Quadratischen Gleichung mit einer Variablen
Formel
Quadratischen Gleichung mit einer Variablen
In dieser Mikro-Lerneinheit lernst du mehrere Methoden, wie man quadratische Gleichungen lösen kann. Wir werden die allgemeine quadratische Gleichung mittels der abc-Formel (große Lösungsformel) und die normierte quadratische Gleichung mittels der pq-Formel (kleine Lösungsformel) lösen. Mit Hilfe der Diskriminante erkennst du, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung hat und welcher Zahlenmenge die Lösungen angehört.
Gleichung 2. Grades
Eine allgemeine quadratische Gleichung in einer Variablen besteht aus einem quadratischen, einem linearen und einem konstanten Glied
\(a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0\)
Damit es sich auch wirklich um eine quadratische Gleichung handelt, muss a≠0 und es darf auch kein Term höherer als zur 2. Potenz vorkommen. Eventuell muss man die Null auf der rechten Seite vom Gleichheitszeichen durch Äquivalenzumformungen herbeiführen.
- Parameter a: mit zunehmenden a wird der Graph der Parabel immer steiler
- Parameter b: mit zunehmenden b verschiebt sich der Scheitelpunkt der Parabel entlang einer Geraden mit 45° Steigung vom Ursprung weg
- Parameter c: verschiebt den Graph der Parabel in Richtung der y-Achse
Lösung einer allgemeinen quadratischen Gleichung mittels abc-Formel
Die Lösung einer allgemeinen quadratischen Formel erfolgt mittels der abc-Formel. Die abc-Formel wird auch gerne "„Mitternachtsformel“
oder „große Lösungsformel“ genannt.
\(\eqalign{ & a{x^2} + bx + c = 0 \cr & {x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \cr & D = {b^2} - 4ac \cr}\)
Man erhält 2 Lösungen, die Lösung für x1 ergibt sich, wenn man vor der Wurzel das "+" rechnet, die Lösung für x2 ergibt sich, wenn man vor der Wurzel das "-" rechnet.
Quadratische Gleichung in Normalform
Bei einer quadratischen Gleichung in Normalform ist der Koeffizient vor dem quadratischen Glied eine "1". Darüber hinaus gibt es noch ein lineares und ein konstantes Glied
\({x^2} + px + q = 0\)
Normierte quadratische Gleichung
Man kann die allgemeine quadratische Gleichung in eine quadratische Gleichung in Normalform durch Division der Gleichung durch a, also dem Koeffizienten im quadratischen Glied, wie folgt umrechnen bzw. normieren
\(\eqalign{ & a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0\,\,\,\,\,\left| {:a} \right. \cr & {x^2} + \frac{b}{a} \cdot x + \frac{c}{a} = 0 \cr & {x^2} + p \cdot x + q = 0 \cr & {\text{mit}} \cr & {\text{p = }}\dfrac{b}{a};\,\,\,\,\,q = \dfrac{c}{a} \cr} \)
Lösung einer quadratischen Gleichung in Normalform mittels pq-Formel
Die Lösung einer quadratischen Gleichung in Normalform erfolgt mittels der pq Formel, auch "kleine Lösungsformel" genannt.
\(\eqalign{ & {x^2} + px + q = 0\, \cr & {x_{1,2}} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {{{\left( {\dfrac{p}{2}} \right)}^2} - q\,\,\,\,} \cr & D = {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2} - q \cr}\)
Der Satz von Vieta bietet eine Möglichkeit einer Probe, denn es muss gelten:
\(\eqalign{ & {x_1} + {x_2} = - p = - \dfrac{b}{a} \cr & {x_1} \cdot {x_2} = q = \dfrac{c}{a} \cr} \)
Anmerkung: Man kann jede quadratische Gleichung mit der abc Formel lösen. Ob es eine Vereinfachung bringt eine allgemeine quadratische Gleichung mittels Division durch a auf die Normalform zuzurechnen, um dann die etwas einfachere pq-Formel nützen zu können muss man individuell entscheiden. Im Zeitalter vom Taschenrechner, wird es sich wohl nicht auszahlen.
Rein quadratische Gleichung
Bei einer rein quadratischen Gleichung gibt es nur ein quadratisches und ein konstantes, aber kein lineares Glied.
