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  2. Österreichische BHS Matura - 2020.05.28 - HAK - 3 Teil B Beispiele

Österreichische BHS Matura - 2020.05.28 - HAK - 3 Teil B Beispiele

Lösungsweg

Aufgabe 4414

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


Sozialausgaben - Aufgabe B_481

Sozialausgaben sind Geldleistungen, die der Staat Personen in bestimmten Lebenslagen zur Verfügung stellt.

Teil a

Die Sozialausgaben in Österreich für ausgewählte Jahre im Zeitraum von 1990 bis 2015 sind in der nachstehenden Tabelle angegeben (Werte gerundet).

Jahr Sozialausgaben in Milliarden €
1990 35,5
1995 51,0
2000 59,8
2005 71,2
2010 87,8
2015 102,5

Datenquelle: Statistik Austria (Hrsg.): Statistisches Jahrbuch Österreichs 2017. Wien: Verlag Österreich 2016, S. 224.

 

Die Sozialausgaben sollen in Abhängigkeit von der Zeit t in Jahren ab 1990 näherungsweise durch eine lineare Funktion beschrieben werden.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie eine Gleichung der zugehörigen linearen Regressionsfunktion S1. Wählen Sie t = 0 für das Jahr 1990.

[1 Punkt]


2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Interpretieren Sie den Wert der Steigung von S1 im gegebenen Sachzusammenhang.

[1 Punkt]


3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie mithilfe von S1 eine Prognose für die Sozialausgaben im Jahr 2020.

[1 Punkt]

Sozialausgaben - Aufgabe B_481
Mathematik Zentralmatura BHS - Mai 2020 - kostenlos vorgerechnet
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Regressionsgerade
Regression - Korrelation und Methode der kleinsten Quadrate
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Lösungsweg

Aufgabe 4415

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


Sozialausgaben - Aufgabe B_481 & B_482

Sozialausgaben sind Geldleistungen, die der Staat Personen in bestimmten Lebenslagen zur Verfügung stellt.

Teil b

Die Sozialausgaben in Österreich für ausgewählte Jahre im Zeitraum von 1990 bis 2015 sind in der nachstehenden Tabelle angegeben (Werte gerundet).

 

Jahr Sozialausgaben in Milliarden €
1990 35,5
1995 51,0
2000 59,8
2005 71,2
2010 87,8
2015 102,5

Datenquelle: Statistik Austria (Hrsg.): Statistisches Jahrbuch Österreichs 2017. Wien: Verlag Österreich 2016, S. 224.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
(nur HAK)

Interpretieren Sie das Ergebnis der nachstehenden Berechnung im gegebenen Sachzusammenhang:

\(\root 5 \of {\dfrac{{87,8}}{{71,2}}} - 1 \approx 0,043\)


Eine Sozialwissenschaftlerin geht von der Annahme aus, dass die Sozialausgaben in Österreich seit dem Jahr 2015 jährlich um 2,5 % bezogen auf das jeweilige Vorjahr steigen. Dieses Modell soll durch eine Funktion S2 beschrieben werden.

t Zeit ab 2015 in Jahren
S2(t) Sozialausgaben zur Zeit t in Milliarden Euro

 

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Erstellen Sie eine Gleichung der Funktion S2.

Wählen Sie t = 0 für das Jahr 2015.

[1 Punkt]

Sozialausgaben - Aufgabe B_481
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Sozialausgaben - Aufgabe B_482
Exponentielles Wachstum
Exponentialfunktion
BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool 3.9
Geometrischer Mittelwert
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Aufgabe 4416

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


Sozialausgaben - Aufgabe B_481

Sozialausgaben sind Geldleistungen, die der Staat Personen in bestimmten Lebenslagen zur Verfügung stellt.

Teil c

In der nachstehenden Abbildung sind das Bruttoinlandsprodukt und die Sozialausgaben Österreichs für den Zeitraum von 1990 bis 2015 dargestellt. Weiters ist die Regressionsgerade für das Bruttoinlandsprodukt für diesen Zeitraum eingezeichnet.

Bild
beispiel 4416_1

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie den Wert der Steigung der Regressionsgeraden für das Bruttoinlandsprodukt.

[1 Punkt]


Die Sozialquote ist das Verhältnis der Sozialausgaben zum Bruttoinlandsprodukt.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie die Sozialquote für das Jahr 2015.

[1 Punkt]

Sozialausgaben - Aufgabe B_481
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Steigung linearer Funktionen
Zahlen und Maße
BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool 3.2
BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool 1.1
Lineare Funktionen
Fragen oder Feedback
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Aufgabe 4417

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


Sozialausgaben - Aufgabe B_481

Sozialausgaben sind Geldleistungen, die der Staat Personen in bestimmten Lebenslagen zur Verfügung stellt.

