Prüfungsvorbereitung Matura, Abitur und STEOP
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
AT Matura AHS Inhaltsbereich Wahrscheinlichkeit und Statistik
Wesentliches Ziel der standardisierten kompetenzorientierten Reifeprüfung in Mathematik ist die Sicherung mathematischer Grundkompetenzen an Österreichs AHS. Mathematische Grundkompetenzen beschreiben einen Kernbereich, der aufgrund fachlicher und gesellschaftlicher Relevanz als grundlegend und unverzichtbar gilt. Typ-1-Aufgaben sind Aufgaben, die auf die im Katalog angeführten Grundkompetenzen fokussieren. Bei diesen Aufgabenstellungen sind kompetenzorientiert (Grund-)Wissen und (Grund-)Fertigkeiten ohne darüber hinausgehende Eigenständigkeit nachzuweisen.
Wahrscheinlichkeit und Statistik
Es werden Begriffe, Darstellungsformen und grundlegende Verfahren der beschreibenden Statistik, der Wahrscheinlichkeitstheorie und der schließenden Statistik behandelt. Es sollen eigenständig statistische Tabellen, Kennzahlen und Grafiken zur Beschreibung von Situationen geringer Komplexität aufgestellt werden. Bei der Wahrscheinlichkeit beschränkt man sich auf grundlegende Wahrscheinlichkeitsinterpretationen, auf grundlegende Begriffe (Zufallsgröße, Wahrscheinlichkeitsverteilung, Dichte- und Verteilungsfunktion, Erwartungswert und Varianz/Standardabweichung) und Konzepte (Binomialverteilung, Normalverteilung) sowie einfachste Wahrscheinlichkeitsberechnungen. Von den zwei grundlegenden Konzepten der schließenden Statistik, dem Testen von Hypothesen und der Hochrechnung (Konfidenzintervall), ist die Hochrechnung von besonderer Bedeutung.
Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021
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AT Matura AHS Inhaltsbereich Funktionale Abhängigkeiten
Wesentliches Ziel der standardisierten kompetenzorientierten Reifeprüfung in Mathematik ist die Sicherung mathematischer Grundkompetenzen an Österreichs AHS. Mathematische Grundkompetenzen beschreiben einen Kernbereich, der aufgrund fachlicher und gesellschaftlicher Relevanz als grundlegend und unverzichtbar gilt. Typ-1-Aufgaben sind Aufgaben, die auf die im Katalog angeführten Grundkompetenzen fokussieren. Bei diesen Aufgabenstellungen sind kompetenzorientiert (Grund-)Wissen und (Grund-)Fertigkeiten ohne darüber hinausgehende Eigenständigkeit nachzuweisen.
Funktionale Abhängigkeiten
Wenn Expertinnen und Experten Mathematik verwenden, bedienen sie sich oftmals des Werkzeugs der Funktionen. Das meint die Aufmerksamkeit auf die Beziehung zwischen zwei (oder mehreren) Größen in unterschiedlichen Kontexten fokussieren zu können sowie die gängigen Darstellungsformen zu kennen und mit ihnen flexibel umgehen zu können. Im Zentrum des mathematischen Grundwissens steht dann das Kennen der für die Anwendungen wichtigsten Funktionstypen: Namen und Gleichungen kennen, typische Verläufe von Graphen (er)kennen, zwischen den Darstellungsformen wechseln, charakteristische Eigenschaften wissen und im Kontext deuten (können).
Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021
AT Matura AHS Inhaltsbereich Analysis
Wesentliches Ziel der standardisierten kompetenzorientierten Reifeprüfung in Mathematik ist die Sicherung mathematischer Grundkompetenzen an Österreichs AHS. Mathematische Grundkompetenzen beschreiben einen Kernbereich, der aufgrund fachlicher und gesellschaftlicher Relevanz als grundlegend und unverzichtbar gilt. Typ-1-Aufgaben sind Aufgaben, die auf die im Katalog angeführten Grundkompetenzen fokussieren. Bei diesen Aufgabenstellungen sind kompetenzorientiert (Grund-)Wissen und (Grund-)Fertigkeiten ohne darüber hinausgehende Eigenständigkeit nachzuweisen.
Analysis
Die Analysis stellt Konzepte zur formalen, kalkulatorischen Beschreibung von diskretem und stetigem Änderungsverhalten bereit. Die Begriffe Differenzenquotient und Differentialquotient sind allgemeine mathematische Mittel, dieses Änderungsverhalten von Größen in unterschiedlichen Kontexten quantitativ zu beschreiben. Neben der Differentialrechnung wird auch die Integralrechnung behandelt.
Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021
AT Matura AHS Inhaltsbereich Algebra und Geometrie
Wesentliches Ziel der standardisierten kompetenzorientierten Reifeprüfung in Mathematik ist die Sicherung mathematischer Grundkompetenzen an Österreichs AHS. Mathematische Grundkompetenzen beschreiben einen Kernbereich, der aufgrund fachlicher und gesellschaftlicher Relevanz als grundlegend und unverzichtbar gilt. Typ-1-Aufgaben sind Aufgaben, die auf die im Katalog angeführten Grundkompetenzen fokussieren. Bei diesen Aufgabenstellungen sind kompetenzorientiert (Grund-)Wissen und (Grund-)Fertigkeiten ohne darüber hinausgehende Eigenständigkeit nachzuweisen.
Algebra und Geometrie
Algebra ist die Sprache der Mathematik. Eingegangen wird auf Zahlenbereiche, Variablen, Terme, Gleichungen (Formeln) und Ungleichungen sowie Gleichungssysteme. Der Zahlenbegriff wird auf Zahlentupel (Vektoren) und deren Verknüpfung erweitert. Durch die Einführung von Koordinaten ist es möglich, Punkte in der Ebene oder im Raum so zu verorten, dass geometrische Objekte algebraisch durch Vektoren beschrieben werden können, und sich so von rein geometrisch-anschaulichen Betrachtungsweisen (mit Winkel, Länge oder Volumen) lösen und geometrische Probleme mithilfe der Algebra behandelt werden können. Dieser Zusammenhang zwischen Algebra und Geometrie ermöglicht es aber nicht nur, geometrische Sachverhalte mit algebraischen Mitteln darzustellen (z. B. Vektoren als algebraische Darstellung von Pfeilen oder Punkten) und zu bearbeiten, sondern auch umgekehrt algebraische Sachverhalte geometrisch zu deuten (z.B. Zahlentripel als Punkte oder Pfeile im Raum) und daraus neue Einsichten zu gewinnen.In der Trigonometrie interessieren vor allem Beziehungen im rechtwinkeligen Dreieck, allenfalls Erweiterungen auf allgemeine Dreiecke.
Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung Inhaltsbereich AG 1.1
Grundbegriffe der Algebra
AG 1.1: Wissen über die Zahlenmengen, -bereiche ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ verständig einsetzen können
Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021
In dieser Übungseinheit lernst du bisherige österreichische AHS Typ I Maturabeispiele zum Themenbereich „Standard-Zahlenmengen“ kennen.
Die einzelnen Mengen bauen aufeinander auf, wobei jede Zahlenmenge in der nächstgrößeren Zahlenmenge vollkommen enthalten ist. Alle Zahlen gehören einer oder mehreren der nachfolgenden Standard-Zahlenmengen an.
\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}\)
Natürliche Zahlen
\(\mathbb{N} = \left\{ {0,1,2,3,...} \right\}\)
Null, sowie alle positiven ganzen Zahlen (Äpfel im Korb). Beachte: \(0,\mathop 9\limits^ \bullet = 1 \in N\)
Ganze Zahlen
\(\mathbb{Z} = \left\{ {..., - 2, - 1,0,1,2,...} \right\}\)
Alle positiven und negativen ganzen Zahlen (Temperatur)
Rationale Zahlen
\(\mathbb{Q} = \left\{ {\dfrac{p}{q}\,\,\left| {p \in \mathbb{Z},\,q \in {\mathbb{N}^{{\text{ ohne }}0}}} \right.} \right\}\)
Alle positiven oder negativen Zahlen, die sich als Quotient (als Bruch) darstellen lassen, wobei sowohl im Zähler als auch im Nenner ganze Zahlen stehen. Umgekehrt können diese Brüche wiederum durch Division des Zählers durch den Nenner, als endliche oder als periodische Dezimalzahlen dargestellt werden.
Irrationale Zahlen
\(\mathbb{I} = \dfrac{\mathbb{R}}{\mathbb{Q}}\)
Alle positiven und negativen Kommazahlen, die grundsätzlich nicht als Bruch mit ganzen Zahlen im Zähler und im Nenner dargestellt werden können, wie \(\sqrt 2 ,\,\pi \).
(Anmerkung: Als allgemeinen Bruch kann man sie schon darstellen: \(\pi = \dfrac{\pi }{1}\)
Reelle Zahlen
\(\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}\)
Die Summe aus den rationalen und irrationalen Zahlen. Bilden den Realteil der komplexen Zahlen. (Technik)
Imaginäre Zahlen
\(ib\)
Eine komplexe Zahl, deren Realteil null ist, zugleich eine komplexe Zahl, deren Quadrat eine nicht positive reelle Zahl ist. Die imaginären Zahlen bilden den Imaginärteil einer komplexen Zahl.
Komplexe Zahlen
\(\mathbb{C} = \left\{ {z = a + ib\,\,\left| {a,b \in \mathbb{R},\,{i^2} = - 1} \right.} \right\}\)
Zahlenpaare, die sich aus einem Real- und einem Imaginärteil zusammensetzen und die nicht mehr nur am gaußschen Zahlenstrahl, sondern in der gaußschen Ebene liegen.
Enthaltene Beispiele findest du, indem du die Aufgabennummer in den Suchslot eingibst
1 |
Aufgabe 1349 |
AHS Matura vom 09. Mai 2014 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
2 |
Aufgabe 1373 |
AHS Matura vom 17. September 2014 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
3 |
Aufgabe 1397 |
AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
4 |
Aufgabe 1469 |
AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
5 |
Aufgabe 1493 |
AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
6 |
Aufgabe 1517 |
AHS Matura vom 20. September 2016 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
7 |
Aufgabe 1565 |
AHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
8 |
Aufgabe 1566 |
AHS Matura vom 28. September 2017 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
9 |
Aufgabe 1638 |
AHS Matura vom 20. September 2018 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
10 |
Aufgabe 1662 |
AHS Matura vom 15. Jänner 2019 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
11 |
Aufgabe 1686 |
AHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
12 |
Aufgabe 1710 |
AHS Matura vom 20. September 2019 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
13 |
Aufgabe 1758 |
AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
14 |
Aufgabe 1782 |
AHS Matura vom 16. September 2020 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
15 |
Aufgabe 1854 |
AHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
16 |
Aufgabe 1878 |
AHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
17 |
Aufgabe 11220 |
AHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
18 |
Aufgabe 11244 |
AHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
19 |
Aufgabe 11268 |
AHS Matura vom 03. Mai 2023 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
20 |
Aufgabe 11292 |
AHS Matura vom 19. September 2023 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
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AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung Inhaltsbereich AG 1.2
Grundbegriffe der Algebra
AG 1.2: Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen können: Variable, Terme, Formeln, (Un-) Gleichungen, Gleichungssysteme, Äquivalenz, Umformungen, Lösbarkeit
Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021
In dieser Übungseinheit lernst du bisherige österreichische AHS Typ I Maturabeispiele zum Themenbereich „algebraische Begriffe“ kennen.
Folgendes musste man für die bisherigen Beispiele wissen:
- Definitionsbereich der Logarithmusfunktion: \({D_f} = {{\Bbb R}^ + }\)
- Definitionsbereich der Wurzelfunktion: Die Wurzel kann im Bereich der reellen Zahlen nur von Werten größer gleich Null gezogen werden. \(\root n \of a = b \to a,b \in {{\Bbb R}^ + }\)
- Bei einem Bruch darf der Nenner nicht Null werden.
- Bei Gleichungen höheren Grades (x2, xn, …) darf man bei den Umformungen zur Lösungsfindung nicht durch die Variable x dividieren. Bei der Division durch x würde eine Lösung der Gleichung verloren gehen, daher ist eine Division durch x keine Äquivalenzumformung.
- Bei Ungleichungen muss man zwischen Äquivalenzumformungen ohne bzw. mit Umkehrung des Ungleichheitszeichens unterscheiden. Das Ungleichheitszeichen muss umgedreht werden, wenn man die Reihenfolge der Terme vertauscht oder wenn man mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert.
Enthaltene Beispiele findest du, indem du die Aufgabennummer in den Suchslot eingibst
1 |
Aufgabe 1372 |
AHS Matura vom 17. September 2014 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
2 |
Aufgabe 1445 |
AHS Matura vom 21. September 2015 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
3 |
Aufgabe 1492 |
AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
4 |
Aufgabe 1614 |
AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
5 |
Aufgabe 1734 |
AHS Matura vom 14. Jänner 2020 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
6 |
Aufgabe 1807 |
AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-2-Aufgaben - 1. Aufgabe |
7 |
Aufgabe 1830 |
AHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
8 |
Aufgabe 11316 |
AHS Matura vom 10. Jänner 2024 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung Inhaltsbereich AG 2.1
(Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme
AG 2.1: Einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können
Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021
In dieser Übungseinheit lernst du bisherige österreichische AHS Typ I Maturabeispiele zum Themenbereich „Terme und Formeln aufstellen und umformen“ kennen.
