umrechnen kann. Am vertrautesten ist uns das Dezimalsystem, auch Zehnersystem genannt. Hätte der Mensch 16 Finger, so wäre uns wohl das Hexadezimalsystem besser vertraut als das Dezimalsystem...
Dekadisches Zahlensystem bzw. Dezimalsystem bzw. Zehnersystem
Im dekadischen Zahlensystem ist das Zehnfache der Einheit, die nächsthöhere Einheit. 10 Einer sind 1 Zehner, 10 Zehner sind 1 Hunderter, 10 Hunderter sind 1 Tausender, ...
Ziffernwert: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Stellenwerte: 1, 10, 100,..., Vielfache von 10
Die Basis im Dezimalsystem ist also die Zahl 10. Die einzelnen Stellen sind
- ...
- Tausenderstelle
- Hunderterstelle
- Zehnerstelle
- Einerstelle
- Zehntelstelle
- Hundertstelstelle
- ...
Große Zahlen gruppiert man in Dreiergruppen, die durch
- Leerzeichen Beispiel: \(6\,789,12\)
- Tausenderpunkt Beispiel(im deutschen Sprachraum): \(6.789,12\)
- Tausenderkomma (im englischen Sprachraum Beispiel: \(6,789.12\)
getrennt werden.
Beispiel
dezimal 123 = abc = a·102+b·101+c·100 mit a=1, b=2 und c=3
Beispiel
Dezimalsystem: Zahl = 123
diese Zahl besteht aus den drei Ziffern 1, 2, 3 die an der Hunderterstelle, Zehnerstelle und Einerstelle stehen
Sellenwert der "1" = 100 → Zahlenwert ist 100x1=100
Stellenwert der "2" = 10 → Zahlenwert ist 10x2=20
Stellenwert der "3" = 1 → Zahlenwert ist 1x3=3
Zahlenwert der Zahl "123" = 100+20+3=123 Einhundertdreiundzwanzig
Dual- bzw. Binärsystem
Im Dualsystem ist das Zweifache der Einheit die nächsthöhere Einheit. Die Basis im Binärsystem ist also die Zahl 2.
Ziffernwerte: 0, 1
Stellenwert: Vielfache von 2.
Das Binärsystem ist vor allem in der Datenverarbeitung im Computer in Verwendung. „0“ bedeutet dann, es fließt kein Strom, während „1“ bedeutet, es fließt Strom.
Beispiel
binär 1010 = a+b+c+d=a·23+b·22+c·21+d·20 = 1·8+0·4+1·2+0·1=10 (dekadisch)
Hexadezimalsystem
Im Hexadezimalsystem ist das Sechzehn-fache der Einheit die nächst größere Einheit. Die Basis im Binärsystem ist also die Zahl 16.
Ziffernwerte: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ,7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
Stellenwerte: Vielfache von 16.
Das „Sechzehnfache“ hat man gewählt, weil man damit 4 Bit einer Dualzahl in einer einzigen hexadezimalen Ziffer zusammenfassen kann.
Beispiel
Hex C4 bzw. #C4 = Dez: 12·161+4·160=192+4=196 (dekadisch) oder Bin: 1100 0100
BCD Code
Bei BCD handelt sich um kein Zahlensystem sondern um einen Code, der in der Datenverarbeitung weit verbreitet ist.
Im Binary Coded Decimal System wird jede Stelle einer dezimalen Ziffer dualkodiert.
Beispiel
Dezimal 19 = 0001 1001 weil für die Zehnerstelle 1 = 0001 und für die Einerstelle 9 = 1001 gilt.
Gegenüberstellung Dezimal- Dual und Hexadezimalsystem sowie BCD Code
Dezimal | Dual | BCD | Hex |
0 | 0 | 0000 | 0 |
1 | 1 | 0001 | 1 |
2 | 10 | 0010 | 2 |
3 | 11 | 0011 | 3 |
4 | 100 | 0100 | 4 |
5 | 101 | 0101 | 5 |
6 | 110 | 0110 | 6 |
7 | 111 | 0111 | 7 |
8 | 1000 | 1000 | 8 |
9 | 1001 | 1001 | 9 |
10 | 1010 | 0001 0000 | A |
11 | 1011 | 0001 0001 | B |
12 | 1100 | 0001 0010 | C |
13 | 1101 | 0001 0011 | D |
14 | 1110 | 0001 0100 | E |
15 | 1111 | 0001 0101 | F |
16 | 10000 | 0001 0110 | 10 |
17 | 10001 | 0001 0111 | 11 |
18 | 10010 | 0001 1000 | 12 |
19 | 10011 | 0001 1001 | 12 |
Beachte: Im BCD Code kommen folgende 6 Werte nicht vor: 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 im Dual-bzw. Binärsystem hingegen schon, dort repräsentieren sie die Dezimalzahlen 10,11,12,13,14,15.
Radizieren bzw. Wurzelziehen
Radizieren, d.h. das Wurzelziehen, ermöglicht es, x zu errechnen, wenn x die Basis einer Potenz ist.
Beispiel:
Berechne x
\(\begin{array}{l} {x^3} = 125\\ x = \sqrt[3]{{125}} = 5 \end{array}\)
Bezeichnungen beim Wurzelziehen / Radizieren
Das Radizieren ist die Umkehrung des Potenzierens. Der Wurzelexponent ist jener Wert, mit dem man den Wurzelwert potenzieren muss, um als Resultat den Radikanden der Wurzel zu erhalten. Schreibt man keinen Wurzelwert an, so gilt automatisch n=2
\({b = \root n \of a }\) | n-te Wurzel aus a |
b | Wurzelwert |
a | Radikand, Wert unter dem Wurzelzeichen |
n | Wurzelexponent |
Potenzen mit rationalen Exponenten
Die n-te Wurzel aus der nicht-negativen Zahl a ist jene eindeutige, ebenfalls nicht negative Zahl b, deren n-te Potenz wiederum gleich a ist. Anmerkung: Die n-te Wurzel aus der negativen Zahl a, kann nur im Bereich der komplexen Zahlen gelöst werden.
\(\eqalign{ & \root n \of a = b \Leftrightarrow a = {b^n} \cr & a,b \in {{\Bbb R}^ + };\,\,r,s \in {\Bbb R};\,\,n \in {\Bbb N} \cr}\)
Logarithmen - Grundbegriffe
Vorab eine Mindmap zu den Inhalten dieser Mikro-Lerneinheit
Logarithmieren
Logarithmieren ermöglicht es, x zu errechnen, wenn x der Exponent einer Potenz ist. Der Logarithmus von b zur Basis a ist derjenige Exponent, mit dem man a potenzieren muss, um b zu erhalten.
\({a^x} = b \Leftrightarrow x = {\log _a}\left( b \right){ = ^a}\log b\)
Beispiel: Berechne x
\(\eqalign{ & {5^x} = 125 \cr & x{ = ^5}\log 125 = 3 \cr} \)
Äquivalente Schreibweisen für Logarithmen
\(^a\log {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b = {\log _a}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b = {\log _a}\left( b \right)\)
Zusammenhang zwischen den Exponentialfunktionen und den allgemeinen Logarithmusfunktionen
Logarithmen sind die Umkehrfunktion zu Exponentialfunktionen. Die Exponentialfunktion \(f\left( x \right) = {a^x}{\text{ mit }}a \ne 1\) bildet das Intervall des Definitionsbereichs \(\left] { - \infty ,\infty } \right[\)streng monoton auf das Intervall des Wertebereichs \(\left] {0,\infty } \right[\) ab. Daher existiert eine Umkehrfunktion \(g\left( x \right)\) genannt Logarithmus zur Basis a, welche das Intervall des Definitionsbereichs \(\left] {0,\infty } \right[\) auf das Intervall ihres Wertebereichs \(\left] { - \infty ,\infty } \right[\) stetig abbildet.
Bezeichnungen beim Logarithmieren
Ein Logarithmus wird durch seine Basis a und seinen Numerus b bestimmt. Für die Basis a sind 10, die eulersche Zahl e und 2 üblich.
\({x = {}^a\log b}\) | Logarithmus von b zur Basis a |
a | Basis |
b | Numerus |
x | Logarithmuswert |
Praktischer Nutzen von Logarithmen
Logarithmen sind in der Wissenschaft und Technik weit verbreitet. Sie ermöglichen
- große Zahlenbereiche mittels logarithmischer Skalen kompakt darzustellen
- einfache Lösungen für Gleichung mit Exponentialfunktionen, indem man beide Seiten der Gleichung logarithmiert
- Intensitäten und Verhältnisse, wie die Lautstärke, den pH-Wert, den Signal-zu-Rauschabstand anschaulich auszudrücken
- exponentielles Wachstum als linearen Anstieg darzustellen.
