Quadratischen Gleichung mit einer Variablen
Formel
Quadratischen Gleichung mit einer Variablen
In dieser Mikro-Lerneinheit lernst du mehrere Methoden, wie man quadratische Gleichungen lösen kann. Wir werden die allgemeine quadratische Gleichung mittels der abc-Formel (große Lösungsformel) und die normierte quadratische Gleichung mittels der pq-Formel (kleine Lösungsformel) lösen. Mit Hilfe der Diskriminante erkennst du, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung hat und welcher Zahlenmenge die Lösungen angehört.
Gleichung 2. Grades
Eine allgemeine quadratische Gleichung in einer Variablen besteht aus einem quadratischen, einem linearen und einem konstanten Glied
\(a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0\)
Damit es sich auch wirklich um eine quadratische Gleichung handelt, muss a≠0 und es darf auch kein Term höherer als zur 2. Potenz vorkommen. Eventuell muss man die Null auf der rechten Seite vom Gleichheitszeichen durch Äquivalenzumformungen herbeiführen.
- Parameter a: mit zunehmenden a wird der Graph der Parabel immer steiler
- Parameter b: mit zunehmenden b verschiebt sich der Scheitelpunkt der Parabel entlang einer Geraden mit 45° Steigung vom Ursprung weg
- Parameter c: verschiebt den Graph der Parabel in Richtung der y-Achse
Lösung einer allgemeinen quadratischen Gleichung mittels abc-Formel
Die Lösung einer allgemeinen quadratischen Formel erfolgt mittels der abc-Formel. Die abc-Formel wird auch gerne "„Mitternachtsformel“
oder „große Lösungsformel“ genannt.
\(\eqalign{ & a{x^2} + bx + c = 0 \cr & {x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \cr & D = {b^2} - 4ac \cr}\)
Man erhält 2 Lösungen, die Lösung für x1 ergibt sich, wenn man vor der Wurzel das "+" rechnet, die Lösung für x2 ergibt sich, wenn man vor der Wurzel das "-" rechnet.
Quadratische Gleichung in Normalform
Bei einer quadratischen Gleichung in Normalform ist der Koeffizient vor dem quadratischen Glied eine "1". Darüber hinaus gibt es noch ein lineares und ein konstantes Glied
\({x^2} + px + q = 0\)
Normierte quadratische Gleichung
Man kann die allgemeine quadratische Gleichung in eine quadratische Gleichung in Normalform durch Division der Gleichung durch a, also dem Koeffizienten im quadratischen Glied, wie folgt umrechnen bzw. normieren
\(\eqalign{ & a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0\,\,\,\,\,\left| {:a} \right. \cr & {x^2} + \frac{b}{a} \cdot x + \frac{c}{a} = 0 \cr & {x^2} + p \cdot x + q = 0 \cr & {\text{mit}} \cr & {\text{p = }}\dfrac{b}{a};\,\,\,\,\,q = \dfrac{c}{a} \cr} \)
Lösung einer quadratischen Gleichung in Normalform mittels pq-Formel
Die Lösung einer quadratischen Gleichung in Normalform erfolgt mittels der pq Formel, auch "kleine Lösungsformel" genannt.
\(\eqalign{ & {x^2} + px + q = 0\, \cr & {x_{1,2}} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {{{\left( {\dfrac{p}{2}} \right)}^2} - q\,\,\,\,} \cr & D = {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2} - q \cr}\)
Der Satz von Vieta bietet eine Möglichkeit einer Probe, denn es muss gelten:
\(\eqalign{ & {x_1} + {x_2} = - p = - \dfrac{b}{a} \cr & {x_1} \cdot {x_2} = q = \dfrac{c}{a} \cr} \)
Anmerkung: Man kann jede quadratische Gleichung mit der abc Formel lösen. Ob es eine Vereinfachung bringt eine allgemeine quadratische Gleichung mittels Division durch a auf die Normalform zuzurechnen, um dann die etwas einfachere pq-Formel nützen zu können muss man individuell entscheiden. Im Zeitalter vom Taschenrechner, wird es sich wohl nicht auszahlen.
Rein quadratische Gleichung
Bei einer rein quadratischen Gleichung gibt es nur ein quadratisches und ein konstantes, aber kein lineares Glied.
\(a \cdot {x^2} + c = 0\)
Lösung einer rein quadratischen Gleichung mittels Äquivalenzumformung
Die Lösung einer rein quadratischen Gleichung erfolgt durch Äquivalenzumformung
\(\eqalign{ & a \cdot {x^2} + c = 0 \cr & {x_{1,2}} = \pm \sqrt { - \dfrac{c}{a}} \cr & D = - \dfrac{c}{a} \cr} \)
Diskriminante
In allen drei Lösungen ist ein Wurzelausdruck enthalten. Den Wert unter dem Wurzelzeichen nennt man Diskriminante. Mit Hilfe der Diskriminanten erkennst du, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung hat und welcher Zahlenmenge die Lösungen angehören.
