Orthogonalitätskriterium
2 Vektoren stehen im rechten Winkel zueinander, wenn ihr Skalarprodukt Null ist
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Multiplikation von Vektoren
Bei der Multiplikation von Vektoren unterscheidet man zwischen
- Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar. Das Resultat ist ein in der Länge veränderter Vektor
- Skalarprodukt als Multiplikation zweier Vektoren. Das Resultat ist ein Skalar. Wichtige Anwendung: Orthogonalitätskriterium und Winkel zwischen 2 Vektoren
- Kreuzprodukt als Multiplikation zweier Vektoren. Das Resultat ist ein dritter Vektor, der auf den beiden Ausgangsvektoren normal steht. Wichtige Anwendung: Parallelitätskriterium und Fläche des von 2 Vektoren aufgespannten Parallelogramms
- Spatprodukt als Multiplikation dreier Vektoren. Dabei wird zuerst das Kreuzprodukt zweier Vektoren gebildet. Mit dem daraus resultierenden Vektor und dem dritten gegebenen Vektor wird anschließend das Skalarprodukt gebildet. Das Resultat ist ein Skalar. Wichtige Anwendung: Volumen eines von 3 Vektoren aufgespannten Körpers
Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
Unter Skalarmultiplikation versteht man die Multiplikation eines Vektor \(\overrightarrow a \) mit einer reellen Zahl λ (Skalar). Der resultierende Vektor hat die λ-fache Länge des Ausgangsvektors. Für negative λ sind der Ausgangsvektor und der resultierende Vektor entgegengesetzt orientiert.
\(\lambda \cdot \overrightarrow a = \left( \matrix{ \lambda \cdot {a_x} \hfill \cr \lambda \cdot {a_y} \hfill \cr} \right)\,\,\,\,\,{\rm{wobei}}\,\,\,\,\,\lambda \overrightarrow a \left\| {\overrightarrow a } \right.\)
\(c \cdot \overrightarrow v = c \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}}\\ {{v_y}}\\ {{v_z}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {c \cdot {v_x}}\\ {c \cdot {v_y}}\\ {c \cdot {v_z}} \end{array}} \right)\)
Rechenregeln im Zusammenhang mit der Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
\(\eqalign{ & \lambda \cdot \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = \lambda \cdot \overrightarrow a + \lambda \cdot \overrightarrow b \cr & \left( {\lambda + \mu } \right) \cdot \overrightarrow a = \lambda \cdot \overrightarrow a + \mu \cdot \overrightarrow a \cr & 0 \cdot \overrightarrow a = \overrightarrow 0 \cr}\)
Skalarprodukt
Das Skalarprodukt bzw. das innere Produkt zweier Vektoren ordnet zwei Vektoren eine reelle Zahl zu und wird gebildet, in dem komponentenweise multipliziert wird, und anschließend die Summe der Produkte gebildet wird. Es findet Anwendung bei der Winkelberechnung zwischen 2 Vektoren und beim Orthogonalitätskriterium welches besagt, dass wenn zwei Vektoren senkrecht auf einander stehen, ihr Skalarprodukt gleich Null ist
\( \eqalign{ & \overrightarrow a \circ \overrightarrow b = \left( {\matrix{ {{a_x}} \cr {{a_y}} \cr } } \right) \cdot \left( {\matrix{ {{b_x}} \cr {{b_y}} \cr } } \right) = {a_x} \cdot {b_x} + {a_y} \cdot {b_y} = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \varphi \cr & \cos \varphi = {{\overrightarrow a \circ \overrightarrow b } \over {\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}} = {{{a_x} \cdot {b_x} + {a_y} \cdot {b_y}} \over {\sqrt {{a_x}^2 + {a_y}^2} .\sqrt {{b_x}^2 + {b_y}^2} }} \cr}\)
Orthogonalitätskriterium
2 Vektoren stehen im rechter Winkel zueinander, wenn ihr Skalarprodukt Null ist
\(\eqalign{ & \overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a \circ \overrightarrow b = 0 \cr & {a_x}{b_x} + {a_y}{b_y} = 0 \cr}\)
Achtung in \({{\Bbb R}^3}\):
- Das Skalarprodukt im 3-dimensionalen Raum macht eine Aussage darüber, ob die beiden Geraden im rechten Winkel auf einander stehen.
- Es macht aber keine Aussage darüber, ob die beiden Geraden in einer Ebene liegen und einander daher schneiden, oder ob sie in 2 parallelen Ebenen liegen und daher windschief zu einander sind.