\(\eqalign{ & y = a \cdot {e^{k \cdot t}}\,\,\,\,\,\left| {\ln } \right. \cr & \ln \left( y \right) = \ln \left( a \right) + k \cdot t \cr} \)
wobei a der Anfangswert und k die Wachstumsrate ist - den Grad von Gleichungen zu senken (Potenzieren → Multiplizieren; Multiplizieren → Addieren). Diese Rechenerleichterung erlaubte vor der Erfindung des Computers eine dramatische Vereinfachung und Reduzierung von Rechenfehlern bei Berechnungen in der Astronomie und in der Navigation), erforderte aber den Einsatz von vorab erstellten, von der konkreten Aufgabenstellung unabhängigen, Logarithmustafeln bzw. eines Rechenschiebers.
Unterscheidung von Logarithmen nach deren Basis
Es ist möglich die Basis vom Logarithmus frei zu wählen. Es ist aber üblich für die Basis entweder 10, die Eulersche Zahl e, oder 2 zu wählen
\({}^a\log \,\,b = {\log _a}\,\,b\) | Der allgemeine Logarithmus von b zur beliebigen Basis a |
\(^{10}\log b = \lg \left( b \right) = \log \left( x \right) = {\log _{10}}\left( x \right)\) | Der dekadische Logarithmus hat die Zahl a=10 als Basis |
\({}^e\log b = \ln b\) | Der natürliche Logarithmus hat die Zahl a=e=2,71828 als Basis |
\({}^2\log b = {\mathop{\rm lb}\nolimits} \,b\) | Der binäre Logarithmus hat die Zahl a=2 als Basis |
Alle Logarithmusfunktionen sind unabhängig von ihrer Basis proportional zueinander und unterscheiden sich nur durch einen konstanten Faktor. In der Praxis kommt nur der dekadische Logarithmus zur Anwendung, daher lässt man mitunter die Bezeichnung 10 für die Basis weg oder schreibt lg.
Spricht man von Exponentialfunktionen, so hat die natürliche Exponentialfunktion zur Basis e eine überragende Bedeutung. Ihre Umkehrfunktion, der natürliche Logarithmus ln(x), ist in der Schreibweise deutlich von log(x) zu unterscheiden.
Allgemeiner Logarithmus von b zur Basis a
Der Logarithmus von b zur Basis a ist jener Exponent, mit dem man a potenzieren muss, um b zu erhalten. Diese Form vom Logarithmus ist zwar allgemein, hat aber kaum praktische Bedeutung im Vergleich um dekadischen und zum natürlichen Logarithmus.
\(\eqalign{ & {}^a\log b = x \Leftrightarrow {a^x} = b \cr & a \in {{\Bbb R}^ + }\backslash \left\{ 1 \right\};\,\,b \in {{\Bbb R}^ + }\, \cr}\)
\({}^a\log \,\,b = {\log _a}\,\,b\) ist die eindeutige Lösung der Gleichung \({b^x} = a\) . Den Zahlenwert vom allgemeinen Logarithmus, für den es keine Logarithmentafeln aber auch keine separate Taste am Taschenrechner gibt, kann man berechnen, indem man den Logarithmus vom Numerus b durch den Logarithmus der Basis a dividiert.
\(^a\log b = \dfrac{{\ln b}}{{\ln a}} = \dfrac{{\lg b}}{{\lg a}} = \dfrac{{{\text{lb}}(b)}}{{{\text{lb}}(a)}}\)
Beispiel:
\({}^2\log16 = x;\)
... folgende Umrechnung vereinfacht die Berechnung, sollte man keinen modernen Taschenrechner zur Hand haben:
\(x = \dfrac{{\ln 16}}{{\ln 2}} = \dfrac{{\lg 16}}{{\lg 2}} = \dfrac{{lb\left( {16} \right)}}{{lb\left( 2 \right)}} = 4\)
Natürlicher Logarithmus
Der natürliche Logarithmus hat die eulersche Zahl e=2,71828 als Basis.
Der Logarithmus naturalis ln(x) ist die Umkehrfunktion der eulerschen Funktion ex. Beide Funktionen kommt in den Ingenieurwissenschaften auf Grund der Eulerschen Formel zentrale Bedeutung zu.
\({e^{j\varphi }} = \cos \left( \varphi \right) + i \cdot \sin \left( \varphi \right)\)
Die eulersche Formel stellt das Bindeglied zwischen den komplexen Zahlen und den Winkelfunktionen her, indem sie für einen vorgegebenen Winkel \(\varphi \) eine Verknüpfung herstellt zwischen der Exponentialfunktion e mit dem imaginären Exponenten j einerseits und mit den trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus andererseits.
\(\eqalign{ & {\text{Basis = e: }}{\log _e}\left( b \right) = \ln \left( b \right) \cr & {D_f} = {{\Bbb R}^ + } \cr & {W_f} = {\Bbb R} \cr & \ln \left( 0 \right){}...{\text {nicht definiert}} \cr & {\text{ln}}\left( 1 \right) = 0 \cr & \ln (e) = 1 \cr} \)
Dekadischer Logarithmus
Der dekadische Logarithmus hat die Zahl 10 als Basis und da wir mit einem 10-er System rechnen, wurde er früher bevorzugt durch umfangreiche Logarithmentafeln unterstützt.
\({\text{Basis = 10: }}{}^{10}\log b = \lg b\)
Es ist zweckmäßig für die Basis b=10 zu wählen, denn dann kann man Logarithmen mit beliebiger Basis leicht berechnen.
\({}^b\log x = {}^a\log x \cdot {}^b\log a\,\, \Leftrightarrow \,\,{}^a\log x = \dfrac{{{}^b\log x}}{{{}^b\log a}}\)
Wichtige Werte:
\(\eqalign{ & {\log _{10}}\left( 1 \right) = 0 \cr & {\log _{10}}\left( {10} \right) = 1 \cr & {\log _{10}}\left( {100} \right) = 2 \cr & {\log _{10}}\left( {1.000} \right) = 3 \cr} \)
Zusammenhang dekadischer Logarithmus und natürlicher Logarithmus
Bei der Umrechnung vom dekadischen auf den natürlichen Logarithmus erfolgt ein Wechsel der Basis von 10 auf e=2,718
\({}^a\log x = \dfrac{{\ln x}}{{\ln a}}\)
Binärer Logarithmus
Der binäre Logarithmus hat die Zahl 2 als Basis.
\({\rm{Basis = 2: }}{{\rm{\;}}^2}\log b = {\rm{lb}}\left( b \right)\)
In der Informatik werden Daten in Form von Binärzahlen dargestellt, wobei jedes Bit entweder den Wert 0 oder 1 annehmen kann. Der binäre Logarithmus wird verwendet, um die Anzahl der Bits zu bestimmen, die benötigt werden, um einen bestimmten maximalen dezimalen Zahlenbereich binär darzustellen. Zum Beispiel benötigt die Darstellung vom dezimalen Zahlenbereich 0 .. 255, also 256 verschiedene Zustände, 8 Bit.
Beipiel
\({\text{lb}}(256) = 8\)
Logarithmentafeln
Logarithmentafeln waren vor der Verbreitung von Computer Algebra Systemen (CAS) ein wichtiges Werkzeug der Mathematik und der Naturwissenschaften. Dabei handelt es sich um vorab berechnete Tabellen, welche die Werte von Logarithmen, vorzugsweise von dekadischen oder natürlichen Logarithmen, für verschiedene Zahlen enthalten.
Indem man in diesen Tabellen den Wert von x sucht, kann man den entsprechenden Logarithmus lg(x) bzw. ln(x) ablesen und umgekehrt.
Beispiel: Führe 81*243 auf eine Addition zurück und berechne unter Verwendung einer Logarithmentafel
\(\eqalign{ & x = 81 \cdot 243\,\,\,\left| {\log } \right. \cr & \log x = \log \left( {81 \cdot 243} \right) = \log \left( {81} \right) + \log \left( {243} \right) \cr & \cr & {\text{Blick in die Logarithmustafel liefert:}} \cr & \log \left( {81} \right) \approx 4,394449 \cr & \log \left( {243} \right) \approx 5,493061 \cr & \cr & \log x \approx 4,394449 + 5,493061 \approx 9,88751 \cr & \cr & {\text{Blick in die Logarithmustafel liefert:}} \cr & {\text{9}}{\text{,88751 = log(19683) = log(x)}} \cr & \cr & {\text{x = 19683}} \cr} \)
Logarithmen erleichterten komplexe Berechnungen, insbesondere bei Multiplikationen, Divisionen, Potenzierung und beim Wurzelziehen, so wie sie in der Astronomie und der Navigation häufig vorkommen. Heute erledigen CAS diese Aufgabe.
