Exponentialfunktionen
Exponentialfunktionen sind Funktionen mit einer festen Basis a (die positiv und ungleich 1 ist) und einem variablen Exponenten x. Da die Variable x im Exponenten steht, heißt die Funktion Exponentialfunktion.
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Darstellung von Funktionen
Unter einer Funktion versteht man die eindeutige Zuordnung von jedem Element x der Definitionsmenge zu genau einem Element y der Wertemenge. Unter einer reellen Funktion versteht man die Abbildung von reellen Zahlen der Definitionsmenge auf reelle Zahlen der Wertemenge.
\(f:{D_f} \to {W_f}\,\,\,{\text{mit}}\,\,\,x \in {D_f}\,\,\,{\text{und}}\,\,\,y \in {W_f}\)
Es gibt mehrere gängige Schreibweisen für Funktionsgleichungen
\(f:x \to 2{x^3}\)
\(f\left( x \right) = 2{x^3}\)
\(y = 2{x^3}\)
Funktionsgleichung
Unter einer Funktionsgleichung versteht man eine mathematische Vorschrift, die angibt, wie man aus einem gegebenen x-Wert den zugehörigen y-Wert errechnet. Dabei ist y abhängig davon, welchen Wert x man in die Funktionsgleichung einsetzt. Die Funktionsgleichung stellt die Abbildung der Werte aus der Definitionsmenge Df auf die Wertemenge Wf in Form einer Gleichung dar.
\(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R};\,\,\,y = f\left( x \right)\)
Daher nennt man
- y die abhängige Variable bzw. den Funktionswert
- x die unabhängige Variable bzw. das Funktionsargument
Typen wichtiger Funktionsgleichungen
Konstante Funktion | \(f\left( x \right) = c\) |
Direkt proportionale Funktion sie sind für d=0 eine Untermenge der linearen Funktionen |
\(f\left( x \right) = k \cdot x\) |
Lineare Funktion | \(f\left( x \right) = k \cdot x + d\) |
Quadratische Funktion (Parabel) | \(f\left( x \right) = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\) |
Indirekt proportionale Funktion (Hyperbel) sie sind für negative n eine Untermenge der Potenzfunktionen |
\(f\left( x \right) = \dfrac{c}{{{x^n}}} = c \cdot {x^{ - n}}\) |
Potenzfunktion | \(f\left( x \right) = c \cdot {x^n}\) |
Wurzelfunktion | \(f\left( x \right) = \root n \of x = {x^{\dfrac{1}{n}}}\) |
Exponentialfunktion | \(\begin{array}{l} f\left( x \right) = c \cdot {a^x}\\ f\left( x \right) = c \cdot {e^x} \end{array}\) |
Logarithmusfunktion | \(f\left( x \right) = {}^a\log x\) |
Periodische Funktion | \(f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right)\) |
Polynomfunktion | \(f\left( x \right) = {a_n} \cdot {x^n} + {a_{n - 1}} \cdot {x^{n - 1}} + ... + {a_1} \cdot x + {a_0}\) |
uvm. |
Graph einer Funktion
Jedem Wert auf der x-Achse wird über die Funktion ein Punkt auf der y-Achse zugeordnet. Die Menge aller Punkte einer Funktion f(x) mit den Koordinaten (x|y=f(x)) bilden eine Kurve in der Gaus`schen Ebene, den sogenannten Graphen der Funktion.
\(y = f\left( x \right)\)
Geometrische Darstellung: Trägt man die unabhängige Variable x auf der x-Achse und die abhängige Variable y=f(x) auf der y-Achse auf, erhält man den Graph als eine grafische Darstellung der Funktion in Form einer Kurve.