\(a \cdot {x^2} + c = 0\)
Lösung einer rein quadratischen Gleichung mittels Äquivalenzumformung
Die Lösung einer rein quadratischen Gleichung erfolgt durch Äquivalenzumformung
\(\eqalign{ & a \cdot {x^2} + c = 0 \cr & {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - \dfrac{c}{a}} \cr & D = - \dfrac{c}{a} \cr} \)
Diskriminante
In allen drei Lösungen ist ein Wurzelausdruck enthalten. Den Wert unter dem Wurzelzeichen nennt man Diskriminante. Mit Hilfe der Diskriminanten erkennst du, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung hat und welcher Zahlenmenge die Lösungen angehören.
Quadratische Gleichungen haben, abhängig von der Diskriminante "D" drei mögliche Lösungsfälle.
1. Fall: D > 0 à 2 Lösungen in R, die zugrunde liegende Funktion hat 2 Nullstellen. Dh der Graph der Funktion schneidet 2-Mal die x-Achse
2. Fall: D = 0 à 1 (eigentlich 2 gleiche) Lösung in R, die zugrunde liegende Funktion hat 1 doppelte Nullstelle. Dh der Graph der Funktion berührt die x-Achse. \({x_1} = {x_2} = \dfrac{{ - b}}{{2a}}{\text{ bzw}}{\text{. }}{{\text{x}}_1} = {x_2} = - \dfrac{p}{2}\)
3. Fall: D < 0 à keine Lösung in R, aber 2 konjugiert komplexe Lösungen in C. Der Graph der zugrunde liegenden Funktion berührt oder schneidet die x-Achse nicht.
Illustration vom Zusammenhang zwischen Diskriminante und Anzahl der reellen Nullstellen
Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung
Im Bereich der komplexen Zahlen lassen sich nun auch jene quadratischen Gleichungen lösen, deren Diskriminante kleiner Null ist - d.h. deren Wert unter der Wurzel negativ ist. In diesem Fall gibt es 2 zu einander konjugiert komplexe Lösungen.
\(D < 0: \pm \sqrt { - D} = \pm \sqrt { - 1 \cdot D} = \pm \sqrt { - 1} \cdot \sqrt D = \pm i \cdot \sqrt D \)
→ Wir gehen im Kapitel über komplexe Zahlen auf das Thema näher ein.
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
Gleichungen | Eine Gleichung ist eine mathematische Schreibweise, die zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen verbindet. Bei Gleichungen mit einer oder mehreren Variablen gilt es jene Werte der Variablen aus einer gegebenen Grundmenge zu bestimmen, für die die Lösung der Gleichung eine wahre Aussage wird. |
Aktuelle Lerneinheit
Quadratischen Gleichung mit einer Variablen | In dieser Mikro-Lerneinheit lernst du mehrere Methoden, wie man quadratische Gleichungen lösen kann. Wir werden die allgemeine quadratische Gleichung mittels der abc-Formel (große Lösungsformel) und die normierte quadratische Gleichung mittels der pq-Formel (kleine Lösungsformel) lösen. Mit Hilfe der Diskriminante erkennst du, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung hat und welcher Zahlenmenge die Lösungen angehört. |
Verbreitere dein Wissen zur aktuellen Lerneinheit
Äquivalenzumformungen bei Gleichungen | Unter einer Äquivalenzumformung einer Gleichung versteht eine Umformung, die den Wahrheitswert der Gleichung unverändert lässt |
Lineare Gleichung mit einer Variablen | In einer linearen Gleichung mit einer Variablen kommt die einzige Variable lediglich zur ersten Potenz vor.
|
Satz von Vieta | Der Satz von Vieta erlaubt es quadratische Gleichungen die als Polynom, also als Summe oder Differenz, gegeben sind in ein Produkt umzurechnen. Die Linearfaktorzerlegung erlaubt es (quadratische) Gleichungen mit Hilfe ihrer Nullstellen als Produkt anzuschreiben. |
Lineare Gleichungen mit zwei Variablen | Eine Lösung des Gleichungssystems liegt dann vor, wenn man jeder der n Variablen genau einen Zahlenwert zuordnen kann, sodass alle m Gleichungen zu wahren Aussagen werden. |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 68
Quadratische Gleichung mit einer Variablen
Gegeben sei folgende quadratische Gleichung:
\(a{x^2} + bx + c = 0;{\text{ a}}{\text{, b}}{\text{, c }} \in {\Bbb R}\,\,\,\,\,a \ne 0\)
Zeige an Hand des Beispiels a=4 und c= -100 für den Spezialfall b=0, wie man Gleichungen vom Typ \(a{x^2} + c = 0\) lösen kann.
