Normalvektor
Den Normalvektor zu einem gegebenen Vektor erhält man gemäß der Links- bzw. Rechtskippregel, dh es werden die x bzw. y Komponenten des Vektors vertauscht und bei einer der beiden Komponente wird auch das Vorzeichen vertauscht.
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Geometrische Operationen mittels Vektorrechnung
Append Regel
Die Append Regel kommt dann zur Anwendung, wenn von einem Anfangspunkt ausgehend ein Vektor hinzugefügt (to append) werden soll und die Koordinaten vom Endpunkt des Vektors gesucht sind. Man spricht dabei von der Punkt-Vektor Form. Die Komponenten vom Ortsvektor des Endpunktes erhält man, indem man je Achsenrichtung die Komponenten des Anfangspunkts und jene des Vektors addiert.
\(Q = P + \overrightarrow v = P + \overrightarrow {PQ} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_x}}\\ {{P_y}} \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}}\\ {{v_y}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_x}}\\ {{Q_y}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_x} + {v_x}}\\ {{P_y} + {v_y}} \end{array}} \right)\)
Ein Punkt P plus ein Vektor v ergibt einen neuen Punkt Q
Normalvektor bzw. Orthogonalvektor & Rechts-Kipp-Regel bzw. Links Kipp Regel
In einem zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem kann es zweckmäßig sein, einen Vektor nach rechts bzw. nach links zu kippen, d.h. um \( \pm 90^\circ \) zu drehen. Der so gekippte Vektor steht dann senkrecht auf dem ursprünglichen Vektor, d.h. er wird zum Normalvektor, auch Orthogonalvektor genannt. Ein Beispiel dafür sind Höhenlinien oder Streckensymmetralen bei Dreiecken.
- Bei der Linkskippregel werden die Komponenten vertauscht und bei der oberen Komponente wird auch das Vorzeichen vertauscht.
- Bei der Rechtskippregel werden die Komponenten vertauscht und bei der unteren Komponente wird auch das Vorzeichen vertauscht.
\(\begin{array}{l} \overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_x}}\\ {{a_y}} \end{array}} \right)\\ {\overrightarrow n _{_{{\rm{links}}}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - {a_y}}\\ {{a_x}} \end{array}} \right){\rm{ bzw}}{\rm{. }}{\overrightarrow n _{_{rechts}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_y}}\\ { - {a_x}} \end{array}} \right) \end{array}\)
Projektionssatz
Der Projektionssatz ist eine geometrische Interpretation vom Skalarprodukt. Dabei wird ein Vektor \(\overrightarrow b\) in zwei Komponenten zerlegt. Die eine Komponente hat den selben Richtungsvektor wie der Vektor \(\overrightarrow a\), die andere Komponente liegt senkrecht dazu. Das skalare Produkt ist definiert als das Produkt der Länge der Projektion von \(\overrightarrow b\)auf \(\overrightarrow a\), also \(\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \varphi\) und der Länge von \(\overrightarrow a\) also \(\left| {\overrightarrow a } \right|\)
Normalprojektion eines Vektors auf einen anderen Vektor, Vektorprojektionsformel
In der Mechanik ist es oft zweckmäßig Kräfte in Komponenten zu zerlegen, wobei diese Komponenten nicht zwangsläufig parallel zu den Achsen des Koordinatensystems sein müssen. Dazu bedient man sich der Vektorprojektionsformel, wobei \(\left| {\overrightarrow {{b_a}} } \right|\) die Projektion \(\overrightarrow b \)von auf \(\overrightarrow a \) heißt.