Logarithmische Skala
Logarithmische Skalen werden verwendet, wenn der Wertebereich der darzustellenden Größe viele Zehnerpotenzen umfasst. Auf einer logarithmischen Skala werden Werte, die sich in gleichen Zeiträumen verzehnfachen als Gerade dargestellt. Kleine Werte sind genauer ablesbar als große Werte.
Dabei ergibt 10 hoch dem dekadischen Wert den entsprechenden logarithmischen Wert.
\(\begin{gathered} {10^0} = 1 \hfill \\ {10^1} = 10 \hfill \\ {10^2} = 100 \hfill \\ ... \hfill \\ {10^7} = 10.000.000 \hfill \\ \end{gathered} \)
Beispiele für logarithmische Skalen:
- Lautstärken misst man in Dezibel, wobei der leiseste hörbare Ton mit 0dB definiert ist. Ein 10-mal größerer Schalldruck ist mit 10dB definiert und ein 100-mal größerer Schalldruck ist mit 20 dB definiert....
- Das Spektrum elektromagnetischer Wellen reicht von 100 Hz bis 1023 Hz.
- Aktienkurse, die alle 10 Jahre ihren Wert verzehnfachen, haben einen linear verlaufenden Graph, wenn die Zeitachse linear und die Werteachse logarithmisch beschriftet ist.
- Potenzfunktionen werden als Gerade dargestellt, wenn sowohl die x- als auch die y-Achse logarithmisch beschriftet sind.
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Rechenregeln für's Wurzelziehen
Wurzelrechnung geht vor Punktrechnung geht vor Strichrechnung
- \(\root n \of a = b \Leftrightarrow a = {b^n}\)
- \(\root n \of 0 = 0\)
- \(\root n \of 1 = 1\)
- \(\root 1 \of a = a\)
- \(\root 2 \of a = \sqrt a \)
Wurzel mit negativem Radikand
Wurzeln mit negativem Radikand kann man nur im Bereich der komplexen Zahlen lösen, dazu wird die imaginäre Einheit i definiert.
- \(\sqrt { - 1} = i\)
Addition bzw. Subtraktion bei gleichen Radikanden und gleichem Wurzelexponent
Zwei Wurzeln mit gleichen Radikanden a und gleichen Wurzelexponenten n werden addiert, indem man ihre Koeffizienten r, s heraushebt und diese Summe (r+s) mit der Wurzel multipliziert.
Zwei Wurzeln mit gleichen Radikanden a und gleichen Wurzelexponenten n werden addiert bzw. subtrahiert, indem man ihre Koeffizienten r, s heraushebt und die Summe (r+s) bzw. Differenz (r-s) bildet und diese mit der n-ten Wurzel aus a multipliziert.
\(r\root n \of a \pm s\root n \of a = \left( {r \pm s} \right) \cdot \root n \of a \)
Multiplikation von Wurzeln bei gleichen Wurzelexponenten
Man spricht von gleichnamigen Wurzeln, wenn deren Wurzelexponenten gleich sind. Die Multiplikation von Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten erfolgt in dem man die Wurzel aus dem Produkt der Radikanden zieht.
\(\root n \of a \cdot \root n \of b = \root n \of {a \cdot b}\)
mit
a, b | Radikanden |
n, m | Wurzelexponent |
Multiplikation von Wurzeln bei ungleichen Wurzelexponenten
Man spricht von ungleichnamigen Wurzeln, wenn deren Wurzelexponenten ungleich sind. Die Multiplikation von Wurzeln mit ungleichem Wurzelexponenten erfolgt, in dem man die Wurzelexponenten auf das kgV (keinste gemeinsame Vielfache) umrechnet und dann die Wurzel aus dem Produkt der Radikanden zieht. In Zeiten von Technologieeinsatz stören einen "unnötig" hohe Wurzelexponenten nicht mehr, dann geht es noch einfacher:
\(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[m]{b} = \sqrt[{n \cdot m}]{{{a^m}}} \cdot \sqrt[{m \cdot n}]{{{b^n}}} = \sqrt[{n \cdot m}]{{{a^m} \cdot {b^n}}}\)
Division von Wurzeln bei gleichen Wurzelexponenten
Man spricht von gleichnamigen Wurzeln, wenn deren Wurzelexponenten gleich sind. Die Division von Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten erfolgt in dem man die Wurzel aus dem Quotienten der Radikanden zieht.
\(\dfrac{{\root n \of a }}{{\root n \of b }} = \root n \of {\dfrac{a}{b}} \)
Division von Wurzeln bei ungleichen Wurzelexponenten
Man spricht von ungleichnamigen Wurzeln, wenn deren Wurzelexponenten ungleich sind. Die Division von Wurzeln mit ungleichem Wurzelexponenten erfolgt, in dem man die Wurzelexponenten auf das kgV (keinste gemeinsame Vielfache) umrechnet und dann die Wurzel aus dem Quotient der Radikanden zieht. In Zeiten von Technologieeinsatz stören einen "unnötig" hohe Wurzelexponenten nicht mehr, dann geht es noch einfacher:
\(\dfrac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[m]{b}}} = \dfrac{{\sqrt[{n \cdot m}]{{{a^m}}}}}{{\sqrt[{m \cdot n}]{{{b^n}}}}} = \sqrt[{n \cdot m}]{{\dfrac{{{a^m}}}{{{b^n}}}}}\)
Potenzieren von Wurzeln
Wurzeln werden potenziert, indem man den Radikanden potenziert und anschließend radiziert. Alternativ kann man aber auch zuerst radizieren und dann potenzieren.
\({\left( {\root n \of a } \right)^m} = \root n \of {{a^m}} \)
Radizieren von Wurzeln
Man radiziert eine Wurzel, d.h. man zieht die Wurzel von einer Wurzel, indem man die Wurzelexponenten multipliziert
\(\root n \of {\root m \of a } = \root {n.m} \of a \)
Umformen von Wurzeln in Potenzen
Wurzeln lassen sich sehr einfach in Potenzen umwandeln. Aus dem Radikand der Wurzel wird die Basis der Potenz, deren Exponent der Bruch "1 durch Wurzelexponent" ist.
\(\eqalign{ & \root n \of a = {a^{\left( {\dfrac{1}{n}} \right)}} \cr & \dfrac{1}{{\root n \of a }} = {a^{\left( { - \,\,\,\dfrac{1}{n}} \right)}} \cr & \root n \of {{a^k}} = {a^{\left( {\dfrac{k}{n}} \right)}} \cr & \cr & \root n \of {{a^k}} = \root {n.m} \of {{a^{k.m}}} \cr} \)
Anmerkung: Die Klammern bei den Exponenten werden nur geschrieben um die Lesbarkeit im Webbrowser zu verbessern. Sie sind natürlich nicht falsch, aber unnötig.
Logarithmen - Rechenregeln
Vorab eine Mindmap zu den Inhalten dieser Mikro-Lerneinheit
Grundlegende Rechenregeln für Logarithmen
\(\eqalign{ & {\log _a}b = x \Leftrightarrow {a^x} = b \cr & {\log _a}1 = 0 \cr & {\log _a}a = 1 \cr & {\log _a}\frac{1}{a} = - 1 \cr & {\log _a}{a^n} = n \cr & {\log _a}{a^x} = x \cr & {a^{{t_1}}} = {a^{{t_2}}} \Leftrightarrow {t_1} = {t_2}{\text{ für a > 0 und a}} \ne {\text{1}} \cr} \)
Bei der Verwendung von Taschenrechnern ist folgender Zusammenhang sehr nützlich, da er eine Möglichkeit bietet, allgemeine Logarithmen mit Hilfe der auf jedem Taschenrechner vorhandenen natürlichen Logarithmen zu berechnen:
\(x = {\log _a}\left( b \right) = \dfrac{{\ln \left( b \right)}}{{\ln \left( a \right)}}\)
Die Rechenregeln für Logarithmen erlauben es, den "Grad einer Rechenoperation" zu "erniedrigen".
- Aus Potenzieren und Radizieren wird Multiplikation und Division.
- Aus Multiplikation bzw. Division werden Addition bzw. Subtraktion.
Dies war vor der Erfindung vom Taschenrechner vor allem in der Astronomie und der Seefahrt von so großer Bedeutung, dass Mathematiker ihr ganzes Berufsleben damit verbrachten Logarithmustabellen zu erstellen, um es den Astronomen und Navigatoren zu ermöglichen, einfache Multiplikationen oder Divisionen statt aufwendig Potenzen bzw. Wurzeln zu berechnen. Noch heute löst man Exponentialgleichungen, indem man beide Seiten der Gleichung logarithmiert.
