Quadratischen Gleichung mit einer Variablen
Formel
Quadratischen Gleichung mit einer Variablen
In dieser Mikro-Lerneinheit lernst du mehrere Methoden, wie man quadratische Gleichungen lösen kann. Wir werden die allgemeine quadratische Gleichung mittels der abc-Formel (große Lösungsformel) und die normierte quadratische Gleichung mittels der pq-Formel (kleine Lösungsformel) lösen. Mit Hilfe der Diskriminante erkennst du, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung hat und welcher Zahlenmenge die Lösungen angehört.
Gleichung 2. Grades
Eine allgemeine quadratische Gleichung in einer Variablen besteht aus einem quadratischen, einem linearen und einem konstanten Glied
\(a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0\)
Damit es sich auch wirklich um eine quadratische Gleichung handelt, muss a≠0 und es darf auch kein Term höherer als zur 2. Potenz vorkommen. Eventuell muss man die Null auf der rechten Seite vom Gleichheitszeichen durch Äquivalenzumformungen herbeiführen.
- Parameter a: mit zunehmenden a wird der Graph der Parabel immer steiler
- Parameter b: mit zunehmenden b verschiebt sich der Scheitelpunkt der Parabel entlang einer Geraden mit 45° Steigung vom Ursprung weg
- Parameter c: verschiebt den Graph der Parabel in Richtung der y-Achse
Lösung einer allgemeinen quadratischen Gleichung mittels abc-Formel
Die Lösung einer allgemeinen quadratischen Formel erfolgt mittels der abc-Formel. Die abc-Formel wird auch gerne "„Mitternachtsformel“
oder „große Lösungsformel“ genannt.
\(\eqalign{ & a{x^2} + bx + c = 0 \cr & {x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \cr & D = {b^2} - 4ac \cr}\)
Man erhält 2 Lösungen, die Lösung für x1 ergibt sich, wenn man vor der Wurzel das "+" rechnet, die Lösung für x2 ergibt sich, wenn man vor der Wurzel das "-" rechnet.
Quadratische Gleichung in Normalform
Bei einer quadratischen Gleichung in Normalform ist der Koeffizient vor dem quadratischen Glied eine "1". Darüber hinaus gibt es noch ein lineares und ein konstantes Glied
\({x^2} + px + q = 0\)
Normierte quadratische Gleichung
Man kann die allgemeine quadratische Gleichung in eine quadratische Gleichung in Normalform durch Division der Gleichung durch a, also dem Koeffizienten im quadratischen Glied, wie folgt umrechnen bzw. normieren
\(\eqalign{ & a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0\,\,\,\,\,\left| {:a} \right. \cr & {x^2} + \frac{b}{a} \cdot x + \frac{c}{a} = 0 \cr & {x^2} + p \cdot x + q = 0 \cr & {\text{mit}} \cr & {\text{p = }}\dfrac{b}{a};\,\,\,\,\,q = \dfrac{c}{a} \cr} \)
Lösung einer quadratischen Gleichung in Normalform mittels pq-Formel
Die Lösung einer quadratischen Gleichung in Normalform erfolgt mittels der pq Formel, auch "kleine Lösungsformel" genannt.
\(\eqalign{ & {x^2} + px + q = 0\, \cr & {x_{1,2}} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {{{\left( {\dfrac{p}{2}} \right)}^2} - q\,\,\,\,} \cr & D = {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2} - q \cr}\)
Der Satz von Vieta bietet eine Möglichkeit einer Probe, denn es muss gelten:
\(\eqalign{ & {x_1} + {x_2} = - p = - \dfrac{b}{a} \cr & {x_1} \cdot {x_2} = q = \dfrac{c}{a} \cr} \)
Anmerkung: Man kann jede quadratische Gleichung mit der abc Formel lösen. Ob es eine Vereinfachung bringt eine allgemeine quadratische Gleichung mittels Division durch a auf die Normalform zuzurechnen, um dann die etwas einfachere pq-Formel nützen zu können muss man individuell entscheiden. Im Zeitalter vom Taschenrechner, wird es sich wohl nicht auszahlen.
Rein quadratische Gleichung
Bei einer rein quadratischen Gleichung gibt es nur ein quadratisches und ein konstantes, aber kein lineares Glied.
\(a \cdot {x^2} + c = 0\)
Lösung einer rein quadratischen Gleichung mittels Äquivalenzumformung
Die Lösung einer rein quadratischen Gleichung erfolgt durch Äquivalenzumformung
\(\eqalign{ & a \cdot {x^2} + c = 0 \cr & {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - \dfrac{c}{a}} \cr & D = - \dfrac{c}{a} \cr} \)
Diskriminante
In allen drei Lösungen ist ein Wurzelausdruck enthalten. Den Wert unter dem Wurzelzeichen nennt man Diskriminante. Mit Hilfe der Diskriminanten erkennst du, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung hat und welcher Zahlenmenge die Lösungen angehören.