Folgendes musste man für die bisherigen Beispiele wissen:
- Terme sind sinnvolle mathematische Ausdrücke, die aus Koeffizienten, Variablen, Klammern und Rechenzeichen, jedoch nicht aus Relationszeichen (=, <, >,…) bestehen. z.B.: \({\sin ^2}\left( \alpha \right) + {\cos ^2}\left( \alpha \right)\)
- Formeln sind allgemeingültige wissenschaftliche mathematische Formulierungen, meistens in Form einer Gleichung. \(E = m \cdot {c^2}\). Alle Formen setzen sich aus Termen zusammen.
- Ein Term „umformen“ macht nur dann Sinn, wenn der Term dadurch „vereinfacht“ oder „zusammengefasst“ wird. \(x + x + 2x \to 4x{\text{ oder }}x \cdot x \cdot 2x \to 2{x^3}\)
- Durch Äquivalenzumformungen wird die Gleichung so lange vereinfacht, bis die Variable allein auf einer Seite steht, also explizit gemacht wurde. Eine Äquivalenzumformung ändert die Lösung einer Gleichung nicht.
- Die Division einer Gleichung höheren Grades durch die Variable x ist keine (!) Äquivalenzumformung, weil man dabei eine der Lösungen verliert! Die Anzahl der Lösungen entspricht dabei immer dem höchsten Grad der Gleichung.
- Unter einer Äquivalenzumformung einer Ungleichung versteht man eine Umformung, die den Wahrheitswert der Ungleichung unverändert lässt.
- Addition bzw. Subtraktion sowie Multiplikation bzw. Division mit einer positiven Zahl erfordern keine Umkehrung des Ungleichheitszeichens.
- Das Ungleichheitszeichen muss umgedreht werden, wenn man die Reihenfolge der Terme vertauscht oder wenn man mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert.
- Doppelbruch auflösen: \(\dfrac{{\dfrac{{{Z_A}}}{{{N_I}}}}}{{\dfrac{{{Z_I}}}{{{N_A}}}}} = \dfrac{{{Z_A} \cdot {N_A}}}{{{N_I} \cdot {Z_I}}}\) Sprich: Außenglied mal Außenglied durch Innenglied mal Innenglied.
- Arithmetisches Mittel bzw. Durchschnitt: \(\bar x = \dfrac{{{x_1} + {x_2} + ...{x_n}}}{n} = \dfrac{1}{n}\mathop \sum \limits_{i = 1}^n {x_i}\) Sprich: Summe aller Einzelwerte durch die Anzahl der Einzelwerte.
- Achtung bei gemischten Brüchen: \(A\dfrac{b}{c} = A + \dfrac{b}{c}{\text{ aber }}A\dfrac{b}{c} \ne A \cdot \dfrac{b}{c}\). Beispiel: \(2\dfrac{1}{2} + 3\dfrac{1}{2} = \left( {2 + \dfrac{1}{2}} \right) + \left( {3 + \dfrac{1}{2}} \right) = 2 + \dfrac{1}{2} + 3 + \dfrac{1}{2} = 6\)
Enthaltene Beispiele findest du, indem du die Aufgabennummer in den Suchslot eingibst
1 |
Aufgabe 1348 |
AHS Matura vom 09. Mai 2014 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
2 |
Aufgabe 1396 |
AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
3 |
Aufgabe 1421 |
AHS Matura vom 11. Mai 2015 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
4 |
Aufgabe 1491 |
AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
5 |
Aufgabe 1541 |
AHS Matura vom 12. Jänner 2017 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
6 |
Aufgabe 1564 |
AHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
7 |
Aufgabe 1590 |
AHS Matura vom 16. Jänner 2018 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
8 |
Aufgabe 1615 |
AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
9 |
Aufgabe 1663 |
AHS Matura vom 15. Jänner 2019 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
10 |
Aufgabe 1735 |
AHS Matura vom 14. Jänner 2020 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
11 |
Aufgabe 1783 |
AHS Matura vom 16. September 2020 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
12 |
Aufgabe 1831 |
AHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
13 |
Aufgabe 11179 |
AHS Matura vom 03. Mai 2022 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe |
14 |
Aufgabe 11221 |
AHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
15 |
Aufgabe 11245 |
AHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
16 |
Aufgabe 11269 |
AHS Matura vom 03. Mai 2023 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
17 |
Aufgabe 11293 |
AHS Matura vom 19. September 2023 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
18 |
Aufgabe 11317 |
AHS Matura vom 10. Jänner 2024 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung Inhaltsbereich AG 2.2
(Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme
AG 2.2: Lineare Gleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen und die Lösung im Kontext deuten können
Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021
In dieser Übungseinheit lernst du bisherige österreichische AHS Typ I Maturabeispiele zum Themenbereich „Lineare Gleichungen“ kennen.
Folgendes musste man für die bisherigen Beispiele wissen:
- "Linearer Zusammenhang" assoziieren wir mit "Gleichung einer Geraden"
- \(y = k \cdot x + d\)
- d ist immer der y-Wert an der Stelle x=0 (der sogenannte Ordinatenabschnitt)
- k ist immer der Wert, um den der y-Wert zunimmt (k positiv) oder abnimmt (k negativ), wenn sich der x-Wert um 1 vergrößert.
- Geschwindigkeits-Zeit-Funktion: \(v = \dfrac{s}{t}{\text{ bzw}}{\text{.: v}}\left( t \right) = s'\left( t \right) = \dfrac{{ds}}{{dt}} = \int {a\left( t \right)} \,dt\)
- Beschleunigung mal einer Zeit ist eine Geschwindigkeit: \(a = \dfrac{v}{t} \to v = a \cdot t\)
Enthaltene Beispiele findest du, indem du die Aufgabennummer in den Suchslot eingibst
1 |
Aufgabe 1420 |
AHS Matura vom 11. Mai 2015 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
2 |
Aufgabe 1591 |
AHS Matura vom 16. Jänner 2018 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
3 |
Aufgabe 1736 |
AHS Matura vom 14. Jänner 2020 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
4 |
Aufgabe 1759 |
AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
5 |
Aufgabe 1784 |
AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
6 |
Aufgabe 1808 |
AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
7 |
Aufgabe 1879 |
AHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
8 |
Aufgabe 11222 |
AHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung Inhaltsbereich AG 2.3
(Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme
AG 2.3: Quadratische Gleichungen in einer Variablen umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können
Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021
In dieser Übungseinheit lernst du bisherige österreichische AHS Typ I Maturabeispiele zum Themenbereich „Quadratische Gleichungen“ kennen. Folgendes musste man für die bisherigen Beispiele wissen:
- Bei einer quadratischen Gleichung in Normalform ist der Koeffizient a vor dem quadratischen Glied eine "1". Darüber hinaus gibt es noch ein lineares und ein konstantes Glied.
