Geometrie
Wissenswertes über: Geometrie ebener Figuren und von Körpern, Trigonometrie - Winkelfunktionen, Vektorrechnung in der Ebene und im Raum, Analytische lineare Geometrie: Punkt, Gerade und Ebene, 2 und 3-dimensional, Analytische nichtlineare Geometrie: Kreis und Kugel, Anayltische nichtlineare Geometrie: Kegelschnitte und Raumkurven.
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Rechteck
Ein Rechteck ist ein Viereck bei dem alle Innenwinkel rechte Winkel sind. Es ist ein Viereck mit gleich langen Diagonalen, die einander halbieren
- Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und parallel
- Sind sogar alle vier Seiten gleich lang, dann handelt es sich um ein Quadrat
- Alle 4 Innenwinkel sind rechte Winkel
- Die beiden Diagonalen sind gleich lang und halbieren einander
- Der Schnittpunkt der beiden Diagonalen M, ist der Umkreismittelpunkt und der Schwerpunkt
Umfang vom Rechteck
Der Umfang vom Rechteck entspricht der doppelten Summe der beiden Seitenlängen
\(U = a + b + a + b = 2 \cdot \left( {a + b} \right)\)
Winkelsumme im Rechteck
Jeder einzelne Winkel hat 90°. Die Summe der Innenwinkel eines Quadrats beträgt 360°.
\(\alpha + \beta + \gamma + \delta = 4 \cdot 90^\circ = 360^\circ \)
Flächeninhalt vom Rechteck
Die Fläche vom Rechteck entspricht dem Produkt der beiden Seitenlängen
\(A = a \cdot b\)
Länge der Diagonalen im Rechteck
Die Länge jeder der beiden Diagonalen im Rechteck entsrpicht der Wuzel aus der Summe der beiden quadrierten Seitenlängen
\(d = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
Umkreis vom Rechteck
Der Radius vom Umkreis eines Rechtecks entspricht der halben Diagonale. Der Mittelpunkt vom Umkreis liegt am Schnittpunkt der beiden Diagonalen und ist gleichzeitig der Schwerpunkt des Dreiecks.
\({r_U} = \dfrac{d}{2} = \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
Illustration vom Rechteck
Das "perfekte" Rechteck
Das perfekte Rechteck ist ein Rechteck, dessen Fläche man lückenlos und überdeckungslos mit Quadraten füllen kann. Das kleinste derartige Rechteck hat eine Seitenlänge von 32 bzw. 33 Einheiten. Die 9 eingeschriebenen Quadrate haben die Seitenlängen 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 und 18.
Das "goldene" Rechteck
Das goldene Rechteck ist ein Rechteck mit den beiden Seitenlängen a und a+b, die zueinander im Verhältnis vom goldenen Schnitt \(1:\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2} \approx 1:1,6180\) stehen. Gemäß dieser Bedingung ergibt sich wie folgt, wenn man a=1 setzt.
\(\eqalign{ & \Phi = \dfrac{a}{b} = \dfrac{{a + b}}{a} = \dfrac{{\left( {\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)}}{1} \approx \frac{{1,6180}}{1} \approx 1,6180 \cr & a = 1 \cr & a + b = 1,6180 \cr & b = 0,618 \cr} \)
Der goldene Schnitt entspricht einem Aufteilungsverhältnis einer Strecke von 61,8 zu 38,2 also von ca. 2/3 zu 1/3. Dieses Aufteilungsverhältnis kommt oft in der Natur vor und gilt in der Kunst als besonders harmonisch. Bildwichtige Elemente werden also nicht in der geometrischen Mitte eines Gemäldes, Gebäudes oder Fotos sondern entlang der Linie des goldenen Schnitts plaziert.
Das so entstandene kleinere Rechteck ist ein zweites goldenes Rechteck mit den beiden Seitenlängen b und a, da diese Seiten zueinander ebenfalls im im Verhältnis vom goldenen Schnitt stehen. Man kann dieses kleinere Rechteck b, a erneut in ein Quadrat und ein noch kleineres Rechteck teilen, und das immer fort.
Die Fibonacci Folge
Die Zahl Phi \(\Phi = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2} \approx 1,618\) vom goldenen Schnitt kann durch die Fibonacci Folge beliebig genau angenähert werden. Die Fibonacci Folge beginnt mit 0 und 1. Die folgenden Glieder ergeben sich immer als die Summe der beiden vorangehenden Glieder. So entsteht die unendliche Folge. Der Quotient zweier auf einander folgenden Zahlen nähert sich beliebig genau der Zahl Phi vom goldenen Schnitt an.
0 | |
1 | |
1=0+1 | \(\dfrac{1}{1} = 1\) |
2=1+1 | \(\dfrac{2}{1} = 2\) |
3=1+2 | \(\dfrac{3}{2} = 1,5\) |
5=2+3 | \(\dfrac{5}{3} = 1,\mathop 6\limits^ \bullet \) |
8=3+5 | \(\dfrac{8}{5} = 1,6\) |
13=5+8 | \(\dfrac{{13}}{8} = 1,625\) |
21=8+13 | \(\dfrac{{21}}{{13}} \approx 1,615\) |
34=13+21 | \(\dfrac{{34}}{{21}} \approx 1,619\) |
55=13+34 | \(\dfrac{{55}}{{34}} \approx 1,618 \approx \Phi \) |
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Geometrische Operationen mittels Vektorrechnung
Append Regel
Die Append Regel kommt dann zur Anwendung, wenn von einem Anfangspunkt ausgehend ein Vektor hinzugefügt (to append) werden soll und die Koordinaten vom Endpunkt des Vektors gesucht sind. Man spricht dabei von der Punkt-Vektor Form. Die Komponenten vom Ortsvektor des Endpunktes erhält man, indem man je Achsenrichtung die Komponenten des Anfangspunkts und jene des Vektors addiert.
\(Q = P + \overrightarrow v = P + \overrightarrow {PQ} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_x}}\\ {{P_y}} \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}}\\ {{v_y}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_x}}\\ {{Q_y}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_x} + {v_x}}\\ {{P_y} + {v_y}} \end{array}} \right)\)
Ein Punkt P plus ein Vektor v ergibt einen neuen Punkt Q
Normalvektor bzw. Orthogonalvektor & Rechts-Kipp-Regel bzw. Links Kipp Regel
In einem zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem kann es zweckmäßig sein, einen Vektor nach rechts bzw. nach links zu kippen, d.h. um \( \pm 90^\circ \) zu drehen. Der so gekippte Vektor steht dann senkrecht auf dem ursprünglichen Vektor, d.h. er wird zum Normalvektor, auch Orthogonalvektor genannt. Ein Beispiel dafür sind Höhenlinien oder Streckensymmetralen bei Dreiecken.
- Bei der Linkskippregel werden die Komponenten vertauscht und bei der oberen Komponente wird auch das Vorzeichen vertauscht.
- Bei der Rechtskippregel werden die Komponenten vertauscht und bei der unteren Komponente wird auch das Vorzeichen vertauscht.