- Multiplikation → Addition:
\({\log _a}\left( {u \cdot v} \right) = {\log _a}\left( u \right) + {\log _a}\left( v \right)\) - Division → Subtraktion:
\({\log _a}\dfrac{u}{v} = {\log _a}\left( u \right) - {\log _a}\left( v \right)\) - Potenzieren → Multiplikation:
\({\log _a}\left( {{u^r}} \right) = r \cdot {\log _a}\left( u \right)\) - Wurzelziehen → Division:
\({\log _a}\left( {\root r \of u } \right) = \dfrac{1}{r} \cdot {\log _a}\left( u \right)\)
Logarithmus eines Produkts
Der Logarithmus eines Produkts, ist gleich der Summe der Logarithmen seiner Faktoren. Rechnet man mit Logarithmen führt man eine Multiplikation auf eine wesentlich einfachere Addition zurück.
\({\log _a}\left( {u \cdot v} \right) = {\log _a}\left( u \right) + {\log _a}\left( v \right)\)
Logarithmus eines Quotienten
Der Logarithmus eines Quotienten, ist gleich der Differenz der Logarithmen seines Dividenden und seines Divisors. Rechnet man mit Logarithmen führt man eine Division auf eine wesentlich einfachere Subtraktion zurück.
\({\log _a}\left( {\dfrac{u}{v}} \right) = - {\log _a}\left( {\dfrac{v}{u}} \right) = {\log _a}\left( u \right) - {\log _a}\left( v \right)\)
Logarithmus einer Potenz
Der Logarithmus einer Potenz, ist gleich dem Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus seiner Basis. Rechnet man mit Logarithmen führt man das Potenzieren von ur auf eine wesentlich einfachere Multiplikation zurück.
\({\log _a}\left( {{u^r}} \right) = r \cdot {\log _a}\left( u \right)\)
Logarithmus einer Wurzel
Der Logarithmus einer Wurzel, ist gleich dem Quotienten aus dem Logarithmen seines Radikanden und aus dem Wert des Wurzelexponenten. Rechnet man mit Logarithmen führt man das Wurzelziehen auf eine wesentlich einfachere Division zurück
\({\log _a}\left( {\root n \of u } \right) = \dfrac{{{{\log }_a}\left( u \right)}}{n}\)
Logarithmus dessen Basis ein Quotient ist
Der Logarithmus dessen Basis ein Quotient ist, ist gleich dem mit -1 multiplizierten Logarithmus, dessen Basis der Kehrwert des Quotienten ist.
\({\log _{\dfrac{1}{a}}}\left( u \right) = - {\log _a}\left( u \right)\)
Zusammenhang zwischen e-Funktion und natürlichem Logarithmus
Der natürliche Logarithmus ln(x) ist die inverse Funktion zur e-Funktion. Das bedeutet, wenn man die e-Funktion und den natürlichen Logarithmus aufeinander anwendet, heben sie sich gegenseitig auf:
\({e^{\ln \left( x \right)}} = x = \ln \left( {{e^x}} \right)\)
Auf folgende Weise helfen Logarithmen bei der Lösung von Exponentialgleichungen
1. Beispiel zur Lösung von Exponentialgleichungen mit Hilfe von Logarithmen
Gegeben ist folgende Exponentialgleichung:
\({3^x} = 5\)
Berechne x
Lösungsweg
\({3^x} = 5\,\,\,\,\,\left| {{\text{beide Seiten logarithmieren}}} \right.\)
Die Basis kann frei gewählt werden, da die Rechenregeln für jede beliebige Basis gelten
\(\ln \left( {{3^x}} \right) = \ln \left( 5 \right)\)
mit: \({\log _a}\left( {{u^r}} \right) = r \cdot {\log _a}\left( u \right)\)
ergibt sich:
\(\eqalign{ & x \cdot \ln \left( 3 \right) = \ln \left( 5 \right)\,\,\,\,\,\left| {:\ln \left( 3 \right)} \right. \cr & x = \frac{{\ln \left( 5 \right)}}{{\ln \left( 3 \right)}} \approx 1,465 \cr} \)
2. Beispiel zur Lösung von Exponentialgleichungen mit Hilfe von Logarithmen
Gegeben ist folgende Exponentialgleichung:
\({3^{\left( {2x - 1} \right)}} = {10^x}\)
Berechne x
Lösungsweg:
\({3^{\left( {2x - 1} \right)}} = {10^x}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left| {{\text{beide}}} \right.{\text{ Seiten logarithmieren}}\)
Die Basis kann frei gewählt werden, da die Rechenregeln für jede beliebige Basis gelten
\({\text{ln}}\left( {{3^{\left( {2x - 1} \right)}}} \right) = \ln \left( {{{10}^x}} \right)\)
mit: \({\log _a}\left( {{u^r}} \right) = r \cdot {\log _a}\left( u \right)\)
ergibt sich:
\(\eqalign{ & \left( {2x - 1} \right) \cdot \ln \left( 3 \right) = x \cdot \ln \left( {10} \right) \cr & 2x \cdot \ln \left( 3 \right) - \ln \left( 3 \right) = x \cdot \ln \left( {10} \right) \cr} \)
Nun bringen wir alle Ausdrücke, welche die Variable x enthalten, auf die linke Seite der Gleichung, auf der rechten Seite der Gleichung verbleiben Zahlenwerte:
\(2x \cdot \ln \left( 3 \right) - x \cdot \ln \left( {10} \right) = \ln \left( 3 \right)\)
wir heben x heraus:
\(x \cdot \left[ {2 \cdot \ln \left( 3 \right) - \ln \left( {10} \right)} \right] = \ln \left( 3 \right)\)
und machen x explizit:
\(x = \dfrac{{\ln \left( 3 \right)}}{{\left[ {2 \cdot \ln \left( 3 \right) - \ln \left( {10} \right)} \right]}} \approx - 10,4271\)
Probe:
Linke Seite der Gleichung: \({3^{\left( {2x - 1} \right)}} = {3^{\left( { - 2 \cdot 10,4271 - 1} \right)}} = 3,74024 \cdot {10^{ - 11}}\)
Rechte Seite der Gleichung: \({10^x} = {10^{ - 10,4271}} = 3,74024 \cdot {10^{ - 11}}\)
wzbw.
Determinante
Die Determinante det A ist ein Zahlenwert (ein Skalar), den man von quadratischen Matrizen (n,n) bilden kann. Für nicht-quadratische Matrizen sind Determinanten nicht definiert.
\(\det A = \left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right| = {a_{11}}.{a_{22}} - {a_{12}}.{a_{21}}\)
- Eine Determinante hat den Wert Null, wenn
- eine Zeile bzw. eine Spalte ausschließlich aus Nullen besteht
- zwei Zeilen bzw. zwei Spalten eine Linearkombination anderer Zeilen oder Spalten sind, bzw. im einfachsten Fall ident sind
- Vertauscht man 2 benachbarte Zeilen oder Spalten einer Determinante, so ändert sich das Vorzeichen vom Wert der Determinante
- Eine Matrix A und die zugehörige transponierte Matrix AT haben dieselbe Determinante \(\det A = \det {A^T}\)
- Die Cramer‘sche Regel (Determinantenmethode) ist ein Verfahren um Systeme von n-linearen Gleichungen mit n Variablen zu lösen. Mit ihrer Hilfe kann man auch feststellen, ob ein lineares Gleichungssystem überhaupt eindeutig lösbar ist, was nicht zwangsweise der Fall sein muss.
Determinante 2. Ordnung bzw. Determinante einer 2x2 Matrix
Die Determinante 2. Ordnung ist ein Zahlenwert (ein Skalar), den man von quadratischen 2x2 Matrizen bilden kann. Merkregel: "links oben mal rechts unten minus rechts oben mal links unten"
\(\begin{array}{l} {A_2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right| = \\ = {a_{11}}.{a_{22}} - {a_{12}}.{a_{21}} \end{array}\)
Determinante 3. Ordnung bzw. Determinante einer 3x3 Matrix - Regel von Sarrus
Die Determinante 3. Ordnung ist ein Zahlenwert (ein Skalar), den man von quadratischen 3x3 Matrizen bilden kann. Um den Zahlenwert der Determinante zu berechnen, bedient man sich der Regel von Sarrus
- Man schreibt die 1. und die 2. Spalte rechts neben der Determinante nochmals an
- Man bildet die 3 Summen der Produkte entlang der 3 Hauptdiagonalen (links oben nach rechts unten)
- Davon subtrahiert man die 3 Summen der Produkte entlang der 3 Nebendiagonalen(rechts oben nach links unten)
- Die Regel von Sarrus kann man nicht für Determinanten vom Grad >3 anwenden. Man muss dann den Laplace'schen Entwicklungssatz oder den Gauß Algorithmus anwenden.
\(\begin{array}{l} {A_3} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right|\begin{array}{*{20}{l}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}} \end{array} = \\ = {a_{11}}.{a_{22}}.{a_{33}} + {a_{12}}.{a_{23}}.{a_{31}} + {a_{13}}.{a_{21}}.{a_{32}} - \\ - \left( {{a_{13}}.{a_{22}}.{a_{31}} + {a_{11}}.{a_{23}}.{a_{32}} + {a_{12}}.{a_{21}}{a_{33}}} \right) \end{array}\)
Determinante n-ter Ordnung bzw. Determinante einer \(n \times n\) Matrix
Den Wert einer nxn Determinante kann man allgemein, also für jedes n, wie folgt berechnen:
\(\det A = \sum\limits_{k = 1}^n {{a_{ik}}} \cdot {\left( { - 1} \right)^{i + k}} \cdot \det {A_{ik}}\)
Ausgeschrieben sieht das dann am Beispiel einer 4x4 Matrix wie folgt aus:
\(\begin{array}{l} \det A = \sum\limits_{k = 1}^n {{a_{ik}}} \cdot {\left( { - 1} \right)^{i + k}} \cdot \det {A_{ik}}\\ A = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a&b&c&d\\ e&f&g&h\\ i&j&k&l\\ m&n&o&p \end{array}} \right| = \\ = a \cdot {\left( { - 1} \right)^{1 + 1}} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot &f&g&h\\ \cdot &j&k&l\\ \cdot &n&o&p \end{array}} \right| + b \cdot {\left( { - 1} \right)^{1 + 2}} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ e& \cdot &g&h\\ i& \cdot &k&l\\ m& \cdot &o&p \end{array}} \right| + c \cdot {\left( { - 1} \right)^{1 + 3}} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ e&f& \cdot &h\\ i&j& \cdot &l\\ m&n& \cdot &p \end{array}} \right| + d \cdot {\left( { - 1} \right)^{1 + 4}} \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ e&f&g& \cdot \\ i&j&k& \cdot \\ m&n&o& \cdot \end{array}} \right| = \\ = a \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} f&g&h\\ j&k&l\\ n&o&p \end{array}} \right| - b \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} e&g&h\\ i&k&l\\ m&o&p \end{array}} \right| + c \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} e&f&h\\ i&j&l\\ m&n&p \end{array}} \right| - d \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} e&f&g\\ i&j&k\\ m&n&o \end{array}} \right| \end{array}\)
Den Wert einer Determinante kann man auch mit Hilfe vom Laplace' scher Entwicklungssatz (für kleine n) oder mit Hilfe vom Gaußverfahren für Determinanten (für große n) berechnen:
Laplace' scher Entwicklungssatz für Determinanten (für kleine n)
Beim Laplace'schen Entwicklungssatz reduziert man schrittweise den Grad der zu berechnenden Determinante um 1, bis letztlich eine 3x3 Matrix übrig bleibt, die man gemäß der Regel von Sarrus berechnet. Man entwickelt dabei nach jener Zeile oder Spalte, welche die meisten Nullen enthält. Der Wert der Determinante ist natürlich unabhängig von der Auswahl der Zeile bzw. der Spalte nach der man entwickelt hat.
Entwicklung nach einer Zeile, wobei i ein beliebiger Zeilenindex ist, gemäß
\(\begin{array}{l} \det A = \sum\limits_{k = 1}^n {{a_{ik}}{{\left( { - 1} \right)}^{i + k}}} \det {A_{ik}} = \\ = \sum\limits_{k = 1}^n {{a_{ik}} \cdot {C_{ik}}} = \\ {a_{i1}} \cdot {C_{i1}} + {a_{i2}} \cdot {C_{i2}} + ... + {a_{in}} \cdot {C_{in}} \end{array}\)
Aik ist die um einen Grad reduzierte Matrix, die entsteht, wenn in der Matrix A die i-te Zeile und die k-te Spalte gestrichen wird.
Der Term \({\left( { - 1} \right)^{i + k}}\) sorgt für den zyklischen Vorzeichenwechsel. i ist ein beliebiger Zeilenindex und Aik ist die Matrix die entsteht, wenn man in der Matrix A die i-te Zeile und die k-te Spalte streicht.
Entwicklung nach einer Spalte, wobei j ein beliebiger Spaltenindes ist, gemäß
\(\begin{array}{l} \det A = \sum\limits_{l = 1}^n {{a_{lj}}{{\left( { - 1} \right)}^{l + j}}} \det {A_{lj}} = \\ = \sum\limits_{l = 1}^n {{a_{lj}} \cdot {C_{lj}} = } \\ = {a_{1j}} \cdot {C_{1j}} + {a_{2j}} \cdot {C_{2j}} + ... + {a_{nj}} \cdot {C_{nj}} \end{array}\)
Alj ist die um einen Grad reduzierte Matrix die entsteht, wenn in der Matrix A die l-te Zeile und die j-te Spalte gestrichen wird.
Cik bzw. Clj bezeichnet man als Co-Faktor, der sich wie folgt durch streichen der i-ten Zele und der j-ten Spalte berechnet
\({C_{ij}} = {\left( { - 1} \right)^{i + j}}\left| {\begin{array}{*{20}{l}} {{a_{11}}}&{...}&{{a_{a,j - 1}}}&{streichen}&{{a_{1,j + 1}}}&{...}&{{a_{1n}}}\\ {{a_{21}}}&{...}&{{a_{2,j - 1}}}&{streichen}&{{a_{2,j + 1}}}&{...}&{}\\ {...}&{...}&{...}&{streichen}&{}&{...}&{}\\ {streichen}&{streichen}&{streichen}&{streichen}&{streichen}&{streichen}&{}\\ {...}&{...}&{...}&{streichen}&{...}&{...}&{...}\\ {{a_{n1}}}&{}&{{a_{n,j - 1}}}&{streichen}&{{a_{n,j + 1}}}&{...}&{{a_{nn}}} \end{array}} \right|\)
Gaußverfahren für Determinanten (für große n)
Erklärung folgt zu einem späteren Zeitpunkt
Lineares Gleichungssystem mit 2 Variablen
Jede lineare Gleichung lässt sich als Gerade vom Typ \(y = k \cdot x + d\) darstellen. Da die Gleichungen linear sind, kommen nur Potenzen 1. Grades vor, also keine Quadrate oder höhere Potenzen.
Lineare Gleichungssysteme (LGS) in zwei Variablen bedeutet, dass zwei lineare Gleichungen vorliegen, die sich jeweils als Gerade darstellen lassen. Zur Lösung eines linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen sind daher zwei Gleichungen erforderlich. Gibt es für ein lineares Gleichungssystem in zwei Variablen nur 1 Gleichung, ist das Gleichungssystem unterbestimmt, gibt es mehr als 2 Gleichungen, so ist das Gleichungssystem überbestimmt.
Ein sinnvoll lösbares LGS in zwei Variablen wird immer aus 2 Gleichungen bestehen, für die es folgende 3 Lösungsmöglichkeiten gibt: unendlich viele Lösungen, eine Lösung oder keine Lösung.
\(\matrix{ {{a_1} \cdot x} & { + {b_1}.y} & { = {c_1}} \cr {{a_2} \cdot x} & { + {b_2}.y} & { = {c_2}} \cr } \left| {\matrix{ {{\rm{Gl}}{\rm{.1}}} \cr {{\rm{Gl}}{\rm{.2}}} \cr } } \right.\)
wobei:
x, y | Variablen |
\({a_i},\,\,{b_i},\,\,{c_i}\,\, \in {\Bbb R}\) | Koeffizienten |
Grafische Lösung linearer Gleichungssysteme
Jeder der beiden linearen Gleichungen entspricht eine Gerade. Bei 2 Gleichungen liegen also 2 Geraden vor.
Da jede der beiden Geraden durch 2 Variable beschrieben wird, liegen entsprechend auch nur 2 Dimensionen x, y vor, also liegen die beiden Geraden in einer xy-Ebene, und nicht etwa im dreidimensionalen Raum. Wir müssen daher 3 Fälle unterscheiden:
- Fall 1: Zwei deckungsgleiche Gerade: Sind die Geraden ident, so gibt es unendlich viele Lösungen für das lineare Gleichungssystem.
- Fall 2: Zwei parallele Gerade: Es gibt es keinen Schnittpunkt, und somit auch keine Lösung des linearen Gleichungssystems.
- Fall 3: Zwei schneidende Gerade: Es gibt einen Schnittpunkt S, dessen Koordinaten xS, yS stellen die einzige Lösung für x, y des linearen Gleichungssystems dar.
\(\begin{array}{*{20}{c}} {I:}&{{a_1}x}& + &{{b_1}y}& = &{{c_1}}\\ {II}&{{a_2}x}& + &{{b_2}y}& = &{{c_2}} \end{array}\) | \(\begin{array}{l} {k_i} = - \dfrac{{{a_i}}}{{{b_i}}}\\ {d_i} = \dfrac{{{c_i}}}{{{b_i}}} \end{array}\) | \(\begin{array}{l} y = {k_1}x + {d_1}\\ y = {k_2}x + {d_2} \end{array}\) | |
implizite Darstellung | Umrechnung | explizite Darstellung | |
Fall 1 | \(\begin{array}{l} {a_1} \cdot C = {a_2}\\ {b_1} \cdot C = {b_2}\\ {c_1} \cdot C = {c_2} \end{array}\) | \(\begin{array}{l} {k_1} = {k_2}\\ {d_1} = {d_2} \end{array}\) | |
Fall 2 | \(\begin{array}{l} {a_1} \cdot C = {a_2}\\ {b_1} \cdot C = {b_2}\\ {c_1} \cdot C \ne {c_2} \end{array}\) | \(\begin{array}{l} {k_1} = {k_2}\\ {d_1} \ne {d_2} \end{array}\) | |
Fall 3 | \(\begin{array}{l} {a_1} \cdot C = {a_2}\\ {b_1} \cdot C \ne {b_2}\\ egal \end{array}\) | \(\begin{array}{l} {k_1} \ne {k_2}\\ egal \end{array}\) |
Eliminationsverfahren - Gleichsetzungsmethode
Beim Eliminationsverfahren bzw. Gleichsetzungsverfahren werden beide Gleichungen nach der selben Variablen (x) aufgelöst. Danach werden die erhaltenen Terme gleichgesetzt, wodurch die Variable (x) nach der explizit gemacht wurde, verschwindet und nur mehr eine Gleichung in der verbleibenden Variablen (y) überbleibt.
\(\matrix{ {{a_1} \cdot x} & { + {b_1} \cdot y} & { = {c_1}} \cr {{a_2} \cdot x} & { + {b_2} \cdot y} & { = {c_2}} \cr } \left| {\matrix{ {{\rm{Gl}}{\rm{.1}}} \cr {{\rm{Gl}}{\rm{.2}}} \cr } } \right.\)
\(\eqalign{ & {\text{Gl}}{\text{.1:}}{a_1} \cdot x + {b_1} \cdot y = {c_1} \Rightarrow x = \dfrac{{{c_1} - {b_1} \cdot y}}{{{a_1}}} \cr & {\text{Gl}}{\text{.2:}}{a_2} \cdot x + {b_2} \cdot y = {c_2} \Rightarrow x = \dfrac{{{c_2} - {b_2} \cdot y}}{{{a_2}}}\cr}\)
Gleichsetzen: Gl. 1 = Gl. 2
\(\dfrac{{{c_1} - {b_1} \cdot y}}{{{a_1}}} = \dfrac{{{c_2} - {b_2} \cdot y}}{{{a_2}}}\)
Substitutionsverfahren - Einsetzungsmethode
Beim Substitutionsverfahren bzw. Einsetzverfahren wird eine der Gleichungen nach einer Variablen aufgelöst, d.h. diese Variable wird explizit gemacht. Der so entstandene Term wird in die andere Gleichung eingesetzt, wodurch diese Gleichung nur mehr eine Variable enthält und lösbar wird.
\(\matrix{ {{a_1} \cdot x} & { + {b_1} \cdot y} & { = {c_1}} \cr {{a_2} \cdot x} & { + {b_2} \cdot y} & { = {c_2}} \cr } \left| {\matrix{ {{\rm{Gl}}{\rm{.1}}} \cr {{\rm{Gl}}{\rm{.2}}} \cr } } \right.\)
\({\text{Gl}}{\text{. 1: }}{a_1} \cdot x + {b_1} \cdot y = {c_1} \Rightarrow x = \dfrac{{{c_1} - {b_1} \cdot y}}{{{a_1}}}\)
x aus Gl. 1 in Gl. 2 einsetzen:
\({\text{Gl}}{\text{. 2: }}{a_2} \cdot x + {b_2} \cdot y = {c_2} \Rightarrow {a_2} \cdot \dfrac{{{c_1} - {b_1} \cdot y}}{{{a_1}}} + {b_2} \cdot y = {c_2}\)
Additionsverfahren - Methode gleicher Koeffizienten
Beim Additionsverfahren bzw. beim Verfahren gleicher Koeffizienten werden durch äquivalentes Umformen die Koeffizienten einer Variablen bis auf entgegengesetzte Vorzeichen gleich gemacht. Danach werden die Gleichungen addiert, wodurch die Variable wegfällt, deren Koeffizienten man zuvor gleich gemacht hat. Was bleibt ist eine Gleichung in einer Variablen, die man dadurch löst, dass man die verbliebene Variable explizit macht.
\(\eqalign{ & Gl.1:{a_1} \cdot x + {b_1} \cdot y = {c_1}\,\,\left| {{\lambda _1}} \right. \cr & Gl.2:{a_2} \cdot x + {b_2} \cdot y = {c_2}\,\,\left| {{\lambda _2}} \right. \cr}\)
\({\lambda _1},{\lambda _2}{\text{ so wählen}}{\text{, dass }}{\lambda _1} \cdot {b_1} = \pm {\lambda _2} \cdot {b_2}\)
\(\matrix{ {Gl.1} & {{\lambda _1} \cdot {a_1}.x} & { + {\lambda _1} \cdot {b_1} \cdot y} & { = {\lambda _1} \cdot {c_1}} \cr {Gl.2} & {{\lambda _2} \cdot {a_2} \cdot x} & { + {\lambda _2} \cdot {b_2} \cdot y} & { = {\lambda _2} \cdot {c_2}} \cr {Gl.1\,\, \mp Gl.2.} & {{\lambda _1} \cdot {a_1} \cdot x} & { \mp {\lambda _2} \cdot {a_2} \cdot x} & { = {\lambda _1} \cdot {c_1} \mp {\lambda _2} \cdot {c_2}} \cr }\)
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Cramersche Regel
Die cramersche Regel (Determinantenmethode) ist ein Verfahren, um Systeme von n-linearen Gleichungen mit n Variablen zu lösen bzw. um herauszufinden, dass es nicht eindeutig lösbar ist.
Rechnerische Lösung linearer Gleichungssysteme für n=2 Variable gemäß cramerscher Regel
\(\matrix{ {{a_1} \cdot x} & { + {b_1} \cdot y} & { = {c_1}} \cr {{a_2} \cdot x} & { + {b_2} \cdot y} & { = {c_2}} \cr } \left| {\matrix{ {{\rm{Gl}}{\rm{.1}}} \cr {{\rm{Gl}}{\rm{.2}}} \cr } } \right.\)
\(\eqalign{ & x = \dfrac{{{c_1}{b_2} - {c_2}{b_1}}}{{{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}}}; \cr & y = \dfrac{{{a_1}{c_2} - {a_2}{c_1}}}{{{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}}}; \cr} \)
wobei:
\(\left( {{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right) \ne 0;\)
Rechnerische Lösung linearer Gleichungssysteme für n=3 Variable gemäß cramerscher Regel bzw. Determinantenmethode
Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme, bei dem man das gegebene Gleichungssystem in Form einer Koeffizienten Matrix anschreibt und anschließend je Variable zwei Determinanten löst.
\(\eqalign{ & {a_1}.x + {b_1}.y + {c_1}.z = {d_1} \cr & {a_2}.x + {b_2}.y + {c_2}.z = {d_2} \cr & {a_3}.x + {b_3}.y + {c_3}.z = {d_3} \cr}\)
\(x = \dfrac{{{D_x}}}{D} = \dfrac{{\left| {\begin{array}{*{20}{l}} {{d_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{d_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {{d_2}}&{{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right|}}{D};\)
\(y = \dfrac{{{D_y}}}{D} = \dfrac{{\left| {\begin{array}{*{20}{l}} {{a_1}}&{{d_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{d_2}}&{{c_2}}\\ {{a_2}}&{{d_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right|}}{D}\)
\(z = \dfrac{{{D_z}}}{D} = \dfrac{{\left| {\begin{array}{*{20}{l}} {{a_1}}&{{b_1}}&{{d_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{d_2}}\\ {{a_2}}&{{b_3}}&{{d_3}} \end{array}} \right|}}{D};\)
\(D = \left| {\begin{array}{*{20}{l}} {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right|;\)
Quadratischen Gleichung mit einer Variablen
In dieser Mikro-Lerneinheit lernst du mehrere Methoden, wie man quadratische Gleichungen lösen kann. Wir werden die allgemeine quadratische Gleichung mittels der abc-Formel (große Lösungsformel) und die normierte quadratische Gleichung mittels der pq-Formel (kleine Lösungsformel) lösen. Mit Hilfe der Diskriminante erkennst du, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung hat und welcher Zahlenmenge die Lösungen angehört.