- Bevor man die „abc“ bzw. die „pq“ Formel anwenden kann, muss man gegebenen Falls durch Umformung dafür sorgen, dass rechts vom Gleichheitszeichen eine „0“ steht.
- Für die rechnerische Lösung einer allgemeinen quadratischen Gleichung mittels „abc Formel“, die auch „große Lösungsformel“ oder „Mitternachtsformel“ genannt wird, gilt:
\(\eqalign{ & a{x^2} + bx + c = 0 \cr & {x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \cr & D = {b^2} - 4ac \cr} \) - Für die rechnerische Lösung einer quadratischen Gleichung in Normalform mittels „pq Formel“, die auch „kleine Lösungsformel“ genannt wird, gilt:
\(\eqalign{ & {x^2} + px + q = 0 \cr & {x_{1,2}} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {{{\left( {\frac{p}{2}} \right)}^2} - q} \cr & D = {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2} - q \cr} \) - Quadratische Gleichungen haben, abhängig von der Diskriminante "D" 3 mögliche Lösungsfälle:
- D > 0 → 2 Lösungen in \({\Bbb R}\)
- D = 0 → 1 (eigentlich 2 gleiche) Lösung in \({\Bbb R}\) mit \({x_1} = {x_2} = \dfrac{{ - b}}{{2a}}{\text{ bzw}}{\text{. }}{{\text{x}}_1} = {x_2} = - \dfrac{p}{2}\)
- D < 0 → keine Lösung in \({\Bbb R}\) , aber 2 konjugiert komplexe Lösungen in \({\Bbb C}\)
- Der Wurzelsatz von Vieta stellt den Zusammenhang zwischen den Variablen p und q auf der einen Seite und den Nullstellen z1 und z2 auf der anderen Seite dar. D.h. er bietet sich immer dann an, wenn die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung bekannt sind und man die Koeffizienten p und q bestimmen soll.
\(\eqalign{ & p = - \left( {{z_1} + {z_2}} \right) \cr & q = {z_1} \cdot {z_2} \cr} \) -
Faktorisierte Darstellung einer (quadratischen) Gleichung
-
Bei der faktorisierten Darstellung einer Gleichung wird die Gleichung als Produkt dargestellt. Dabei sind die Nullstellen x1, x2 der zugrunde liegenden Funktion an geklammerten Termen sofort ablesbar. Der Satz vom Nullprodukt besagt nämlich, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.
\(f\left( x \right) = a \cdot \left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right) \to L\left\{ {{x_1},{x_2}} \right\}{\text{ mit }}a \ne 0\) - Im Sonderfall einer doppelten Nullstelle sieht die Darstellung der Funktion wie folgt aus:
\(f\left( x \right) = a \cdot {\left( {x - {x_1}} \right)^2} \to L\left\{ {{x_1}} \right\}{\text{ mit }}a \ne 0\) - Von der faktorisierten Darstellung gelangt man durch ausmultiplizieren zur allgemeinen Form.
- Von der allgemeinen Form gelangt man zur faktorisierten Form, indem man die Nullstellen der Gleichung ausrechnet und mit deren Hilfe dann die faktorisierte Form anschreibt.
-
Enthaltene Beispiele findest du, indem du die Aufgabennummer in den Suchslot eingibst
1 |
Aufgabe 1347 |
AHS Matura vom 09. Mai 2014 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
2 |
Aufgabe 1371 |
AHS Matura vom 17. September 2014 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
3 |
Aufgabe 1395 |
AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
4 |
Aufgabe 1468 |
AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
5 |
Aufgabe 1490 |
AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe |
6 |
Aufgabe 1540 |
AHS Matura vom 12. Jänner 2017 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
7 |
Aufgabe 1567 |
AHS Matura vom 28. September 2017 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
8 |
Aufgabe 1592 |
AHS Matura vom 16. Jänner 2018 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
9 |
Aufgabe 1616 |
AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
10 |
Aufgabe 1639 |
AHS Matura vom 20. September 2018 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
11 |
Aufgabe 1687 |
AHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
12 |
Aufgabe 1737 |
AHS Matura vom 14. Jänner 2020 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe |
13 |
Aufgabe 1809 |
AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe |
14 |
Aufgabe 1855 |
AHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
15 |
Aufgabe 1880 |
AHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
16 |
Aufgabe 11180 |
AHS Matura vom 03. Mai 2022 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
Schon den nächsten Badeurlaub geplant?
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Damit niemand mehr bei Mathe in's Schwimmen kommt!
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung Inhaltsbereich AG 2.4
(Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme
AG 2.4: Lineare Ungleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, Lösungen (auch geometrisch) deuten können
Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021
In dieser Übungseinheit lernst du bisherige österreichische AHS Typ I Maturabeispiele zum Themenbereich „Lineare Ungleichungen“ kennen.
Folgendes musste man für die bisherigen Beispiele wissen:
Äquivalenzumformung mit Umkehrung des Ungleichheitszeichens:
Unter einer Äquivalenzumformung einer Ungleichung versteht man eine Umformung, die den Wahrheitswert der Ungleichung unverändert lässt.
- Addition bzw. Subtraktion sowie Multiplikation bzw. Division mit einer positiven Zahl erfordern keine Umkehrung des Ungleichheitszeichens.
- Das Ungleichheitszeichen muss umgedreht werden, wenn man die Reihenfolge der Terme vertauscht oder wenn man mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert.
Enthaltene Beispiele findest du, indem du die Aufgabennummer in den Suchslot eingibst
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Aufgabe 1640 |
AHS Matura vom 20. September 2018 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
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Aufgabe 1688 |
AHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
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Aufgabe 1760 |
AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung Inhaltsbereich AG 2.5
(Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme
AG 2.5: Lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können
Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021
In dieser Übungseinheit lernst du bisherige österreichische AHS Typ I Maturabeispiele zum Themenbereich „Lineare Gleichungssysteme (LGS)“ kennen.
Folgendes musste man für die bisherigen Beispiele wissen:
- Jede lineare Gleichung lässt sich als Gerade vom Typ \(y = k \cdot x + d\) darstellen. Da die Gleichungen linear sind, kommen nur Potenzen 1. Grades vor, also keine Quadrate oder höhere Potenzen.
- Lineare Gleichungssysteme (LGS) in zwei Variablen bedeutet, dass zwei lineare Gleichungen vorliegen, die sich jeweils als Gerade darstellen lassen, wobei wir zwischen expliziter und impliziter Darstellung unterscheiden können
\(\eqalign{
& {\text{Gl}}{\text{.1: }}y = {k_1} \cdot x + {d_1} \buildrel \wedge \over =
\to{=} {a_1} \cdot x + {b_1} \cdot y = {c_1} \cr
& {\text{Gl}}{\text{.2: }}y = {k_2} \cdot x + {d_2} \buildrel \wedge \over =
\to{=} {a_2} \cdot x + {b_2} \cdot y = {c_2} \cr
& {k_{i = 1,2}} = - \dfrac{{{a_i}}}{{{b_i}}};\,\,\,\,\,{d_{i = 1,2}} = \dfrac{{{c_i}}}{{{b_i}}} \cr} \)-
- Gibt es für ein lineares Gleichungssystem in zwei Variablen nur 1 Gleichung, ist das Gleichungssystem unterbestimmt, gibt es mehr als 2 Gleichungen, so ist das Gleichungssystem überbestimmt.
- Ein sinnvoll lösbares LGS in zwei Variablen wird immer aus 2 Gleichungen bestehen, für die es folgende 3 Lösungsmöglichkeiten gibt: unendlich viele Lösungen, eine Lösung oder keine Lösung. Nachfolgend eine geometrische Interpretation dafür:
- Lagebeziehung zweier Geraden, die in einer Ebene liegen
- Zwei Geraden sind identisch, wenn sie dieselbe Steigung k und denselben Ordinatenabschnitt d aufweisen. In diesem Fall sind die beiden Geraden deckungsgleich und es muss folgender Zusammenhang für einen konstanten Faktor Lambda für die beiden implizite Geradengleichungen gelten
\(\eqalign{
& {a_1} \cdot \lambda = {a_2} \cr
& {b_1} \cdot \lambda = {b_2} \cr
& {c_1} \cdot \lambda = {c_2} \cr} \) -
- Zwei Gerade haben einen Schnittpunkt, wenn sie unterschiedliche Steigungen aufweisen
- Zwei Gerade sind parallel, wenn sie dieselbe Steigung k aber unterschiedliche Ordinatenabschnitt d aufweisen Da man für parallele Gerade keinen Schnittpunkt angeben kann, ist ihre Lösungsmenge die leere Menge.
- Beim Additionsverfahren (Methode gleicher Koeffizienten) werden im 1. Schritt durch äquivalentes Umformen die Koeffizienten einer Variablen bis auf entgegengesetzte Vorzeichen gleich gemacht. Danach werden im 2. Schritt die Gleichungen addiert, wodurch die Variable wegfällt, deren Koeffizienten man zuvor gleich gemacht hat. Was bleibt ist eine Gleichung in einer Variablen, die man dadurch löst, dass man die verbliebene Variable explizit macht.
- Beim Substitutionsverfahren (Einsetzungsmethode) wird eine der Gleichungen nach einer Variablen aufgelöst, d.h. diese Variable wird explizit gemacht. Der so entstandene Term wird in die andere Gleichung eingesetzt, wodurch diese Gleichung nur mehr eine Variable enthält und lösbar wird.
- Beim Eliminationsverfahren (Gleichsetzungsmethode) werden beide Gleichungen nach derselben Variablen (x) aufgelöst. Danach werden die erhaltenen Terme gleichgesetzt, wodurch die Variable (x) nach der explizit gemacht wurde, verschwindet und nur mehr eine Gleichung in der verbleibenden Variablen (y) überbleibt.
- Koeffizientenvergleich zur Lösung von LGS: Einem linearen Gleichungssysteme (LGS) in zwei Variablen entsprechen zwei lineare Gleichungen, die sich jeweils als Gerade darstellen lassen. Hat man die zusätzliche Information, dass die beiden Geraden 1) ident oder 2) parallel sind, so kann man durch Koeffizientenvergleich 1) die k und d Werte, bzw. 2) den k Wert aus der einen Gleichung für die andere Gleichung herleiten.
-
Enthaltene Beispiele findest du, indem du die Aufgabennummer in den Suchslot eingibst
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Aufgabe 1394 |
AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe |
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Aufgabe 1444 |
AHS Matura vom 21.September 2015 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
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Aufgabe 1467 |
AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
4 |
Aufgabe 1516 |
AHS Matura vom 20. September 2016 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
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Aufgabe 1563 |
AHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
6 |
Aufgabe 1568 |
AHS Matura vom 28. September 2017 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
7 |
Aufgabe 1664 |
AHS Matura vom 15. Jänner 2019 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
8 |
Aufgabe 1711 |
AHS Matura vom 20. September 2019 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe |
9 |
Aufgabe 1832 |
AHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
10 |
Aufgabe 1881 |
AHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe |
11 |
Aufgabe 11270 |
AHS Matura vom 03. Mai 2023 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
12 |
Aufgabe 11294 |
AHS Matura vom 19. September 2023 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
13 |
Aufgabe 11318 |
AHS Matura vom 10. Jänner 2024 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung Inhaltsbereich AG 3.1
Vektoren
AG 3.1: Vektoren als Zahlentupel verständig einsetzen und im Kontext deuten können
Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021
In dieser Übungseinheit lernst du bisherige österreichische AHS Typ I Maturabeispiele zum Themenbereich „Vektoren als Zahlentupel“ kennen.
Folgendes musste man für die bisherigen Beispiele wissen:
- Vektor: \(\vec a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}\\ {...}\\ {{a_n}} \end{array}} \right)\) Der Vektor \(\overrightarrow a \) ist n-dimensional, denn er besteht aus n Komponenten. \(\overrightarrow a = \left( {{a_1},{a_2},...,{a_n}} \right)\). Die Schreibweise als Spalten- oder Zeilenvektor orientiert sich nur daran, welche Darstellung übersichtlicher ist.
- Ein Tupel stellt die Zusammenfassung von mehreren Komponenten zu einer Liste dar. Man verwendet runde Klammern und separiert die einzelnen Komponenten durch Beistriche. Die Reihenfolge, in der die Komponenten angeschrieben werden, spielt eine wesentliche Rolle.
- In einem zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem kann es zweckmäßig sein, einen Vektor nach rechts bzw. nach links zu kippen, d.h. um \( \pm 90^\circ \) zu drehen. Der so gekippte Vektor steht dann senkrecht auf dem ursprünglichen Vektor, d.h. er wird zum Normalvektor, auch Orthogonalvektor genannt.
- Bei der Linkskippregel werden die Komponenten vertauscht und bei der oberen Komponente wird auch das Vorzeichen vertauscht.
- Bei der Rechtskippregel werden die Komponenten vertauscht und bei der unteren Komponente wird auch das Vorzeichen vertauscht.
- Subtraktion zweier Vektoren: Bei der Subtraktion von Vektoren werden die einzelnen Komponenten der Vektoren je Achsenrichtung subtrahiert.