\(\begin{array}{l} \overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_x}}\\ {{a_y}} \end{array}} \right)\\ {\overrightarrow n _{_{{\rm{links}}}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - {a_y}}\\ {{a_x}} \end{array}} \right){\rm{ bzw}}{\rm{. }}{\overrightarrow n _{_{rechts}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_y}}\\ { - {a_x}} \end{array}} \right) \end{array}\)
Projektionssatz
Der Projektionssatz ist eine geometrische Interpretation vom Skalarprodukt. Dabei wird ein Vektor \(\overrightarrow b\) in zwei Komponenten zerlegt. Die eine Komponente hat den selben Richtungsvektor wie der Vektor \(\overrightarrow a\), die andere Komponente liegt senkrecht dazu. Das skalare Produkt ist definiert als das Produkt der Länge der Projektion von \(\overrightarrow b\)auf \(\overrightarrow a\), also \(\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \varphi\) und der Länge von \(\overrightarrow a\) also \(\left| {\overrightarrow a } \right|\)
Normalprojektion eines Vektors auf einen anderen Vektor, Vektorprojektionsformel
In der Mechanik ist es oft zweckmäßig Kräfte in Komponenten zu zerlegen, wobei diese Komponenten nicht zwangsläufig parallel zu den Achsen des Koordinatensystems sein müssen. Dazu bedient man sich der Vektorprojektionsformel, wobei \(\left| {\overrightarrow {{b_a}} } \right|\) die Projektion \(\overrightarrow b \)von auf \(\overrightarrow a \) heißt.
- Die Projektion von \(\overrightarrow b\) auf \(\overrightarrow a\), ist der Betrag \(\left| {\overrightarrow {{b_a}} } \right|\), also eine reelle Zahl, die sich wie folgt ergibt:
\(\begin{array}{l} \left| {\overrightarrow {{b_a}} } \right| = \dfrac{{\overrightarrow a \circ \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|}} = \left| {\dfrac{{{a_x} \cdot {b_x} + {a_y} \cdot {b_y}}}{{\sqrt {{{\left( {{a_x}} \right)}^2} + {{\left( {{a_y}} \right)}^2}} }}} \right|\\ {\rm{wobei }}0^\circ \le \varphi \le 90^\circ \end{array}\)
- Die Längskomponente von Vektor b in Richtung vom Vektor a, das ist der Vektor \(\overrightarrow {{b_a}}\), ergibt sich zu
\(\overrightarrow {{b_a}} = \dfrac{{\overrightarrow a \circ \overrightarrow b }}{{{{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2}}} \cdot \overrightarrow a \)
Im Zähler vom Bruch steht das Skalarprodukt, also eine reelle Zahl, im Nenner vom Bruch steht das Quadrat vom Betrag, also ebenfalls eine reelle Zahl, womit der Bruch selbst ein Skalierungsfaktor für den Vektor \(\overrightarrow a\) ist. Das macht Sinn, denn es ist ja genau jener Anteil von \(\overrightarrow b\) gesucht, der in Richtung von \(\overrightarrow a\) wirkt.
Mittelpunkt einer Strecke bzw. Halbierungspunkt zwischen 2 Punkten
Den Mittelpunkt der Strecke von A nach B erhält man, indem man jeweils separat die x, y und z-Komponenten der beiden Punkte A, B addiert und anschließend durch 2 dividiert.
\(\begin{array}{l} A\left( {{A_x}\left| {{A_y}\left| {{A_z}} \right.} \right|} \right),\,\,\,\,\,B\left( {{B_x}\left| {{B_y}\left| {{B_z}} \right.} \right.} \right)\\ {H_{\overrightarrow {AB} }} = {M_{\overrightarrow {AB} }} = A + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \dfrac{1}{2} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_x} + {B_x}}\\ {{A_y} + {B_y}}\\ {{A_z} + {B_z}} \end{array}} \right)\\ {H_{AB}}\left( {\dfrac{{{A_x} + {B_x}}}{2}\left| {\dfrac{{{A_y} + {B_y}}}{2}\left| {\dfrac{{{A_z} + {B_z}}}{2}} \right.} \right.} \right) \end{array}\)
Teilungspunkt einer Strecke
Der Teilungspunkt T ist jener Punkt, der die Strecke von A nach B im Verhältnis λ teilt.
\(T = A + \lambda \cdot \overrightarrow {AB} = \left( {1 - \lambda } \right)A + \lambda B\)
Schwerunkt eines Dreiecks
Um die Koordinaten vom Schwerpunkt eines Dreiecks zu berechnen, dessen 3 Eckpunkte gegeben sind, addiert man jeweils für jeden der 3 Eckpunkte gesondert die x, y und z-Komponenten und dividiert anschließend die jeweilige Summe durch 3.
Gegeben sind drei Punkte im Raum
\(A\left( {{A_x}\left| {{A_y}\left| {{A_z}} \right.} \right|} \right),\,\,\,\,\,B\left( {{B_x}\left| {{B_y}\left| {{B_z}} \right.} \right.} \right),\,\,\,\,\,C\left( {{C_x}\left| {{C_y}\left| {{C_z}} \right.} \right.} \right)\)
für deren Schwerpunkt gilt
\(\overrightarrow {OS} = \dfrac{1}{3} \cdot \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\)
\(S = \dfrac{1}{3}\left( {A + B + C} \right) = \dfrac{1}{3} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_x} + {B_x} + {C_x}}\\ {{A_y} + {B_y} + {C_y}}\\ {{A_z} + {B_z} + {C_z}} \end{array}} \right)\)
\({S_{ABC}} = \left( {\dfrac{{{A_x} + {B_x} + {C_x}}}{3}\left| {\dfrac{{{A_y} + {B_y} + {C_y}}}{3}\left| {\dfrac{{{A_z} + {B_z} + {C_z}}}{3}} \right.} \right.} \right) \)
Flächeninhalt des von 2 Vektoren aufgespannten Parallelogramms
Das vektorielle Produkt zweier Vektoren ist ein dritter Vektor, der senkrecht auf der von den beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht und dessen Betrag der Fläche des durch die beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms entspricht.
\(\begin{array}{l} A = \left| {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right|\\ A = \left| {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_x}}&{{b_x}}\\ {{a_y}}&{{b_y}} \end{array}} \right)} \right| = \left| {{a_x} \cdot {b_y} - {b_x} \cdot {a_y}} \right| \end{array}\)
Flächeninhalt des von 2 Vektoren aufgespannten Dreiecks
Die Fläche des von 2 Vektoren aufgespannten Dreiecks entspricht dem halben Betrag vom Kreuzprodukt der beiden Vektoren. Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ist ein dritter Vektor, der senkrecht auf die von den beiden Vektoren aufgespannte Ebene steht und dessen Betrag der Fläche des durch die beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms entspricht. Die Fläche des aufgespannten Dreiecks ist genau die Hälfte der Fläche vom aufgespannten Parallelogramm.
\(\begin{array}{l} {A_\Delta } = \dfrac{1}{2} \cdot \left| {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right|\\ {A_\Delta } = \dfrac{1}{2}\left| {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_x}}&{{b_x}}\\ {{a_y}}&{{b_y}} \end{array}} \right)} \right| = \dfrac{1}{2}\left| {{a_x} \cdot {b_y} - {b_x} \cdot {a_y}} \right| \end{array}\)
Lagebeziehung zweier Punkte
Zwei Punkte im Raum können ident bzw. deckungsgleich sein, oder sie können einen Abstand von einander haben. Wenn sie nicht ident sind, kann man sie durch eine Gerade verbinden. Die Strecke PQ auf der Geraden g ist der kürzeste Abstand zwischen den beiden Punkten.