Teil d

Die Verteilung der Sozialausgaben von insgesamt 102,5 Milliarden Euro für das Jahr 2015 ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt. Der Bereich „Familie / Kinder“  ist markiert.

Bild
beispiel 4417_1

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie den Betrag, der im Jahr 2015 für den Bereich „Familie / Kinder“ ausgegeben worden ist.

[1 Punkt]

Sozialausgaben - Aufgabe B_481
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Kreisdiagramm
Beschreibende Statistik
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Aufgabe 4418

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


Fruchtsaftproduktion - Aufgabe B_483

Ein Unternehmen produziert den Fruchtsaft Mangomix.

Teil a

Die Kosten bei der Produktion des Fruchtsafts Mangomix können durch eine ertragsgesetzliche Kostenfunktion K beschrieben werden:
\(K\left( x \right) = a \cdot {x^3} + b \cdot {x^2} + 105 \cdot x + 1215\)

x Produktionsmenge in hl
K(x) Kosten bei der Produktionsmenge x in €

 

Von der Kostenfunktion ist bekannt:

  • I: Die Grenzkosten bei einer Produktionsmenge von 25 hl betragen 30 €/hl.
  • II: K″(25) = 0

 

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Erstellen Sie eine Gleichung, die die Bedingung I beschreibt.

[1 Punkt]


2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Interpretieren Sie die Bedeutung der Zahl 25 in der Gleichung II im gegebenen Sachzusammenhang.

[1 Punkt]


3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie die Koeffizienten a und b.

[1 Punkt]

Fruchtsaftproduktion - Aufgabe B_483
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NEW-Regel
Kostenkehre
Grenzkosten
Kosten- und Preistheorie
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Aufgabe 4419

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
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Fruchtsaftproduktion - Aufgabe B_483

Ein Unternehmen produziert den Fruchtsaft Mangomix.

Teil b

In der nachstehenden Abbildung sind die Graphen der Grenzkostenfunktion K′, der Durchschnittskostenfunktion K und der variablen Durchschnittskostenfunktion Kv für den Fruchtsaft Mangomix dargestellt. Vier Produktionsmengen, xA bis xD, sind auf der horizontalen Achse markiert.

Bild
beispiel 4419_1

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ordnen Sie den beiden Begriffen jeweils die zutreffende Produktionsmenge aus A bis D zu.

[2 zu 4] [1 Punkt]
 

  • Begriff: Kostenkehre
  • Begriff: Betriebsminimum

 

  • Produktionsmenge A: xA
  • Produktionsmenge B: xB
  • Produktionsmenge C: xC
  • Produktionsmenge D: xD
Fruchtsaftproduktion - Aufgabe B_483
Mathematik Zentralmatura BHS - Mai 2020 - kostenlos vorgerechnet
Kostenkehre
Betriebsminimum
Kosten- und Preistheorie
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BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool B_W_4.3
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Aufgabe 4420

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
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Fruchtsaftproduktion - Aufgabe B_483

Ein Unternehmen produziert den Fruchtsaft Mangomix.

Teil c

Der Erlös beim Verkauf des Fruchtsafts Mangomix kann durch eine quadratische Funktion E beschrieben werden:

\(E\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b \cdot x{\text{ mit }}x \geqslant 0\)

x
  • Absatzmenge in hl
E(x)
  • Erlös bei der Absatzmenge x in €

 

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen des jeweils richtigen Satzteils so, dass eine korrekte Aussage entsteht.

[Lückentext] [1 Punkt]

Der Koeffizient a muss ____1____ sein, weil der Graph von E ____2____ .

 

  • Satzteil 1.1: positiv
  • Satzteil 1.2: negativ
  • Satzteil 1.3: gleich null

 

  • Satzteil 2.1: durch den Ursprung geht
  • Satzteil 2.2: keinen Wendepunkt hat
  • Satzteil 2.3: nach unten geöffnet ist

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Weisen Sie nach, dass der maximale Erlös bei der Absatzmenge

\({x_0} = - \dfrac{b}{{2 \cdot a}}\)

erzielt wird.
[1 Punkt]

Fruchtsaftproduktion - Aufgabe B_483
Mathematik Zentralmatura BHS - Mai 2020 - kostenlos vorgerechnet
Erlös
Erlösfunktion
Kosten- und Preistheorie
BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool B_W_4.2
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Aufgabe 4421

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
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Fruchtsaftproduktion - Aufgabe B_483

Ein Unternehmen produziert den Fruchtsaft Mangomix.

Teil d

Der Grenzgewinn für den Fruchtsaft Mangomix kann durch die Funktion G′ beschrieben werden:
\(G'\left( x \right) = - 0,12 \cdot {x^2} - 4 \cdot x + 220\)
 

x

Absatzmenge in hl

G'(x) Grenzgewinn bei der Absatzmenge x in €/hl

 

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie diejenige Absatzmenge, bei der der maximale Gewinn erzielt wird.