Wertetabelle einer Funktion
Trägt man in einer 2-spaltigen Tabelle in der 1. Spalte die x-Werte gemäß der Definitionsmenge Df ein und in der 2. Spalte die y=f(x) Werte gemäß der Wertemenge Wf, so erhält man Zahlenpaare, die die Zeilen der Wertetabelle bilden.
x | y=f(x) |
x1 | f(x1) |
x2 | f(x2) |
... | ... |
xi | f(xi) |
Mengendiagramm einer Funktion
Grafische Gegenüberstellung von Definitionsmenge und Wertemenge einer Funktion, wobei die Wertepaare durch Pfeile mit einander verbunden werden
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Exponentialfunktion
Exponentialfunktionen sind Funktionen mit einer festen Basis a (die positiv und ungleich 1 ist) und einem variablen Exponenten x. Da die Variable x im Exponenten steht, heißt die Funktion Exponentialfunktion. c ist der Streckungsfaktor und zugleich der Anfangswert. Die Basis a ist ein Maß für die relative Zu- oder Abnahme. Bei einer Exponentialfunktion steigt der Funktionswert innerhalb von gleichbleibenden Zeitintervallen um den gleichen Prozentwert.
Allgemeine Form einer Exponentialfunktion
\(f\left( x \right) = c \cdot {a^{\lambda \cdot x}}{\text{ mit c}}{\text{,}}\lambda \in {\Bbb R}{\text{, a}} \in {{\Bbb R}^ + }\)
Einfachste Form einer Exponentialfunktion
\(f\left( x \right) = {a^x}\) mit \(a \in {{\Bbb R}^ + }\)
\(f'\left( x \right) = {a^x} \cdot \ln a\)
wobei: \(\eqalign{ & f\left( {x + 1} \right) = a \cdot f\left( x \right) \cr & a = \dfrac{{f\left( {x + 1} \right)}}{{f\left( x \right)}} \cr}\)
- a ist die Basis, die Variable x ist der Exponent
- alle Funktionswerte sind positiv: f(x)>0
- Graph - die Exponentialkurve - verläuft durch \(P(0\left| 1 \right.){\text{ und }}Q(1\left| a \right.)\)
- Die x-Achse bildet die Asymptote der Exponentialfunktion
- Die Exponentialfunktion hat keine Nullstellen und kein Symmetrieverhalten.
- für die Basis a, die ein Maß für die relative Zu-/Abnahme ist, gilt:
- 1-a entspricht der relativen Zu- bzw. Abnahme pro Zeitintervall
- z.B.: a=0,9917 → 1-0,9917=0,0083→ Abnahme um 0,83%
- z.B.: Einer Abnahme um 8% pro Zeitintervall entspricht eine Abnahme auf 92%. Daher muss a=0,92 sein
- a<0: Die Exponentialfunktion ist für negative a nicht definiert, so ist \(f\left( x \right) = {\left( { - 1,3} \right)^x}\) keine Exponentialfunktion
- 0<a<1: Exponentielle Abnahme: Der Graph verläuft streng monoton fallend, man spricht von einer Abnahmefunktion
- a=1: Sonderfall: Wegen \(f\left( x \right) = {1^x} = 1\) wird die Funktion zu einer konstanten Funktion
- a>1: Exponentielle Zunahme: Der Graph verläuft streng monoton steigend. So bedeutet a=1,35 eine relative Zunahme um 35%. Man spricht von einer Wachstumsfunktion
- a=e: natürliche Exponentialfunktion, hat die Eulersche Zahl e als Basis und x als Exponent
- sign x: Ein negativer Exponent, also \(f\left( x \right) = {a^{ - x}}\)kehrt das oben genannte Monotonieverhalten gegenüber \(f\left( x \right) = {a^x}\) um
- 1-a entspricht der relativen Zu- bzw. Abnahme pro Zeitintervall
- \(f\left( x \right) = {a^x}{\text{ und g}}\left( x \right) = {\left( {\dfrac{1}{a}} \right)^x}\) sind achsensymmetrisch zur y-Achse
- Exponentialfunktionen sind bijektive Funktionen, d.h. sie besitzen eine Umkehrfunktion. Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion: \(f\left( x \right) = {a^x} \leftrightarrow {f^{ - 1}}\left( x \right) = {}^a\operatorname{logx} = lo{g_a}x\)
- Die häufigste Exponentialfunktion ist jene, bei der die Basis a gleich der Eulerschen Zahl e (=2,7182) ist, die sogenannte Natürliche Exponentialfunktion. Deren Umkehrfunktion ist die ln-Funktion.