- Die Projektion von \(\overrightarrow b\) auf \(\overrightarrow a\), ist der Betrag \(\left| {\overrightarrow {{b_a}} } \right|\), also eine reelle Zahl, die sich wie folgt ergibt:
\(\begin{array}{l} \left| {\overrightarrow {{b_a}} } \right| = \dfrac{{\overrightarrow a \circ \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|}} = \left| {\dfrac{{{a_x} \cdot {b_x} + {a_y} \cdot {b_y}}}{{\sqrt {{{\left( {{a_x}} \right)}^2} + {{\left( {{a_y}} \right)}^2}} }}} \right|\\ {\rm{wobei }}0^\circ \le \varphi \le 90^\circ \end{array}\)
- Die Längskomponente von Vektor b in Richtung vom Vektor a, das ist der Vektor \(\overrightarrow {{b_a}}\), ergibt sich zu
\(\overrightarrow {{b_a}} = \dfrac{{\overrightarrow a \circ \overrightarrow b }}{{{{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2}}} \cdot \overrightarrow a \)
Im Zähler vom Bruch steht das Skalarprodukt, also eine reelle Zahl, im Nenner vom Bruch steht das Quadrat vom Betrag, also ebenfalls eine reelle Zahl, womit der Bruch selbst ein Skalierungsfaktor für den Vektor \(\overrightarrow a\) ist. Das macht Sinn, denn es ist ja genau jener Anteil von \(\overrightarrow b\) gesucht, der in Richtung von \(\overrightarrow a\) wirkt.
Mittelpunkt einer Strecke bzw. Halbierungspunkt zwischen 2 Punkten
Den Mittelpunkt der Strecke von A nach B erhält man, indem man jeweils separat die x, y und z-Komponenten der beiden Punkte A, B addiert und anschließend durch 2 dividiert.
\(\begin{array}{l} A\left( {{A_x}\left| {{A_y}\left| {{A_z}} \right.} \right|} \right),\,\,\,\,\,B\left( {{B_x}\left| {{B_y}\left| {{B_z}} \right.} \right.} \right)\\ {H_{\overrightarrow {AB} }} = {M_{\overrightarrow {AB} }} = A + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \dfrac{1}{2} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_x} + {B_x}}\\ {{A_y} + {B_y}}\\ {{A_z} + {B_z}} \end{array}} \right)\\ {H_{AB}}\left( {\dfrac{{{A_x} + {B_x}}}{2}\left| {\dfrac{{{A_y} + {B_y}}}{2}\left| {\dfrac{{{A_z} + {B_z}}}{2}} \right.} \right.} \right) \end{array}\)
Teilungspunkt einer Strecke
Der Teilungspunkt T ist jener Punkt, der die Strecke von A nach B im Verhältnis λ teilt.
\(T = A + \lambda \cdot \overrightarrow {AB} = \left( {1 - \lambda } \right)A + \lambda B\)
Schwerunkt eines Dreiecks
Um die Koordinaten vom Schwerpunkt eines Dreiecks zu berechnen, dessen 3 Eckpunkte gegeben sind, addiert man jeweils für jeden der 3 Eckpunkte gesondert die x, y und z-Komponenten und dividiert anschließend die jeweilige Summe durch 3.
Gegeben sind drei Punkte im Raum
\(A\left( {{A_x}\left| {{A_y}\left| {{A_z}} \right.} \right|} \right),\,\,\,\,\,B\left( {{B_x}\left| {{B_y}\left| {{B_z}} \right.} \right.} \right),\,\,\,\,\,C\left( {{C_x}\left| {{C_y}\left| {{C_z}} \right.} \right.} \right)\)
für deren Schwerpunkt gilt
\(\overrightarrow {OS} = \dfrac{1}{3} \cdot \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\)
\(S = \dfrac{1}{3}\left( {A + B + C} \right) = \dfrac{1}{3} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_x} + {B_x} + {C_x}}\\ {{A_y} + {B_y} + {C_y}}\\ {{A_z} + {B_z} + {C_z}} \end{array}} \right)\)
\({S_{ABC}} = \left( {\dfrac{{{A_x} + {B_x} + {C_x}}}{3}\left| {\dfrac{{{A_y} + {B_y} + {C_y}}}{3}\left| {\dfrac{{{A_z} + {B_z} + {C_z}}}{3}} \right.} \right.} \right) \)
Flächeninhalt des von 2 Vektoren aufgespannten Parallelogramms
Das vektorielle Produkt zweier Vektoren ist ein dritter Vektor, der senkrecht auf der von den beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht und dessen Betrag der Fläche des durch die beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms entspricht.
\(\begin{array}{l} A = \left| {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right|\\ A = \left| {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_x}}&{{b_x}}\\ {{a_y}}&{{b_y}} \end{array}} \right)} \right| = \left| {{a_x} \cdot {b_y} - {b_x} \cdot {a_y}} \right| \end{array}\)
Flächeninhalt des von 2 Vektoren aufgespannten Dreiecks
Die Fläche des von 2 Vektoren aufgespannten Dreiecks entspricht dem halben Betrag vom Kreuzprodukt der beiden Vektoren. Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ist ein dritter Vektor, der senkrecht auf die von den beiden Vektoren aufgespannte Ebene steht und dessen Betrag der Fläche des durch die beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms entspricht. Die Fläche des aufgespannten Dreiecks ist genau die Hälfte der Fläche vom aufgespannten Parallelogramm.
\(\begin{array}{l} {A_\Delta } = \dfrac{1}{2} \cdot \left| {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right|\\ {A_\Delta } = \dfrac{1}{2}\left| {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_x}}&{{b_x}}\\ {{a_y}}&{{b_y}} \end{array}} \right)} \right| = \dfrac{1}{2}\left| {{a_x} \cdot {b_y} - {b_x} \cdot {a_y}} \right| \end{array}\)
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Aufgaben
Aufgabe 1218
AHS - 1_218 & Lehrstoff: AG 3.5
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Normalvektor
Gegeben sind die Vektoren \(\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3}\\ { - 2} \end{array}} \right)\) und \(\overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ a \end{array}} \right)\)
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie den Wert für a so, dass die beiden Vektoren normal aufeinander stehen!
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Aufgabe 1786
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. September 2020 - Teil-1-Aufgaben - 5. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Geraden in ℝ2
Für die zwei Geraden g und h in ℝ2 gilt:
- Die Gerade g mit dem Richtungsvektor \(\overrightarrow g \) hat den Normalvektor \(\overrightarrow {{n_g}} \).
-
Die Gerade g mit dem Richtungsvektor \(\overrightarrow h\) hat den Normalvektor \(\overrightarrow {{n_h}} \).
- Die Geraden g und h stehen normal aufeinander.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Bedingungen an, die auf jeden Fall gelten.
- Aussage 1: \(\overrightarrow {{n_g}} \cdot \overrightarrow h = 0\)
- Aussage 2: \(\overrightarrow {{n_g}} \cdot \overrightarrow {{n_h}} = 0\)
- Aussage 3: \(\overrightarrow g = r \cdot \overrightarrow h {\text{ mit }}r \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
- Aussage 4: \(\overrightarrow g = r \cdot \overrightarrow {{n_h}} {\text{ mit }}r \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
- Aussage 5: \(\overrightarrow g \cdot \overrightarrow {{n_h}} = 0\)
[0 / 1 Punkt]
Aufgabe 4433
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Flughafen - Aufgabe B_506
Teil c
In der nachstehenden Abbildung ist modellhaft ein Koffer auf einem Gepäckförderband dargestellt. Der Koffer bewegt sich mit der Geschwindigkeit \(\overrightarrow v = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1,2} \\ {0,5} \end{array}} \right)\,\,\dfrac{m}{s}\) vom Punkt A zum Punkt B.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie \(\left| {\overrightarrow v } \right|{\text{ in }}\dfrac{m}{{\min }}\)
[0 / 1 P.]
Anschließend bewegt sich der Koffer mit der Geschwindigkeit \(\overrightarrow w = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1} \\ {{y_w}} \end{array}} \right)\dfrac{m}{s}\) vom Punkt B zum Punkt C. Die beiden Vektoren v und w stehen normal aufeinander.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie yw.
[0 / 1 P.]
Aufgabe 4496
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Carport - Aufgabe B_522
Ein Carport soll durch verschiedene Modelle beschrieben werden.
Teil b
Im Modell B wird ein Teil des Carports durch den Kreisbogen k und den Graphen der Funktion q beschrieben (siehe nachstehende Abbildung).
Der Kreisbogen k verläuft zwischen den Punkten F und G = (1,18 | 1). Der zugehörige Kreis hat den Mittelpunkt M = (2,34 | –0,16).
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Zeigen Sie, dass die Steigung der Tangente t an den Kreisbogen im Punkt G den Wert 1 hat.
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Veranschaulichen Sie in der obigen Abbildung denjenigen Winkel α, der durch die nachstehende Formel berechnet werden kann.
