Österreichische BHS Matura - 2020.05.28 - HAK - 3 Teil B Beispiele

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Sozialausgaben - Aufgabe B_481

Sozialausgaben sind Geldleistungen, die der Staat Personen in bestimmten Lebenslagen zur Verfügung stellt.

Teil a

Die Sozialausgaben in Österreich für ausgewählte Jahre im Zeitraum von 1990 bis 2015 sind in der nachstehenden Tabelle angegeben (Werte gerundet).

Datenquelle: Statistik Austria (Hrsg.): Statistisches Jahrbuch Österreichs 2017. Wien: Verlag Österreich 2016, S. 224.

Die Sozialausgaben sollen in Abhängigkeit von der Zeit t in Jahren ab 1990 näherungsweise durch eine lineare Funktion beschrieben werden.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie eine Gleichung der zugehörigen linearen Regressionsfunktion S₁. Wählen Sie t = 0 für das Jahr 1990.

[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Interpretieren Sie den Wert der Steigung von S₁ im gegebenen Sachzusammenhang.

[1 Punkt]

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie mithilfe von S₁ eine Prognose für die Sozialausgaben im Jahr 2020.

[1 Punkt]

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Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
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Sozialausgaben - Aufgabe B_481 & B_482

Sozialausgaben sind Geldleistungen, die der Staat Personen in bestimmten Lebenslagen zur Verfügung stellt.

Teil b

Die Sozialausgaben in Österreich für ausgewählte Jahre im Zeitraum von 1990 bis 2015 sind in der nachstehenden Tabelle angegeben (Werte gerundet).

Datenquelle: Statistik Austria (Hrsg.): Statistisches Jahrbuch Österreichs 2017. Wien: Verlag Österreich 2016, S. 224.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
(nur HAK)

Interpretieren Sie das Ergebnis der nachstehenden Berechnung im gegebenen Sachzusammenhang:

\(\root 5 \of {\dfrac{{87,8}}{{71,2}}} - 1 \approx 0,043\)

Eine Sozialwissenschaftlerin geht von der Annahme aus, dass die Sozialausgaben in Österreich seit dem Jahr 2015 jährlich um 2,5 % bezogen auf das jeweilige Vorjahr steigen. Dieses Modell soll durch eine Funktion S₂ beschrieben werden.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Erstellen Sie eine Gleichung der Funktion S₂.

Wählen Sie t = 0 für das Jahr 2015.

[1 Punkt]

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Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
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Sozialausgaben - Aufgabe B_481

Sozialausgaben sind Geldleistungen, die der Staat Personen in bestimmten Lebenslagen zur Verfügung stellt.

Teil c

In der nachstehenden Abbildung sind das Bruttoinlandsprodukt und die Sozialausgaben Österreichs für den Zeitraum von 1990 bis 2015 dargestellt. Weiters ist die Regressionsgerade für das Bruttoinlandsprodukt für diesen Zeitraum eingezeichnet.

Bild

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie den Wert der Steigung der Regressionsgeraden für das Bruttoinlandsprodukt.

[1 Punkt]

Die Sozialquote ist das Verhältnis der Sozialausgaben zum Bruttoinlandsprodukt.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie die Sozialquote für das Jahr 2015.

[1 Punkt]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
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Sozialausgaben - Aufgabe B_481

Sozialausgaben sind Geldleistungen, die der Staat Personen in bestimmten Lebenslagen zur Verfügung stellt.

Teil d

Die Verteilung der Sozialausgaben von insgesamt 102,5 Milliarden Euro für das Jahr 2015 ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt. Der Bereich „Familie / Kinder“  ist markiert.

Bild

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie den Betrag, der im Jahr 2015 für den Bereich „Familie / Kinder“ ausgegeben worden ist.

[1 Punkt]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
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Fruchtsaftproduktion - Aufgabe B_483

Ein Unternehmen produziert den Fruchtsaft Mangomix.

Teil a

Die Kosten bei der Produktion des Fruchtsafts Mangomix können durch eine ertragsgesetzliche Kostenfunktion K beschrieben werden:
\(K\left( x \right) = a \cdot {x^3} + b \cdot {x^2} + 105 \cdot x + 1215\)

Von der Kostenfunktion ist bekannt:

• I: Die Grenzkosten bei einer Produktionsmenge von 25 hl betragen 30 €/hl.
• II: K″(25) = 0

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Erstellen Sie eine Gleichung, die die Bedingung I beschreibt.

[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Interpretieren Sie die Bedeutung der Zahl 25 in der Gleichung II im gegebenen Sachzusammenhang.

[1 Punkt]

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie die Koeffizienten a und b.

[1 Punkt]

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Fruchtsaftproduktion - Aufgabe B_483

Ein Unternehmen produziert den Fruchtsaft Mangomix.

Teil b

In der nachstehenden Abbildung sind die Graphen der Grenzkostenfunktion K′, der Durchschnittskostenfunktion K und der variablen Durchschnittskostenfunktion K_v für den Fruchtsaft Mangomix dargestellt. Vier Produktionsmengen, x_A bis x_D, sind auf der horizontalen Achse markiert.

Bild

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ordnen Sie den beiden Begriffen jeweils die zutreffende Produktionsmenge aus A bis D zu.