Winkel zwischen 2 Vektoren
Zwischen zwei Vektoren kann man zwei Winkel einzeichnen, einen innen- und einen außenliegenden Winkel. Wenn nichts Gegenteiliges gesagt wird, ist immer der Innenwinkel gemeint. Zur Berechnung des Winkels bestimmt man zunächst
- das Skalarprodukt \(\overrightarrow a \circ \overrightarrow b = {a_x} \cdot {b_x} + {a_y} \cdot {b_y}\) der beiden Vektoren,
- danach jeweils den Betrag \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{a_x}^2 + {a_y}^2} \) bzw. \(\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {{b_x}^2 + {b_y}^2} \) der beiden Vektoren
- und setzt dann in die Formel ein.
- Indem wir den ArkusKosinus nehmen, erhalten wir als Resultat den Winkel in Grad.
Den Kosinus vom Winkel zwischen zwei Vektoren erhält man, indem man das Skalarprodukt der beiden Vektoren durch das Produkt der Beträge der beiden Vektoren dividiert.
\(\varphi = \arccos \dfrac{{\overrightarrow a \circ \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}}\) mit \(\left| {\overrightarrow a } \right| \ne 0;\,\,\,\,\,\left| {\overrightarrow b } \right| \ne 0\)
Rechenregeln im Zusammenhang mit dem Skalarprodukt
Kommutativgesetz
\(\overrightarrow a \circ \overrightarrow b = \overrightarrow b \circ \overrightarrow a \)
Distributivgesetz
\(\overrightarrow a \circ \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) = \overrightarrow a \circ \overrightarrow b + \overrightarrow a \circ \overrightarrow c \)
gemischtes Assoziativgesetz, wobei k ein Skalar ist
\(k \cdot \left( {\overrightarrow a \circ \overrightarrow b } \right) = \left( {k \cdot \overrightarrow a } \right) \circ \overrightarrow b = \overrightarrow a \circ \left( {k \cdot \overrightarrow b } \right)\)
Quadrat eines Vektors bzw. Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst
Betrachten wir den Spezialfall dass \(\overrightarrow b = \overrightarrow a \) , dann gilt:
Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst bzw. das Quadrat eines Vektors ist gleich dem Quadrat des Betrags vom Vektor. Wir können das wie folgt zeigen:
\(\begin{array}{l} \overrightarrow a \circ \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \varphi \\ \overrightarrow b = \overrightarrow a \to \cos \left( 0 \right) = 1\\ \overrightarrow a \circ \overrightarrow a = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot 1\\ \overrightarrow a \circ \overrightarrow a = {\overrightarrow a ^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} \end{array}\)
Kreuzprodukt
Für das Kreuzprodukt sind auch die Bezeichnungen vektorielles Produkt bzw. äußeres Produkt üblich Das vektorielle Produkt zweier Vektoren ist ein (dritter) Vektor, der senkrecht auf der von den beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht. (Rechtssystem).
\(\eqalign{ & \overrightarrow c = \overrightarrow a \times \overrightarrow b = \left( {\matrix{ {{a_x}} \cr {{a_y}} \cr {{a_z}} \cr } } \right)\times\left( {\matrix{ {{b_x}} \cr {{b_y}} \cr {{b_z}} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {{a_y} \cdot {b_z} - {a_z} \cdot {b_y}} \cr {{a_z} \cdot {b_x} - {a_x} \cdot {b_z}} \cr {{a_x} \cdot {b_y} - {a_y} \cdot {b_x}} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {{c_x}} \cr {{c_y}} \cr {{c_z}} \cr } } \right) \cr & \left| {\overrightarrow c } \right| = \left| {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|.\sin \varphi ; \cr}\)
\(\eqalign{ & {\text{mit }}\varphi = \sphericalangle \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) & }\)
\(\eqalign{ & \overrightarrow a \times \overrightarrow b \bot \overrightarrow a \cr & \overrightarrow a \times \overrightarrow b \bot \overrightarrow b \cr} \)
Die Bildungsvorschrift für den doch etwas komplizierten Klammerausdruck lautet wie folgt:
Schreibe die Komponenten der beiden Vektoren an und füge die beiden oberen Zeilen unten noch einmal an