Quadratische Gleichungen haben, abhängig von der Diskriminante "D" drei mögliche Lösungsfälle.
1. Fall: D > 0 à 2 Lösungen in R, die zugrunde liegende Funktion hat 2 Nullstellen. Dh der Graph der Funktion schneidet 2-Mal die x-Achse
2. Fall: D = 0 à 1 (eigentlich 2 gleiche) Lösung in R, die zugrunde liegende Funktion hat 1 doppelte Nullstelle. Dh der Graph der Funktion berührt die x-Achse. \({x_1} = {x_2} = \dfrac{{ - b}}{{2a}}{\text{ bzw}}{\text{. }}{{\text{x}}_1} = {x_2} = - \dfrac{p}{2}\)
3. Fall: D < 0 à keine Lösung in R, aber 2 konjugiert komplexe Lösungen in C. Der Graph der zugrunde liegenden Funktion berührt oder schneidet die x-Achse nicht.
Illustration vom Zusammenhang zwischen Diskriminante und Anzahl der reellen Nullstellen
Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung
Im Bereich der komplexen Zahlen lassen sich nun auch jene quadratischen Gleichungen lösen, deren Diskriminante kleiner Null ist - d.h. deren Wert unter der Wurzel negativ ist. In diesem Fall gibt es 2 zu einander konjugiert komplexe Lösungen.
\(D < 0: \pm \sqrt { - D} = \pm \sqrt { - 1 \cdot D} = \pm \sqrt { - 1} \cdot \sqrt D = \pm i \cdot \sqrt D \)
→ Wir gehen im Kapitel über komplexe Zahlen auf das Thema näher ein.
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
Gleichungen | Eine Gleichung ist eine mathematische Schreibweise, die zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen verbindet. Bei Gleichungen mit einer oder mehreren Variablen gilt es jene Werte der Variablen aus einer gegebenen Grundmenge zu bestimmen, für die die Lösung der Gleichung eine wahre Aussage wird. |
Aktuelle Lerneinheit
Quadratischen Gleichung mit einer Variablen | In dieser Mikro-Lerneinheit lernst du mehrere Methoden, wie man quadratische Gleichungen lösen kann. Wir werden die allgemeine quadratische Gleichung mittels der abc-Formel (große Lösungsformel) und die normierte quadratische Gleichung mittels der pq-Formel (kleine Lösungsformel) lösen. Mit Hilfe der Diskriminante erkennst du, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung hat und welcher Zahlenmenge die Lösungen angehört. |
Verbreitere dein Wissen zur aktuellen Lerneinheit
Äquivalenzumformungen bei Gleichungen | Unter einer Äquivalenzumformung einer Gleichung versteht eine Umformung, die den Wahrheitswert der Gleichung unverändert lässt |
Lineare Gleichung mit einer Variablen | In einer linearen Gleichung mit einer Variablen kommt die einzige Variable lediglich zur ersten Potenz vor.
|
Satz von Vieta | Der Satz von Vieta erlaubt es quadratische Gleichungen die als Polynom, also als Summe oder Differenz, gegeben sind in ein Produkt umzurechnen. Die Linearfaktorzerlegung erlaubt es (quadratische) Gleichungen mit Hilfe ihrer Nullstellen als Produkt anzuschreiben. |
Lineare Gleichungen mit zwei Variablen | Eine Lösung des Gleichungssystems liegt dann vor, wenn man jeder der n Variablen genau einen Zahlenwert zuordnen kann, sodass alle m Gleichungen zu wahren Aussagen werden. |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 1490
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Quadratische Gleichung
Gegeben ist die quadratische Gleichung
\({x^2} + p \cdot x - 12 = 0\)
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Bestimmen Sie denjenigen Wert für p, für den die Gleichung die Lösungsmenge \(L = \left\{ { - 2;\,\,6} \right\}\) hat!
Aufgabe 76
Quadratische Gleichung mit einer Variablen
Gegeben sei folgende quadratische Gleichung:
\({x^2} - 6x + k = 0\)
Für welche k hat diese Gleichung eine, zwei bzw. keine Lösung in \({\Bbb R}\)?
Aufgabe 77
Quadratische Gleichung mit einer Variablen
Gegeben sei folgende quadratische Gleichung:
\(2{x^2} + bx + 18 = 0\)
Für welche b in \({\Bbb R}\) hat diese Gleichung genau eine Lösung?