\(\vec d = \vec a - \vec b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_x}}\\ {{a_y}}\\ {{a_z}} \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_x}}\\ {{b_y}}\\ {{b_z}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_x} - {b_x}}\\ {{a_y} - {b_y}}\\ {{a_z} - {b_z}} \end{array}} \right)\)
Enthaltene Beispiele findest du, indem du die Aufgabennummer in den Suchslot eingibst
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Aufgabe 1419 |
AHS Matura vom 11. Mai 2015 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
2 |
Aufgabe 1569 |
AHS Matura vom 28. September 2017 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe |
3 |
Aufgabe 1641 |
AHS Matura vom 20. September 2018 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe |
4 |
Aufgabe 1761 |
AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe |
5 |
Aufgabe 1856 |
AHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
6 |
Aufgabe 11246 |
AHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe |
Aufgaben
Aufgabe 3074
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-2-Aufgaben - 1. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Tee
Tee ist weltweit eines der meist konsumierten Getränke.
Teil a
Modellhaft wird angenommen, dass der Pro-Kopf-Verbrauch von Tee in Österreich jedes Jahr im Vergleich zum jeweiligen Vorjahr um den gleichen Prozentsatz steigt. Unter dieser Annahme gibt die Funktion f den jährlichen Pro-Kopf-Verbrauch von Tee in Österreich ab 2016 in Abhängigkeit von der Zeit t an (t in Jahren, f(t) in Litern).
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie an, um welchen Funktionstyp es sich bei f handelt.
Der jährliche Pro-Kopf-Verbrauch von Tee lag in Österreich im Jahr 2016 bei 33 L. Der Anteil des Tees, der in Osterreich im Jahr 2016 mittels Teebeutel zubereitet wurde, beträgt 95 %.
Es werden folgende Annahmen getroffen:
- Der Pro-Kopf-Verbrauch von Tee in Osterreich steigt seit dem Jahr 2016 jedes Jahr im Vergleich zum jeweiligen Vorjahr um 2 %.
- Der Anteil des Tees, der in Osterreich jedes Jahr mittels Teebeutel zubereitet wird, bleibt gleich.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie an, wie viele Liter Tee im Jahr 2026 unter den oben angeführten Annahmen pro Kopf in Österreich mittels Teebeuteln zubereitet werden.
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Aufgabe 3075
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-2-Aufgaben - 1. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Tee
Tee ist weltweit eines der meistkonsumierten Getränke.
Teil b
Der weltweit größte Teeproduzent ist China. Die nachstehende Tabelle gibt die Menge des in China produzierten Tees in Millionen Tonnen für einige Jahre im Zeitraum von 2011 bis 2017 an.
Jahr | 2011 | 2013 | 2015 | 2017 |
Menge des in China produzierten Tees in Millionen Tonnen | 1,55 | 1,85 | 2,23 | 2,55 |
Quelle: https://de.statista.com/statistik/daten/studie/29847/umfrage/produktion… [28.08.2018].
Die Menge des in China produzierten Tees soll in Abhängigkeit von der Zeit t ab dem Jahr 2011 näherungsweise durch eine lineare Funktion g beschrieben werden (t in Jahren ab dem Jahr 2011, g(t) in Millionen Tonnen).
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie unter Verwendung der Daten aus den Jahren 2011 und 2017 eine Funktionsgleichung für g an.
g(t) =
In den Jahren 2013 und 2015 gibt es jeweils eine Abweichung zwischen den Funktionswerten von g und den Werten aus der obigen Tabelle.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie an, in welchem der Jahre 2013 und 2015 der Betrag der absoluten Abweichung zwischen dem Funktionswert von g und dem zugehörigen Wert aus der obigen Tabelle größer ist. Ermitteln Sie für das angegebene Jahr ebenso den Betrag der absoluten Abweichung.
- Jahr:
- Betrag der absoluten Abweichung: Millionen Tonnen
Aufgabe 3076
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-2-Aufgaben - 1. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Tee
Tee ist weltweit eines der meistkonsumierten Getränke.
Teil c
Heiser Tee kühlt bei niedrigerer Umgebungstemperatur ab. Die Temperatur T(t) des Tees t Minuten nach Beginn des Abkühlungsprozesses kann bei einer Anfangstemperatur T0 und einer konstanten Umgebungstemperatur TU durch die nachstehende Funktionsgleichung näherungsweise beschrieben werden.
\(T\left( t \right) = \left( {{T_0} - {T_U}} \right) \cdot {e^{ - k \cdot t}} + {T_U}{\text{ mit }}k \in \mathbb{R}\)
(t in Minuten, TU in °C, T0 in °C, T(t) in °C)
Eine Tasse mit Tee mit der Anfangstemperatur T0 = 90 °C wird in einen Raum mit einer konstanten Umgebungstemperatur von TU = 20 °C gestellt. Der Tee ist nach 10 Minuten auf eine Temperatur von 65 °C abgekühlt.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie k.
Nehmen Sie an, dass der ermittelte Wert von k sowohl für den Abkühlungsprozess eines Tees mit einer Anfangstemperatur von 90 °C als auch für den Abkühlungsprozess eines anderen Tees mit einer Anfangstemperatur von 70 °C gilt.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie an, bei welcher Umgebungstemperatur TU beide Tees in der gleichen Zeit auf die Hälfte des Wertes ihrer jeweiligen Anfangstemperatur (in °C) abkühlen.
TU = °C
Aufgabe 3077
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-2-Aufgaben - 2. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Erderwärmung
Unter globaler Mitteltemperatur versteht man die über die gesamte Erdoberfläche gemittelte Temperatur in einem bestimmten Zeitraum unter bestimmten Bedingungen. Die Entwicklung der globalen Mitteltemperatur kann mithilfe von Klimamodellen prognostiziert werden.
Nachstehend sind für einzelne Jahre die globalen Mitteltemperaturen angeführt.
Jahr | 1900 | 1950 | 1955 | 1960 | 1965 | 1970 | 1975 | 1980 |
globale Mitteltemperatur (in °C) | 13,80 | 13,87 | 13,89 | 14,01 | 13,90 | 14,02 | 13,94 | 14,16 |
Jahr | 1985 | 1990 | 1995 | 2000 | 2005 | 2010 | 2015 | |
globale Mitteltemperatur (in °C) | 14,03 | 14,37 | 14,37 | 14,31 | 14,51 | 14,55 | 14,72 |
Die Funktion T beschreibt modellhaft die globale Mitteltemperatur in Abhängigkeit von der Zeit t (t in Jahren ab dem Jahr 1900, T(t) in °C). Es gilt:
\(T\left( t \right) = a \cdot {e^{0,008 \cdot t}} - 0,03 \cdot t + 11,1{\text{ mit }}a \in \mathbb{R}\)
Teil a
Bei einem bestimmten Klimamodell wird a = 2,7 angenommen. Die Funktion T hat an der Stelle t = t0 eine lokale Extremstelle.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie t0.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Begründen Sie mathematisch, warum gemäß diesem Modell die globale Mitteltemperatur ab der Stelle t0 immer schneller ansteigt.