- Man kann Exponentialfunktionen (mit der Basis a) mittels \(f\left( x \right) = {a^x} = {e^{bx}}{\text{ mit b = }}\ln \left( a \right)\) in natürliche Exponentialfunktionen (mit der Basis e) umrechnen
- Die Funktionalgleichung besagt: \(f\left( x \right) \cdot f\left( y \right) = f\left( {x + y} \right)\)
Exponentialfunktion mit Anfangswert c
\(f\left( x \right) = c \cdot {a^x}\) mit \(c \in {\Bbb R}{\text{ und }}a \in {{\Bbb R}^ + }\)
\(f'\left( x \right) = c \cdot {a^x} \cdot \ln a\)
- c ist der Streckungsfaktor und zugleich der Anfangswert, weil \(f\left( {x = 0} \right) = c \cdot {a^0} = c\)
- der Wert von c verändert die Steilheit vom Graph der Funktion
- 0<c<1: gestaucht gegenüber \(f\left( x \right) = {a^x}\)
- c=1: identisch zu \(f\left( x \right) = {a^x}\)
- c>1: gestreckt gegenüber \(f\left( x \right) = {a^x}\)
- sign c: ein negatives Vorzeichen von c kehrt das Monotonieverhalten gegenüber dem Verhalten von \(f\left( x \right) = {a^x}\) um
- für die Basis a, die ein Maß für die relative Zu-/Abnahme ist, gilt:
- 1-a entspricht der relativen Zu- bzw. Abnahme pro Zeitintervall
- z.B.: a=0,9917 → 1-0,9917=0,0083→ Abnahme um 0,83%
- z.B.: Einer Abnahme um 8% pro Zeitintervall entspricht eine Abnahme auf 92%. Daher muss a=0,92 sein
- \(0 < a < 1\) und \(c > 0\): Exponentialfunktion bleibt monoton fallend
- \(0 < a < 1\) und \(c < 0\): Exponentialfunktion wird monoton steigend
- \(a > 1\) und \(c > 1\): Exponentialfunktion bliebt monoton steigend
- \(a > 1\) und \(c < 1\): Exponentialfunktion wird monoton fallend
- 1-a entspricht der relativen Zu- bzw. Abnahme pro Zeitintervall
- für dem Exponenten x gilt
- sign x: Ein negativer Exponent, also \(f\left( x \right) = c \cdot {a^{ - x}}\)kehrt das oben genannte Monotonieverhalten gegenüber \(f\left( x \right) = c \cdot {a^x}\) um
- \(\left| x \right|\): Je größer der Wert von x umso schneller steigt die Funktion an
- c entspricht dem Funktionswert an der Stelle x=0: f(x=0)=c
- Graph verläuft durch \(P(0\left| {c)} \right.\)
Wachstums- und Zerfallsprozesse
übliche Schreibweise:
f(x) → N(t)
c→N0
a→e
Wenn man die Halbwertszeit kennt, kann man das Lambda wie folgt berechnen:
\({T_{0,5}} = \dfrac{{\ln \left( {0,5} \right)}}{\lambda } \to \lambda = \dfrac{{\ln \left( {0,5} \right)}}{T}\)
- Exponentielles Wachstum: l ... Wachstumskonstante
\(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {e^{\lambda t}}\)
- Exponentieller Zerfall: -l Zerfallskonstante
\(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {e^{ - \lambda t}}\)
Exponentialfunktion - Illustration zeigt das Monotonieverhalten abhängig von der Basis a, bei fixem c=1
Exponentialfunktion - Interaktive Illustration
Die interaktive Illustration zeigt das Monotonieverhalten abhängig von der Basis a und dem Anfangswert c auf der Website von Geogebra.org:
Illustration auf GeoGebra.org anzeigen
- Regler a: Verändere die Basis
- Regler c: Verändere den Faktor
Wenn Du obigem Link folgst, verlässt Du unsere Website. Die Website des Fremdanbieters wird sich in einem neuen Fenster öffnen.
Relative und die absolute Änderung der Exponentialfunktion mit Anfangswert
Nachfolgend betrachten wir die relative und die absolute Änderung der Exponentialfunktion mit Anfangswert:
\(\eqalign{ & N\left( t \right) = {N_0} \cdot {a^t} \cr & N(t + 1) = {N_0} \cdot {a^{t + 1}} = {N_0} \cdot {a^t} \cdot a = a \cdot N(t) \cr} \)
Für die relative Änderung ergibt sich folgender Zusammenhang, der unabhängig von der Zeit t ist und daher in gleichen Zeitintervallen gleich groß ist:
\(\dfrac{{\Delta {y_n}}}{{{y_n}}} = \dfrac{{{y_{n + 1}} - {y_n}}}{{{y_n}}} = \dfrac{{a \cdot N\left( t \right) - N\left( t \right)}}{{N\left( t \right)}} = \dfrac{{N\left( t \right) \cdot \left( {a - 1} \right)}}{{N\left( t \right)}} = a - 1\)
Für die absolute Änderung ergibt sich folgender Zusammenhang, der abhängig von der Zeit ist, und daher in gleichen Zeitintervallen unterschiedlich groß ist:
\(\Delta y = {y_{n + 1}} - {y_n} = a \cdot N\left( t \right) - N\left( t \right) = N\left( t \right) \cdot \left( {a - 1} \right)\)
Aufgaben
Aufgabe 1142
AHS - 1_142 & Lehrstoff: FA 5.5
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Verdoppelungszeit
Die unten stehende Abbildung zeigt den Graphen einer Exponentialfunktion f mit \(f\left( t \right) = a \cdot {b^t}\)
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie mithilfe des Graphen die Größe der Verdoppelungszeit!
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Aufgabe 1065
AHS - 1_065 & Lehrstoff: FA 5.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Parameter einer Exponentialfunktion
Gegeben ist der Graph einer Exponentialfunktion f mit \(f\left( x \right) = a \cdot {3^x}\)
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie den für diesen Graphen richtigen Parameterwert a mit \(a \in \mathbb{N}\) !
Aufgabe 1276
AHS - 1_276 & Lehrstoff: FA 5.6
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Lichtintensität
Licht, das in eine dicke Schicht aus Glas eintritt, wird abgeschwächt. Der Hersteller eines Sicherheitsglases gibt an, dass die Intensität I des Lichts pro Zentimeter um 6 % abnimmt. I0 gibt die Intensität des Lichts bei Eintritt in das Glas an.
- Aussage 1: \(I\left( x \right) = {I_0} \cdot {0,94^x}\)
- Aussage 2: \(I\left( x \right) = {I_0} \cdot {1,06^x}\)
- Aussage 3: \(I\left( x \right) = {I_0} \cdot {0,06^x} + {I_0}\)
- Aussage 4: \(I\left( x \right) = {I_0} \cdot \left( {1 - 0,06 \cdot x} \right)\)
- Aussage 5: \(I\left( x \right) = 1 - {I_0} \cdot 0,06 \cdot x\)
- Aussage 6: \(I\left( x \right) = \dfrac{{{I_0}}}{x}\)
Aufgabenstellung:
Welche der obenstehenden Gleichungen beschreibt die Lichtintensität I in Abhängigkeit von der Eindringtiefe x (in cm)? Kreuzen Sie die zutreffende Gleichung an!
Aufgabe 1272
AHS - 1_272 & Lehrstoff: FA 5.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Exponentieller Zusammenhang
Die Funktion f beschreibt eine exponentielle Änderung und ist durch zwei Wertepaare angegeben.
t | 2 | 4 |
f(t) | 400 | 100 |
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung von f !
Aufgabe 1155
AHS - 1_155 & Lehrstoff: FA 5.5
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Halbwertszeit von Felbamat
Zur Behandlung von Epilepsie wird oft der Arzneistoff Felbamat eingesetzt. Nach der Einnahme einer Ausgangsdosis D0 nimmt die Konzentration D von Felbamat im Körper näherungsweise exponentiell mit der Zeit ab. Für D gilt folgender funktionaler Zusammenhang: \(D\left( t \right) = {D_0} \cdot {0,9659^t}\) Dabei wird die Zeit t in Stunden gemessen.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Halbwertszeit von Felbamat! Geben Sie die Lösung auf Stunden gerundet an!
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Aufgabe 1251
AHS - 1_251 & Lehrstoff: FA 1.9
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Funktionstypen
Gegeben ist die Funktion g mit der Funktionsgleichung \(g\left( x \right) = {a^x}{\text{ mit }}a \in {{\Bbb R}^ + }\)
Aufgabenstellung
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte Aussage entsteht!
g ist eine _____1______ und es gilt: ______2______ .
1 | |
lineare Funktion | A |
quadratische Funktion | B |
Exponentialfunktion | C |
2 | |
\(g\left( {x + 2} \right) = g\left( x \right) \cdot 2a\) | I |
\(g\left( {x + 2} \right) = g\left( x \right) \cdot {a^2}\) | II |
\(g\left( {x + 2} \right) = g\left( x \right) + 2a\) | III |
Aufgabe 1084
AHS - 1_084 & Lehrstoff: FA 5.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Schnittpunkt mit der y-Achse
Gegeben ist die Funktion f mit \(f\left( x \right) = c \cdot {a^x}{\text{ mit }}c \in \mathbb{R}{\text{ und a > 0}}\)
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes des Graphen von f mit der y-Achse!
Aufgabe 1105
AHS - 1_105 & Lehrstoff: FA 5.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Werte einer Exponentialfunktion
Gegeben ist die Exponentialfunktion f durch die Gleichung \(f\left( x \right) = {2^x}\)
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie diejenige rationale Zahl x, für die \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{8}\) gilt!
Aufgabe 1459
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 11. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Eigenschaften einer Exponentialfunktion
Gegeben ist die Funktion f mit \(f\left( x \right) = 50 \cdot {1,97^x}\)
- Aussage 1: Der Graph der Funktion f verlauft durch den Punkt P = (50|0).
- Aussage 2: Die Funktion f ist im Intervall [0; 5] streng monoton steigend.
- Aussage 3: Wenn man den Wert des Arguments x um 5 vergrößert, wird der Funktionswert 50-mal so groß.
- Aussage 4: Der Funktionswert f(x) ist positiv für alle x ∈ ℝ.
- Aussage 5: Wenn man den Wert des Arguments x um 1 vergrößert, wird der zugehörige Funktionswert um 97 % größer.
Aufgabenstellung:
Welche der obigen Aussagen trifft/treffen auf diese Funktion zu? Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!
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Aufgabe 1021
AHS - 1_021 & Lehrstoff: FA 5.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Exponentialfunktionen
Gegeben ist die Exponentialfunktion f mit \(f\left( x \right) = {e^x}\)
- Aussage 1: Die Steigung der Tangente an der Stelle x = 0 des Graphen hat den Wert 0.
- Aussage 2: Wird das Argument x um 1 erhöht, dann steigen die Funktionswerte auf das e-Fache.
- Aussage 3: Die Steigung der Tangente an der Stelle x = 1 des Graphen hat den Wert e.
- Aussage 4: Wird das Argument x um 1 vermindert, dann sinken die Funktionswerte auf das 1/e Fache.
- Aussage 5: Der Graph von f hat an jeder Stelle eine positive Krümmung.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!
Aufgabe 1275
AHS - 1_275 & Lehrstoff: FA 5.6
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Insektenvermehrung
Eine Insektenanzahl vermehrt sich wöchentlich um 25 %. Ein Forscher behauptet, dass sich die Insektenanzahl alle 4 Wochen verdoppelt.
Aufgabenstellung:
Beurteilen Sie, ob diese Behauptung richtig oder falsch ist, und begründen Sie Ihre Antwort rechnerisch!
Aufgabe 1482
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 12. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Parameter von Exponentialfunktionen
Die nachstehende Abbildung zeigt die Graphen zweier Exponentialfunktionen f und g mit den Funktionsgleichungen \(f\left( x \right) = c \cdot {a^x}\) und \(g\left( x \right) = d \cdot {b^x}\) mit \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d \in {\Bbb R}\)
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte Aussage entsteht!
Für die Parameter a, b, c, d der beiden gegebenen Exponentialfunktionen gelten die Beziehungen& ____1____ und ____2___
1 | |
c<d | A |
c=d | B |
c>d | C |
2 | |
a<b | I |
a=b | II |
a>b | III |
Grundkompetenzen
Exponentialfunktion
Interaktive Illustration auf GeoGebra.org anzeigen
- Regler a: Verändere die Basis
- Regler c: Verändere den Faktor
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