\(\begin{array}{*{20}{l}} {{a_x}}&{{b_x}}&{}&{}&{}\\ {{a_y}}&{{b_y}}&{}&{}&{}\\ {{a_z}}&{{b_z}}&{}&{}&{}\\ {{a_x}}&{{b_x}}&{}&{}&{}\\ {{a_y}}&{{b_y}}&{}&{}&{} \end{array}\)
Fange in der 1. Spalte in der 2. Zeile an und rechne: "(links oben mal rechts unten) minus (links unten mal rechts oben)
\(\begin{array}{*{20}{l}} {{a_x}}&{{b_x}}&{}&{{a_y} \cdot {b_z}}&{ - {a_z} \cdot {b_y}}\\ {{a_y}}&{{b_y}}&{}&{}&{}\\ {{a_z}}&{{b_z}}& \Rightarrow &{}&{}\\ {{a_x}}&{{b_x}}&{}&{}&{}\\ {{a_y}}&{{b_y}}&{}&{}&{} \end{array}\)
Wiederhole das Ganze in der 1. Spalten in der 3. Zeile
\(\begin{array}{*{20}{l}} {{a_x}}&{{b_x}}&{}&{{a_y} \cdot {b_z}}&{ - {a_z} \cdot {b_y}}\\ {{a_y}}&{{b_y}}&{}&{{a_z} \cdot {b_x}}&{ - {a_x} \cdot {b_z}}\\ {{a_z}}&{{b_z}}& \Rightarrow &{}&{}\\ {{a_x}}&{{b_x}}&{}&{}&{}\\ {{a_y}}&{{b_y}}&{}&{}&{} \end{array}\)
Wiederhole das Ganze in der 1. Spalten in der 4. Zeile
\(\begin{array}{*{20}{l}} {{a_x}}&{{b_x}}&{}&{{a_y} \cdot {b_z}}&{ - {a_z} \cdot {b_y}}\\ {{a_y}}&{{b_y}}&{}&{{a_z} \cdot {b_x}}&{ - {a_x} \cdot {b_z}}\\ {{a_z}}&{{b_z}}& \Rightarrow &{{a_x} \cdot {b_y}}&{ - {a_y} \cdot {b_x}}\\ {{a_x}}&{{b_x}}&{}&{}&{}\\ {{a_y}}&{{b_y}}&{}&{}&{} \end{array}\)
Betrag vom Kreuzprodukt entspricht der Fläche vom Parallelogramm
Der Betrag des Vektors entspricht der Maßzahl der Fläche, des durch die beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms.
\({\rm{A = l}} \cdot {\rm{b = }}\left| {\left( {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right)} \right| = {\rm{Skalar}}\)
Illustration vom Kreuzprodukt
Parallelitätskriterium
Zwei Vektoren sind dann zueinander parallel, wenn der Betrag von dem Vektor, der sich aus dem Kreuzprodukt ergibt, Null ist
\(\begin{array}{l} \overrightarrow a \times \overrightarrow b = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a \parallel \overrightarrow b \\ \left| {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right| = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a \parallel \overrightarrow b \end{array}\)
Zwei Vektoren sind dann zu einander parallel, wenn ein Vektor ein Vielfaches vom anderen Vektor ist.
\(\overrightarrow a \left\| {\overrightarrow b } \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow b = \lambda .\overrightarrow a \Leftrightarrow \left( {\matrix{ {{b_x}} \cr {{b_y}} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {\lambda .{a_x}} \cr {\lambda .{a_y}} \cr } } \right)\)
Rechenregeln im Zusammenhang mit dem Kreuzprodukt
Das Kommutativgesetz gilt nicht für das Kreuzprodukt, sondern es besteht folgender Zusammenhang
\(\overrightarrow a \times \overrightarrow b = - \left( {\overrightarrow b \times \overrightarrow a } \right)\)
Das Distributivgesetz gilt für das Kreuzprodukt
\(\eqalign{ & \overrightarrow a \times \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) = \overrightarrow a \times \overrightarrow b + \overrightarrow a \times \overrightarrow c \cr & \left( {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right) \times \overrightarrow c = \overrightarrow a \times \overrightarrow c + \overrightarrow b \times \overrightarrow c \cr} \)
Darüber hinaus gelten folgende Zusammenhänge
\(\eqalign{ & \overrightarrow a \times \overrightarrow a = 0 \cr & \left( {\lambda \overrightarrow a } \right) \times \overrightarrow b = \lambda \left( {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right) \cr} \)
Das Spatprodukt
Beim Spatprodukt, auch gemischtes Produkt genannt, wird zuerst von zwei Vektoren das Kreuzprodukt und vom so resultierenden Vektor zusammen mit einem dritten Vektor das Skalarprodukt berechnet. Es dient dazu das Volumen eines von drei Vektoren aufgespannten Körpers zu berechnen. Solch einen Körper nennt man Parallelepiped oder Spat. Die Bezeichnung Spat ist uns aus der Mineralogie (Feldspat) vertraut. Das Spatprodukt dreier Vektoren liefert als Resultat ein Skalar.