Quadratische Gleichungen haben, abhängig von der Diskriminante "D" drei mögliche Lösungsfälle.
1. Fall: D > 0 à 2 Lösungen in R, die zugrunde liegende Funktion hat 2 Nullstellen. Dh der Graph der Funktion schneidet 2-Mal die x-Achse
2. Fall: D = 0 à 1 (eigentlich 2 gleiche) Lösung in R, die zugrunde liegende Funktion hat 1 doppelte Nullstelle. Dh der Graph der Funktion berührt die x-Achse. \({x_1} = {x_2} = \dfrac{{ - b}}{{2a}}{\text{ bzw}}{\text{. }}{{\text{x}}_1} = {x_2} = - \dfrac{p}{2}\)
3. Fall: D < 0 à keine Lösung in R, aber 2 konjugiert komplexe Lösungen in C. Der Graph der zugrunde liegenden Funktion berührt oder schneidet die x-Achse nicht.
Illustration vom Zusammenhang zwischen Diskriminante und Anzahl der reellen Nullstellen
Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung
Im Bereich der komplexen Zahlen lassen sich nun auch jene quadratischen Gleichungen lösen, deren Diskriminante kleiner Null ist - d.h. deren Wert unter der Wurzel negativ ist. In diesem Fall gibt es 2 zu einander konjugiert komplexe Lösungen.
\(D < 0: \pm \sqrt { - D} = \pm \sqrt { - 1 \cdot D} = \pm \sqrt { - 1} \cdot \sqrt D = \pm i \cdot \sqrt D \)
→ Wir gehen im Kapitel über komplexe Zahlen auf das Thema näher ein.
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
Gleichungen | Eine Gleichung ist eine mathematische Schreibweise, die zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen verbindet. Bei Gleichungen mit einer oder mehreren Variablen gilt es jene Werte der Variablen aus einer gegebenen Grundmenge zu bestimmen, für die die Lösung der Gleichung eine wahre Aussage wird. |
Aktuelle Lerneinheit
Quadratischen Gleichung mit einer Variablen | In dieser Mikro-Lerneinheit lernst du mehrere Methoden, wie man quadratische Gleichungen lösen kann. Wir werden die allgemeine quadratische Gleichung mittels der abc-Formel (große Lösungsformel) und die normierte quadratische Gleichung mittels der pq-Formel (kleine Lösungsformel) lösen. Mit Hilfe der Diskriminante erkennst du, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung hat und welcher Zahlenmenge die Lösungen angehört. |
Verbreitere dein Wissen zur aktuellen Lerneinheit
Äquivalenzumformungen bei Gleichungen | Unter einer Äquivalenzumformung einer Gleichung versteht eine Umformung, die den Wahrheitswert der Gleichung unverändert lässt |
Lineare Gleichung mit einer Variablen | In einer linearen Gleichung mit einer Variablen kommt die einzige Variable lediglich zur ersten Potenz vor.
|
Satz von Vieta | Der Satz von Vieta erlaubt es quadratische Gleichungen die als Polynom, also als Summe oder Differenz, gegeben sind in ein Produkt umzurechnen. Die Linearfaktorzerlegung erlaubt es (quadratische) Gleichungen mit Hilfe ihrer Nullstellen als Produkt anzuschreiben. |
Lineare Gleichungen mit zwei Variablen | Eine Lösung des Gleichungssystems liegt dann vor, wenn man jeder der n Variablen genau einen Zahlenwert zuordnen kann, sodass alle m Gleichungen zu wahren Aussagen werden. |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 1555
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-1-Aufgaben - 11. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Negative Funktionswerte
Gegeben ist die Gleichung einer reellen Funktion f mit \(f\left( x \right) = {x^2} - x - 6\). Einen Funktionswert f(x) nennt man negativ, wenn f(x) < 0 gilt.
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie alle x ∈ ℝ, deren zugehöriger Funktionswert f(x) negativ ist!
Aufgabe 77
Quadratische Gleichung mit einer Variablen
Gegeben sei folgende quadratische Gleichung:
\(2{x^2} + bx + 18 = 0\)
Für welche b in \({\Bbb R}\) hat diese Gleichung genau eine Lösung?
Aufgabe 78
Quadratische Gleichung mit einer Variablen
Gegeben sei folgende quadratische Gleichung:
\(4{x^2} - 12x + c = 0\)
Für welche c in \({\Bbb R}\) hat diese Gleichung genau eine Lösung?
Aufgabe 6016
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Produkt einer Polynomfunktion mit einer Logarithmusfunktion
Gegeben ist die Gleichung
\(\left( {4x - 3} \right) \cdot \ln \left( {{x^2} - 5x + 7} \right) = 0\)
1. Teilaufgabe a) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Bestimmen Sie für \(x \in {\Bbb R}\) Lösungen der Gleichung
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Aufgabe 79
Quadratische Gleichung mit einer Variablen
Gegeben sei folgende quadratische Gleichung:
Berechne:
\(- 4{x^2} - 28x = 48\)
1. Teilaufgabe: Verwende die a-b-c Lösungsformel
2. Teilaufgabe: Verwende die p-q Formel
Aufgabe 1809
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Quadratische Gleichung
Für \(a \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) ist die quadratische Gleichung \({\left( {a \cdot x + 7} \right)^2}{\text{ = 25 in }}x \in {\Bbb R}\) gegeben.