- \(\begin{array}{l} \left\{ {P,Q,R} \right\} \in g\\ d\left( {P,R} \right) = \left| {\overrightarrow {PR} } \right| = 0\\ d(P,Q) = \left| {\overrightarrow {PQ} } \right| \ne 0 \end{array}\)
Punkt in Koordinatenform
Punkte im Raum werden durch ihre Koordinaten oder ihren Ortsvektor angegeben.
\(P\left( \begin{array}{l} {P_x}\\ {P_y}\\ {P_z} \end{array} \right);\,\,\,Q\left( \begin{array}{l} {Q_x}\\ {Q_y}\\ {Q_z} \end{array} \right);\)
Punkt als Ortsvektor
Der Ortsvektor ist ein Vektor, der vom Ursprung des Koordinatensystems zum Ort des Punktes weist. Zu jedem Punkt gibt es exakt einen Ortsvektor.
\(\overrightarrow P = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_x}}\\ {{P_y}}\\ {{P_z}} \end{array}} \right);\,\,\,\,\,\overrightarrow Q = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_x}}\\ {{Q_y}}\\ {{Q_z}} \end{array}} \right);\)
Richtungsvektor von P nach Q
Der Richtungsvektor ist ein Vektor, der in die Richtung der Strecke vom ersten Punkt zum zweiten Punkt weist. Der Richtungsvektor hat seinen Anfang nicht im Ursprung des Koordinatensystems, sonder er ist die Verbindung zweier Ortsvektoren. Der Richtungsvektor definiert ledig die Richtung und die Orientierung der Verbindung der beiden Punkte, jedoch nicht den Abstand der beiden Punkte. D.h. ein Richtungsvektor kann mit einem Skalar multipliziert bzw. parallel verschoben werden, ohne dass sich etwas an seiner Aussagekraft ändert. Es gibt also unendlich viel Richtungsvektoren die von P nach Q weisen.
\(\overrightarrow {PQ} = \left( \begin{array}{l} {Q_x} - {P_x}\\ {Q_y} - {P_y}\\ {Q_z} - {P_z} \end{array} \right)\)
Parameterform der Geraden
Die Parameterform der Geraden setzt sich aus einem Aufpunkt zusammen und einem dort ansetzendem Richtungsvektor. Durch Parametervariation von \(\lambda \) erhält man alle Punkte X, die auf der Geraden g liegen
\(g:X = \left( \begin{array}{l} {P_x}\\ {P_y}\\ {P_z} \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{l} {Q_x} - {P_x}\\ {Q_y} - {P_y}\\ {Q_z} - {P_z} \end{array} \right)\)
Abstand d zweier Punkte
Der Abstand zweier Punkte im Raum kann mit Hilfe vom Satz des Pythagoras formuliert werden, als die Wurzel aus der Summe der quadrierten Abstände je Koordinatenachse.
\(d\left( {P,Q} \right) = \left| {\overrightarrow {PQ} } \right| = \sqrt {{{\left( {{Q_x} - {P_x}} \right)}^2} + {{\left( {{Q_y} - {P_y}} \right)}^2} + {{\left( {{Q_z} - {P_z}} \right)}^2}} \)
Gleichung der Hyperbel
Die Hyperbel ist die Menge aller Punkte X, die in einer Ebene liegen und für die die Differenz ihrer Abstände von den zwei festen Punkten F1 und F2 (Brennpunkte) den konstanten Wert 2a hat. Die Stecke F1X bzw. F2X nenne man Brennstrecke. Als Scheitelpunkte bezeichnet man jene zwei Punkte der Hyperbel, die am nächsten zum Mittelpunkt der Hyperbel liegen \(S_1\left( {a\left| 0 \right.} \right);\,\,\,\,\,{S_2}\left( { - a\left| 0 \right.} \right)\).
\(hyp:\left\{ {X \in {{\Bbb R}^2}\left| {\overline {X{F_1}} - \overline {X{F_2}} = 2a} \right.} \right\}\)
a | halbe Hauptachse |
b | halbe Nebenachse, b ist der y-Wert der Asymptote an der Stelle x=a |
F1, F2 | Brennpunkte |
e | lineare Exzentrizität |
Illustration der Einheitshyperbel
Bei der Einheitshyperbel gilt für die Halbachsenlängen: a=b=1. Daher liegen die Scheitelpunkte S1 bei \(\left( { - 1\left| 0 \right.} \right)\) bzw. S2 bei \(\left( {1\left| 0 \right.} \right)\) und die Brennpunkte F1 bei \(\left( { - \sqrt 2 \left| 0 \right.} \right)\) bzw. F2 bei \(\left( {\sqrt 2 \left| 0 \right.} \right)\). Die Asymptoten haben die Steigungen \(\dfrac{b}{a}{\text{ bzw}}{\text{. - }}\dfrac{b}{a}\). Die Illustration veranschaulicht auch den Zusammenhang zwischen a, b und e gemäß: \({b^2} = {e^2} - {a^2}\)
Hyperbel in 1. Hauptlage
Eine Hyperbel in 1. Hauptlage hat die beiden Brennpunkte auf der x-Achse, sie haben die Koordinaten \({F_1}\left( {e\left| 0 \right.} \right);\,\,\,\,\,{F_2}\left( { - e\left| 0 \right.} \right)\).
Normalform der Hyperbelgleichung in 1. Hauptlage
\({b^2}{x^2} - {a^2}{y^2} = {a^2}{b^2}\)
Abschnittsform der Hyperbel in 1. Hauptlage, Mittelpunktsgleichung
\(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Illustration einer Hyperbel in 1. Hauptlage
Hyperbel in 2. Hauptlage
Eine Hyperbel in 2. Hauptlage hat die beiden Brennpunkte auf der y-Achse.
Normalform der Hyperbelgleichung in 2. Hauptlage
\(- {a^2}{x^2} + {b^2}{y^2} = {a^2}{b^2}\)
Abschnittsform der Hyperbel in 2. Hauptlage
\(- \dfrac{{{x^2}}}{{{b^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{a^2}}} = 1\)
Lagebeziehung Punkt und Hyperbel
Ein Punkt kann bezüglich einer Hyperbel innerhalb, außerhalb oder auf der Hyperbel liegen
- P liegt innerhalb der Hyperbel:
\({b^2}{P_x}^2 - {a^2}{P_y}^2 < {a^2}{b^2}\) - P liegt auf der Hyperbel:
\({b^2}{P_x}^2 - {a^2}{P_y}^2 = {a^2}{b^2}\) - P liegt außerhalb der Hyperbel:
\({b^2}{P_x}^2 - {a^2}{P_y}^2 > {a^2}{b^2}\)
Lagebeziehung Gerade und Hyperbel
Bei der Lagebeziehung zwischen Gerade und Hyperbel interessieren speziell die Berührbedingung und die Tangente
Berührbedingung Gerade an Hyperbel
Die Berührbedingung der Hyperbel ergibt sich aus der halben Haupt- und Nebenachse der Hyperbel sowie aus der Steigung und dem Ordinatenabschnitt der Gerade. Kennt man drei Bestimmungsstücke, so kann man das vierte Bestimmungsstück ausrechnen.
