Produktregel beim Differenzieren
Die Produktregel besagt, dass man der Reihe nach jeweils einen der Faktoren differenziert und die jeweils anderen Faktoren unverändert lässt.
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Ableitungsregeln
Wenn f(x) mehrere Terme umfasst, die durch Rechenzeichen verbunden sind, dann bedient man sich der Ableitungsregeln. Die gängigsten Ableitungsregeln sollte man ebenfalls auswendig können.
Konstanten- oder Faktorregel
Die Faktorregel kommt dann zur Anwendung, wenn vor der abzuleitenden Funktion f(x) ein konstanter Faktor c steht. Mit andern Worten, wenn ein Proukt aus einer Konstanten c und einer Funktion f(x) abzuleiten sind. Die Regel besagt, dass ein konstanter Faktor beim Differenzieren unverändert bleibt.
\(\eqalign{ & c \cdot f\left( x \right) \cr & c \cdot f'\left( x \right) \cr}\)
Summen- bzw. Differenzenregel
Die Summen- bzw. Differenzenregel kommt dann zur Anwendung, wenn zwei Funktionen f(x) und g(x) als deren Summe bzw. Differenz vorliegen. Die Regel besagt, dass die beiden Teilfunktionen individuell abzuleiten sind und erneut eine Summe oder Differenz bilden.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) \pm g\left( x \right) \cr & f'\left( x \right) \pm g'\left( x \right) \cr}\)
Produktregel beim Differenzieren
Die Produktregel kommt dann zur Anwendung, wenn zwei Funktionen f(x) und g(x) als deren Produkt vorliegen. Die Regel besagt, dass die Ableitung der 1. Funktion f'(x) mal der 2. Funktion g(x) plus die 1. Funktion f(x) mal der Ableitung der 2. Funktion g'(x) zu summieren sind
\(\eqalign{ & f\left( x \right) \cdot g\left( x \right) \cr & f'\left( x \right) \cdot g\left( x \right) + f\left( x \right) \cdot g'\left( x \right) \cr}\)
Quotientenregel beim Differenzieren
Die Quotientenregel kommt dann zur Anwendung, wenn im Zähler die Funktion f(x) und im Nenner die Funktion g(x) stehen. Die Regel besagt, dass vom Produkt aus der Ableitung des Zählers f'(x) mit der Nennerfunktion g(x) das Produkt aus der Zählerfunktion mal der abgeleiteten Nennerfunktion zu bilden ist und diese Differenz ist dann durch das Quadrat der Nennerfunktion zu dividieren.
Merksatz: "Ableitung des Zählers" mal Nenner MINUS Zähler mal Ableitung des Nenners DURCH Quadrat des Nenners"
\(\eqalign{ & \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} \cr & \dfrac{{f'\left( x \right) \cdot g\left( x \right) - f\left( x \right) \cdot g'\left( x \right)}}{{{g^2}\left( x \right)}} \cr}\)
Reziprokenregel
Die Reziprokenregel ist eine Abkürzung der Quotientenregel, die dann zur Anwendung kommt, wenn die abzuleitende Funktion der Kehrwert einer differenzierbaren Funktion f(x) ist. Die Regel besagt, dass der negative Quotient aus der abgeleiteten Funktion f'(x) mit dem Quadrat der Funktion f2(x) zu bilden ist.
\(\begin{array}{l} \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\\ - \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} \end{array}\)
Steht im Zähler nicht "1" sondern eine Konstante c, dann verhält sich diese gemäß der Faktorregel, d.h. sie bleibt beim Differenzieren unverändert.
\(\eqalign{ & \dfrac{c}{{f\left( x \right)}} \cr & - c \cdot \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} \cr}\)
Kettenregel beim Differenzieren
Die Kettenregel kommt dann zur Anwendung, wenn zwei Funktionen v(x) und u(x) mit einander verkettet sind. "Verkettet" bedeutet, dass sich die Funktion f(x) aus einer äußeren Funktion v(x) und einer inneren Funktion u(x) zusammensetzt. Die Regel besagt, dass man zuerst die äußere Funktion selbst ableitet v'(x) und dann mit deren "innerer Ableitung" u'(x) multipliziert.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = v\left( {u\left( x \right)} \right) \cr & f'\left( x \right) = v'\left( {u\left( x \right)} \right) \cdot u'\left( x \right) \cr} \)
Allgemeine Kettenregel
Die allgemeine Kettenregel gibt an, wie eine Verkettung von mehr als 2 Funkktionen differenzierbar ist.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = w\left( {v\left( {u\left( x \right)} \right)} \right) \cr & y' = f'\left( x \right) = w'\left( {v\left( {u\left( x \right)} \right)} \right) \cdot v'\left( {u\left( x \right)} \right) \cdot u'\left( x \right) \cr} \)
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Aufgaben
Aufgabe 125
Produktregel beim Differenzieren
Gegeben sei die Funktion:
\(f(x) = {f_1} \cdot {f_2}\)
Leite unter Anwendung der Definition des Differentialquotienten f‘(x) her.