Aufgabe 78
Quadratische Gleichung mit einer Variablen
Gegeben sei folgende quadratische Gleichung:
\(4{x^2} - 12x + c = 0\)
Für welche c in \({\Bbb R}\) hat diese Gleichung genau eine Lösung?
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Aufgabe 65
Quadratische Gleichung mit einer Variablen
1. Teilaufgabe: Was versteht man unter einer quadratischen Gleichung ?
2. Teilaufgabe: Was versteht man unter einer normierten quadratischen Gleichung?
3. Teilaufgabe: Dokumentiere durch ein Beispiel, wie man eine quadratische Gleichung, in eine normierte quadratische Gleichung überführen kann.
Aufgabe 4212
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kochzeit von Eiern - Aufgabe A_289
Teil a
Der Physiker Werner Gruber hat mit Hühnereiern experimentiert. Er hat festgestellt, dass die Kochzeit von Eiern unter anderem abhängt von:
- dem Durchmesser d des Eies (siehe nebenstehende Abbildung)
- der Lagertemperatur x vor dem Kochen
Datenquelle: Gruber, Werner: Die Genussformel. Kulinarische Physik. Salzburg: Ecowin 2008, S. 79 – 84.
Ein Ei soll weich gekocht werden. Die Kochzeit kann in Abhängigkeit vom Durchmesser d unter bestimmten Bedingungen näherungsweise durch die quadratische Funktion W beschrieben werden:
\(W\left( d \right) = a \cdot {d^2}\)
d | Durchmesser des Eies in mm |
W(d) | Kochzeit bei einem Durchmesser d in min |
a | positiver Parameter |
Bei einem Durchmesser von 45 mm ergibt sich eine Kochzeit von 5 min.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie den Parameter a.
[1 Punkt]
Zwei Eier mit unterschiedlichen Durchmessern werden weich gekocht. Der Durchmesser von Ei B ist um 10 % größer als der Durchmesser von Ei A.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Zeigen Sie, dass die Kochzeit von Ei B um mehr als 10 % länger ist als die Kochzeit von Ei A.
[1 Punkt]
Aufgabe 79
Quadratische Gleichung mit einer Variablen
Gegeben sei folgende quadratische Gleichung:
Berechne:
\(- 4{x^2} - 28x = 48\)
1. Teilaufgabe: Verwende die a-b-c Lösungsformel
2. Teilaufgabe: Verwende die p-q Formel
Aufgabe 4129
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 20. September 2018 - Teil-A Aufgabe
Quelle: Distance-Learning-Check vom 15. April 2020 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kugelstoßen - Aufgabe A_268
Teil c
Kugelstoßen ist eine Disziplin bei den Olympischen Sommerspielen. Eine Metallkugel muss so weit wie möglich aus einem Kreis in einen vorgegebenen Aufschlagbereich gestoßen werden. Die Bahnkurve einer gestoßenen Kugel lässt sich näherungsweise durch den Graphen der quadratischen Funktion h beschreiben:
\(h\left( x \right) = - 0,05 \cdot {x^2} + 0,75 \cdot x + 2{\text{ mit }}x \geqslant 0\)
mit
x ... horizontale Entfernung der Kugel von der Abstoßstelle in m
h(x) ... Höhe der Kugel über dem Boden bei der horizontalen Entfernung x in m
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Geben Sie an, in welcher Höhe die Kugel abgestoßen wird.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie, in welcher horizontalen Entfernung von der Abstoßstelle die Kugel auf dem Boden aufschlägt.
[1 Punkt]
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Aufgabe 36
Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung
Gegeben sei nachfolgende quadratische Gleichung:
Berechne:
\(2{x^2} + 4x + 10 = 0\)
Aufgabe 242
Parameter einer quadratischen Funktion
In einem Koordinatensystem ist der Graph einer quadratischen Funktion dargestellt.
Es gilt: \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) mit b=0 und \({\text{a}}{\text{, b}}{\text{, c }} \in {\Bbb R}\)
Aufgabenstellung:
Ermittle die Werte der Parameter a und c. Die dafür erforderlichen Punkte - wähle solche mit ganzzahligen Koordinaten - sind im Koordinatensystem abzulesen.
Aufgabe 37
Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung
Gegeben sei nachfolgende quadratische Gleichung:
Berechne:
\(\dfrac{{2x - 9}}{{x - 1}} - \dfrac{{3x + 5}}{{x + 2}} = 3\)
Aufgabe 1540
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2017 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Quadratische Gleichung
Gegeben ist die Gleichung \(a \cdot {x^2} + 10 \cdot x + 25 = 0{\text{ mit }}a \in {\Bbb R}{\text{ und }}a \ne 0\)
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Bestimmen Sie jene(n) Wert(e) von a, für welche(n) die Gleichung genau eine reelle Lösung hat!
a=
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