\(\eqalign{ & g:y = kx + d \cr & hyp:{b^2}{x^2} - {a^2}{y^2} = {a^2}{b^2} \cr}\)
\({a^2}{k^2} - {b^2} = {d^2}\)
Spaltform der Tangentengleichung der Hyperbel
Indem man die Koordinaten vom Berührpunkt in die Hyperbelgleichung einsetzt, erhält man die allgemeine (implizite) Form der Tangente. Von der "Spaltform" spricht man, weil man die Quadrate aus der Definitionsgleichung der Hyperbel aufgespaltet hat in ein \({T_x} \cdot x\) bzw. \({T_y} \cdot y \).
\(\eqalign{ & T\left( {{T_x}\left| {{T_y}} \right.} \right){\text{ mit }}T \in k \cr & hyp:{b^2}{x^2} - {a^2}{y^2} = {a^2}{b^2} \cr} \)
\(t:{b^2} \cdot {T_x} \cdot x - {a^2} \cdot {T_y} \cdot y = {a^2}{b^2}\)
Arten von Winkel
Ein Winkel besteht aus einem Scheitel und aus zwei Schenkel. Zwei einander schneidende Geraden schließen zwei Winkel ein, einen innen und einen außenliegenden Winkel. Für Berechnungen wird zumeist der kleinere Winkel gewählt. Winkel werden bevorzugt mit griechischen Buchstaben bezeichnet und in Grad gemessen. Ein Grad ist der dreihundertsechzigste Teil eines Kreises. Konstruiert werden Winkel mit dem Geodreieck, dessen Nullpunkt auf dem Scheitel des Winkels und dessen Kante auf einem der beiden Schenkel des Winkels angelegt wird. Danach kann man den Winkel einzeichnen und den zweiten Schenkel zeichnen, oder wenn bereits beide Schenkel gegeben sind, die Weite des Winkels bestimmen.
- \(\alpha \) Alpha
- \(\beta \) Beta
- \(\gamma \) Gamma
- \(\delta \) Delta
Scheitel eines Winkels
Der Scheitel eines Winkels ist der Schnittpunkt zweier einander schneidender Geraden.
Schenkel eines Winkels
Die Schenkel eines Winkels sind zwei in einer Ebene liegende und einander schneidende Strahlen.
Drehsinn eines Winkels
Man unterscheidet Winkel nach dem Drehsinn
- Gegen den Uhrzeigersinn = mathematisch positiver Drehsinn
- Im Uhrzeigersinn = mathematisch negativer Drehsinn
Weite des Winkels
Man unterscheidet die Winkel nach dem Ausmaß ihrer Öffnung, also dem Öffnungswinkel bzw. der Winkelweite
- Nullwinkel: \(\alpha = 0^\circ\)
- Spitzer Winkel: \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \)
- Rechter Winkel: \(\alpha = 90^\circ\): → nur für diesen Winkel gilt der Satz des Pythagoras
- Stumpfer Winkel: \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\)
- Gestreckter Winkel: \(\alpha = 180^\circ\)
- Überstumpfer / Erhabener Winkel: \(180^\circ < \alpha < 360^\circ\)
- Voller Winkel: \(\alpha = 360^\circ\)
Nullwinkel
Der Öffnungswinkel eines Nullwinkels beträgt 0°.
Spitzer Winkel
Der Öffnungswinkel eines spitzen Winkels liegt zwischen 0° und 90°.
Rechter Winkel
Der Öffnungswinkel eines rechten Winkels beträgt 90°.
Stumpfer Winkel
Der Öffnungswinkel eines stumpfen Winkels liegt zwischen 90° und 180°.
Gestreckter Winkel
Der Öffnungswinkel eines gestreckten Winkels beträgt 180°.
Überstumpfer / Erhabener Winkel
Der Öffnungswinkel eines erhabenen Winkels liegt zwischen 180° und 360°.
Voller Winkel
Der Öffnungswinkel eines vollen Winkels beträgt 360°
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Allgemeine Sinusfunktion
Für den Zeitpunkt t=0 ist die Amplitude einer Sinusfunktion null. Unmittelbar danach nehmen die Funktionswerte zu. Von einer allgemeinen oder phasenverschobenen Sinusfunktion spricht man, wenn die Amplitude einer Sinusfunktion zum Zeitpunkt t=0 ungleich Null ist. Der Vorteil dieser Notation ist, dass man etwa eine Kosinusfunktion als eine um 90° phasenverschobene Sinusfunktion darstellen kann.
Änderung von Parametern einer allgemeinen Sinusfunktion
Über Parameter können Form und Lage vom Graph der allgemeinen Sinusfunktion verändert werden.
\(f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {bx + c} \right) + d\)
- Der Faktor a bewirkt eine Streckung oder Stauchung der „Höhe“ - der sogenannten Amplitude - der Schwingung
- Der Faktor b bewirkt eine Änderung der Periodendauer - dem Kehrwert der Frequenz - also einer Streckung oder Stauchung in Richtung der x-Achse
Der Faktor b entspricht der Anzahl der Perioden im Intervall \(\left[ {0;\,\,2\pi } \right]\). Verdoppelt man den Faktor, so liegen doppelt so viele Perioden in diesem Intervall.
\(b = \dfrac{{2 \cdot \pi }}{T}\) - Der Summand c im Argument bewirkt eine Phasenverschiebung (Zeitpunkt des „Null-Durchgangs) in Richtung der x-Achse (=Parallelverschiebung in Richtung der x-Achse).
- Ist c positiv, so wird die betrachtete Funktion nach links verschoben
- Ist c negativ, so wird die betrachtete Funktion nach rechts verschoben
- Der Summand d bewirkt eine Parallelverschiebung der Schwingung in Richtung der y-Achse. Die Schwingung erfolgt dann nicht mehr symmetrisch zur x-Achse, sondern symmetrisch zur Geraden y=d
Statt der bei Winkelfunktionen vertrauten Schreibweise sin(x) verwenden wir die in der Elektrotechnik übliche Schreibweise \(\sin \left( {\omega \cdot t} \right)\) da dadurch die Zeitabhängigkeit der Amplitude (=des Funktionswerts) klar zum Ausdruck gebracht wird.
\(\eqalign{ & y\left( t \right) = A_0 \cdot \sin \left( {\omega \cdot t + \varphi } \right) \cr & T = \dfrac{{2\pi }}{\omega } = \dfrac{1}{f} \cr & {t_0} = - \dfrac{\varphi }{\omega } \cr & \omega = 2 \cdot \pi \cdot f = \dfrac{{2 \cdot \pi }}{T} \cr & f = \dfrac{1}{T} \cr & f\left( x \right) = f\left( {x + T} \right) \cr}\)
Illustration einer phasenverschobenen Sinusfunktion
A | Amplitude (=maximale Auslenkung) |
\(\omega \) | Kreisfrequenz (Maß dafür, wie schnell die Schwingung abläuft) |
\( \varphi\) | Nullphasenwinkel (bei einer "allgemeinen" Schwingung ist die Amplitude zum Zeitpunkt t=0 größer oder kleiner - auf jeden Fall ungleich - als Null. |
T | Schwingungsdauer (Periodendauer) |
f | Frequenz |
Nullphasenwinkel
Der Nullphasenwinkel ist ein Maß dafür, wie weit vor- oder nacheilend die Nullstelle einer Schwingung y(t) zum Zeitpunkt t=0 im Vergleich zu einer reinen Sinusschwingung ist.
