Österreichische BHS Matura - 2018.05.09 - HAK - 3 Teil B Beispiele

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Smartphones - Aufgabe B_079

Der Akku eines Smartphones entlädt sich aufgrund von Hintergrundanwendungen auch dann, wenn das Gerät nicht aktiv benutzt wird.

Teil a

Für ein bestimmtes Smartphone wird die zeitliche Entwicklung des Akku-Ladestands in Prozent beobachtet. Zur Zeit t = 0 ist der Akku vollständig aufgeladen.

Die zeitliche Entwicklung des Akku-Ladestands in Prozent soll beschrieben werden.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie eine Gleichung der zugehörigen linearen Regressionsfunktion.
[1 Punkt]

Bei einem Akku-Ladestand von 15 % sollte das Smartphone wieder ans Stromnetz angeschlossen werden.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie, wie viele Stunden nach dem vollständigen Aufladen dies gemäß diesem linearen Regressionsmodell gemäß Teil a der Fall ist.

[1 Punkt]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Smartphones - Aufgabe B_079

Der Akku eines Smartphones entlädt sich aufgrund von Hintergrundanwendungen auch dann, wenn das Gerät nicht aktiv benutzt wird.

Teil b

Die zeitliche Entwicklung des Akku-Ladestands beim Aufladen lasst sich näherungsweise durch die Funktion A beschreiben:
\(A\left( t \right) = 100 - 85 \cdot {e^{ - \lambda \cdot t}}\)

• t ... Zeit nach Beginn des Aufladens in h
• A(t) ... Akku-Ladestand zur Zeit t in Prozent
• \(\lambda \) ... positiver Parameter

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Argumentieren Sie mathematisch, dass sich die Funktionswerte von A mit wachsendem t dem Wert 100 annähern.
[1 Punkt]

2 Stunden nach Beginn des Aufladens betragt der Akku-Ladestand 80 %.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie λ.
[1 Punkt]

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie, zu welcher Zeit nach Beginn des Aufladens der Akku-Ladestand 90 % beträgt.
[1 Punkt]

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Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
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Smartphones - Aufgabe B_079

Teil c

Die Entwicklung der weltweiten Verkaufszahlen von Smartphones kann modellhaft durch die Funktion S beschrieben werden:
\(S\left( t \right) = \dfrac{{1918}}{{1 + 4,84 \cdot {e^{ - 0,54 \cdot t}}}}\)

• t ... Zeit in Jahren (t = 0 entspricht dem Beginn des Jahres 2010)
• S(t) ... Anzahl der bis zur Zeit t insgesamt verkauften Smartphones in Millionen Stück

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie mithilfe dieses Modells die Anzahl der bis zum Beginn des Jahres 2020 insgesamt verkauften Smartphones.
[1 Punkt]

Im nachstehenden Diagramm ist der Graph der Ableitungsfunktion S′ dargestellt. Auf dem Graphen von S′ ist der Hochpunkt H markiert.

Bild

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Beschreiben Sie die mathematische Bedeutung der Stelle t = 2,9 in Bezug auf die Funktion S. [1 Punkt]

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Rohrproduktion - Aufgabe B_089

Teil a

Ein Unternehmen stellt Kunststoffrohre her, die zu einem fixen Preis verkauft werden. Im nachstehenden Diagramm ist der Graph der Kostenfunktion K für die Herstellung der Kunststoffrohre dargestellt.

Bild

Der Break-even-Point liegt bei einer Produktion von 8 ME. Die Kosten betragen dabei 400 GE.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Zeichnen Sie den Graphen der Erlösfunktion E im obigen Diagramm ein.
[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie den zugehörigen Marktpreis.
[1 Punkt]

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ergänzen Sie in der nachstehenden Wertetabelle die fehlenden Werte für die zugehörige Gewinnfunktion G.
[1 Punkt]

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Rohrproduktion - Aufgabe B_089

Teil b

Die Grenzkostenfunktion K′ für die Herstellung von Kunststoffrohren ist gegeben durch:
\(K'\left( x \right) = \dfrac{{15}}{{32}} \cdot {x^2} - \dfrac{{35}}{4} \cdot x + 60\)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Erstellen Sie eine Gleichung der zugehörigen Kostenfunktion K mit K(16) = 600.
[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie die Kostenkehre.
[1 Punkt