\(\overrightarrow {MF} \cdot \overrightarrow {MG} = \left| {\overrightarrow {MF} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {MG} } \right| \cdot \cos \left( \alpha \right)\)
0 / 1 P.]
Zwischen den Punkten G und R kann die Begrenzungslinie des Carports durch den Graphen der Funktion q beschrieben werden.
\(q\left( x \right) = - 0,00078 \cdot {x^4} + 0,0312 \cdot {x^3} - 0,366 \cdot {x^2} + 1,74 \cdot x - 0,593\)
x, q(x) |
Koordinaten in m |
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die Länge der in der obigen Abbildung dargestellten Begrenzungslinie q des Carports im Intervall [1,18; 6,66].
[0 / 1 P.]
Aufgabe 6029
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Geometrie
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
In einem kartesischen Koordinatensystem sind
- die Ebene \(E:{x_1} + {x_3} = 2\)
- der Punkt \(A\left( {0\left| {\sqrt 2 \left| 2 \right.} \right.} \right)\)
- und die Gerade \(g:\overrightarrow X = \overrightarrow A + \lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ {\sqrt 2 }\\ 1 \end{array}} \right),\,\,\,\lambda \in {\Bbb R }\)
gegeben.
1. Teilaufgabe a.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Beschreiben Sie, welche besondere Lage die Ebene E im Koordinatensystem hat.
2. Teilaufgabe a.2) 1 BE - Bearbeitungszeit 2:20
Weisen Sie nach, dass die Ebene E die Gerade g enthält.
3. Teilaufgabe a.3) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Geben Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von E mit der x1-Achse und mit der x3 -Achse an.
4. Teilaufgabe a.4) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Veranschaulichen Sie die Lage der Ebene E sowie den Verlauf der Geraden g in einem kartesischen Koordinatensystem (vgl. Abbildung).
Die x1x2-Ebene beschreibt modellhaft eine horizontale Fläche, auf der eine Achterbahn errichtet wurde. Ein gerader Abschnitt der Bahn beginnt im Modell im Punkt A und verläuft entlang der Geraden g. Der Vektor
\(\overrightarrow v = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ {\sqrt 2 }\\ 1 \end{array}} \right)\)
beschreibt die Fahrtrichtung auf diesem Abschnitt.
5. Teilaufgabe b.1) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Berechnen Sie im Modell die Größe des Winkels, unter dem dieser Abschnitt der Achterbahn gegenüber der Horizontalen ansteigt.
6. Teilaufgabe b.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Berechnen Sie im Modell die zugehörige Steigung dieses Abschnitts in Prozent.
An den betrachteten geraden Abschnitt der Achterbahn schließt sich – in Fahrtrichtung gesehen – eine Rechtskurve an, die im Modell durch einen Viertelkreis beschrieben wird, der in der Ebene E verläuft und den Mittelpunkt \(M\left( {0\left| {3 \cdot \sqrt 2 \left| 2 \right.} \right.} \right)\) hat. Das Lot von M auf g schneidet g im Punkt B. Im Modell stellt B den Punkt der Achterbahn dar, in dem der gerade Abschnitt endet und die Kurve beginnt.
7. Teilaufgabe c.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Bestimmen Sie die Koordinaten von B.
8. Teilaufgabe c.2) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Berechnen Sie den Kurvenradius im Modell.
(Teilergebnis: \(B\left( { - 1\left| {2 \cdot \sqrt 2 \left| 3 \right.} \right.} \right)\)
Das Ende der Rechtskurve wird im Koordinatensystem durch den Punkt C beschrieben.
9. Teilaufgabe d) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Begründen Sie, dass für den Ortsvektor des Punkts C gilt: \(\overrightarrow C = \overrightarrow M + \overrightarrow v \)
Ein Wagen der Achterbahn durchfährt den Abschnitt, der im Modell durch die Strecke [AB] und den Viertelkreis von B nach C dargestellt wird, mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 15 m/s.
10. Teilaufgabe e) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Berechnen Sie die Zeit, die der Wagen dafür benötigt, auf Zehntelsekunden genau, wenn eine Längeneinheit im Koordinatensystem 10 m in der Realität entspricht.
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