Österreichische BHS Matura - 2022.01.12 - HUM

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Abfindung – Aufgabe B_538

Vier Geschwister haben gemeinsam ein Haus geerbt. Martha übernimmt das Haus und muss dafür ihren Geschwistern Andreas, Beate und Christian zum Zeitpunkt der Übernahme Geldbeträge in Höhe von jeweils € 80.000 auszahlen. Ein solcher Geldbetrag wird Abfindung genannt.

Teil a

Die Auszahlung der Abfindung in Höhe von € 80.000 an Andreas soll durch 3 Zahlungen erfolgen:

• € 25.000 nach 3 Jahren,
• € 30.000 nach 6 Jahren und
• € 35.000 nach 9 Jahren.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Stellen Sie eine Gleichung zur Berechnung des zugehörigen Jahreszinssatzes i auf.
[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie diesen Jahreszinssatz i.
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Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-B Aufgabe
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Abfindung – Aufgabe B_538

Vier Geschwister haben gemeinsam ein Haus geerbt. Martha übernimmt das Haus und muss dafür ihren Geschwistern Andreas, Beate und Christian zum Zeitpunkt der Übernahme Geldbeträge in Höhe von jeweils € 80.000 auszahlen. Ein solcher Geldbetrag wird Abfindung genannt.

Teil b

Die Auszahlung der Abfindung in Höhe von € 80.000 an Beate soll durch Zahlungen erfolgen, die durch die nachstehende Gleichung beschrieben werden.

\(80000 = 20000 + R \cdot \dfrac{{{{1,02}^4} - 1}}{{1,02 - 1}} \cdot \dfrac{1}{{{{1,02}^6}}}\)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Stellen Sie den Betrag € 20.000 und die Raten R auf der nachstehenden Zeitachse dar.

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Abbildung fehlt

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Abfindung – Aufgabe B_538

Vier Geschwister haben gemeinsam ein Haus geerbt. Martha übernimmt das Haus und muss dafür ihren Geschwistern Andreas, Beate und Christian zum Zeitpunkt der Übernahme Geldbeträge in Höhe von jeweils € 80.000 auszahlen. Ein solcher Geldbetrag wird Abfindung genannt.

Teil c

Die Auszahlung der Abfindung in Höhe von € 80.000 an Christian soll durch Quartalsraten in Höhe von jeweils € 4.000 und eine Restzahlung erfolgen. Die erste Zahlung erfolgt nach 1 Jahr. Der Zinssatz beträgt 2 % p. a.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Interpretieren Sie das Ergebnis der nachstehenden Berechnung im gegebenen Sachzusammenhang.

[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie die Anzahl der vollen Quartalsraten.

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3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie die Höhe der Restzahlung, die 1 Quartal nach der letzten vollen Quartalsrate ausgezahlt wird.

[0 / 1 P.]

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Quelle: BHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-B Aufgabe
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Abfindung – Aufgabe B_538

Vier Geschwister haben gemeinsam ein Haus geerbt. Martha übernimmt das Haus und muss dafür ihren Geschwistern Andreas, Beate und Christian zum Zeitpunkt der Übernahme Geldbeträge in Höhe von jeweils € 80.000 auszahlen. Ein solcher Geldbetrag wird Abfindung genannt.

Teil d

Zur Finanzierung der Hausübernahme nimmt Martha einen Kredit auf. Die vorletzte Zeile des Tilgungsplans lautet:

aa

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Zeigen Sie, dass der Zinssatz 3 % p. a. beträgt.
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2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Vervollständigen Sie die nachstehende letzte Zeile des Tilgungsplans.
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Farben und Lacke – Aufgabe B_539

Ein Unternehmen stellt verschiedene Farben und Lacke her.

Teil a

Die Gesamtkosten für die Produktion von Acrylfarbe werden durch eine Kostenfunktion K mit

\(K\left( x \right) = a \cdot {x^3} + b \cdot {x^2} + c \cdot x + d\)

beschrieben.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.

[0 / 1 P.]

Wenn ____1______ ist, dann kann K keine ertragsgesetzliche Kostenfunktion sein, weil in diesem Fall ____2____ .

Satzteil 1:

• Lücke 1_1: b < 0
• Lücke 1_2: c < 0
• Lücke 1_3: b < c

Satzteil 2:

• Lücke 2_1: die Fixkosten negativ sind
• Lücke 2_2: keine Kostenkehre existiert
• Lücke 2_3: die Grenzkosten bei der Produktionsmenge 0 negativ sind

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Farben und Lacke – Aufgabe B_539

Ein Unternehmen stellt verschiedene Farben und Lacke her.

Teil b

Der Graph der Gewinnfunktion G für Acrylfarbe ist in der nachstehenden Abbildung im Intervall [20; 85] dargestellt.

Abbildung fehlt

• x … Absatzmenge in ME
• G(x) … Gewinn bei der Absatzmenge x in GE

Die Fixkosten steigen um 50 GE. Die variablen Kosten und der Erlös bleiben unverändert. Der Gewinn unter diesen veränderten Bedingungen wird durch die Gewinnfunktion G₁ beschrieben.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Zeichnen Sie in der obigen Abbildung den Graphen der neuen Gewinnfunktion G1 im Intervall [20; 85] ein.