[1 Punkt]


Die Fixkosten betragen 1.215 €.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Erstellen Sie eine Gleichung der zugehörigen Gewinnfunktion G unter Berücksichtigung der Fixkosten.

[1 Punkt]


Es soll derjenige Bereich für die Absatzmenge ermittelt werden, in dem der Gewinn mindestens 1.000 € betragt.

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie diesen Bereich.

[1 Punkt]

Fruchtsaftproduktion - Aufgabe B_483
Mathematik Zentralmatura BHS - Mai 2020 - kostenlos vorgerechnet
Gewinnmaximum
Gewinnfunktion
Grenzgewinn
GeoGebra Nullstelle
Geogebra Integral
Kosten- und Preistheorie
BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool B_W_4.2
BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool B_W_4.1
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Aufgabe 4425

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


Parkgarage - Aufgabe B_485

Eine Baugesellschaft errichtet eine Parkgarage. Es wird eine Nutzungsdauer von 40 Jahren angenommen. Die Baugesellschaft rechnet mit einem kalkulatorischen Zinssatz von 4 % p. a.

 

Teil a

Die Baugesellschaft rechnet mit jährlich nachschüssigen Betriebskosten in Hohe von jeweils € 64.000.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie den Barwert der Betriebskosten für die gesamte Nutzungsdauer.

[1 Punkt]

Parkgarage - Aufgabe B_485
Mathematik Zentralmatura BHS - Mai 2020 - kostenlos vorgerechnet
Nachschüssige Rente
Barwert
Finanzmathematik
BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool B_W_3.3
BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool B_W_3.4
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Aufgabe 4426

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
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Parkgarage - Aufgabe B_485

Eine Baugesellschaft errichtet eine Parkgarage. Es wird eine Nutzungsdauer von 40 Jahren angenommen. Die Baugesellschaft rechnet mit einem kalkulatorischen Zinssatz von 4 % p. a.

 

Teil b

Die Wartungskosten (in €) werden mit W1 nach 10 Jahren, W2 nach 20 Jahren und W3 nach 30 Jahren veranschlagt.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Erstellen Sie mithilfe von W1, W2 und W3 eine Formel zur Berechnung des Barwerts B der gesamten Wartungskosten.

B =

[1 Punkt]


W1 und W2 werden mit jeweils € 60.000 veranschlagt. Der Barwert B betragt € 92.582,56.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie W3.

[1 Punkt]

Parkgarage - Aufgabe B_485
Mathematik Zentralmatura BHS - Mai 2020 - kostenlos vorgerechnet
Barwert
Finanzmathematik
BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool B_W_3.2
BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool B_W_3.4
Fragen oder Feedback
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Aufgabe 4427

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


Parkgarage - Aufgabe B_485

Eine Baugesellschaft errichtet eine Parkgarage. Es wird eine Nutzungsdauer von 40 Jahren angenommen. Die Baugesellschaft rechnet mit einem kalkulatorischen Zinssatz von 4 % p. a.

Teil c

Die monatliche Miete für einen Parkgaragenplatz wird mit € 105 veranschlagt. Die Parkgarage verfügt über 120 Platze. Die Baugesellschaft rechnet mit monatlichen Mieteinnahmen in Hohe von € 10.080. Der Auslastungsgrad gibt an, wie viel Prozent der Parkgaragenplätze vermietet sind.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie den Auslastungsgrad der Parkgarage, mit dem die Baugesellschaft rechnet.

[1 Punkt]

Parkgarage - Aufgabe B_485
Mathematik Zentralmatura BHS - Mai 2020 - kostenlos vorgerechnet
Prozentrechnung
Prozente und Promille
BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool 1.5
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Aufgabe 4428

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


Parkgarage - Aufgabe B_485

Eine Baugesellschaft errichtet eine Parkgarage. Es wird eine Nutzungsdauer von 40 Jahren angenommen. Die Baugesellschaft rechnet mit einem kalkulatorischen Zinssatz von 4 % p. a.

Teil d

In der nachstehenden Abbildung ist der Kapitalwert für die Parkgarage (in € 1.000) in Abhängigkeit vom kalkulatorischen Zinssatz (in Prozent) dargestellt:

Bild
Illustration Parkgarage - BHS Matura B_485

 

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Lesen Sie aus der obigen Abbildung den Kapitalwert für den kalkulatorischen Zinssatz 4 % ab. Geben Sie das Ergebnis in Euro an.

Kapitalwert:      €

[1 Punkt]


Die Baugesellschaft senkt die Anschaffungskosten für die Parkgarage um € 200.000.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Argumentieren Sie, dass der interne Zinssatz dadurch auf über 10 % steigt.

[1 Punkt]

Parkgarage - Aufgabe B_485
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Interner Zinssatz
Kapitalwertmethode
Kalkulatorischer Zinssatz
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Investitionsrechnung Aufgaben
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