Gleichung 2. Grades
Eine allgemeine quadratische Gleichung in einer Variablen besteht aus einem quadratischen, einem linearen und einem konstanten Glied
\(a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0\)
Damit es sich auch wirklich um eine quadratische Gleichung handelt, muss a≠0 und es darf auch kein Term höherer als zur 2. Potenz vorkommen. Eventuell muss man die Null auf der rechten Seite vom Gleichheitszeichen durch Äquivalenzumformungen herbeiführen.
- Parameter a: mit zunehmenden a wird der Graph der Parabel immer steiler
- Parameter b: mit zunehmenden b verschiebt sich der Scheitelpunkt der Parabel entlang einer Geraden mit 45° Steigung vom Ursprung weg
- Parameter c: verschiebt den Graph der Parabel in Richtung der y-Achse
Lösung einer allgemeinen quadratischen Gleichung mittels abc-Formel
Die Lösung einer allgemeinen quadratischen Formel erfolgt mittels der abc-Formel. Die abc-Formel wird auch gerne "„Mitternachtsformel“
oder „große Lösungsformel“ genannt.
\(\eqalign{ & a{x^2} + bx + c = 0 \cr & {x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \cr & D = {b^2} - 4ac \cr}\)
Man erhält 2 Lösungen, die Lösung für x1 ergibt sich, wenn man vor der Wurzel das "+" rechnet, die Lösung für x2 ergibt sich, wenn man vor der Wurzel das "-" rechnet.
Quadratische Gleichung in Normalform
Bei einer quadratischen Gleichung in Normalform ist der Koeffizient vor dem quadratischen Glied eine "1". Darüber hinaus gibt es noch ein lineares und ein konstantes Glied
\({x^2} + px + q = 0\)
Normierte quadratische Gleichung
Man kann die allgemeine quadratische Gleichung in eine quadratische Gleichung in Normalform durch Division der Gleichung durch a, also dem Koeffizienten im quadratischen Glied, wie folgt umrechnen bzw. normieren
\(\eqalign{ & a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0\,\,\,\,\,\left| {:a} \right. \cr & {x^2} + \frac{b}{a} \cdot x + \frac{c}{a} = 0 \cr & {x^2} + p \cdot x + q = 0 \cr & {\text{mit}} \cr & {\text{p = }}\dfrac{b}{a};\,\,\,\,\,q = \dfrac{c}{a} \cr} \)
Lösung einer quadratischen Gleichung in Normalform mittels pq-Formel
Die Lösung einer quadratischen Gleichung in Normalform erfolgt mittels der pq Formel, auch "kleine Lösungsformel" genannt.
\(\eqalign{ & {x^2} + px + q = 0\, \cr & {x_{1,2}} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {{{\left( {\dfrac{p}{2}} \right)}^2} - q\,\,\,\,} \cr & D = {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2} - q \cr}\)
Der Satz von Vieta bietet eine Möglichkeit einer Probe, denn es muss gelten:
\(\eqalign{ & {x_1} + {x_2} = - p = - \dfrac{b}{a} \cr & {x_1} \cdot {x_2} = q = \dfrac{c}{a} \cr} \)
Anmerkung: Man kann jede quadratische Gleichung mit der abc Formel lösen. Ob es eine Vereinfachung bringt eine allgemeine quadratische Gleichung mittels Division durch a auf die Normalform zuzurechnen, um dann die etwas einfachere pq-Formel nützen zu können muss man individuell entscheiden. Im Zeitalter vom Taschenrechner, wird es sich wohl nicht auszahlen.
Rein quadratische Gleichung
Bei einer rein quadratischen Gleichung gibt es nur ein quadratisches und ein konstantes, aber kein lineares Glied.
\(a \cdot {x^2} + c = 0\)
Lösung einer rein quadratischen Gleichung mittels Äquivalenzumformung
Die Lösung einer rein quadratischen Gleichung erfolgt durch Äquivalenzumformung
\(\eqalign{ & a \cdot {x^2} + c = 0 \cr & {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - \dfrac{c}{a}} \cr & D = - \dfrac{c}{a} \cr} \)
Diskriminante
In allen drei Lösungen ist ein Wurzelausdruck enthalten. Den Wert unter dem Wurzelzeichen nennt man Diskriminante. Mit Hilfe der Diskriminanten erkennst du, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung hat und welcher Zahlenmenge die Lösungen angehören.
Quadratische Gleichungen haben, abhängig von der Diskriminante "D" drei mögliche Lösungsfälle.
1. Fall: D > 0 à 2 Lösungen in R, die zugrunde liegende Funktion hat 2 Nullstellen. Dh der Graph der Funktion schneidet 2-Mal die x-Achse
2. Fall: D = 0 à 1 (eigentlich 2 gleiche) Lösung in R, die zugrunde liegende Funktion hat 1 doppelte Nullstelle. Dh der Graph der Funktion berührt die x-Achse. \({x_1} = {x_2} = \dfrac{{ - b}}{{2a}}{\text{ bzw}}{\text{. }}{{\text{x}}_1} = {x_2} = - \dfrac{p}{2}\)
3. Fall: D < 0 à keine Lösung in R, aber 2 konjugiert komplexe Lösungen in C. Der Graph der zugrunde liegenden Funktion berührt oder schneidet die x-Achse nicht.
Illustration vom Zusammenhang zwischen Diskriminante und Anzahl der reellen Nullstellen
Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung
Im Bereich der komplexen Zahlen lassen sich nun auch jene quadratischen Gleichungen lösen, deren Diskriminante kleiner Null ist - d.h. deren Wert unter der Wurzel negativ ist. In diesem Fall gibt es 2 zu einander konjugiert komplexe Lösungen.
\(D < 0: \pm \sqrt { - D} = \pm \sqrt { - 1 \cdot D} = \pm \sqrt { - 1} \cdot \sqrt D = \pm i \cdot \sqrt D \)
→ Wir gehen im Kapitel über komplexe Zahlen auf das Thema näher ein.
Satz von Vieta
Der Satz von Vieta erlaubt es quadratische Gleichungen die als Polynom, also als Summe oder Differenz, gegeben sind in ein Produkt umzurechnen. Die sogenannte "faktorisierte" Darstellung hat den Vorteil, dass man die Lösungen der Gleichung, bzw. die Nullstellen der Funktion direkt ohne weiterer Rechnung ablesen kann
Satz von Vieta (Allgemeine Form)
Der Satz von Vieta für allgemeine quadratische Gleichungen mit einer Variablen macht eine Aussage über den Zusammenhang zwischen den Koeffizienten a, b und c und den Lösungen bzw. Nullstellen x1 und x2 der Gleichung
\(a{x^2} + bx + c = 0{\text{ mit: }}a,b,c \in {\Bbb R}\,\,\,\,\,a \ne 0\)
Die bekannten Koeffizienten a, b und c hängen mit den gesuchten Nullstellen wie folgt zusammen
\( - \dfrac{b}{a} = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\)
\(\dfrac{c}{a} = \left( {{x_1} \cdot {x_2}} \right)\)
Mit Hilfe dieser beiden Gleichungen kann man x1 und x2 einfach ausrechnen.
Satz von Vieta (Normalform)
Der Satz von Vieta für quadratischen Gleichung in Normalform mit einer Variablen macht eine Aussage über den Zusammenhang zwischen den Koeffizienten p und q und den Lösungen bzw. Nullstellen x1 und x2 der zugrunde liegenden Funktion bzw. Gleichung.
\({x^2} + px + q = 0\,\,\,\,\,\,\,p,q\, \in \,{\Bbb R}\)
Die bekannten Koeffizienten p und q hängen mit den gesuchten Nullstellen wie folgt zusammen
\( - p = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\)
\(q = {x_1} \cdot {x_2}\)
Mit Hilfe dieser beiden Gleichungen kann man x1 und x2 einfach ausrechnen.
Faktorisieren
Beim Faktorisieren wird eine Summe in ein Produkt aus zwei oder mehr Faktoren umgewandelt. Enthalten alle Summanden eines Summen- bzw. Differenzenterms den gemeinsamen Faktor a, so kann man diesen herausheben.
