Österreichische BHS Matura - 2022.05.03 - HTL1

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 03. Mai 2022 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Werkzeuge – Aufgabe B_531

Teil a

Ein Werkzeugset besteht aus 6 verschieden langen Innensechskantschlüsseln (siehe nachstehendes Symbolfoto).

Abbildung fehlt

Bildquelle: Scott Ehardt – own work, public domain, https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Allen_keys.jpg [01.07.2020] (adaptiert).

Das Verhältnis der Länge eines Innensechskantschlüssels zur Länge des nächstgrößeren beträgt jeweils 10 zu 11.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Vervollständigen Sie die nachstehende Formel zur Berechnung der Länge l₃ aus der Länge l₂.

\(\eqalign{ & {l_3} = x \cdot {l_2} \cr & x = ? \cr} \)

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ermitteln Sie die Länge l₆ des längsten Innensechskantschlüssels, wenn der kürzeste die Länge l₁ = 9 cm hat.

[0 / 1 P.]

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Werkzeuge – Aufgabe B_531

Teil b

In der nachstehenden Abbildung ist ein Teil eines Sägeblatts vereinfacht dargestellt.

Abbildung fehlt

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Stellen Sie eine Formel zur Berechnung der Länge s auf. Verwenden Sie dabei die Winkel ε und φ sowie die Länge b.

s =

[0 / 1 P.]

Für ein bestimmtes Sägeblatt gilt:

a = 23,7 mm, b = 10,4 mm, s = 18,8 mm

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie den Winkel φ.

[0 / 1 P.]

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Kreuzen Sie die auf das obige Dreieck nicht zutreffende Aussage an.

[1 aus 5] [0 / 1 P.]

•  Aussage 1: \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{{\sin \left( \varphi \right)}}{{\sin \left( \varepsilon \right)}}\)
•  Aussage 2: \(\cos \left( {\varphi - 90} \right) = \dfrac{h}{b}\)
•  Aussage 3: \({s^2} = {a^2} + {b^2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left( {180^\circ - \varepsilon - \varphi } \right)\)
•  Aussage 4: \(\dfrac{h}{{\sin \left( \varepsilon \right)}} = \dfrac{a}{{\sin \left( \varphi \right)}}\)
•  Aussage 5: \(\dfrac{{s \cdot b \cdot \sin \left( \varphi \right)}}{2} = \dfrac{{h \cdot s}}{2}\)

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Werkzeuge – Aufgabe B_531

Teil c

Stahlnägel werden in Packungen abgefüllt. Die Masse der Packungen ist annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 1 000 g und der Standardabweichung σ = 6 g.

Im Zuge einer Qualitätskontrolle werden Stichproben zu jeweils n Packungen entnommen. In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Dichtefunktion der Verteilung der Stichprobenmittelwerte dargestellt.

Abbildung fehlt

• W₁, W₂ ... Wendepunkte der Dichtefunktion

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Geben Sie die Anzahl n der Packungen an, aus denen diese Stichproben jeweils bestehen.

n = Packungen

[0 / 1 P.]

Bei einer anderen Sorte von Stahlnägeln ist die Masse der Packungen ebenfalls annähernd normalverteilt. Bei einer Stichprobe von 8 zufällig ausgewählten Packungen wurden die nachstehenden Werte (in g) gemessen.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ermitteln Sie den zweiseitigen 95-%-Vertrauensbereich für den Erwartungswert der Masse der Packungen dieser Sorte von Stahlnägeln.
[0 / 1 P.]

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Werkzeuge – Aufgabe B_531

Teil d

In einem Labor werden Bohrmaschinen eines bestimmten Modells einem Langzeittest unterzogen. Die Lebensdauer dieser Bohrmaschinen ist annähernd normalverteilt. In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der zugehörigen Verteilungsfunktion F dargestellt.

Abbildung fehlt

Die zugehörige Dichtefunktion wird mit f bezeichnet.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Veranschaulichen Sie in der obigen Abbildung die Wahrscheinlichkeit
\(\int\limits_{ - \infty }^n {f\left( x \right)} \,\,dx\)

[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Beschreiben Sie ein Ereignis E im gegebenen Sachzusammenhang, für dessen Wahrscheinlichkeit gilt:

P(E) = 1 – F(n)

[0 / 1 P.]

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Fässer – B_541

Fässer können modellhaft durch Rotation des Graphen einer quadratischen Funktion f im Intervall \(\left[ { - \dfrac{h}{2};\dfrac{h}{2}} \right]\) um die x-Achse beschrieben werden.

Abbildung fehlt

• r, R, h ... Abmessungen in dm

Teil a

Für das Fass A mit den Abmessungen r_A, R_A und h_A wird die obere Begrenzungslinie durch die Funktion

\({f_A}{\text{ mit }}{f_A}\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\)

beschrieben.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Erklären Sie, warum b = 0 gilt.
[0 / 1 P.]

Es gilt: r_A = 2,5 dm, R_A = 3,2 dm, h_A = 8 dm.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ermitteln Sie die Koeffizienten a und c.
[0 / 1 P.]

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Fässer – B_541

Teil b

Für das Fass B mit den Abmessungen r_B, R_B und h_B wird die obere Begrenzungslinie durch die Funktion f_B beschrieben.

\({f_B}\left( x \right) = - \dfrac{1}{{16}} \cdot {x^2} + 3{\text{ mit }} - 4 \leqslant x \leqslant 4\)

• x, f_B(x) ... Koordinaten in dm

Es gilt: h_B = 8 dm.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie das Volumen des Fasses B.
[0 / 1 P.]

Jemand behauptet: „Das Volumen des Fasses B lasst sich auch als Volumen eines Zylinders mit der Höhe h_B, dessen Radius das arithmetische Mittel aus r_B und R_B ist, berechnen.“

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Überprüfen Sie nachweislich, ob diese Behauptung richtig ist.
[0 / 1 P.]

tandardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
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Fässer – B_541

Teil c

Um die Länge L des Graphen der Funktion f im Intervall \(\left[ { - \dfrac{h}{2};\dfrac{h}{2}} \right]\) abzuschätzen, berechnet man die Gesamtlänge L₁ der zwei strichlierten Strecken (siehe nachstehende Abbildung).

Abbildung fehlt

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Stellen Sie eine Formel zur Berechnung der Gesamtlänge L₁ auf.

Verwenden Sie dabei r, R und h.

L1 =
[0 / 1 P.]

Folgende Berechnung wird für das Fass C durchgeführt:

\(\dfrac{{{L_1}}}{L} - 1 = - 0,015\)

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Beschreiben Sie die Bedeutung des Wertes -0,015 im gegebenen Sachzusammenhang. Beachten Sie dabei insbesondere das Vorzeichen.
[0 / 1 P.]

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Rasenmähroboter – B_542

Immer öfter erledigen Rasenmähroboter die Mäharbeiten in Garten.

Teil a

In der unten stehenden Abbildung ist eine rechteckige Rasenfläche in einem Koordinatensystem dargestellt. Ein Rasenmähroboter startet bei der Ladestation im Punkt A. Seine Fahrt kann durch die Vektoren \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c {\text{ und }}\overrightarrow d \) beschrieben werden.

Abbildung fehlt

Es gilt:

\(\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 8}\\ {10} \end{array}} \right);\,\,\overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ {12} \end{array}} \right);\,\,\overrightarrow c = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {12}\\ { - 9} \end{array}} \right);\)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehenen Kästchen ein.

\(E = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} ?&? \end{array}} \right]\)

[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehenen Kästchen ein.

\(\overrightarrow d = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} ?\\ ? \end{array}} \right)\)

[0 / 1 P.]

Bei einer anderen Fahrt startet der Rasenmähroboter ebenfalls bei der Ladestation im Punkt A und fährt entlang des Vektors a zum Punkt B. Im Punkt B ändert er allerdings seine Richtung so, dass er dann geradlinig zum Punkt E fährt.

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Zeigen Sie rechnerisch, dass der Rasenmähroboter seine Fahrtrichtung im Punkt B um 90° ändert.
[0 / 1 P.]

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Fässer – B_541

Teil b

Für die ersten zwei Phasen der Bewegung eines Rasenmähroboters gilt modellhaft:

Zur Zeit t = 0 betragt die Geschwindigkeit des Rasenmähroboters 0 m/s.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ordnen Sie den beiden Satzanfängen jeweils die zutreffende Fortsetzung aus A bis D zu.

[0 / 1 P.]

• Satzanfang 1: Die Geschwindigkeit in der Phase 1 ...
• Satzanfang 2: Die Geschwindigkeit in der Phase 2 ...
   

• Fortsetzung A: ... wird durch die konstante Funktion v mit v(t) = 0 beschrieben.
• Fortsetzung B: ... wird durch eine konstante Funktion v mit v(t) = c beschrieben (c ≠ 0).
• Fortsetzung C: ... wird durch eine lineare Funktion v mit v(t) = k ∙ t beschrieben (k ≠ 0).
• Fortsetzung D: ... wird durch eine quadratische Funktion v mit v(t) = a₁ ∙ t² + a₂ ∙ t + a₃ beschrieben (a₁ ≠ 0).

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie die Länge des Weges, den der Rasenmähroboter in der Phase 2 zurücklegt.

[0 / 1 P.]

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Rasenmähroboter – B_542

Immer öfter erledigen Rasenmähroboter die Mäharbeiten in Garten.

Teil c

Die Kosten für die Herstellung von Rasenmährobotern werden modellhaft durch die streng monoton steigende Kostenfunktion K beschrieben.

\(K\left( x \right) = a \cdot {x^3} + b \cdot {x^2} + c \cdot x + d{\text{ mit }}a > 0;\,\,d > 0;\)

• x ... Produktionsmenge in ME
• K(x) ... Kosten bei der Produktionsmenge x in GE

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ordnen Sie den beiden angegebenen Funktionen jeweils den passenden Funktionsgraphen aus A bis D zu.
[0 / 1 P.]

• Funktion 1: Kostenfunktion K
• Funktion 2: Grenzkostenfunktion K′

• Funktionsgraph A:

Abbildung fehlt

• Funktionsgraph B

Abbildung fehlt

• Funktionsgraph C

Abbildung fehlt

• Funktionsgraph D

Abbildung fehlt

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Rasenmähroboter – B_542

Immer öfter erledigen Rasenmähroboter die Mäharbeiten in Garten.

Teil d

Die nachstehende Tabelle zeigt die Preisentwicklung für ein bestimmtes Rasenmähroboter-Modell.

Der Verkaufspreis soll in Abhängigkeit von der Zeit t durch die lineare Funktion p beschrieben werden.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Stellen Sie mithilfe der Regressionsrechnung eine Gleichung der linearen Funktion p auf. Wählen Sie t = 0 für den Beginn des Jahres 2015.
[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie, nach welcher Zeit der Rasenmähroboter gemäß der linearen Funktion p einen Verkaufspreis von € 700 hat.

[0 / 1 P.]