Aufgabe 3078
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-2-Aufgaben - 2. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Erderwärmung
Unter globaler Mitteltemperatur versteht man die über die gesamte Erdoberfläche gemittelte Temperatur in einem bestimmten Zeitraum unter bestimmten Bedingungen. Die Entwicklung der globalen Mitteltemperatur kann mithilfe von Klimamodellen prognostiziert werden.
Die Funktion T beschreibt modellhaft die globale Mitteltemperatur in Abhängigkeit von der Zeit t (t in Jahren ab dem Jahr 1900, T(t) in °C). Es gilt:
\(T\left( t \right) = a \cdot {e^{0,008 \cdot t}} - 0,03 \cdot t + 11,1{\text{ mit }}a \in \mathbb{R}\)
Teil b
Verschiedene Studien nehmen an, dass die globale Mitteltemperatur im Jahr 2100 im Vergleich zur globalen Mitteltemperatur im Jahr 2000 (also 14,31 °C) um mindestens 1,5 °C, aber um höchstens 4,5 °C höher sein wird.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Weisen Sie nach, dass die Funktion T mit a = 2,7 diese Studien mit der Annahme für das Jahr 2100 bestätigt.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie den kleinstmöglichen Wert amin und den größtmöglichen Wert amax so an, dass die Funktion T diese Studien bestätigt.
amin =
amax =
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Aufgabe 3079
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-2-Aufgaben - 2. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Erderwärmung
Unter globaler Mitteltemperatur versteht man die über die gesamte Erdoberfläche gemittelte Temperatur in einem bestimmten Zeitraum unter bestimmten Bedingungen. Die Entwicklung der globalen Mitteltemperatur kann mithilfe von Klimamodellen prognostiziert werden.
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-2-Aufgaben - 2. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Erderwärmung
Unter globaler Mitteltemperatur versteht man die über die gesamte Erdoberfläche gemittelte Temperatur in einem bestimmten Zeitraum unter bestimmten Bedingungen. Die Entwicklung der globalen Mitteltemperatur kann mithilfe von Klimamodellen prognostiziert werden.
Nachstehend sind für einzelne Jahre die globalen Mitteltemperaturen angeführt.
Jahr | 1900 | 1950 | 1955 | 1960 | 1965 | 1970 | 1975 | 1980 |
globale Mitteltemperatur (in °C) | 13,80 | 13,87 | 13,89 | 14,01 | 13,90 | 14,02 | 13,94 | 14,16 |
Jahr | 1985 | 1990 | 1995 | 2000 | 2005 | 2010 | 2015 | |
globale Mitteltemperatur (in °C) | 14,03 | 14,37 | 14,37 | 14,31 | 14,51 | 14,55 | 14,72 |
Die Funktion T beschreibt modellhaft die globale Mitteltemperatur in Abhängigkeit von der Zeit t (t in Jahren ab dem Jahr 1900, T(t) in °C). Es gilt:
\(T\left( t \right) = a \cdot {e^{0,008 \cdot t}} - 0,03 \cdot t + 11,1{\text{ mit }}a \in \mathbb{R}\)
Teil c
Bei der UN-Klimakonferenz in Paris im Jahr 2015 wurde eine neue internationale Klimaschutz-Vereinbarung getroffen, die die Begrenzung der Zunahme der globalen Mitteltemperatur vorsieht. Demnach dürfte die globale Mitteltemperatur im Jahr 2100 höchstens 15,3 °C betragen.
Um diese Klimaschutz-Vereinbarung zu erfüllen, darf ab dem Jahr 2015 die mittlere Änderungsrate der globalen Mitteltemperatur pro Jahr höchstens einen bestimmten Wert k betragen (k in °C pro Jahr).
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie k.
Es wird angenommen, dass die globale Mitteltemperatur ab dem Jahr 2015 linear zunimmt und die mittlere Änderungsrate der globalen Mitteltemperatur pro Jahr tatsächlich k entspricht.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie unter dieser Annahme eine Gleichung derjenigen linearen Funktion M an, die die jährliche globale Mitteltemperatur (in °C) t Jahre nach 2015 modellhaft beschreibt.
Aufgabe 3080
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-2-Aufgaben - 3. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Elektromobilität
Der Bestand an Elektroautos nahm in Österreich in den letzten Jahren zu. Die Grunde dafür liegen unter anderem an technischen Verbesserungen, wie zum Beispiel den steigenden Batteriekapazitäten und kürzeren Ladezeiten.
- Unter Batteriekapazität versteht man die in der Batterie des Elektroautos maximal speicherbare Energie E (in Kilowattstunden, kWh). Diese Energie wird während des Fahrens in eine andere Energieform umgewandelt und beim Ladevorgang wieder der Batterie zugeführt.
- Unter Ladezeit versteht man diejenige Zeit, die für das vollständige Laden einer (annähernd) leeren Batterie benötigt wird.
Teil a
Die nachstehende Grafik zeigt den Bestand an Elektroautos in Österreich für den Zeitraum vom 31. Dezember 2015 bis 31. August 2018. Für die Jahre 2015 bis 2017 wird der Bestand jeweils am Ende des Jahres dargestellt, für das Jahr 2018 der Bestand Ende August.
Illustration fehlt
Datenquelle: Statistik Austria, https://www.statistik.at/web_de/statistiken/energie_umwelt_innovation_m…
[23.03.2020].
Die Differenzengleichung \({B_{n + 1}} = {B_n} \cdot a + b\) beschreibt die Entwicklung des Bestands an Elektroautos in Österreich ausgehend vom Jahr 2015 für die Jahre 2016 und 2017. Dabei gilt:
- B0 ist der Bestand am Ende des Jahres 2015.
- B1 ist der Bestand am Ende des Jahres 2016.
- B2 ist der Bestand am Ende des Jahres 2017.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie a und b an.
- a =
- b =
Damit die angegebene Differenzengleichung auch für das Ende des Jahres 2018 zutrifft, hätte der Bestand an Elektroautos im Rest des Jahres 2018 noch um eine bestimmte Anzahl erhöht werden müssen.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie diese Anzahl.
Aufgabe 3081
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-2-Aufgaben - 3. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Elektromobilität
Der Bestand an Elektroautos nahm in Österreich in den letzten Jahren zu. Die Grunde dafür liegen unter anderem an technischen Verbesserungen, wie zum Beispiel den steigenden Batteriekapazitäten und kürzeren Ladezeiten.
- Unter Batteriekapazität versteht man die in der Batterie des Elektroautos maximal speicherbare Energie E (in Kilowattstunden, kWh). Diese Energie wird während des Fahrens in eine andere Energieform umgewandelt und beim Ladevorgang wieder der Batterie zugeführt.