Phasenverschiebungswinkel
Der Phasenverschiebungswinkel ist ein Maß dafür, wie weit vor- oder nacheilend die jeweilige Nullstelle zweier beliebiger Schwingungen ist. Ein Beispiel für die physikalische Bedeutung ist der Phasenverschiebungswinkel zwischen Strom und Spannung etwa bei Drehstromsystemen als Maß für die unerwünschte Blindleistung Q gemäß \(Q = \sqrt 3 \cdot \overrightarrow {{U_L}} \cdot \overrightarrow {{I_L}} \cdot \sin \varphi \)
- Addiert man zum Argument einer trigonometrischen Funktion einen Phasenverschiebungswinkel mit einem positiven Wert , so wird der Graph der Funktion nach links verschoben.
- Addiert man zum Argument einer trigonometrischen Funktion einen Phasenverschiebungswinkel mit einem negativen Wert , so wird der Graph der Funktion nach rechts verschoben.
Illustration einer um +90° phasenverschobenen Sinusfunktion die somit zur Kosinusfunktion wird
- In rot die Sinusfunktion
- In grün die um +90° und somit nach links phasenverschobene Sinusfunktion, die somit in Phase zur reinen Kosinusfunktion (blau) wird.
- In blau die Kosinusfunktion. Wir haben deren Amplitude auf 75% reduziert, damit der grüne und der blaue Graph nicht deckungsgleich sind
Linearkombination von Vektoren
Unter der Linearkombination von Vektoren versteht man die Summe von mehreren Vektoren, wobei es sein kann, dass einzelne oder alle Vektoren auch noch mit einem Skalar multipliziert wurden.
\(\overrightarrow s = {\lambda _1} \cdot \overrightarrow {{a_1}} + {\lambda _2} \cdot \overrightarrow {{a_2}} + ... + {\lambda _n} \cdot \overrightarrow {{a_n}} \)
Lineare Abhängigkeit von Vektoren
- Zwei Vektoren sind linear abhängig und daher parallel zu einander, wenn das Kreuzprodukt der beiden Vektoren den Nullvektor ergibt.
- Zwei Vektoren sind linear abhängig und daher parallel zu einander, wenn es einen Faktor \(\lambda\)(=Skalar) gibt, mit dem man die Richtungsvektoren \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_x}}\\ {{a_y}} \end{array}} \right)\) des einen Vektors in die Richtungsvektoren des anderen Vektors durch Multiplikation umrechnen kann \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_x} = \lambda \cdot {a_x}}\\ {{b_y} = \lambda \cdot {a_y}} \end{array}} \right)\)
- Drei Vektoren sind linear abhängig, wenn sie in der selben Ebene liegen, also komplanar sind.
- Die drei Vektoren sind dann linear abhängig, wenn sich einer der Vektoren als Linearkombination der beiden anderen Vektoren anschreiben lässt.
\({\lambda _1} \circ \overrightarrow {{v_1}} + {\lambda _2} \circ \overrightarrow {{v_2}} = \overrightarrow {{v_3}} \)
- Mehrere Vektoren sind linear abhängig, wenn sie in einer Ebene liegen und durch Vektoraddition eine geschlossene Vektorkette bilden. Bei einer Vektorkette fallen Anfangs- und Endpunkt zusammen.
- Mehrere Vektoren sind dann linear abhängig, wenn sich eine Linearkombination angeben lässt, die den Nullvektor ergibt, wobei mindestens einer der Lambda-Koeffizienten ungleich null sein muss.
\({\lambda _1} \circ \overrightarrow {{v_1}} + {\lambda _2} \circ \overrightarrow {{v_2}} + {\lambda _3} \circ \overrightarrow {{v_3}} = \overrightarrow 0 \)
Lineare Unabhängigkeit von Vektoren
- Zwei Vektoren sind dann linear unabhängig, wenn ihr Kreuzprodukt nicht den Nullvektor ergibt
- Mehrere Vektoren sind dann linear unabhängig, wenn sich eine Linearkombination angeben lässt, die den Nullvektor ergibt wobei alle Lambda-Koeffizienten gleich null sein müssen.
Winkelmaße
Die Weite, des von zwei einander schneidenden Geraden eingeschlossenen Winkels, kann auf unterschiedliche Arten gemessen werden.
Gradmaß
Im Gradmaß wird der Vollwinkel in 360 gleich große Teile, den sogenannten Grad, unterteilt
\(\alpha\) … Winkel in Grad, als 360-ster Teil des Vollwinkels
1‘ … 1 Winkel-Minute als 60-stel Teil von 1 Grad
1‘‘ … 1 Winkel-Sekunde als 60-stel Teil von 1 Winkel-Minute
Bogenmaß
Im Bogenmaß wird dem Vollwinkel (360°) die Maßzahl 2π zugewiesen. Ein Radiant ist der \(\dfrac{1}{{2\pi }}\) -te Teil des Vollwinkels
- 1 Radiant ist jener Winkel, bei dem der Bogen des vom Winkel aufgespannten Kreissektors mit dem Radius vom Kreissektor ident ist. \(1rad = \dfrac{{180^\circ }}{\pi } \approx 57,2958^\circ \)
- Unter dem Bogenmaß (ausgedrückt in Vielfachen oder Teilen von \(\pi\)) versteht man das Verhältnis von Bogenlänge b zum Radius r eines Kreissektors.
- arc a ist eine dimensionslose Zahl des Winkels a, die das Verhältnis von der Länge des Kreisbogens b zum Radius r des Kreises angibt. Um die dimensionslose Zahl arc a von Grad unterscheiden zu können, schreibt man als Einheit „rad“ für Radiant dazu. Wählt man den Einheitskreis (r=1) so ist das Bogenmaß gleich der Länge des Kreisbogens
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Created with GeoGebra v6:
Umrechnung vom Bogenmaß ins Gradmaß
Merke: 2π im Bogenmaß entsprechen 360° im Gradmaß
\({\mathop{\rm arc}\nolimits} \alpha = \dfrac{{\alpha .\pi }}{{180^\circ }}\)
\(\dfrac{\pi }{2} \buildrel \wedge \over = 90^\circ ;\,\,\,\,\,\pi \buildrel \wedge \over = 180^\circ ;\,\,\,\,\,\dfrac{{3\pi }}{2} \buildrel \wedge \over = 270^\circ ;\,\,\,\,\,2\pi \buildrel \wedge \over = 360^\circ \)
Umrechnung vom Gradmaß ins Bogenmaß
Merke: 360° im Gradmaß entsprechen 2π im Bogenmaß
\(\alpha = \dfrac{{180^\circ \cdot arc\alpha }}{\pi }\)
\(90^\circ \buildrel \wedge \over = \dfrac{\pi }{2};\,\,\,\,\,180^\circ \buildrel \wedge \over = \pi ;\,\,\,\,\,270^\circ \buildrel \wedge \over = \dfrac{{3\pi }}{2};\,\,\,\,\,360^\circ \buildrel \wedge \over = 2\pi \)
Rechtwinkeliges Dreieck
Das rechtwinkelige Dreieck ist ein Dreieck mit einem rechten Winkel. Dem rechten Winkel gegenüber liegt die längste Seite, die Hypotenuse. Die beiden an den rechten Winkel angrenzenden Seiten sind kürzer und heißen Katheten.