\(a \cdot b \pm a \cdot c = a \cdot \left( {b \pm c} \right)\)
Zerlegung in Linearfaktoren für Polynome zweiten Grades
Unter Verwendung der mit Hilfe vom Satz von Vieta ermittelten Nullstellen x1 und x2 kann man die quadratische Gleichung nunmehr in Linearfaktoren zerlegt anschreiben.
\(a{x^2} + bx + c = a\left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right)\)
\({x^2} + px + q = \left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right)\)
Faktorisierte Darstellung einer (quadratischen) Gleichung
Bei der faktorisierten Darstellung einer Gleichung wird die Gleichung als Produkt dargestellt. Dabei sind die Nullstellen x1, x2 der zugrunde liegenden Funktion in den geklammerten Termen sofort ablesbar. Der Satz vom Nullprodukt besagt nämlich, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.
\(f\left( x \right) = a \cdot \left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right) \to L\left\{ {{x_1},{x_2}} \right\}{\text{ mit }}a \ne 0\)
Im Sonderfall einer doppelten Nullstelle sieht die Darstellung der Funktion wie folgt aus:
\(f\left( x \right) = a \cdot {\left( {x - {x_1}} \right)^2} \to L\left\{ {{x_1}} \right\}{\text{ mit }}a \ne 0\)
- Von der faktorisierten Darstellung gelangt man durch ausmultiplizieren zur allgemeinen Form.
- Von der allgemeinen Form gelangt man zur faktorisierten Form, indem man die Nullstellen der Gleichung ausrechnet und mit deren Hilfe dann die faktorisierte Form anschreibt.
Linearfaktorzerlegung für Polynome n-ten Grads
Bei der Linearfaktorzerlegung wird die Summendarstellung eines Polynoms n-ten Grades faktorisiert, also in eine Produktdarstellung umgerechnet.
\(\eqalign{ & {p_n}\left( x \right) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_2}{x^2} + {a_1}x + {a_0} = \cr & = {a_n} \cdot \left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right) \cdot ... \cdot \left( {x - {x_n}} \right) \cdot {\text{Restglied}} \cr} \)
→ Der Vorteil der Darstellung von Polynomen mit Hilfe von Linearfaktoren besteht darin, dass man die Nullstellen der zugrunde liegenden Funktionen bzw. die Lösungen der zugrunde liegenden Gleichungen direkt ablesen kann.
Die Vorgehensweise bei der Linearfaktorzerlegung ist folgende:
Wenn man alle Nullstellen xi bereits kennt, kann man die Linearfaktoren direkt anschreiben.
Wenn man die Nullstellen noch nicht kennt, versucht man eine Nullstelle x1 und somit den zugehörigen Linearfaktor (x-x1) zu erraten. Anschließend dividiert man das Ausgangspolynom pn durch den Linearfaktor. Das Restpolynom pn-1 hat sich gegenüber dem Ausgangspolynom um einen Grad erniedrigt und man kennt bereits einen Linearfaktor bzw. eine Nullstelle vom Ausgangspolynom.
\(\eqalign{ & {p_n}\left( x \right) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_2}{x^2} + {a_1}x + {a_0} = \cr & = \left( {x - {x_1}} \right) \cdot {p_{n - 1}}\left( x \right) \cr} \)
Nun versucht man vom Restpolynom pn-1 wieder eine Nullstelle x2 und somit den zugehörigen Linearfaktor (x-x2) zu erraten, usw. Irgendwann bleibt ein Restglied über, welches selbst keine Nullstelle besitzt.
Hornersche Regel zur Linearfaktorzerlegung
Die hornersche Regel funktioniert nur in jenen (seltenen) Spezialfällen wo die Gleichung „x hoch n“ MINUS „c hoch n“ lautet. Sie hilft dabei, den Grad vom Polynom um 1 zu reduzieren, wodurch man schon mal eine Nullstelle gefunden hat und der verbleibende Rest vom Polynom einfacher zu faktorisieren ist, um alle Nullstellen (Lösungen) zu erhalten.
\(\left( {{x^n} - {c^n}} \right) = \left( {x - c} \right) \cdot \left[ {{x^{n - 1}} \cdot 1 + {x^{n - 2}} \cdot {c^1} + {x^{n - 3}} \cdot {c^2} + ... + x \cdot {c^{n - 2}} + 1 \cdot {c^{n - 1}}} \right]\)
Horner'sches Schema zur Linearfaktorzerlegung
Beim hornerschen Schema handelt es sich um ein Umformungsverfahren um einfach die Nullstellen eines Polynoms zu finden. Dazu muss man versuchen, eine Nullstelle zu erraten.
Aufgaben
Aufgabe 62
Potenzieren von Potenzen
Vereinfache:
\(w = {\left( {\dfrac{{4{a^2}}}{{{b^3}}}} \right)^3}:{\left( {\dfrac{{4{a^3}}}{b}} \right)^4}\)
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Aufgabe 26
Potenzen komplexer Zahlen
Berechne:
\(w = {i^5} - {i^4} + {( - i)^3} - {i^2} + i - ( - i)\)
Aufgabe 63
Potenzieren von Potenzen
Vereinfache:
\(w = \dfrac{{{2^4} \cdot {4^2} \cdot {b^{ - 1}}}}{{5{a^2} \cdot {b^{ - 3}}}}:\dfrac{{{2^5} \cdot {a^{ - 2}} \cdot b \cdot {5^{ - 1}}}}{{{{16}^{ - 1}} \cdot {b^{ - 1}}}}\)
Aufgabe 27
Potenzen komplexer Zahlen
Berechne:
\(w = {\left( { - 2 + i} \right)^3}\)
Aufgabe 28
Potenzen komplexer Zahlen
Berechne:
\(w = {\left( {3 - 2i} \right)^3} + {\left( {2 + 3i} \right)^2} - \left( { - 3 - 23i} \right)\)
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Aufgabe 29
Potenzen komplexer Zahlen
Berechne:
\(w = {\left( {3 - 2i} \right)^3} + \left( {2 + 3i} \right) \cdot \left( { - 1 + 5i} \right) - \dfrac{{{{\left( {2 + i} \right)}^2}}}{{1 - 2i}}\)
Aufgabe 32
Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung
Gegeben sei nachfolgende quadratische Gleichung:
Berechne:
\(- 33{x^2} = 333\)
Aufgabe 83
Lösungen einer quadratischen Gleichung
Die Art der Lösungen einer quadratischen Gleichung hängt von deren Koeffizienten ab.
Aufgabenstellung:
Ergänze die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht.
Die quadratische Gleichung \( u{x^2} + vx + w = 0 \) hat genau dann für alle \(u \ne 0{\text{ und }}u,\,v,\,w\,\, \in {\Bbb R}\) ___1___, wenn gilt ___2___
1 | |
zwei reelle Lösungen | A |
zwei konjugiert komplexe Lösungen | B |
eine Doppellösung | C |
2 | |
\({v^2} - 4uw > 0\) | I |
\({u^2} - 4vw > 0\) | II |
\({w^2} - 4uv > 0\) | III |
Aufgabe 213
Rechnen mit Logarithmen
1. Teilaufgabe:
Berechne x
\({2^x} = \dfrac{1}{8}\)
2. Teilaufgabe:
\({2^x} = \sqrt[3]{4}\)
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Aufgabe 214
Rechnen mit Logarithmen
Berechne x mit Hilfe der Rechenregeln für Logarithmen. Rechne zudem die Probe.
1. Teilaufgabe
\({4^x} = 10\)
2. Teilaufgabe
\({\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} = 25\,\)
3. Teilaufgabe
Vereinfache, bis sich für x ein einfacher Bruchterm des Typen \(\dfrac{{\lg \left( a \right)}}{{\lg \left( b \right)}}\) ergibt
\({5^{2x - 1}} = 15\)
Aufgabe 250
Vielfache
Ergänze die Tabelle um die jeweils ersten zehn Vielfachen der gegebenen Zahl
3 | ||||||||||
7 | ||||||||||
20 | ||||||||||
25 | ||||||||||
99 |
Aufgabe 251
Teiler bzw. Primzahl
Ergänze die Tabelle um jene Zahlen, die Teiler der gegebenen Zahl sind. Markiere, ob die Zahl eine Primzahl ist oder ob nicht.
Zahl | 1. Teiler | 2. Teiler | 3. Teiler | 4. Teiler | 5. Teiler | 6. Teiler | Primzahl ? |
1 | nein | ||||||
2 | ja | ||||||
3 | ja | ||||||
4 | nein | ||||||
5 | ja | ||||||
6 | nein | ||||||
7 | ja | ||||||
8 | nein | ||||||
9 | nein | ||||||
10 | nen | ||||||
11 | ja | ||||||
12 | nein | ||||||
13 | ja | ||||||
14 | nein | ||||||
15 | nein |