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Rohrproduktion - Aufgabe B_089

Teil c

Ein anderes Unternehmen stellt Keramikrohre her. Von der quadratischen Erlösfunktion E ist für den Absatz von 10 ME bekannt:

• E(10) = 15
• E′(10) = –1,5
• E″(10) = –0,6

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Kreuzen Sie die zutreffende Aussage über den Erlös bei einem Absatz von 11 ME an.
[1 aus 5] [1 Punkt]

• Aussage 1: E(11)=13,2
• Aussage 2: E(11)=13,5
• Aussage 3: E(11)=14,1
• Aussage 4: E(11)=16,2
• Aussage 5: E(11)=16,5

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Rohrproduktion - Aufgabe B_089

Teil d

Die Erlösfunktion E für Betonrohre ist gegeben durch:
\(E\left( x \right) = - 3,2 \cdot x \cdot \left( {x - 25} \right)\)

mit

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Erstellen Sie eine Gleichung der zugehörigen Preisfunktion der Nachfrage.
[1 Punkt]

2 Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie den Höchstpreis.
[1 Punkt]

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Hotelerweiterung - Aufgabe B_106

Ein Hotel plant die Errichtung zusätzlicher Zimmer.

Teil a

Das Hotel plant mit einer Investitionssumme von € 1.650.000 die Errichtung 15 zusätzlicher Zimmer. Für jedes dieser neuen Zimmer wird im 1. Jahr mit einem Erlös in Hohe von € 87 pro Nächtigung kalkuliert. Gleichzeitig rechnet der Betrieb damit, dass 13 % des Erlöses für Warenverbrauch, 31 % für Personalaufwand und 28 % für Betriebskosten aufgewendet werden.

Im 1. Jahr rechnet man damit, dass diese zusätzlichen Zimmer für jeweils 165 Nächtigungen gebucht werden.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Tragen Sie die prognostizierten Einnahmen und Ausgaben für diese zusätzlichen Zimmer in die nachstehende Tabelle ein.
[1 Punkt]

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Hotelerweiterung - Aufgabe B_106

Ein Hotel plant die Errichtung zusätzlicher Zimmer.

Teil b

In der nachstehenden Abbildung ist der Kapitalwert einer Investition in Höhe von € 1.650.000 in Abhängigkeit vom kalkulatorischen Zinssatz dargestellt. Es werden gleich hohe jährliche Rückflüsse und eine Nutzungsdauer von 20 Jahren angenommen.

Bild

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Lesen Sie aus dem Funktionsgraphen ab, bis zu welchem kalkulatorischen Zinssatz die Investition vorteilhaft ist.
[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Bestimmen Sie die Höhe der jährlichen Rückflüsse.
[1 Punkt]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
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Hotelerweiterung - Aufgabe B_106

Ein Hotel plant die Errichtung zusätzlicher Zimmer.

Teil c

Bei einer bestimmten Kalkulation geht man bei einer Investitionssumme in Höhe von € 1.650.000 davon aus, dass 20 Jahre lang gleich hohe jährliche Rückflüsse in Hohe von jeweils € 78.000 zu erwarten sind. Die Rückflüsse können zu einem Wiederveranlagungszinssatz von 1,5 % p. a. angelegt werden.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie den Endwert der wiederveranlagten Rückflüsse.
[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Überprüfen Sie nachweislich mithilfe des modifizierten internen Zinssatzes, ob diese Investition vorteilhaft ist.
[1 Punkt]

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Argumentieren Sie, dass der modifizierte interne Zinssatz bei einem höheren Wiederveranlagungszinssatz höher wäre.
[1 Punkt]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Hotelerweiterung - Aufgabe B_106

Ein Hotel plant die Errichtung zusätzlicher Zimmer.

Teil d

Um die Investition durchführen zu können, ist ein Bankkredit in Hohe von € 800.000 notwendig. Für die Rückzahlung werden eine Laufzeit von 15 Jahren und nachschüssige Semesterraten in Höhe von jeweils € 38.100 vereinbart.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie den effektiven Jahreszinssatz für dieses Finanzierungsmodell.
[1 Punkt]