\(V = l \cdot b \cdot h = A \cdot h = \left( {\overrightarrow a \times \overrightarrow b } \right) \circ \overrightarrow c = \overrightarrow d \circ \overrightarrow c = {\rm{Skalar}}\)
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Aufgaben
Aufgabe 1666
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2019 - Teil-1-Aufgaben - 5. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Beziehung zwischen Vektoren
Gegeben sind zwei Vektoren
\(\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {13}\\ 5 \end{array}} \right){\rm{ }}\)und \(\overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10 \cdot m}\\ n \end{array}} \right)\) mit \(m,n \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
Aufgabenstellung:
Die Vektoren a und b sollen aufeinander normal stehen. Geben Sie für diesen Fall n in Abhängigkeit von m an!
n= ___
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Aufgabe 1786
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. September 2020 - Teil-1-Aufgaben - 5. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Geraden in ℝ2
Für die zwei Geraden g und h in ℝ2 gilt:
- Die Gerade g mit dem Richtungsvektor \(\overrightarrow g \) hat den Normalvektor \(\overrightarrow {{n_g}} \).
-
Die Gerade g mit dem Richtungsvektor \(\overrightarrow h\) hat den Normalvektor \(\overrightarrow {{n_h}} \).
- Die Geraden g und h stehen normal aufeinander.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Bedingungen an, die auf jeden Fall gelten.
- Aussage 1: \(\overrightarrow {{n_g}} \cdot \overrightarrow h = 0\)
- Aussage 2: \(\overrightarrow {{n_g}} \cdot \overrightarrow {{n_h}} = 0\)
- Aussage 3: \(\overrightarrow g = r \cdot \overrightarrow h {\text{ mit }}r \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
- Aussage 4: \(\overrightarrow g = r \cdot \overrightarrow {{n_h}} {\text{ mit }}r \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
- Aussage 5: \(\overrightarrow g \cdot \overrightarrow {{n_h}} = 0\)
[0 / 1 Punkt]
Aufgabe 4413
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Stand-up-Paddling - Aufgabe B_480
Stand-up-Paddling ist eine Wassersportart, bei der eine Person aufrecht auf einem Board steht und paddelt.
Teil d
In einem Hafen wurde eine Stand-up-Paddling-Trainingsstrecke mit Bojen markiert. Dabei muss man vom Start im Punkt A zum Punkt B und dann zum Punkt C paddeln (siehe nachstehende Abbildung).
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Interpretieren Sie das Ergebnis der nachstehenden Berechnung geometrisch.
[1 Punkt]
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} = 0\)
Aufgabe 4433
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Flughafen - Aufgabe B_506
Teil c
In der nachstehenden Abbildung ist modellhaft ein Koffer auf einem Gepäckförderband dargestellt. Der Koffer bewegt sich mit der Geschwindigkeit \(\overrightarrow v = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1,2} \\ {0,5} \end{array}} \right)\,\,\dfrac{m}{s}\) vom Punkt A zum Punkt B.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie \(\left| {\overrightarrow v } \right|{\text{ in }}\dfrac{m}{{\min }}\)
[0 / 1 P.]
Anschließend bewegt sich der Koffer mit der Geschwindigkeit \(\overrightarrow w = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1} \\ {{y_w}} \end{array}} \right)\dfrac{m}{s}\) vom Punkt B zum Punkt C. Die beiden Vektoren v und w stehen normal aufeinander.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie yw.
[0 / 1 P.]
Aufgabe 6014
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Geometrie
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Betrachtet wird die Pyramide ABCDS mit A(0 | 0 | 0), B(4 | 4 | 2) , C(8 | 0 | 2), D(4 | -4 | 0) und S(1|1| -4) . Die Grundfläche ABCD ist ein Parallelogramm.
Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Weisen Sie nach, dass das Parallelogramm ABCD ein Rechteck ist.
Die Kante \(\left[ {AS} \right]\) senkrecht auf der Grundfläche ABCD. Der Flächeninhalt der Grundfläche beträgt \(24 \cdot \sqrt 2 \)
Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Ermitteln Sie das Volumen der Pyramide.
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