Österreichische BHS Matura - 2022.01.12 - HTL 1

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Zebraschnecken – Aufgabe B_532

Um das Wanderverhalten von Zebraschnecken zu untersuchen, wird eine Versuchsfläche, auf der solche Schnecken leben, beobachtet.

Teil a

Die unten stehende Abbildung zeigt die Positionen der Zebraschnecke A an vier aufeinanderfolgenden Tagen in einem Koordinatensystem (Einheiten in Metern). Die Punkte A₁, A₂, A₃ und A₄ sind dabei die Positionen der Zebraschnecke A zu Beginn des 1., 2., 3. bzw. 4. Tages.

Illustration fehlt

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie den Vektor vom Punkt A₂ zum Punkt A₃ an.
[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die Entfernung, die die Zebraschnecke zurückgelegt hat, wenn sie auf dem kürzesten Weg von A₂ nach A₃ gekrochen ist.
[0 / 1 P.]

Zu Beginn des 5. Tages befindet sich die Zebraschnecke im Punkt A₅. Es gilt:
\(\overrightarrow {{A_4}{A_5}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1} \\ 3 \end{array}} \right)\)

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Zeichnen Sie in der obigen Abbildung den Punkt A₅ ein.

Illustration fehlt
[0 / 1 P.]

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Quelle: BHS Matura vom 12. Jänner 2022 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Zebraschnecken – Aufgabe B_532

Um das Wanderverhalten von Zebraschnecken zu untersuchen, wird eine Versuchsfläche, auf der solche Schnecken leben, beobachtet.

Teil b

Die nachstehende Abbildung zeigt die Position der Zebraschnecke B an vier aufeinander folgenden Tagen. Die Punkte B₁, B₂, B₃ und B₄ sind dabei die Positionen der Zebraschnecke B zu Beginn des 1., 2., 3. bzw. 4. Tages.

Illustration fehlt

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Überprüfen Sie rechnerisch, ob der Winkel α ein rechter Winkel ist.
[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie den Winkel β.
[0 / 1 P.]

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Körpermaße – Aufgabe B_533

Teil a

Die Oberarmlänge von Burschen einer bestimmten Altersgruppe kann als annähernd normalverteilt angenommen werden. Der Erwartungswert μ beträgt 34,7 cm, die Standardabweichung σ betragt 0,4 cm.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Oberarmlänge eines zufällig ausgewählten Burschen dieser Altersgruppe mindestens 34,4 cm betragt.

[0 / 1 P.]

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Körpermaße – Aufgabe B_533

Teil b

Von 9 zufällig ausgewählten Mädchen einer anderen Altersgruppe wurden die Oberarmlänge und die Körpergröße gemessen:

Die Oberarmlänge soll in Abhängigkeit von der Körpergröße näherungsweise durch die lineare Funktion g beschrieben werden.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Stellen Sie mithilfe der Regressionsrechnung eine Gleichung der linearen Funktion g auf.

[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Beurteilen Sie mithilfe des Korrelationskoeffizienten, ob die lineare Funktion g ein geeignetes Modell zur Beschreibung dieser Abhängigkeit ist.

[0 / 1 P.]

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Interpretieren Sie den Wert der Steigung der linearen Funktion g im gegebenen Sachzusammenhang.

[0 / 1 P.]

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Körpermaße – Aufgabe B_533

Teil c

Der Median des Körperfettanteils von Burschen ist altersabhängig (siehe nachstehende Tabelle).

Der Median des Körperfettanteils kann in Abhängigkeit vom Alter t durch die Polynomfunktion 3. Grades f mit
\(f\left( t \right) = a \cdot {t^3} + b \cdot {t^2} + c \cdot t + d\)

modelliert werden.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten von f.
[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie diese Koeffizienten.
[0 / 1 P.]

Eine Polynomfunktion 3. Grades h mit

\(h\left( x \right) = {a_1} \cdot {x^3} + {b_1} \cdot {x^2} + {c_1} \cdot x + {d_1}\)

hat 2 lokale Extremstellen.

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

 Geben Sie an, welches Vorzeichen die Diskriminante der Gleichung h′(x) = 0 haben muss. Begründen Sie Ihre Entscheidung.
 [0 / 1 P.]

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Seifenkisten – Aufgabe B_535

Seifenkisten sind einfache Fahrzeuge ohne Motor.

Teil a

Ein spezielles Lenksystem für Seifenkisten hat die Form eines Vierecks (siehe nachstehende Abbildungen).

Abbildung fehlt

Es gilt: a = 60 cm, v = 96 cm, k = 13 cm.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 11:20

Berechnen Sie s.

[0 / 1 / 2 P.]

Beim Lenken ändert sich die Form des Vierecks (siehe nachstehende Abbildung).

Abbildung fehlt

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Kennzeichnen Sie in der obigen Abbildung den Winkel α, für den gilt:

\(\alpha = \arccos \left( {\dfrac{{{k^2} + {s^2} - \left( {{a^2} + {k^2}} \right)}}{{2 \cdot s \cdot k}}} \right)\)
[0 / 1 P.]

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Seifenkisten – Aufgabe B_535

Seifenkisten sind einfache Fahrzeuge ohne Motor.

Teil b

Ein Rad einer bestimmten Seifenkiste hat einen Außendurchmesser von 45 cm. Die Seifenkiste erreicht eine Geschwindigkeit von 36 km/h.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie die Anzahl der Umdrehungen pro Minute, die das Rad bei dieser Geschwindigkeit macht.

[0 / 1 P.]

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Seifenkisten – Aufgabe B_535

Seifenkisten sind einfache Fahrzeuge ohne Motor.

Teil c

Die Seitenflächen einer Seifenkiste werden bemalt. Die bemalte Fläche ist in der untenstehenden Abbildung grau markiert.

• Die obere Begrenzungslinie der bemalten Flache wird im Intervall [0; 8] mithilfe der Funktion f beschrieben.
• Die untere Begrenzungslinie der bemalten Flache wird im Intervall [1; 8] mithilfe der Funktion g beschrieben.

Abbildung fehlt

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Stellen Sie mithilfe von f und g eine Formel zur Berechnung des Inhalts A der grau markierten

Flache auf.

A =

[0 / 1 P.]

Die Funktion g mit \(g\left( x \right) = a \cdot \ln \left( x \right)\) hat an der Stelle 5 den Funktionswert \(\dfrac{{13}}{6}\)

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ermitteln Sie den Parameter a.

[0 / 1 P.]

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie diejenige Stelle, an der die Funktion g einen Steigungswinkel von 30° hat.

[0 / 1 P.]

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Seifenkisten – Aufgabe B_535

Seifenkisten sind einfache Fahrzeuge ohne Motor.

Teil d

Der zeitliche Verlauf der Geschwindigkeit einer bestimmten Seifenkiste im Zeitintervall [1; 15] kann näherungsweise durch die Exponentialfunktion v beschrieben werden (siehe nachstehende Abbildung).

Illustration fehlt

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Kennzeichnen Sie in der obigen Abbildung diejenige Zeit, zu der die Geschwindigkeit nur noch halb so hoch wie zur Zeit t = 1 s ist.

[0 / 1 P.]

Zur Zeit t = 1 s wurde eine Geschwindigkeit von 8 m/s gemessen. Zur Zeit t = 15 s wurde eine Geschwindigkeit von 1 m/s gemessen. Es gilt:

\(v\left( t \right) = c \cdot {a^t}\)

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie die Parameter a und c der Exponentialfunktion v.

[0 / 1 P.]