[2 zu 4] [1 Punkt]
 

• Begriff: Kostenkehre
• Begriff: Betriebsminimum

• Produktionsmenge A: x_A
• Produktionsmenge B: x_B
• Produktionsmenge C: x_C
• Produktionsmenge D: x_D

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Fruchtsaftproduktion - Aufgabe B_483

Ein Unternehmen produziert den Fruchtsaft Mangomix.

Teil c

Der Erlös beim Verkauf des Fruchtsafts Mangomix kann durch eine quadratische Funktion E beschrieben werden:

\(E\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b \cdot x{\text{ mit }}x \geqslant 0\)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen des jeweils richtigen Satzteils so, dass eine korrekte Aussage entsteht.

[Lückentext] [1 Punkt]

Der Koeffizient a muss ____1____ sein, weil der Graph von E ____2____ .

• Satzteil 1.1: positiv
• Satzteil 1.2: negativ
• Satzteil 1.3: gleich null

• Satzteil 2.1: durch den Ursprung geht
• Satzteil 2.2: keinen Wendepunkt hat
• Satzteil 2.3: nach unten geöffnet ist

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Weisen Sie nach, dass der maximale Erlös bei der Absatzmenge

\({x_0} = - \dfrac{b}{{2 \cdot a}}\)

erzielt wird.
[1 Punkt]

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Fruchtsaftproduktion - Aufgabe B_483

Ein Unternehmen produziert den Fruchtsaft Mangomix.

Teil d

Der Grenzgewinn für den Fruchtsaft Mangomix kann durch die Funktion G′ beschrieben werden:
\(G'\left( x \right) = - 0,12 \cdot {x^2} - 4 \cdot x + 220\)
 

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie diejenige Absatzmenge, bei der der maximale Gewinn erzielt wird.

[1 Punkt]

Die Fixkosten betragen 1.215 €.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Erstellen Sie eine Gleichung der zugehörigen Gewinnfunktion G unter Berücksichtigung der Fixkosten.

[1 Punkt]

Es soll derjenige Bereich für die Absatzmenge ermittelt werden, in dem der Gewinn mindestens 1.000 € betragt.

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie diesen Bereich.

[1 Punkt]

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Parkgarage - Aufgabe B_485

Eine Baugesellschaft errichtet eine Parkgarage. Es wird eine Nutzungsdauer von 40 Jahren angenommen. Die Baugesellschaft rechnet mit einem kalkulatorischen Zinssatz von 4 % p. a.

Teil a

Die Baugesellschaft rechnet mit jährlich nachschüssigen Betriebskosten in Hohe von jeweils € 64.000.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie den Barwert der Betriebskosten für die gesamte Nutzungsdauer.

[1 Punkt]

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Parkgarage - Aufgabe B_485

Eine Baugesellschaft errichtet eine Parkgarage. Es wird eine Nutzungsdauer von 40 Jahren angenommen. Die Baugesellschaft rechnet mit einem kalkulatorischen Zinssatz von 4 % p. a.

Teil b

Die Wartungskosten (in €) werden mit W₁ nach 10 Jahren, W₂ nach 20 Jahren und W₃ nach 30 Jahren veranschlagt.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Erstellen Sie mithilfe von W₁, W₂ und W₃ eine Formel zur Berechnung des Barwerts B der gesamten Wartungskosten.

B =

[1 Punkt]

W₁ und W₂ werden mit jeweils € 60.000 veranschlagt. Der Barwert B betragt € 92.582,56.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie W₃.

[1 Punkt]

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Parkgarage - Aufgabe B_485

Eine Baugesellschaft errichtet eine Parkgarage. Es wird eine Nutzungsdauer von 40 Jahren angenommen. Die Baugesellschaft rechnet mit einem kalkulatorischen Zinssatz von 4 % p. a.

Teil c

Die monatliche Miete für einen Parkgaragenplatz wird mit € 105 veranschlagt. Die Parkgarage verfügt über 120 Platze. Die Baugesellschaft rechnet mit monatlichen Mieteinnahmen in Hohe von € 10.080. Der Auslastungsgrad gibt an, wie viel Prozent der Parkgaragenplätze vermietet sind.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie den Auslastungsgrad der Parkgarage, mit dem die Baugesellschaft rechnet.

[1 Punkt]

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Parkgarage - Aufgabe B_485

Eine Baugesellschaft errichtet eine Parkgarage. Es wird eine Nutzungsdauer von 40 Jahren angenommen. Die Baugesellschaft rechnet mit einem kalkulatorischen Zinssatz von 4 % p. a.

Teil d

In der nachstehenden Abbildung ist der Kapitalwert für die Parkgarage (in € 1.000) in Abhängigkeit vom kalkulatorischen Zinssatz (in Prozent) dargestellt:

Bild

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Lesen Sie aus der obigen Abbildung den Kapitalwert für den kalkulatorischen Zinssatz 4 % ab. Geben Sie das Ergebnis in Euro an.

Kapitalwert:      €

[1 Punkt]

Die Baugesellschaft senkt die Anschaffungskosten für die Parkgarage um € 200.000.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Argumentieren Sie, dass der interne Zinssatz dadurch auf über 10 % steigt.

[1 Punkt]