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Aufgabe 140
Differenzieren von Polynomen
Gegeben sei die Funktion \(f(x) = 2{x^3} \cdot \left( {4{x^2} + x} \right)\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Aufgabe 1164
AHS - 1_164 & Lehrstoff: AN 1.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ableitungsregeln erkennen
Gegeben sind differenzierbare Funktionen f und g und \(a \in {{\Bbb R}^ + }\)
- Aussage 1: \({\left[ {f\left( x \right) + a} \right]^\prime } = f'\left( x \right) + a\)
- Aussage 2: \({\left[ {a \cdot f\left( x \right)} \right]^\prime } = a \cdot f'\left( x \right)\)
- Aussage 3: \({\left[ {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right)} \right]^\prime } = f'\left( x \right) \cdot g'\left( x \right)\)
- Aussage 4: \({\left[ {f\left( {a \cdot x} \right)} \right]^\prime } = a \cdot f'\left( x \right)\)
- Aussage 5: \({\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]^\prime } = f'\left( x \right) - g'\left( x \right)\)
Aufgabenstellung:
Welche der obenstehenden Ableitungsregeln sind korrekt? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Aufgabe 1010
AHS - 1_010 & Lehrstoff: AN 2.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ableitung von Sinus- und Kosinus-Funktion
Gegeben sind vier Funktionen und sechs Ableitungsfunktionen.
A | \(f'\left( x \right) = - \cos \left( x \right) + 2 \cdot \sin \left( x \right)\) |
B | \(f'\left( x \right) = 2 \cdot cos\left( x \right) + \sin \left( x \right)\) |
C | \(f'\left( x \right) = 2 \cdot \cos \left( x \right) - \sin \left( x \right)\) |
D | \(f'\left( x \right) = - \cos \left( x \right) - 2 \cdot \sin \left( x \right)\) |
E | \(f'\left( x \right) = \cos \left( x \right) - 2 \cdot \sin \left( x \right)\) |
F | \(f'\left( x \right) = 2 \cdot \sin \left( x \right) + \cos \left( x \right)\) |
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den Funktionen f die richtige Ableitungsfunktion f' (aus A bis F) zu!
Deine Antwort | |
I: \(f\left( x \right) = 2 \cdot cos\left( x \right) - \sin \left( x \right)\) | |
II: \(f\left( x \right) = \cos \left( x \right) + 2 \cdot \sin \left( x \right)\) | |
III: \(f\left( x \right) = - 2 \cdot \cos \left( x \right) - \sin \left( x \right)\) | |
IV: \(f\left( x \right) = - \cos \left( x \right) + 2 \cdot \sin \left( x \right)\) |
Aufgabe 148
Kettenregel beim Differenzieren
Gegeben sei die Funktion \(f(x) = 2x \cdot {\left( {{x^2} - 2x} \right)^2}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
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Aufgabe 155
Polynom differenzieren
Gegeben sei die Funktion \(f(x) = \left( {2x - 4} \right) \cdot \left( {2x + 4} \right)\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
1. Teilaufgabe: Wende die Produktregel an
2. Teilaufgabe: Bilde zunächst das Polynom und differenziere dieses anschließend
Aufgabe 156
Produktregel beim Differenzieren
Gegeben sei die Funktion \(f(x) = \left( {6{x^2} + 3x + 6} \right) \cdot {\left( { - 2{x^2} + 4x - 3} \right)^2}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x)gemäß den Regeln der Differentialrechnung. Wende dazu die Produktregel an und beende danach die Berechnung, ohne die Klammern auszumultiplizieren und somit ohne den Ausdruck als Polynom anzuschreiben.
Aufgabe 158
Produktregel beim Differenzieren
Gegeben sei die Funktion \(f(x) = x \cdot \sqrt {1 + {x^2}}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Aufgabe 163
Differenzieren von Potenzen
Gegeben sei die Funktion: \(s\left( t \right) = \sqrt {{t^2} - 16} + 12\)
s(t) ist die Funktion, die den Weg in Abhängigkeit von der Reisezeit beschreibt, den ein Raumschiff von seinem Ausgangspunkt aus zurücklegt.
1. Teilaufgabe: Berechne durch Differenzieren die Funktion der Geschwindigkeit v(t), in Abhängigkeit von der Zeit, die das Raumschiff unterwegs ist.
2. Teilaufgabe: Berechne durch Differenzieren die Funktion der Beschleunigung a(t), in Abhängigkeit von der Zeit, die das Raumschiff unterwegs ist.
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Aufgabe 171
Differenzieren von Winkelfunktionen
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = x \cdot {\left( {\sin x} \right)^2}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Aufgabe 174
Differenzieren von Winkelfunktionen
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = x \cdot \cos x\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Aufgabe 179
Produktregel beim Differenzieren
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = \dfrac{{\tan x}}{x}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung