Vektor
Formel
Beschriftung im kartesischen Koordinatensystem
Die drei Koordinatenachsen stehen im kartesischen Koordinatensystem orthogonal (in 90°) aufeinander. Die Achsen werden entweder mit x,y und z beschriftet oder mit x1, x2, x3.
Punkt im \({{\Bbb R}^2},\,\,\,{{\Bbb R}^3}\)
Die Lage eines Punkts ist durch den Abstand je Koordinatenrichtung vom Ursprung des Koordinatensystems bestimmt. Abhängig davon, wie die Koordinatenachsen beschriftet wurdenm gibt es unterschiedliche Möglichkeiten Punkte und Vektoren zu beschriften
\(\begin{array}{l} {\Bbb R^{2:}}:P\left( {{P_x}\left| {{P_y}} \right.} \right) \buildrel \wedge \over = P\left( {{P_1}\left| {{P_2}} \right.} \right)\\ {\Bbb R^3}:P\left( {{P_x}\left| {{P_y}\left| {{P_z}} \right.} \right.} \right) \buildrel \wedge \over = P\left( {{P_1}\left| {{P_2}\left| {{P_3}} \right.} \right.} \right) \end{array}\)
Skalar
Skalar ist ein Ausdruck in der Vektorrechnung für eine relle Zahl. Man verwendet den Begriff Skalar um die Richtungsunabhängigkeit einer Größe im Unterschied zum richtungsabhängigen Vektor zu betonen.
Vektor
Ein Vektor ist eine Strecke in der Ebene oder im Raum. Jeder Vektor ist durch Richtung, Orientierung und durch Betrag gekennzeichnet. Vektoren können im Raum beliebig parallelverschoben werden, d.h. ihr Anfangspunkt kann beliebig festgelegt werden, daraus ergibt sich dann ein eindeutiger Endpunkt. Vektoren spielen in der Physik eine große Rolle, so ist etwa die Geschwindigkeit kein Skalar, sondern ein Vektor.
- Geometrisch wird ein Vektor durch einen Pfeil, mit einem Schaft und einer Spitze (definiert die Orientierung) repräsentiert.
- Algebraisch sind Vektoren eindimensionale Listen von Zahlen, wobei die Komponenten des Vektors in Form von Zeilen- und als Spaltenvektor angeschrieben werden können. Die Anzahl der Komponenten eines Vektors stimmt mit der Dimension des Vektors überein. (ax,ay,az) repräsentiert also einen 3-dimensionalen Vektor. Die Reihenfolge in der die Komponenten angeschrieben werden spielt eine wesentliche Rolle dabei, in welche Richtung der Vektor zeigt
\(\eqalign{ & \overrightarrow a = \overrightarrow {{a_x}} + \overrightarrow {{a_y}} + \overrightarrow {{a_z}} = \left( {\matrix{ {{a_x}} \cr {{a_y}} \cr {{a_z}} \cr } } \right) \cr & \overrightarrow a = {a_x} \cdot \overrightarrow i + {a_y} \cdot \overrightarrow j + {a_z} \cdot \overrightarrow k \cr}\)
Illustration eines Vektors vom Ursprung zum Punkt P
Gegenvektor
Den Gegenvektor erhält man, indem man den Ausgangsvektor um 180° dreht, bzw. indem man den Ausgangsvektor mit dem Skalar -1 multipliziert. Vektor und Gegenvektor haben den gleichen Betrag, die gleiche Richtung aber entgegengesetzte Orientierung.
\(\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_x}}\\
{{a_y}}\\
{{a_z}}
\end{array}} \right) \Leftrightarrow - \overrightarrow a = - 1 \circ \overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - {a_x}}\\
{ - {a_y}}\\
{ - {a_z}}
\end{array}} \right)\)
Betrag eines Vektors
Der Betrag bzw. die Länge des Vektors ergeben sich aus dem Abstand zwischen seinem Anfangspunkt, dem Schaft im Punkt "P" und seinem Endpunkt, also seiner Spitze in "Q".
\(\left| {\overrightarrow {PQ} } \right| = \left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt {{{\left( {{Q_x} - {P_x}} \right)}^2} + {{\left( {{Q_y} - {P_y}} \right)}^2} + {{\left( {{Q_z} - {P_z}} \right)}^2}} = \sqrt {{v_x}^2 + {v_y}^2 + {v_z}^2} \)
\(\left| {\overrightarrow v } \right| = \left| {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}}\\ {{v_y}}\\ {{v_z}} \end{array}} \right)} \right| = \sqrt {{v_x}^2 + {v_y}^2 + {v_z}^2} \)
Illustration zur Richtung und zur Berechnung vom Betrag eines zweidimensionalen Vektors
Richtung des Vektors
Die Richtung eins Vektors ist durch seine Lage relativ zu den Achsen des Koordinatensystems bestimmt. Ein Vektor hat eine einzige Richtung! Die Richtung des Vektors kann man aus dem Arkustangens vom Quotienten aus der Differenz der y-Koordinaten und der Differenz der x-Koordinaten zweier Punkte vom Vektor berechnen.
\(\alpha = \arctan \dfrac{{{Q_y} - {P_y}}}{{{Q_x} - {P_x}}}\)
Orientierung eines Vektors
Vektoren mit gleicher Richtung haben entweder gleiche oder entgegengesetzte Orientierung. Die Orientierung wird durch Schaft und Spitze des Vektors definiert. Ein Gegenvektor ist ein Vektor mit gleichem Betrag und gleicher Richtung aber umgekehrter Orientierung als der betrachtete Vektor.
Gleiche Vektoren
Vektoren sind gleich, wenn sie gleich lang, parallel und gleich orientiert (Pfeilspitze) sind. Gleiche Vektoren können unterschiedliche Koordinatendarstellungen haben.
Illustration zur Orientierung, zur Gleichheit von Vektoren und zum Gegenvektor eines Vektors und zu Vektoren mit gleichem Betrag
Nullvektor
Der Nullvektor \(\overrightarrow 0\) hat keine bestimmte Richtung. Seine Länge (sein Betrag) ist null. Der Nullvektor ist das neutrale Element bezüglich der Addition von Vektoren. Schaft und Spitze vom Nullvektor fallen in einem Punkt zusammen.
\(\begin{array}{l} \overrightarrow 0 = \left( {0\left| 0 \right.} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0 \end{array}} \right)\\ \overrightarrow {AA} = 0 \end{array}\)
Der Nullvektor ist kollinear zu jedem anderen Vektor und komplanar zu einer von 2 Vektoren aufgespannten Ebene.
Basisvektor
Die Basisvektoren liegen jeweils in einer Koordinatenachse, ihre Länge d.h. ihr Betrag ist 1. Sie spannen das Koordinatensystem auf. Je Dimension gibt es einen eigenen Basisvektor. Seine Komponenten bestehen aus einer "1" und sonst nur aus Nullen.
\(\eqalign{ & \overrightarrow i = \left( {\matrix{ 1 \cr 0 \cr } } \right) \cr & \overrightarrow j = \left( {\matrix{ 0 \cr 1 \cr } } \right) \cr}\)
Einheitsvektor
Der Einheitsvektor \( \overrightarrow {{r_0}}\), hat dieselbe Richtung wie der Richtungs- bzw. der Ortsvektor \( \overrightarrow r\), seine Länge wurde aber auf 1 normiert.
\(\eqalign{ & \overrightarrow {{r_0}} = {{\overrightarrow r } \over {\left| r \right|}} = \left( {\matrix{ {{{{r_x}} \over {\sqrt {{{\left( {{r_x}} \right)}^2} + {{\left( {{r_y}} \right)}^2}} }}} \cr {{{{a_y}} \over {\sqrt {{{\left( {{r_x}} \right)}^2} + {{\left( {{r_y}} \right)}^2}} }}} \cr } } \right) \cr & {\rm{mit}}\,\,\,\left| {\overrightarrow r } \right| \ne 0 \cr}\)
Ortsvektor
Der Ortsvektor ist der Vektor vom Ursprung des Koordinatensystems zu einem gegebenen Punkt. Ein Ortsvektor \(\overrightarrow a\) hat seinen Anfang immer im Ursprung des Koordinatensystems. Seine Richtung, Orientierung und Betrag ergeben sich aus der Lage seines Endpunkts. Einen Ortsvektor darf man daher nicht parallel verschieben, man darf auch nicht seinen Betrag ändern.
\(\overrightarrow a = x.\overrightarrow i + y.\overrightarrow j = \left( {\matrix{ x \cr y \cr } } \right) = \left( {x,y} \right)\)
Verbindungsvektor
Der Verbindungsvektor verbindet zwei Punkte im Raum. Es sind die Punkte P (Px l Py) und Q (Qx l Qy) gegeben. Der Verbindungsvektor ist jener Vektor, der in P seinen Schaft und in Q seine Spitze hat. Um ihn zu berechnen subtrahiert man vom Ortsvektor zu Q (Spitze) den Ortsvektor zu P (Schaft). Einen Verbindungsvektor darf man daher nicht parallel verschieben, man darf auch nicht seinen Betrag oder seine Orientierung ändern.
In \({{\Bbb R}^2}\):
\(\overrightarrow v = \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {UQ} - \overrightarrow {UP} = Q - P = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_x} - {P_x}}\\ {{Q_y} - {P_y}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}}\\ {{v_y}} \end{array}} \right)\)
In \({{\Bbb R}^3}\):
\(\begin{array}{l} A\left( {{A_x}\left| {{A_y}\left| {{A_z}} \right.} \right.} \right)\\ B\left( {{B_x}\left| {{B_y}\left| {{B_z}} \right.} \right.} \right)\\ \overrightarrow {AB} = B - A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{B_x} - {A_x}}\\ {{B_y} - {A_y}}\\ {{B_z} - {A_z}} \end{array}} \right) \end{array}\)
"Spitze minus Schaft Regel": Man erhält den Verbindungsvektor zweier Punkte, indem man Komponentenweise die Koordinaten von der Spitze minus jener vom Schaft anschreibt.
Illustration vom Verbindungsvektor zwischen 2 Punkten
Richtungsvektor als Parallelvektor zum Verbindungsvektor
Der Richtungsvektor \(\overrightarrow r\) ist entweder der Verbindungsvektor oder ein zum Verbindungsvektor paralleler Vektor. Der Richtungsvektor hat zwar eine definierte Länge, aber keine feste Position im Koordinatensystem d.h. er kann parallel verschoben werden und ist noch immer ein Richtungsvektor. Der Verbindungsvektor ist ein besonderer Richtungsvektor, weil sein Anfangs- bzw. Endpunkt mit den besonderen Punkten P und Q zusammenfallen.
Mehrdimensionaler Vektor
Die Anzahl der Komponenten eines Vektors entspricht der Dimension des Raums. Dreidimensionale Vektoren spannen den uns vertrauten dreidimensionalen Raum aus Breite, Tiefe und Höhe auf. Vierdimensionale Vektoren spannen die Raum-Zeit der Physik auf. Bei höherdimensionalen Vektoren nummeriert man die Komponenten, weil die Dimensionen mitunter keinen anschaulichen Namen haben.
\(\eqalign{ & P = \left( {{P_1}\left| {{P_2}\left| {...\left| {{P_n}} \right.} \right.} \right.} \right) \cr & Q = \left( {{Q_1}\left| {{Q_2}\left| {...\left| {{Q_n}} \right.} \right.} \right.} \right) \cr}\)
n-dimensionaler Richtungsvektor von P nach Q:
\(\overrightarrow {PQ} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_1} - {P_1}}\\ {{Q_2} - {P_2}}\\ {...}\\ {{Q_n} - {P_n}} \end{array}} \right)\)
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.
Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
Geometrie | Wissenswertes über: Geometrie ebener Figuren und von Körpern, Trigonometrie - Winkelfunktionen, Vektorrechnung in der Ebene und im Raum, Analytische lineare Geometrie: Punkt, Gerade und Ebene, 2 und 3-dimensional, Analytische nichtlineare Geometrie: Kreis und Kugel, Analytische nichtlineare Geometrie: Kegelschnitte und Raumkurven |
Aktuelle Lerneinheit
Vektor | Ein Vektor ist durch seine Richtung, seine Orientierung und durch seinen Betrag gekennzeichnet |
Verbreitere dein Wissen zur aktuellen Lerneinheit
Geometrische Grundbegriffe von Figuren und Körpern | Die geometrischen Grundbegriffe eröffnen den Einstig in die Geometrie, und definieren deren grundlegende Elemente |
Abbildungsgeometrie | In der Abbildungsgeometrie unterscheidet man zwischen Kongruenzabbildungen und Ähnlichkeitsabbildungen |
Analytische Geometrie | Bei der analytischen Geometrie werden Aufgaben der Geometrie auf Aufgaben der Algebra zurückgeführt |
Trigonometrie | Es geht bei der Trigonometrie um die Berechnung von rechtwinkeligen Dreiecken mit Hilfe vom Verhältnis zweier Dreiecksseiten |
Koordinatensysteme | Koordinatensysteme dienen dazu, die gegenseitige Beziehung von Punkten zueinander und zum Ursprung des Koordinatensystems in zweckmäßig vielen Dimensionen anzugeben |
Vertiefe dein Wissen zur aktuellen Lerneinheit
Vektoralgebra | Die Vektoralgebra beschäftigt sich mit den Grundrechenregeln für Vektoren |
Vektoranalysis |
Bild
|
Multiplikation von Vektoren | Bei der Multiplikation von Vektoren unterscheidet man zwischen 1) der Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar, 2) dem Skalarprodukt und 3) dem Vektorprodukt. Die Namen weisen bereits darauf hin, beim Skalarprodukt ist das Resultat ein Skalar - also eine reelle Zahl, während beim Vektorprodukt das Resultat ein Vektor ist. |
Geometrische Operationen mittels Vektorrechnung | Von einem Anfangspunkt aus soll ein Vektor gezeichnet werden. Gesucht sind die Koordinaten vom Endpunkt des Vektors. |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 1137
AHS - 1_137 & Lehrstoff: AG 3.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Gerade im dreidimensionalem Raum
Gegeben ist die Gerade g mit der Gleichung \(X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\ 2 \\ 4 \end{array}} \right) + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ { - 1} \\ 2 \end{array}} \right){\text{ mit }}t \in \mathbb{R}\)
- Aussage 1: \(X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\ 2 \\ 4 \end{array}} \right) + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2 \\ { - 1} \\ 3 \end{array}} \right){\text{ mit }}t \in \mathbb{R}\)
- Aussage 2: \(X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5 \\ 7 \\ 9 \end{array}} \right) + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2 \\ { - 2} \\ 4 \end{array}} \right){\text{ mit }}t \in \mathbb{R}\)
- Aussage 3: \(X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6 \\ 0 \\ 8 \end{array}} \right) + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ { - 1} \\ 2 \end{array}} \right){\text{ mit }}t \in \mathbb{R}\)
- Aussage 4: \(X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\ 2 \\ 4 \end{array}} \right) + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1} \\ 1 \\ { - 2} \end{array}} \right){\text{ mit }}t \in \mathbb{R}\)
- Aussage 5: \(X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3 \\ 3 \\ 2 \end{array}} \right) + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}} \right){\text{ mit }}t \in \mathbb{R}\)
Aufgabenstellung:
Zwei der obigen Gleichungen sind ebenfalls Parameterdarstellungen der Geraden g. Kreuzen Sie diese beiden Gleichungen an!
Aufgabe 1786
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. September 2020 - Teil-1-Aufgaben - 5. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Geraden in ℝ2
Für die zwei Geraden g und h in ℝ2 gilt:
- Die Gerade g mit dem Richtungsvektor \(\overrightarrow g \) hat den Normalvektor \(\overrightarrow {{n_g}} \).
-
Die Gerade g mit dem Richtungsvektor \(\overrightarrow h\) hat den Normalvektor \(\overrightarrow {{n_h}} \).
- Die Geraden g und h stehen normal aufeinander.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Bedingungen an, die auf jeden Fall gelten.
- Aussage 1: \(\overrightarrow {{n_g}} \cdot \overrightarrow h = 0\)
- Aussage 2: \(\overrightarrow {{n_g}} \cdot \overrightarrow {{n_h}} = 0\)
- Aussage 3: \(\overrightarrow g = r \cdot \overrightarrow h {\text{ mit }}r \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
- Aussage 4: \(\overrightarrow g = r \cdot \overrightarrow {{n_h}} {\text{ mit }}r \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
- Aussage 5: \(\overrightarrow g \cdot \overrightarrow {{n_h}} = 0\)
[0 / 1 Punkt]
Aufgabe 1713
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2019 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Gleichung einer Geraden aufstellen
Die Punkte \(A = \left( {7\left| 6 \right.} \right),\,\,\,M = \left( { - 1\left| 7 \right.} \right){\text{ und }}N\left( {8\left| 1 \right.} \right)\) sind gegeben. Eine Gerade g verläuft durch den Punkt A und steht normal auf die Verbindungsgerade durch die Punkte M und N.
Aufgabenstellung:
Geben Sie eine Gleichung der Geraden g an.
[0 / 1 Punkt]
Aufgabe 1642
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2018 - Teil-1-Aufgaben - 5. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Zur x-Achse parallele Gerade
Gegeben ist eine Gerade g mit der Parameterdarstellung:
\(g:X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 1 \end{array}} \right) + t \cdot \overrightarrow a {\rm{ }}\) mit \(t \in {\Bbb R}\)
Aufgabenstellung
Geben Sie einen Vektor \(\overrightarrow a \in {{\Bbb R}^2}\) mit \(\overrightarrow a \ne \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0 \end{array}} \right)\) so an, dass die Gerade g parallel zur x-Achse verlauft!
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.
Aufgabe 4401
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Bitterfelder Bogen - Aufgabe B_477
Der Bitterfelder Bogen ist eine Stahlkonstruktion, die aus mehreren Bögen besteht. Ein aus Rampen bestehender Fußweg führt innerhalb der Bögen zu einer Aussichtsplattform.
Teil c
Der Fußweg zur Aussichtsplattform besteht aus einzelnen Rampen (siehe strichlierte Geradenstücke in der nachstehenden modellhaften Abbildung).
Es gilt:
\(A = \left( { - 45|0} \right),\,\,\,\,\,\overrightarrow {AB} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {78} \\ {4,2} \end{array}} \right)\)
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes B.
[1 Punkt]
Die Neigungswinkel der Rampen sind jeweils gleich groß. Es soll eine Parameterdarstellung der Geraden g durch die Punkte B und C erstellt werden.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehenen Kästchen ein.
\(g:X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} ? \\ ? \end{array}} \right) + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} ? \\ ? \end{array}} \right)\)
[1 Punkt]
Aufgabe 4395
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
W-LAN - Aufgabe B_475
In einer Fabrikshalle wird mit Access-Points und Repeatern ein W-LAN eingerichtet. Ein Access-Point verbindet einen Laptop kabellos mit einem Netzwerk. Ein Repeater verstärkt das Signal. Die Datenübertragungsrate beschreibt die übertragene Datenmenge pro Zeiteinheit und wird meist in der Einheit Megabit pro Sekunde (Mbit/s) angegeben.
Teil c
Im Rahmen einer Testinstallation werden in der Fabrikshalle ein Access-Point, ein Repeater und 2 Laptops auf gleich hohe Tische gestellt (siehe nachstehende schematische Abbildung, Ansicht von oben).
Im Punkt A = (30 | 0) befindet sich der Access-Point. Die Laptops in den Punkten P1 = (20 | 2) und P2 = (45 | 20) sollen diesen Access-Point nutzen können.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Zeigen Sie mithilfe der Vektorrechnung, dass der Winkel α kleiner als 120° ist.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Zeichnen Sie in der obigen Abbildung denjenigen Punkt P3 ein, der folgendermaßen bestimmt werden kann:
\(\overrightarrow {O{P_3}} = \overrightarrow {O{P_2}} - \dfrac{1}{3} \cdot \overrightarrow {{P_1}{P_2}} \)
1 Punkt]
Ein Repeater soll im Punkt R = (xR | 30) in einem Abstand von 40 m vom Access-Point im Punkt A montiert werden (siehe obige Abbildung).
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie xR.
[1 Punkt]
Aufgabe 1857
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Würfel und Vektor
Die nachstehende Abbildung zeigt einen Würfel, dessen Grundfläche ABCD in der xy-Ebene liegt.
- Vektor 1: \(\overrightarrow {EC} \)
- Vektor 2: \(\overrightarrow {FD} \)
- Vektor 3: \(\overrightarrow {GA} \)
- Vektor 4: \(\overrightarrow {GD} \)
- Vektor 5: \(\overrightarrow {HA} \)
- Vektor 6: \(\overrightarrow {HB} \)
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Zwei Eckpunkte dieses Würfels legen einen bestimmten Vektor fest, der in Richtung des Vektors \(\overrightarrow v = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ { - 1}\\ { - 1} \end{array}} \right)\) verläuft.
Kreuzen Sie diesen Vektor an.
Aufgabe 93
Einheitsvektor ermitteln
Ermittle den Einheitsvektor zu
\(\overrightarrow a = \left( {\matrix{ 6 \cr 8 \cr } } \right)\)
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.
Aufgabe 1539
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2017 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Teilungspunkt
Die gegebene Strecke AB wird innen durch den Punkt T im Verhältnis 3:2 geteilt.
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Stellen Sie eine Formel für die Berechnung des Punkts T auf!
Aufgabe 6013
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Geometrie
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Die Gerade g verläuft durch die Punkte A(0 |1| 2) und B(2 | 5 | 6).
1. Teilaufgabe a.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Zeigen Sie, dass die Punkte A und B den Abstand 6 haben.
Die Punkte C und D liegen auf g und haben von A jeweils den Abstand 12.
2. Teilaufgabe a.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Bestimmen Sie die Koordinaten von C und D.
Die Punkte A, B und E(1| 2 | 5) sollen mit einem weiteren Punkt die Eckpunkte eines Parallelogramms bilden.
3. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Für die Lage des vierten Eckpunkts gibt es mehrere Möglichkeiten. Geben Sie für zwei dieser Möglichkeiten die Koordinaten des vierten Eckpunkts an.
Aufgabe 103
Verbindungsvektor
Es sind folgende 2 Punkte gegeben:
\(P\left( {\matrix{ 3 \cr 2 \cr } } \right);\,\,\,\,\,Q\left( {\matrix{ 5 \cr 4 \cr } } \right)\)
1. Teilaufgabe: Berechne die Koordinaten des Verbindungsvektors:\(\overrightarrow v = \overrightarrow {PQ}\)
2. Teilaufgabe: Berechne den Betrag des Verbindungsvektors: \(\left| {\overrightarrow v } \right|\)
Aufgabe 104
Verbindungsvektor
Es sind folgende 2 Punkte gegeben:
\(P\left( {\matrix{ {15} \cr { - 2} \cr 2 \cr } } \right);\,\,\,\,\,Q\left( {\matrix{ 3 \cr 2 \cr 5 \cr } } \right);\)
1. Teilaufgabe: Berechne die Koordinaten des Verbindungsvektors: \(\overrightarrow v = \overrightarrow {PQ}\)
2. Teilaufgabe: Berechne den Betrag des Verbindungsvektors: \(\left| {\overrightarrow v } \right|\)
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.