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Geben Sie alle \(a \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) an, für die \(x = - 4\) eine Lösung der gegebenen quadratischen Gleichung ist.
Aufgabe 4121
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Würfel - Aufgabe B_115
Teil b
Mit Würfeln wird eine Treppe gebaut:
Das obige Bauschema soll auf diese Art fortgesetzt werden.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie ein rekursives Bildungsgesetz, mit dem man die Anzahl der Würfel in der n-ten Ebene berechnen kann.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Bestimmen Sie, wie viele Würfel in der 7. Ebene liegen.
[1 Punkt]
Die Anzahl sn der Würfel, die für eine solche Treppe aus n Ebenen insgesamt benötigt wird, kann mithilfe der folgenden Formel bestimmt werden:
\({s_n} = 1,5 \cdot \left( {{n^2} + n} \right)\)
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie, aus wie vielen Ebenen eine solche Treppe besteht, wenn man insgesamt 360 Würfel verbaut.
[1 Punkt]
Aufgabe 4392
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Blumentopf - Aufgabe B_474
Teil c
Der Erlös aus dem Verkauf von Blumentöpfen kann durch die Funktion E beschrieben werden:
\(E\left( x \right) = 20 \cdot x - 0,12 \cdot {x^2}\)
x |
Verkaufsmenge in ME |
E(x) |
Erlös bei der Verkaufsmenge x in GE |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie das größtmögliche Intervall für x, in dem der Erlös mindestens 100 GE betragt.
[1 Punkt]
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Aufgabe 4469
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Speerwurf - Aufgabe A_303
Teil b
Ein Teil des Graphen der Funktion f beschreibt die Flugbahn der Speerspitze bei einem bestimmten Wurf.
\(f\left( x \right) = - 0,01 \cdot {x^2} + 0,7 \cdot x + 1,8{\text{ mit }}x \geqslant 0\)
x |
horizontale Entfernung vom Abwurfpunkt in m |
f(x) | Höhe über dem Boden bei der horizontalen Entfernung x in m |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die horizontale Entfernung vom Abwurfpunkt, in der die Speerspitze bei diesem Wurf auf dem Boden auftrifft.
[0 / 1 P.]
Aufgabe 4490
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kartenhaus - Aufgabe B_520
Aus Spielkarten kann man ein Kartenhaus bauen.
Teil b
Die Gesamtanzahl sn der Karten für ein n-stöckiges Kartenhaus kann mit der nachstehenden Formel ermittelt werden.
\({s_n} = 3 \cdot \dfrac{{n \cdot \left( {n + 1} \right)}}{2} - n\)
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die Gesamtanzahl der Karten, die für ein 50-stöckiges Kartenhaus benötigt werden. [0 / 1 P.]
Alexander hat 3 vollständige Kartensets zu je 32 Karten zur Verfügung und möchte ein Kartenhaus mit möglichst vielen Stockwerken bauen.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die Anzahl der Stockwerke, die Alexanders Kartenhaus höchstens haben kann.
[0 / 1 P.]
Aufgabe 1362
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2014 - Teil-1-Aufgaben - 12. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Graph einer quadratischen Funktion
Gegeben ist der Graph einer Funktion g mit
\(g\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b{\text{ mit }}a,b \in {\Bbb Z}{\text{ und a}} \ne {\text{0}}\)
Aufgabenstellung:
Geben Sie die Parameter a und b so an, dass sie zum abgebildeten Graphen von g passen!
Aufgabe 4172
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sonnenaufgang - Aufgabe A_284
Teil c
In der nachstehenden Grafik ist die jeweilige Uhrzeit des Sonnenaufgangs in Wien für die ersten 150 Tage eines Jahres dargestellt.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie mithilfe der obigen Grafik, wie viele Tage nach der Zeitumstellung der Sonnenaufgang erstmals zu einer früheren Uhrzeit als unmittelbar vor der Zeitumstellung stattfindet.
[1 Punkt]
Im Zeitintervall [0; 40] kann die Uhrzeit des Sonnenaufgangs näherungsweise durch eine quadratische Funktion f modelliert werden:
\(f\left( t \right) = a \cdot {t^2} + c\)
- t … Zeit seit Jahresbeginn in Tagen
- f(t) … Uhrzeit des Sonnenaufgangs am Tag t in Stunden
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Argumentieren Sie anhand der obigen Grafik, dass der Parameter a dabei negativ sein muss.
[1 Punkt]
Schon den nächsten Urlaub geplant?
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