- Unter Ladezeit versteht man diejenige Zeit, die für das vollständige Laden einer (annähernd) leeren Batterie benötigt wird.
Teil b
Die Batteriekapazität (in kWh) ist das Produkt von Ladeleistung (in kW) und Ladezeit (in h). Um beispielsweise eine (annähernd) leere Batterie mit einer Batteriekapazität von 22 kWh mit einer Ladeleistung von 11 kW zu laden, benötigt man eine Ladezeit von 2 h. Die Funktion f beschreibt die Ladezeit f(P) einer Batterie mit einer Batteriekapazität von 22 kWh in Abhängigkeit von der Ladeleistung P (P in kW, f(P) in h).
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie f(P) an.
f(P) =
Die typische Ladeleistung einer privaten Ladestation liegt im Leistungsintervall [2,3 kW; 3,7 kW].
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie für eine Batterie mit einer Batteriekapazität von 22 kWh dasjenige Zeitintervall der Ladezeit an, das diesem Leistungsintervall entspricht.
Aufgabe 3082
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-2-Aufgaben - 3. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Elektromobilität
Der Bestand an Elektroautos nahm in Österreich in den letzten Jahren zu. Die Grunde dafür liegen unter anderem an technischen Verbesserungen, wie zum Beispiel den steigenden Batteriekapazitäten und kürzeren Ladezeiten.
- Unter Batteriekapazität versteht man die in der Batterie des Elektroautos maximal speicherbare Energie E (in Kilowattstunden, kWh). Diese Energie wird während des Fahrens in eine andere Energieform umgewandelt und beim Ladevorgang wieder der Batterie zugeführt.
- Unter Ladezeit versteht man diejenige Zeit, die für das vollständige Laden einer (annähernd) leeren Batterie benötigt wird.
Teil c
Für die Fahrt eines Elektroautos auf einer bestimmten Teststrecke wird modellhaft angenommen:
- Die gesamte Teststrecke wird mit einer konstanten Geschwindigkeit durchfahren.
- Es besteht ein linearer Zusammenhang zwischen dem Energiebedarf dieses Elektroautos und der jeweiligen konstanten Geschwindigkeit.
Dieses Elektroauto hat bei einer konstanten Geschwindigkeit von 70 km/h einen Energiebedarf von 12,9 kWh für das Durchfahren dieser Teststrecke. Bei einer konstanten Geschwindigkeit von 110 km/h hat es einen Energiebedarf von 20,9 kWh für das Durchfahren dieser Teststrecke. Die Funktion E beschreibt den Energiebedarf E(v) in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit v mit
\(50 \leqslant v \leqslant 130\)
(v in km/h, E(v) in kWh).
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie E(v) an.
E(v) =
Die Batterie dieses Elektroautos hat eine Batteriekapazität von 41 kWh und ist vor dem Durchfahren der Teststrecke vollständig geladen. Nach dem Durchfahren der Teststrecke sind in der Batterie noch 30,22 kWh gespeichert.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie die (konstante) Geschwindigkeit v1, mit der die Teststrecke durchfahren worden ist.
Schon den nächsten Badeurlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Damit niemand mehr bei Mathe in's Schwimmen kommt!
Aufgabe 3083
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-2-Aufgaben - 4. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Müsliriegel
Ein neuer Müsliriegel steht vor der Markteinführung. Der Hersteller dieses Müsliriegels produziert 100 000 Stuck davon. Auf allen Verpackungen der Müsliriegel wird die Möglichkeit von Sofortgewinnen angekündigt. Die jeweilige Höhe des Sofortgewinns kann man nach dem Öffnen der Verpackung auf deren Innenseite ablesen. Der Hersteller des Müsliriegels gibt an: Es werden
- 9 000 Sofortgewinne zu je € 2
- 900 Sofortgewinne zu je € 5
- 100 Sofortgewinne zu je € 65
ausgezahlt.
Alle produzierten Müsliriegel werden an Geschäfte geliefert. Die Verteilung der Müsliriegel erfolgt nach dem Zufallsprinzip.
Teil a
Unter Berücksichtigung aller Produktionskosten kostet jeder der 100 000 Müsliriegel in der Produktion durchschnittlich € 1. Der Verkaufspreis eines Müsliriegels soll so festgelegt werden, dass für den Hersteller ein Gewinn von mindestens € 80.000 erzielt wird, wenn nach dem Verkauf aller Müsliriegel alle Sofortgewinne ausgezahlt werden müssen. Alle Müsliriegel haben den gleichen Verkaufspreis.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie den unter diesen Voraussetzungen kleinstmöglichen Verkaufspreis p des Müsliriegels.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie an, um wie viel Prozent der kleinstmögliche Verkaufspreis p gesenkt werden kann, wenn man die Müsliriegel ohne Gewinnspiel verkauft und der Gewinn trotzdem mindestens € 80.000 ausmachen soll.
Aufgabe 3084
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-2-Aufgaben - 4. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Müsliriegel
Ein neuer Müsliriegel steht vor der Markteinführung. Der Hersteller dieses Müsliriegels produziert 100 000 Stück davon. Auf allen Verpackungen der Müsliriegel wird die Möglichkeit von Sofortgewinnen angekündigt. Die jeweilige Höhe des Sofortgewinns kann man nach dem Öffnen der Verpackung auf deren Innenseite ablesen. Der Hersteller des Müsliriegels gibt an: Es werden
- 9 000 Sofortgewinne zu je € 2
- 900 Sofortgewinne zu je € 5
- 100 Sofortgewinne zu je € 65
ausgezahlt.
Alle produzierten Müsliriegel werden an Geschäfte geliefert. Die Verteilung der Müsliriegel erfolgt nach dem Zufallsprinzip.
Teil b
Die Zufallsvariable X beschreibt die Höhe des ausgezahlten Sofortgewinns pro gekauften Müsliriegel.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie den Erwartungswert E(X).
Ein Kunde kauft 4 Müsliriegel.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der der Kunde mindestens einen Sofortgewinn erzielt.
Aufgabe 3085
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-2-Aufgaben - 4. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Müsliriegel
Ein neuer Müsliriegel steht vor der Markteinführung. Der Hersteller dieses Müsliriegels produziert 100 000 Stück davon. A
Teil c
Aus Erfahrung weiß man, dass 95 % der Müsliriegel eine vorgegebene Mindestmasse haben. Eine Zufallsstichprobe von 1 000 Müsliriegeln wird ausgewählt. Die binomialverteilte Zufallsvariable Y beschreibt dabei die Anzahl der Müsliriegel in dieser Zufallsstichprobe, die die vorgegebene Mindestmasse haben.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie die Standardabweichung σ(Y) der Zufallsvariablen Y.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Interpretieren Sie das Ergebnis der nachstehenden Berechnung im gegebenen Kontext.
P(Y ≥ 933) ≈ 0,99