Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Potenzieren
Potenzieren, d.h. die Potenzrechnung, ermöglicht es, x zu errechnen, wenn x unter einer Wurzel steht.
Beispiel:
Berechne x
\(\eqalign{ & \root 3 \of x = 5 \cr & x = {5^3} = 125 \cr}\)
Bezeichnungen beim Potenzieren
Eine Potenz ist ein Begriff aus der Exponentialrechnung. Sie setzt sich aus einer Mantisse, einer Basis und einem Exponenten zusammen. Es handelt sich dabei um eine vereinfachte Schreibweise einer Multiplikation.
\(m \cdot {a^n}\) | |
m | Mantisse, das ist die Gleitkommazahl vor der Potenz |
\({a^n}\) | Potenz |
a | Basis oder Grundzahl beschreibt, welche Basis zu multiplizieren ist, |
\({^n}\) | Exponent oder Hochzahl beschreibt, wie oft die Basis mit sich selbst zu multiplizieren ist |
Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
Beim Potenzieren handelt es sich um eine abgekürzte Schreibweise für eine spezielle Multiplikation, bei der ein Faktor „a“ n-mal mit sich selbst multipliziert wird. Man spricht „a hoch n“.
\(\eqalign{ & {a^n} = a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a \cr & a \in {\Bbb R} \cr & n \in {\Bbb N}\backslash \left\{ 0 \right\} \cr}\)
- Quadrieren: Multipliziert man eine Zahl einmal mit sich selbst, bzw. nimmt man eine Zahl zum Quadrat, so spricht man vom Quadrieren. Die Hochzahl bzw. der Exponent ist also 2. Beispiel: x2
Quadriert man eine negative Zahl, so ist das Resultat eine positive Zahl. Beispiel: (-2)2=4 - Kubieren: Multipliziert man eine Zahl zweimal mit sich selbst, bzw. nimmt man eine Zahl zur dritten Potenz, so spricht man vom Kubieren. Die Hochzahl bzw. der Exponent ist also 3. Beispiel: x3
Kubiert man eine negative Zahl, so ist das Resultat eine negative Zahl. Beispiel: (-2)3= -8
Potenzen mit negativen Exponenten
Eine Potenz mit negativem Exponent kann in einen Quotienten umgewandelt werden, in dessen Zähler eine 1 steht und dessen Nenner die Basis der Potenz aber mit positivem Exponenten ist. In der Praxis geht man aber eher umgekehrt vor und macht aus einem Bruch eine Potenz mit negativem Exponent.
\({a^{ - n}} = \dfrac{1}{{{a^n}}}\)
Potenzen mit negativer Basis
Potenzen von Zahlen mit einer negativen Basis sind positiv, wenn der Exponent gerade ist bzw. negativ, wenn der Exponent ungerade ist.
Beispiel:
- negative Basis, gerader Exponent: \({\left( { - 3} \right)^4} = \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 3} \right) = 9 \cdot 9 = 81\)
- negative Basis, ungerader Exponent: \({\left( { - 3} \right)^3} = \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 3} \right) = 9 \cdot \left( { - 3} \right) = - 27\)
Beispiel aus der Physik:
Lichtgeschwindigkeit
\({{c_0} = {{2,99792.10}^8}\dfrac{m}{s}}\) | Potenzen |
2,99792 | Mantisse |
10 | Basis |
8 | Exponent |
\({\dfrac{m}{s}}\) | physikalische Einheit |
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Aufgaben
Aufgabe 49
Potenzen mit übereinstimmenden Basen
Vereinfache:
\(w = \left( { - \dfrac{2}{3}} \right) \cdot {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^3}\)
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Aufgabe 50
Potenzen mit übereinstimmenden Basen
Vereinfache:
\(w = {\left( { - \dfrac{2}{3}} \right)^5}:{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^3}\)
Aufgabe 51
Potenzen mit übereinstimmenden Basen
Vereinfache:
\(\eqalign{ w = \dfrac{{6{a^{5r}}}}{{18{a^{2r}}}}}\)
Aufgabe 52
Potenzen mit übereinstimmenden Exponenten
Vereinfache:
\(w = {0,8^6} \cdot {0,4^6}\)
Aufgabe 53
Potenzen mit übereinstimmenden Exponenten
Vereinfache:
\(w = - {\left( a \right)^3} \cdot {\left( { - b} \right)^3}\)
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Aufgabe 54
Potenzen mit reellen Exponenten
Vereinfache:
\(w = \dfrac{{6{a^2}{b^5} \cdot {{( - c)}^3}}}{{3{a^2}{b^3}{c^5}}}\)
Aufgabe 55
Potenzen mit reellen Exponenten
Vereinfache:
\(w = {\left( { - 0,2a} \right)^{ - 5}}\)
Aufgabe 56
Potenzen mit reellen Exponenten
Vereinfache:
\(w = (\dfrac{{{a^{ - 2}}}}{{{b^{ - 3}}}}) \cdot \dfrac{1}{b}\)
Aufgabe 57
Potenzen mit reellen Exponenten
Vereinfache:
\(w = \dfrac{{{b^{ - 3}}{c^3}}}{{{a^2}{b^{ - 4}}{c^{ - 2}}}} \cdot {a^2}\)
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Aufgabe 58
Potenzen mit reellen Exponenten
Vereinfache:
\(w = 5{a^{ - 3}}\)
Aufgabe 59
Potenzieren von Potenzen
Vereinfache:
\(w = {\left( {{b^{r + 3}}} \right)^2} - {\left( {{b^2}} \right)^{r + 3}} + {\left( {{b^r}} \right)^{3r}}\)
Aufgabe 1121
AHS - 1_121 & Lehrstoff: AG 2.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Potenzen
Gegeben ist der Term \({\left( {{a^4} \cdot {b^{ - 5}} \cdot c} \right)^{ - 3}}\)
- Aussage 1: \(a \cdot {b^{ - 8}} \cdot {c^{ - 2}}\)
- Aussage 2: \(\dfrac{{{b^{15}}}}{{{a^{12}} \cdot {c^3}}}\)
- Aussage 3: \({\left( {\dfrac{{{b^8} \cdot {c^2}}}{a}} \right)^{ - 1}}\)
- Aussage 4: \({\left( {\dfrac{{{a^4} \cdot c}}{{{b^5}}}} \right)^{ - 1}}\)
- Aussage 5: \({a^{ - 12}} \cdot {b^{ 15}} \cdot {c^{ - 3}}\)
Aufgabenstellung:
Welche(r) der obenstehenden Terme ist/sind zum gegebenen Term äquivalent? Kreuzen Sie die zutreffende(n) Antwort(en) an!