Aufgabe 83
Lösungen einer quadratischen Gleichung
Die Art der Lösungen einer quadratischen Gleichung hängt von deren Koeffizienten ab.
Aufgabenstellung:
Ergänze die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht.
Die quadratische Gleichung \( u{x^2} + vx + w = 0 \) hat genau dann für alle \(u \ne 0{\text{ und }}u,\,v,\,w\,\, \in {\Bbb R}\) ___1___, wenn gilt ___2___
1 | |
zwei reelle Lösungen | A |
zwei konjugiert komplexe Lösungen | B |
eine Doppellösung | C |
2 | |
\({v^2} - 4uw > 0\) | I |
\({u^2} - 4vw > 0\) | II |
\({w^2} - 4uv > 0\) | III |
Aufgabe 69
Quadratische Gleichung mit einer Variablen
Gegeben sei folgende quadratische Gleichung
\({x^2} = k\)
Für welche k hat diese Gleichung eine, zwei bzw. keine Lösung in R?
Aufgabe 70
Quadratische Gleichung mit einer Variablen
Gegeben sei folgende quadratische Gleichung:
Berechne:
\({\left( {x - 3} \right)^2} = 25\)
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Aufgabe 1016
AHS - 1_016 & Lehrstoff: AG 2.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Benzinverbrauch
Der Zusammenhang zwischen dem Benzinverbrauch y (in l/100 km) und der Geschwindigkeit x (in km/h) kann für einen bestimmten Autotyp durch die Funktionsgleichung \(y = 0,0005 \cdot {x^2} - 0,09 \cdot x + 10\) beschrieben werden.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie rechnerisch, bei welcher Geschwindigkeit der Verbrauch 6 l/100 km beträgt!
Aufgabe 1161
AHS - 1_161 & Lehrstoff: AG 2.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Quadratische Gleichungen
Quadratische Gleichungen können in der Menge der reellen Zahlen keine, genau eine oder zwei verschiedene Lösungen haben.
A | \({\left( {x + 4} \right)^2} = 0\) |
B | \({\left( {x - 4} \right)^2} = 25\) |
C | \(x \cdot \left( {x - 4} \right) = 0\) |
D | \( - {x^2} - 16 = 0\) |
E | \({x^2} - 16 = 0\) |
F | \({x^2} - 8x + 16 = 0\) |
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie jeder Lösungsmenge L die entsprechende quadratische Gleichung (aus A bis F) in der Menge der reellen Zahlen zu!
Deine Antwort | |
I: \(L = \left\{ {} \right\}\) | |
II: \(L = \left\{ { - 4;4} \right\}\) | |
III: \(L = \left\{ {0;4} \right\}\) | |
IV: \(L = \left\{ 4 \right\}\) |
Aufgabe 71
Quadratische Gleichung mit einer Variablen
Gegeben sei folgende quadratische Gleichung:
\({x^2} + 4x + 2 = 14\)
Berechne x1,2 mittels der Methode eines vollständigen Quadrats.
Aufgabe 72
Quadratische Gleichung mit einer Variablen
Gegeben sei folgende quadratische Gleichung:
\({x^2} - 6x = - 5\)
Berechne x1,2 mittels der Methode eines vollständigen Quadrats.
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Aufgabe 73
Quadratische Gleichung mit einer Variablen
Gegeben sei folgende quadratische Gleichung:
Berechne:
\({x^2} - 6x + 6 = 0\)
Aufgabe 1395
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Quadratische Gleichung mit genau zwei Lösungen
Gegeben ist die folgende quadratische Gleichung in der Unbekannten x über der Grundmenge ℝ:
\({x^2} + 10 \cdot x + q = 0{\text{ mit q}} \in {\Bbb R}\)
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Geben Sie an, für welche Werte für \(q \in {\Bbb R}\) die Gleichung genau zwei Lösungen besitzt!
Aufgabe 74
Quadratische Gleichung mit einer Variablen
Gegeben sei folgende quadratische Gleichung:
Berechne:
\({x^2} - 6x + 9 = 0\)
Aufgabe 75
Quadratische Gleichung mit einer Variablen
Gegeben sei folgende quadratische Gleichung:
Berechne:
\({x^2} - 6x + 12 = 0\)
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