Österreichische AHS Matura - 2016.01.15 - 24 Typ I Beispiele - 120 Minuten Rechenzeit

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Aussagen über Zahlen

Gegeben sind Aussagen über Zahlen.

• Aussage 1: Jede reelle Zahl ist eine irrationale Zahl.
• Aussage 2: Jede reelle Zahl ist eine komplexe Zahl.
• Aussage 3: Jede rationale Zahl ist eine ganze Zahl.
• Aussage 4: Jede ganze Zahl ist eine natürliche Zahl.
• Aussage 5: Jede natürliche Zahl ist eine reelle Zahl.

Aufgabenstellung [0 / 1 P.]  – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Welche der im Folgenden angeführten Aussagen gelten? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Quadratische Gleichung

Gegeben ist die folgende quadratische Gleichung in der Unbekannten x über der Grundmenge \({\Bbb R}\)

\(\eqalign{ & 4{x^2} - d = 2 \cr & d \in {\Bbb R} \cr} \)

Aufgabenstellung [0 / 1 P.]  – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Geben Sie denjenigen Wert für \(d \in {\Bbb R}\) an, für den die Gleichung genau eine Lösung hat!

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe
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Gleichungssystem

Gegeben ist ein Gleichungssystem aus zwei linearen Gleichungen in den Variablen \(x,y \in {\Bbb R}\)

\(\eqalign{ & 2x + 3y = 7 \cr & 3x + by = c \cr & {\text{mit }}b,c \in {\Bbb R} \cr} \)

Aufgabenstellung [0 / 1 P.]  – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Ermitteln Sie diejenigen Werte für b und c, für die das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat!

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Normalvektoren

Gegeben ist der Vektor \(\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 1\\ 2 \end{array}} \right)\)

Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie die Koordinate z_b des Vektors \(\overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 2\\ {{z_b}} \end{array}} \right)\) so, dass \(\overrightarrow a\) und \(\overrightarrow b\) aufeinander normal stehen!

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 5. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Gleichung einer Geraden

In der nachstehenden Abbildung sind eine Gerade g durch die Punkte P und Q sowie der Punkt A dargestellt.

Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie eine Gleichung der Geraden h, die durch A verlauft und normal zu g ist!

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 6. Aufgabe
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Standseilbahn Salzburg

Die Festungsbahn Salzburg ist eine Standseilbahn in der Stadt Salzburg mit konstanter Steigung. Die Bahn auf den dortigen Festungsberg ist die älteste in Betrieb befindliche Seilbahn dieser Art in Osterreich. Die Standseilbahn legt eine Wegstrecke von 198,5 m zurück und überwindet dabei einen Höhenunterschied von 96,6 m.

Anmerkung: Die Original-Angabe enthält ein Foto von der Standseilbahn in Salzburg, auf dem man erkennen kann, dass die Bahn in einem Winkel gegen die Waagrechte zur Burg hinauf fährt. Wir ersetzen dieses Foto aus Urheberrechtsgründen durch folgende Skizze, wodurch das Beispiel aber vereinfacht wird:

Aufgabenstellung
Berechnen Sie den Winkel α, unter dem die Gleise der Bahn gegen die Horizontale geneigt sind!

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 7. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Asymptotisches Verhalten

Gegeben sind fünf Funktionsgleichungen.

• Aussage 1: \({f_1}\left( x \right) = \dfrac{2}{x}\)
• Aussage 2: \({f_2}\left( x \right) = {2^x}\)
• Aussage 3: \({f_3}\left( x \right) = \dfrac{x}{2}\)
• Aussage 4: \({f_4}\left( x \right) = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x}\)
• Aussage 5: \({f_5}\left( x \right) = {x^{\dfrac{1}{2}}}\)

Aufgabenstellung
Welche dieser Funktionen besitzt/besitzen eine waagrechte Asymptote? Kreuzen Sie die zutreffende(n) Funktionsgleichung(en) an!

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 8. Aufgabe
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Gleichung einer Funktion

Der Graph der Funktion f ist eine Gerade, die durch die Punkte P = (2|8) und Q = (4|4) verlauft.

Aufgabenstellung:
Geben Sie eine Funktionsgleichung der Funktion f an!

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 9. Aufgabe
Quelle: Distance-Learning-Check vom 15. April 2020 - Teil-1 Aufgaben - 10. Aufgabe
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Heizungstage

Die Anzahl der Heizungstage, für die ein Vorrat an Heizöl in einem Tank reicht, ist indirekt proportional zum durchschnittlichen Tagesverbrauch x (in Litern).

Aufgabenstellung:
In einem Tank befinden sich 1500 Liter Heizöl. Geben Sie einen Term an, der die Anzahl d(x) der Heizungstage in Abhängigkeit vom durchschnittlichen Tagesverbrauch x bestimmt!

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 10. Aufgabe
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Eigenschaften von Polynomfunktionen 3. Grades

Eine Polynomfunktion 3. Grades hat allgemein die Form
\(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) mit \(a,b,c,d \in {\Bbb R}\) und \(a \ne 0\)

• Aussage 1: Es gibt Polynomfunktionen 3. Grades, die keine lokale Extremstelle haben.
• Aussage 2: Es gibt Polynomfunktionen 3. Grades, die keine Nullstelle haben.
• Aussage 3: Es gibt Polynomfunktionen 3. Grades, die mehr als eine Wendestelle haben.
• Aussage 4: Es gibt Polynomfunktionen 3. Grades, die keine Wendestelle haben.
• Aussage 5: Es gibt Polynomfunktionen 3. Grades, die genau zwei verschiedene reelle Nullstellen haben.

Aufgabenstellung:
Welche der obigen Aussagen treffen für Polynomfunktionen 3. Grades zu? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Antworten an!

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 11. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Eigenschaften einer Exponentialfunktion

Gegeben ist die Funktion f mit \(f\left( x \right) = 50 \cdot {1,97^x}\)

• Aussage 1: Der Graph der Funktion f verlauft durch den Punkt P = (50|0).
• Aussage 2: Die Funktion f ist im Intervall [0; 5] streng monoton steigend.
• Aussage 3: Wenn man den Wert des Arguments x um 5 vergrößert, wird der Funktionswert 50-mal so groß.
• Aussage 4: Der Funktionswert f(x) ist positiv für alle x ∈ ℝ.
• Aussage 5: Wenn man den Wert des Arguments x um 1 vergrößert, wird der zugehörige Funktionswert um 97 % größer.

Aufgabenstellung:
Welche der obigen Aussagen trifft/treffen auf diese Funktion zu? Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 12. Aufgabe
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Parameter einer Sinusfunktion

Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der Funktion s mit der Gleichung \(s\left( x \right) = c \cdot \sin \left( {d \cdot x} \right)\) mit \(c,d \in {{\Bbb R}^ + }\) im Intervall \(\left[ { - 2\pi ;2\pi } \right]\)

Aufgabenstellung:
Erstellen Sie im obigen Koordinatensystem eine Skizze eines möglichen Funktionsgraphen der Funktion s₁ mit \({s_1}\left( x \right) = 2c \cdot \sin \left( {2d \cdot x} \right)\) im Intervall \(\left[ { - 2\pi ;2\pi } \right]\)