Gängige Ableitungsfunktionen
Formel
Gängige Ableitungsfunktionen
Die Ableitungsfunktion f‘(x) ordnet jeder Stelle x0 der Funktion f(x) ihren Differentialquotienten zu. Der Differentialquotient gibt die momentane Änderungsrate im Punkt x0 an und entspricht der Steigung k der Tangente an die Funktion f an der Stelle x0. In der naturwissenschaftlich technischen Praxis sind die 1. , 2. und 3. Ableitung (für Kurvendiskussionen) von Bedeutung. Die Ableitungen gängiger Funktionen solle man auswendig können.
Nachfolgend jene Ableitungsfunktionen, die für die Matura bzw. das Abitur von Bedeutung sind.
Konstante Funktion differenzieren (Faktorregel)
Die Ableitung f'(x) einer konstanten Funktion ist null, weil auch die Steigung der konstanten Funktion null ist . Der Graph jeder konstanten Funktion f(x) verläuft horizontal.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = c \cr & f'\left( x \right) = 0 \cr}\)
Lineare Funktion differenzieren
Die Ableitung f'(x) einer linearen Funktion f(x) (das ist eine Gerade) entspricht deren Steigung. Die Steigung k einer Geraden ist über deren ganzen Verlauf konstant.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = kx + d \cr & f'\left( x \right) = k \cr}\)
Potenzfunktionen differenzieren
Potenzfunktionen werden differenziert, indem man den Exponenten n (mit samt seinem Vorzeichen) vor die Potenz setzt und indem man den Exponenten der Funktion f(x) um minus 1 reduziert.
Merksatz: "Exponent runter, Exponent minus 1, Innere Ableitung"
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {x^n} \cr & f'\left( x \right) = n \cdot {x^{n - 1}} \cr} \)
Produkt aus einer Konstanten und einer Potenzfunktion
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = c \cdot {x^n} \cr & f'\left( x \right) = n \cdot c \cdot {x^{n - 1}} \cr} \)
siehe auch: Konstanten- oder Faktorregel beim Differenzieren
Potenzfunktion mit negativem Exponenten
\(\eqalign{ & f(x) = {x^{ - n}} \cr & f'\left( x \right) = - n \cdot {x^{ - n - 1}} \cr} \)
Polynom differenzieren
Polynome werden unter Berücksichtigung der Faktor- und der Potenzregel differenziert. Bei Klammerausdrücken muss gemäß der Kettenregel auch noch die innere Ableitung als zusätzlicher Faktor angeschrieben werden.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = a \cdot {\left( {bx + c} \right)^n} + d \cr & f'\left( x \right) = a \cdot n \cdot b \cdot {\left( {bx + c} \right)^{n - 1}} \cr} \)
siehe auch: Kettenregel
Potenzfunktion steht im Nenner
Bei einfachen Brüchen bietet sich als Alternative zur Quotientenregel an, den Bruch in eine Potenzfunktion f(x) umzuwandeln und anschließend deren Ableitungsfunktion f'(x) zu bilden.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^n}}} = {x^{ - n}} \cr & f'\left( x \right) = - n \cdot {x^{ - n - 1}} = - n \cdot {x^{ - \left( {n + 1} \right)}} = - \dfrac{n}{{{x^{n + 1}}}} \cr} \)
Wurzelfunktionen differenzieren
Bei Wurzelfunktionen bietet es sich an, den Wurzelausdruck zunächst in eine Potenzfunktion f(x) umzuwandeln und anschließend deren Ableitungsfunktion f'(x) zu bilden.
Quadratwurzel
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \sqrt x = {x^{\dfrac{1}{2}}} \cr & f'\left( x \right) = \frac{1}{{2 \cdot \sqrt x }} \cr} \)
n-te Wurzel
\(\eqalign{ & f(x) = \root n \of x = {x^{\dfrac{1}{n}}} \cr & f'(x) = \dfrac{1}{{n \cdot \root n \of {{x^{n - 1}}} }}{\text{ }} \cr} \)
Quadratwurzel im Nenner
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \dfrac{1}{{\sqrt x }} = {x^{ - \,\,\dfrac{1}{2}}} \cr & f'\left( x \right) = - \dfrac{1}{2}{x^{ - \,\,\dfrac{3}{2}}} \cr} \)
Exponentialfunktionen differenzieren
Bei der Exponentialfunktion zur Basis e (eulersche Zahl) handelt es sich um die einzige Funktion f(x), die mit Ihrer eigenen Ableitung f'(x) identisch ist.
\(\begin{array}{l} f\left( x \right) = {e^x}\\ f' = {e^x} \end{array}\)
Exponentialfunktion, mit einem zusätzlichen konstanten Faktor im Exponenten
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {e^{kx}} \cr & f'\left( x \right) = k \cdot {e^{kx}} \cr}\)
Exponentialfunktionen zur beliebigen positiven Basis a
Bei der Exponetialfunktion zur beliebigen Basis a, kommt bei der Ableitung zur Funktion selbst noch der Faktor ln a dazu.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {a^x} \cr & f'\left( x \right) = {a^x} \cdot \ln a \cr}\)
Logarithmusfunktionen differenzieren
Natürlicher Logarithmus
Die Ableitung der Logarithmusfunktionen ist "1 geteilt durch x".
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \ln x \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{1}{x} \cr}\)
Logarithmus von x zur Basis a
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {}^a\log x \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{x \cdot \ln a}} = \dfrac{1}{x} \cdot {}^a\log e \cr} \)
Logarithmus mit Klammer im Numerus
Besteht der Numerus aus einer Klammer, dann ist zudem die Kettenregel anzuwenden.
\(\eqalign{ & f(x) = \ln (ax + b) \cr & f'\left( x \right) = a \cdot \dfrac{1}{{\left( {ax + b} \right)}} \cr} \)
Winkelfunktionen differenzieren
Winkelfunktionen, sie werden auch trigonometrische Funktionen genannt, bezeichnen Zusammenhänge zwischen einem Winkel und Verhältnissen von Seiten (wie Hypotenuse, Ankathete und Gegenkathete) im rechtwinkeligen Dreieck. Im Rahmen von Kurvendiskussionen benötigt man die 1., 2. und 3. Ableitung der jeweiligen Funktion.
Sinus differenzieren
Die Ableitung der Sinusfunktion ist die Kosinusfunktion.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \sin x \cr & f'\left( x \right) = \cos x \cr}\)
Kosinus differenzieren
Die Ableitung der Kosinusfunktion ist die negative Sinusfunktion.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \cos x \cr & f'\left( x \right) = - \sin x \cr}\)
Merkhilfe für die Vorzeichen beim Differenzieren bzw. Integrieren von Sinus und Kosinus:
Tangens differenzieren
Da tan x gleich ist mit (sin x dividiert durch cos x), kann man dessen Ableitung durch Einsatz der Quotientenregel zu (1 dividiert durch cos2x) errechnen.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \tan x \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x \cr}\)
Kotangens differenzieren
Da cot x gleich ist mit (cos x dividiert durch sin x), kann man dessen Ableitung durch Einsatz der Quotientenregel zu (-1 dividiert durch sin2x) errechnen.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \cot x \cr & f'\left( x \right) = - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} = - \left( {1 + {{\cot }^2}x} \right) \cr}\)
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
Ableitungsfunktion f'(x) zur Funktion f(x) auffinden | Die Differenzierbarkeit einer Funktion an einer Stelle bedeutet, dass die Funktionskurve an dieser Stelle eine eindeutig bestimmte Tangente mit einer endlichen Steigung besitzt |
Aktuelle Lerneinheit
Gängige Ableitungsfunktionen | Ableitungsfunktionen und Ableitungsregeln dienen dazu den Differentialquotienten der Funktion f(x) an der Stelle x0 zu bestimmen. |
Verbreitere dein Wissen zur aktuellen Lerneinheit
Gewöhnliche Differentialgleichungen | Eine gewöhnliche Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der die Ableitungen der unbekannten Funktion y=y(x) bis zur n-ten Ordnung vorkommen. |
Grafisches Differenzieren | Beim grafischen Differenzieren leitet man Aussagen über den Verlauf einer Funktion aus dem Verlauf ihrer 1. und 2. Ableitung ab, bzw. umgekehrt |
Lineare Optimierung (Minimum-, Maximumaufgaben) | Dabei handelt es sich meist um textlich ausformulierte Fragestellungen, bei denen aus (sehr) vielen möglichen Lösungen die „optimale Lösung“ im Sinne eines erwünschten Minimums oder Maximums herausgesucht werden soll. |
Partielle Differentialgleichungen | Funktionen, die von mehreren unabhängigen Variablen abhängen differenziert man, indem man jeweils nach einer der unabhängigen Variablen ableitet und dabei alle anderen unabhängigen Variablen wie Konstante behandelt.
|
Ableitungsregeln | Ableitungsfunktionen und Ableitungsregeln dienen dazu den Differentialquotienten der Funktion f(x) an der Stelle x0 zu bestimmen. |
Spezielle Ableitungsfunktionen | Die Ableitungsfunktion f‘(x) ordnet jeder Stelle x0 der Funktion f(x) ihren Differentialquotienten zu. |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 1163
AHS - 1_163 & Lehrstoff: AN 2.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ableitungsregel
Für welche der folgenden Funktionen gilt der Zusammenhang \(f'\left( x \right) = k \cdot f\left( x \right){\text{ mit }}k \in {{\Bbb R}^ + }\)
- Aussage 1: \(f\left( x \right) = k \cdot x\)
- Aussage 2: \(f\left( x \right) = {x^{2 \cdot k}}\)
- Aussage 3: \(f\left( x \right) = k \cdot \sin \left( x \right)\)
- Aussage 4: \(f\left( x \right) = {e^{k \cdot x}}\)
- Aussage 5: \(f\left( x \right) = \dfrac{k}{x}\)
- Aussage 6: \(f\left( x \right) = k \cdot \sqrt x\)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende Funktionsgleichung an!
Aufgabe 4034
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgaben
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Dreieckspannung - Aufgabe B_414
Teil a
Gegeben ist folgender periodischer dreieckförmiger Spannungsverlauf
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 11:20
Erstellen Sie die Funktionsgleichungen des in Abbildung 1 dargestellten dreieckförmigen Spannungsverlaufs auf geeigneten Teilintervallen des Bereichs 0 ≤ t ≤ 2π. [2 Punkte]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie den Effektivwert des in obiger Abbildung dargestellten dreieckförmigen Spannungsverlaufs.
[1 Punkt]
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Veranschaulichen Sie die Ableitungsfunktion des in Abbildung 1 dargestellten dreieckförmigen Spannungsverlaufs im Intervall 0 ≤ t ≤ 2π im nachstehenden Diagramm.
[1 Punkt]
Aufgabe 4160
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Die Adria-Wien-Pipeline - Aufgabe A_280
Österreich muss einen Großteil seines Erdölbedarfs durch Importe von Rohöl decken. Diese Importe werden vorwiegend über die Adria-Wien-Pipeline durchgeführt, die von Triest nach Wien-Schwechat führt.
Teil c
Das Gesamtvolumen an Rohöl, das im Zeitintervall [0; t] einen Kontrollpunkt in der Pipeline passiert, kann näherungsweise durch die Funktion R in Abhängigkeit von der Zeit t modelliert werden. Der Graph der Funktion R ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie mithilfe des oben dargestellten Graphen eine Gleichung der Funktion R.
[1 Punkt]
Die Durchflussrate D(t) zum Zeitpunkt t ist die momentane Änderungsrate der Funktion R.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Zeichnen Sie im nachstehenden Koordinatensystem den Graphen der Durchflussrate ein.
[1 Punkt]
Aufgabe 187
Differenzieren von Exponentialfunktionen
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = {x^3} \cdot {e^{cx}}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
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Aufgabe 189
Differenzieren von Exponentialfunktionen
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = \dfrac{{{e^{cx}}}}{{{x^2} - 1}}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung.
Aufgabe 127
Differenzieren von Potenzen
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = 1;\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Aufgabe 144
Kettenregel beim Differenzieren
Gegeben sei die Funktion \(f(x) = {\left( {3{x^2} - 6x} \right)^2}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Aufgabe 160
Differenzieren von Potenzen
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = 2\sqrt x - 4\root 3 \of x + \dfrac{6}{{\root 4 \of x }} + \dfrac{{\root {24} \of x }}{8}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
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Aufgabe 145
Kettenregel beim Differenzieren
Gegeben sei die Funktion \(f(x) = {\left( {3{x^2} - 6x} \right)^3}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Aufgabe 146
Kettenregel beim Differenzieren
Gegeben sei die Funktion \(f(x) = \sqrt {{x^4} - 1}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Aufgabe 162
Differenzieren von Potenzen
Gegeben sei die Funktion: \(s\left( t \right) = \root 3 \of {{t^2} - 16} + 12\)
s(t) ist die Funktion, die den Weg in Abhängigkeit von der Reisezeit beschreibt, den ein Raumschiff von seinem Ausgangspunkt aus zurücklegt. Berechne durch Differenzieren die Funktion der Geschwindigkeit v(t), in Abhängigkeit von der Zeit, die das Raumschiff unterwegs ist.
Aufgabe 1178
AHS - 1_178 & Lehrstoff: AN 2.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ableitung von Funktionen
Die Ableitungsfunktion einer Funktion kann mithilfe einfacher Regeln des Differenzierens ermittelt werden.
A | \(f'\left( x \right) = - 4x + 2\) |
B | \(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{\sqrt {2x} }}\) |
C | \(f'\left( x \right) = \dfrac{2}{{\sqrt {2x} }}\) |
D | \(f'\left( x \right) = - \dfrac{2}{{{x^4}}}\) |
E | \(f'\left( x \right) = - \dfrac{2}{{{x^3}}}\) |
F | \(f'\left( x \right) = - \dfrac{2}{{{x^2}}}\) |
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den nachfolgend gegebenen Funktionen f1, ... f4 jeweils die entsprechende Ableitungsfunktion (aus A bis F) zu!
Deine Antwort | |
\({f_1}\left( x \right) = \dfrac{2}{x}\) | |
\({f_2}\left( x \right) = - 2{x^2} + 2x - 2\) | |
\({f_3}\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^2}}}\) | |
\({f_4}\left( x \right) = \sqrt {2x} \) |
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