[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Lesen Sie aus der obigen Abbildung die untere Gewinngrenze ab, die sich unter diesen veränderten Bedingungen ergibt.
[0 / 1 P.]

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Farben und Lacke – Aufgabe B_539

Ein Unternehmen stellt verschiedene Farben und Lacke her.

Teil c

Für einen bestimmten Kunstharzlack beträgt der Höchstpreis 60 €/L. Bei einem Preis von 20 €/L können 200 L dieses Lacks abgesetzt werden. Der Zusammenhang zwischen dem Preis und der Absatzmenge kann für diesen Lack durch die lineare Preis-Absatz-Funktion p beschrieben werden.

• x … Absatzmenge in L
• p(x) … Preis bei der Absatzmenge x in €/L

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Stellen Sie eine Gleichung der linearen Preis-Absatz-Funktion p auf.
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2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Interpretieren Sie den Wert der Steigung dieser Preis-Absatz-Funktion p im gegebenen Sachzusammenhang.
[0 / 1 P.]

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie die Sättigungsmenge.
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Farben und Lacke – Aufgabe B_539

Ein Unternehmen stellt verschiedene Farben und Lacke her.

Teil d

Das Unternehmen stellt auch Wandfarbe her. In einem Heimwerker-Ratgeber wird empfohlen, mehr Farbe als vom Hersteller angegeben zu kaufen. Konkret werden dort folgende Empfehlungen gegeben:

• Für die zusätzlichen Flachen bei Tür- und Fensterrahmen sollten um insgesamt 10 % mehr
• Farbe als vom Hersteller angegeben gekauft werden.
• Um ganz sicher genug Farbe zu haben, sollte diese berechnete Menge anschließend nochmals um 20 % erhöht werden.

Auf den Farbkübeln ist angegeben, dass für 1 m² Wandfläche 0,14 L Farbe benötigt werden.

Es soll eine Formel für die Farbmenge M (in Litern) aufgestellt werden, die man für eine Wandfläche von A Quadratmetern benötigt. Dabei sollen die obigen Empfehlungen des Heimwerker-Ratgebers berücksichtigt werden.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Stellen Sie diese Formel auf.

M =
[0 / 1 P.]

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Thermometer – Aufgabe B_540

Ein digitales Thermometer wird zur Messung der Temperatur des Wassers in einem Becken verwendet. Ausgehend von einem Startwert nähert sich die angezeigte Temperatur der tatsächlichen Temperatur des Wassers an.

Teil a

Der zeitliche Verlauf der angezeigten Temperatur bei einer bestimmten Messung kann durch die Funktion f beschrieben werden.

\(f\left( t \right) = 38 - 6 \cdot {0,758^t}\)

• t … Zeit nach Beginn der Messung in s
• f(t) … angezeigte Temperatur zur Zeit t in °C

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Interpretieren Sie die Zahl 38 in der obigen Funktionsgleichung im gegebenen Sachzusammenhang.

[0 / 1 P.]

Sobald die momentane Änderungsrate der angezeigten Temperatur unter 0,01 °C/s sinkt, ertönt ein Piepton.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie, wie viele Sekunden nach Beginn der Messung der Piepton ertönt.
[0 / 1 P.]

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Thermometer – Aufgabe B_540

Ein digitales Thermometer wird zur Messung der Temperatur des Wassers in einem Becken verwendet. Ausgehend von einem Startwert nähert sich die angezeigte Temperatur der tatsächlichen Temperatur des Wassers an.

Teil b

Zu Beginn einer anderen Messung zeigt das digitale Thermometer eine Temperatur von 33,0 °C an. Nach 4 s zeigt es eine Temperatur von 36,0 °C an. Der zeitliche Verlauf der angezeigten Temperatur bei dieser Messung kann durch die Funktion g beschrieben werden.

\(g\left( t \right) = c - a \cdot {e^{ - 0,275 \cdot t}}\)

• t … Zeit nach Beginn der Messung in s
• g(t) … angezeigte Temperatur zur Zeit t in °C

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Parameter a und c.
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2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie die Parameter a und c.
[0 / 1 P.]

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Quelle: BHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-B Aufgabe
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Thermometer – Aufgabe B_540

Ein digitales Thermometer wird zur Messung der Temperatur des Wassers in einem Becken verwendet. Ausgehend von einem Startwert nähert sich die angezeigte Temperatur der tatsächlichen Temperatur des Wassers an.

Teil c

Ein Unternehmen produziert Thermometer. Im Rahmen einer Qualitätskontrolle werden die produzierten Thermometer unter jeweils gleichen Bedingungen getestet. Die ermittelten Temperaturen können als annähernd normalverteilt angenommen werden. In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der zugehörigen Verteilungsfunktion dargestellt.

Abbildung fehlt

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Lesen Sie aus der obigen Abbildung den Erwartungswert μ ab.

μ = °C

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2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Lesen Sie aus der obigen Abbildung die Wahrscheinlichkeit ab, dass die ermittelte Temperatur höchstens 36,9 °C beträgt.

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3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ermitteln Sie die Standardabweichung σ.
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