Bezeichnungen im rechtwinkeligen Dreieck
- Die Hypotenuse wird durch die Höhenlinie in 2 Hypotenusenabschnitte p und q geteilt.
- Die Satzgruppe des Pythagoras, bestehend aus dem Satz des Pythagoras, dem Katheten- und dem Höhensatz des Euklid beschreiben die jeweiligen Zusammenhänge.
- Für jeden der beiden spitzen Winkel gilt, dass an ihm eine Kathete anliegt - die Ankathete und dass ihm die andere Kathete gegenüber liegt - die Gegenkathete
- Wichtig ist, dass obige Sätze nur in Dreiecken MIT rechtem Winkel gelten. Der Satz des Pythagoras ist ein Spezialfall vom Kosinus-Satz. Letzterer gilt auch in Dreiecken OHNE rechtem Winkel.
a | Gegenkathete, liegt gegenüber von \(\alpha\) |
b | Ankathete, liegt \(\alpha\) an |
c | Hypotenuse, die längste Seite, liegt gegenüber vom rechten Winkel |
\(\alpha\) | Winkel, der von Ankathete und Hypotenuse eingeschlossen wird |
p, q | Hypotenusenabschnitte |
Hypotenuse
Die Hypotenuse ist die längste Seite im rechtwinkeligen Dreieck. Sie liegt gegenüber vom rechten Winkel.
Katheten
Die Katheten sind die beiden kürzeren Seiten im rechtwinkeligen Dreieck. Sie liegen links und rechts vom rechten Winkel
Innenwinkel im rechtwinkeligen Dreieck
Die Summe aller 3 Innenwinkel im rechtwinkeligen Dreieck beträgt 180°
\(\alpha + \beta = 90^\circ = \gamma \)
Umfang vom rechtwinkeligen Dreieck
Der Umfang eines jeden Dreiecks ergibt sich aus der Summe der drei Seitenlängen
\(U = a + b + c\)
Flächeninhalt vom rechtwinkeligen Dreieck
Der Flächeninhalt eines jeden Dreiecks errechnet sich aus "Seite mal zugehöriger Höhe halbe"
\(A = \dfrac{{a \cdot b}}{2} = a \cdot \dfrac{{{h_a}}}{2} = b \cdot \dfrac{{{h_b}}}{2} = c \cdot \dfrac{{{h_c}}}{2}\)
Illustration vom rechtwinkeligen Dreieck
Satz des Pythagoras
Der Satz vom Pythagoras besagt, dass in jedem rechtwinkeligen Dreieck die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den beiden Katheten a,b, gleich ist dem Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse c. Nochmals laut und deutlich: Der Satz des Pythagoras gilt nur im rechtwinkeligen Dreieck, nicht im allgemeinen Dreieck! Der Satz des Pythagoras ist ein Spezialfall vom Kosinussatz, der auch für allgemeine Dreiecke gilt.
\({a^2} + {b^2} = {c^2}\)
Der Satz des Pythagoras stellt eine Beziehung zwischen den drei Seiten eines rechtwinkeligen Dreieck her, die es ganz einfach erlaubt aus je zwei Seiten die dritte Seite zu errechnen.
\(\eqalign{ & a = \sqrt {{c^2} - {b^2}} \cr & b = \sqrt {{c^2} - {a^2}} \cr & c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \cr} \)
Illustration vom Satz des Pythagoras
Beispiel
Gegeben sei von einem rechtwinkeligen Dreieck die Hypotenuse c=5 und eine Kathete mit b=4 Längeneinheiten.
Gesucht ist die Länge der fehlenden Kathete a
\(a = \sqrt {{c^2} - {b^2}} = \sqrt {{5^2} - {4^2}} = \sqrt {25 - 16} = \sqrt 9 = 3\)
Kathetensatz des Euklid
Der Kathetensatz des Euklid besagt, dass in jedem rechtwinkeligen Dreieck der Flächeninhalt des Quadrats über jeder der beiden Katheten a bzw. b gleich ist dem Flächeninhalt des Rechtecks aus der Hypotenuse c und dem der jeweiligen Kathete anliegenden Hypotenusenabschnitt p bzw. q.
\(\eqalign{ & {a^2} = c \cdot q \cr & {b^2} = c \cdot p \cr} \)
Illustration vom Kathetensatz des Euklid
Höhensatz des Euklid
Der Höhensatz des Euklid besagt, dass in jedem rechtwinkeligen Dreieck der Flächeninhalt des Quadrats über der Höhe hc gleich ist dem Flächeninhalt des Rechtecks, aus den beiden Hypotenusenabschnitten p und q.
Hypotenusenabschnitt
Zeichnet man im rechtwinkeligen Dreieck die Höhe auf die Hypotenuse ein, so teilt der Fußpunkt der Höhe die Hypotenuse in die beiden Hypotenusenabschnitte, die üblicher Weise mit p und q bezeichnet werden
\({h_c}^2 = p \cdot q;\)
Illustration vom Höhensatz des Euklid
Beispiel:
Bevor ein Transporter durch einen Tunnel mit Gegenverkehr fährt prüft der Fahrer ob sich die Durchfahrt mit der Höhe überhaupt ausgeht. Er schätzt den Gehsteig links und rechts auf je 1m Breite und die Fahrbahn auf 6m Breite. Aus den Wagenpapieren entnimmt er die Höhe seines Transporters zu 2,477m. Er beabsichtigt so weit wie möglich rechts, also direkt neben dem Gehsteig zu fahren.
Lösungsweg:
Für seine Berechnung zieht der Fahrer den Höhensatz des Euklid heran:
\(\eqalign{ & {h_c}^2 = p \cdot q \cr & {h_c} = \sqrt {p \cdot q} = \sqrt {7 \cdot 1} = 2,65m > 2,477m \cr} \)
Die Durchfahrt sollte auch bei Gegenverkehr möglich sein
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Raute bzw. Rhombus
Die Raute ist ein Viereck, bei dem alle vier Seiten gleich lang sind. Das Quadrat ist daher ein Sonderfall einer Raute. Jede Raute ist zugleich ein spezielles Trapez, Parallelogramm bzw. Deltoid.
- Alle 4 Seiten sind gleich lang
- Die einander gegenüber liegenden Seiten sind parallel, die einander gegenüber liegenden Winkel sind gleich groß
- Zwei auf der selben Seite liegende Winkel addieren sich auf 180°. Gegenüber liegende Winkel sind gleich groß. Ist einer der Winkel 90°, so sind alle Winkel 90° und man spricht von einem Quadrat
- Der Schnittpunkt der beiden Diagonalen M, ist der Inkreismittelpunkt und der Schwerpunkt. Die beiden Diagonalen stehen im rechten Winkel auf einander, halbieren einander und sind Winkelsymmetralen
- Alle Höhen in einer Raute sind gleich lang. Ihre Länge entspricht dem Abstand der jeweiligen parallelen Seiten
Umfang der Raute
Der Umfang der Raute entspricht der vierfachen Seitenlänge
\(U = 4 \cdot a = 2 \cdot \sqrt {{e^2} + {f^2}} \)
Höhe der Raute
Die Höhe einer Raute eintspricht dem Abstand von je zwei parallelen Seiten. Alle Höhen der Raute sind gleich lang.
\({h_a} = a \cdot \sin \alpha \)
Winkelsumme in der Raute
Die Summe der Innenwinkel einer Raute beträgt 360°. Gegenüber liegende Winkel sind gleich groß. Benachbarte Winkel ergänzen einander auf 180°, sind also Supplementärwinkel.
\(\alpha = \gamma ,\,\,\,\beta = \delta \)
Flächeninhalt der Raute
Die Fläche einer Raute errechnet sich aus Seite mal zugehöriger Höhe.
\(A = a \cdot {h_a} = \dfrac{{e \cdot f}}{2} = {a^2} \cdot \sin \alpha \)
Länge der Diagonalen in der Raute
Die Länge der Diagonalen errechnet sich aus dem Zweifachen vom Produkt aus Seitenlänge und dem Kosinus bzw. dem Sinus vom Winkel \(\alpha\). Jede der beiden Diagonalen teilt die Raute in zwei kongruente gleichschenkelige Dreiecke.
\(\eqalign{ & e = 2 \cdot a \cdot \cos \frac{\alpha }{2} \cr & f = 2 \cdot a \cdot \sin \frac{\alpha }{2} \cr & {e^2} + {f^2} = 4 \cdot {a^2} \cr} \)
Inkreis einer Raute
Der Radius vom Inkreis einer Raute errechnet sich aus dem halben Produkt aus Seitenlänge und dem Sinus vom Winkel \(\alpha\). Der Inkreisradius ist zugleich der Normalabstand vom Schnittpunkt der Diagonalen zu den vier Seiten der Raute.
\({r_i} = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot \sin \alpha = \dfrac{{{h_a}}}{2}\)
Illustration einer Raute
Lagebeziehung zwischen Punkt und Gerade
Entweder liegt der Punkt auf der Geraden , oder er liegt außerhalb der Geraden, dann ist sein Normalabstand der kürzeste Abstand zwischen dem Punkt und der Geraden
- \(P \in g\)
- \(P \notin g\)
Prüfen ob ein Punkt auf einer Geraden liegt
Ein Punkt liegt auf einer Geraden, wenn er für alle Koordinatenachsen die Geradengleichung erfüllt
Gegeben sei ein Punkt und eine Gerade
\(P\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_x}}\\ {{P_y}}\\ {{P_z}} \end{array}} \right);\,\,\,\,\,\overrightarrow g = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_x}}\\ {{Q_y}}\\ {{Q_z}} \end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}}\\ {{v_y}}\\ {{v_z}} \end{array}} \right)\)
Wir prüfen ob der Punkt die Geradengleichung erfüllt
\(\begin{array}{*{20}{l}} {{P_x}}& = &{{Q_x}}& + &{{\lambda _1}.{v_x}}& \Rightarrow &{{\lambda _1} = \frac{{{P_x} - {Q_x}}}{{{v_x}}}}\\ {{P_y}}& = &{{Q_y}}& + &{{\lambda _2}.{v_y}}& \Rightarrow &{{\lambda _2} = \frac{{{P_y} - {Q_y}}}{{{v_y}}}}\\ {{P_z}}& = &{{Q_z}}& + &{{\lambda _3}.{v_z}}& \Rightarrow &{{\lambda _3} = \frac{{{P_z} - {Q_z}}}{{{v_z}}}} \end{array}\)
→ Der Punkt liegt auf der Geraden, wenn es für alle Koordinatenachsen einen einzigen und somit einheitlichen Parameter \(\lambda\) gibt, sodass der Punkt die Geradengleichung erfüllt
\({\lambda _1} = {\lambda _2} = {\lambda _3} \Rightarrow P \in \overrightarrow g\)
→ Der Punkt liegt außerhalb der Geraden, wenn es für einzelne Koordinatenachsen unterschiedliche Parameter \(\lambda\) gibt.
Wir prüfen ob der Punkt die Geradengleichung erfüllt:
\(\eqalign{
& y = k \cdot x + d \cr
& P\left( {{P_x}|{P_y}} \right) \cr
& \cr
& P \to y \cr
& {P_y} = k \cdot {P_x} + d \to {\text{wahre Aussage}} \cr} \)
Normalabstand eines Punktes von einer Geraden
Der Normalabstand eines Punktes von einer Geraden entspricht dem Abstand des Punkts zu seinem Lotpunkt auf der Geraden. Der Lotpunkt ist der Schnittpunkt einer Ebene, die einerseits den Punkt enthält und die andererseits orthogonal zur Geraden steht.
- Man stellt zunächst die Gleichung einer Ebene n auf, die durch den Punkt P verläuft und orthogonal zur Geraden g liegt.
- Dann bestimmt man den Lotfußpunkt, das ist jener Punkt L, in dem die Gerade g die Ebene n durchstößt.
- Abschließend bestimmt man den Abstand des Punktes P vom Lotfußpunkt L.
\(\begin{array}{l} d\left( {P,g} \right) = \left| {\overrightarrow {PL} } \right| = \dfrac{{\left| {\left( {\overrightarrow P - \overrightarrow Q } \right) \times \overrightarrow v } \right|}}{{\left| {\overrightarrow v } \right|}}\\ d\left( {P,g} \right) = \dfrac{{\left| {\left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_x}}\\ {{Q_y}}\\ {{Q_z}} \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_x}}\\ {{P_y}}\\ {{P_z}} \end{array}} \right)} \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}}\\ {{v_y}}\\ {{v_z}} \end{array}} \right)} \right|}}{{\sqrt {{v_x}^2 + {v_y}^2 + {v_z}^2} }} = Skalar \end{array}\)
Gleichung der Parabel
Die Parabel ist die Menge aller Punkte X, die in einer Ebene liegen und die von einem festen Punkt F (Brennpunkt) und von einer gegebenen Geraden l (Leitgerade) den gleichen Abstand haben.
\(par:\left\{ {X \in {{\Bbb R}^2}\left| {\overline {XF} = \overline {Xl} } \right.} \right\}\)
S | Scheitel |
F | Brennpunkt |
\(e = \overline {SF} \) | Brennweite |
l | Leitgerade |
\(p = 2 \cdot e\) | Parameter |
Illustration einer Parabel
Einfachste Form der Parabel, die Normalparabel
\(y = a \cdot {x^2}\)
Der Parameter a entscheidet über die Form der Parabel
\(\left| a \right| < 1\) | Parabel ist in Richtung der y-Achse gestaucht |
\(\left| a \right| > 1\) | Parabel ist in Richtung der y-Achse gestreckt |
\(a < - 1\) | Schmale, nach unten offene Parabel |
\(a = - 1\) | Nach unten offene Normparabel |
\( - 1 < a < 0\) | Breite, nach unten offene Parabel, Scheitelpunkt ist Hochpunkt |
\(0 < a < 1\) | Breite, nach oben offene Parabel, Scheitelpunkt ist Tiefpunkt |
\(a = 1\) | Normparabel, nach oben offen |
\(a > 1\) | Schmale, nach oben offene Parabel |
Der Parameter c entscheidet über die Verschiebung der Parabel
\({f\left( x \right) = {x^2} + c}\) | Allgemeine Parabel um c nach oben verschoben |
\({f\left( x \right) = {x^2} - c}\) | Allgemeine Parabel um c nach unten verschoben |
\({f\left( x \right) = {{\left( {x + c} \right)}^2}}\) | Allgemeine Parabel um c nach links verschoben |
\({f\left( x \right) = {{\left( {x - c} \right)}^2}}\) | Allgemeine Parabel um c nach rechts verschoben |
Allgemeine Form der Parabel
Der Parameter c heisst y-Achsenabschnitt der Parabel. Es ist dies der Schnittpunkt der Parabel mit der y-Achse, somit der Punkt \(S\left( {0\left| {{S_y}} \right.} \right)\)
\(y = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\)
Normalform der Parabel
Man kann durch Division durch a erzwingen, dass der Parameter a=1 wird. Dann spricht man von der Normalform der Parabel.
\(y = {x^2} + p \cdot x + q\)
Nullstellenform der Parabel
Die Nullstellenform, auch die faktorisierte Form der Parabel genannt, gibt es nur dann wenn die Parabel überhaupt die x-Achse schneidet.
\(y = a \cdot \left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right)\)
Parameterdarstellung der Parabel
\(\eqalign{ & x = a \cdot k + {x_0} \cr & y = b \cdot {k^2} + {y_0} \cr} \)
Scheitelpunktform der Parabel
Die Scheitelpunktform der Parabel ermöglicht es direkt den Scheitelpunkt \(S\left( {d\left| e \right.} \right)\) abzulesen. Der Scheitelpunkt ist der höchste / tiefste bzw. der am weitesten links / rechts liegende Punkt der Parabel.
\(\eqalign{
& y = a \cdot {\left( {x - d} \right)^2} + e \cr
& {\text{bzw}}{\text{.:}} \cr
& f(x) = a \cdot {\left( {x - {S_x}} \right)^2} + {S_y} \cr} \)
Für eine allgemeine quadratische Funktion gilt:
\(\eqalign{
& f\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c \cr
& {\text{mit:}} \cr
& S = \left( {{S_x}\left| {{S_y}} \right.} \right) = \left( { - \dfrac{b}{{2 \cdot a}}\left| {c - \dfrac{{{b^2}}}{{4 \cdot a}}} \right.} \right) \cr} \)
Die Scheitelpunktform einer Parabel oder allgemein einer quadratischen Gleichung kann man durch die sogenannte "quadratische Ergänzung" aus der allgemeinen Form \(f\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\) herleiten.
Für den Term \(f\left( x \right) = {x^2} + p \cdot x\) erhält man wie folgt die quadratische Ergänzung: \(f\left( x \right) = {x^2} + p \cdot x + {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2} - {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2} = {\left( {x + \dfrac{p}{2}} \right)^2} - {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2}\)
Es gibt 4 verschiedene Hauptlagen der Parabel
- 1. Hauptlage: Der Scheitel liegt im Koordinatenursprung, die Parabel ist symmetrisch zur positiven x-Achse: \(x={y^2}\)
- 2. Hauptlage: Der Scheitel liegt im Koordinatenursprung, die Parabel ist symmetrisch zur positiven y-Achse: \(y=x^2\)
- 3. Hauptlage: Der Scheitel liegt im Koordinatenursprung, die Parabel ist symmetrisch zur negativen x-Achse: \(x=-{y^2}\)
- 4. Hauptlage: Der Scheitel liegt im Koordinatenursprung, die Parabel ist symmetrisch zur negativen y-Achse: \(y=-x^2\)
Parabeln vom Grad n:
\(f\left( x \right) = {x^n}\)
n=2: Die einfachsten Form einer Potenzfunktion, also einer nichtlinearen Funktion. Der Graph der sogenannten Normalparabel hat einen typischen U-förmigen Verlauf. S(1 | 1) ist ihr Scheitelpunkt.
n=gerade: Graph liegt symmetrisch zur y-Achse:
n=ungerade: Graph liegt symmetrisch zum y-Ursprung:
Lagebeziehung Punkt und Parabel
Ein Punkt kann bezüglich einer Parabel innerhalb, außerhalb oder auf der Parabel liegen
- P liegt innerhalb der Parabel:
\({P_y} < 2 \cdot p \cdot {P_x}\) - P liegt auf der Parabel:
\({P_y} = 2 \cdot p \cdot {P_x}\) - P liegt außerhalb der Parabel:
\({P_y} > 2 \cdot p \cdot {P_x}\)
Lagebeziehung Gerade und Parabel
Bei der Lagebeziehung zwischen Gerade und Parabel interessieren speziell die Berührbedingung und die Tangente. Im Fall einer Passante gibt es keinen Schnittpunkt und im Fall einer Sekante gibt es zwei Schnittpunkte. Die jeweilige Lösung: keinen oder zwei Schnittpunkte bzw. einen Berührpunkt erhält man, indem man die Geraden- und die Parabelgleichung gleich setzt.
Berührbedingung Gerade an Parabel
Die Berührbedingung der Parabel ergibt sich aus dem Parameter p der Parabel sowie aus der Steigung und dem Ordinatenabschnitt der Gerade. Kennt man zwei Bestimmungsstücke, so kann man das dritte Bestimmungsstück ausrechnen.
\(\eqalign{ & g:y = kx + d \cr & par:{y^2} = 2px \cr}\)
\(p = 2dk\)
Spaltform der Tangente an einen Punkt der Parabel
Indem man die Koordinaten vom Berührpunkt in die Parabelgleichung einsetzt, erhält man die allgemeine (implizite) Form der Tangente. Von der "Spaltform" spricht man, weil man die Quadrate aus der Definitionsgleichung der Parabel aufgespaltet hat in ein \({x_T} \cdot x\) bzw. \({y_T} \cdot y \).
\(\eqalign{ & \left( {{x_T}\left| {{y_T}} \right.} \right){\text{ mit }}T \in k \cr & par:{y^2} = 2 \cdot p \cdot x \cr} \)
\(t:{y_T} \cdot y = p \cdot \left( {x - {x_T}} \right)\)
Aufgaben
Aufgabe 84
Vektoren in der Physik
Erkläre an Hand zweier Beispiele aus der Physik, was einen Vektor ausmacht.
Schon den nächsten Urlaub geplant?
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Aufgabe 93
Einheitsvektor ermitteln
Ermittle den Einheitsvektor zu
\(\overrightarrow a = \left( {\matrix{ 6 \cr 8 \cr } } \right)\)