BMBWF - FA 5.1 .. FA 5.6: Exponetialfunktionen
Aufgabe 1145
AHS - 1_145 & Lehrstoff: FA 5.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Exponentialfunktion
Gegeben ist eine reelle Funktion f mit der Gleichung \(f\left( x \right) = a \cdot {e^{\lambda \cdot x}}\) mit \(a \in {\mathbb{R}^ + }{\text{ und }}\lambda \in \mathbb{R}\)
- Aussage 1: \(f'\left( x \right) = a \cdot \lambda \cdot {e^{\lambda \cdot x}}\)
- Aussage 2: Für a > 0 sind alle Funktionswerte negativ.
- Aussage 3: Die Funktion f hat mindestens eine reelle Nullstelle.
- Aussage 4: Die Funktion f schneidet die y-Achse bei (0|a).
- Aussage 5: Die Funktion f ist streng monoton fallend, wenn λ < 0 und a ≠ 0 ist
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die für die Funktion f zutreffende(n) Aussage(n) an!
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Aufgabe 1138
AHS - 1_138 & Lehrstoff: FA 5.5
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Halbwertszeit eines Isotops
Der radioaktive Zerfall des Iod-Isotops \({}^{131}I\) verhält sich gemäß der Funktion N mit \(N\left( t \right) = N\left( 0 \right) \cdot {e^{ - 0,086 \cdot t}}\) mit t in Tagen.
- Aussage 1: \(\ln \left( {\dfrac{1}{2}} \right) = - 0,086 \cdot t \cdot \ln \,\,\,e\)
- Aussage 2: \(2 = {e^{ - 0,086 \cdot t}}\)
- Aussage 3: \(N\left( 0 \right) = \dfrac{{N\left( 0 \right)}}{2} \cdot {d^{ - 0,086 \cdot t}}\)
- Aussage 4: \(\ln \left( {\dfrac{1}{2}} \right) = - \ln 0,086 \cdot t \cdot e\)
- Aussage 5: \(\dfrac{1}{2} = 1 \cdot {e^{ - 0,086 \cdot t}}\)
Aufgabenstellung
Kreuzen Sie diejenige(n) Gleichung(en) an, mit der/denen die Halbwertszeit des Isotops in Tagen berechnet werden kann!
Aufgabe 1142
AHS - 1_142 & Lehrstoff: FA 5.5
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Verdoppelungszeit
Die unten stehende Abbildung zeigt den Graphen einer Exponentialfunktion f mit \(f\left( t \right) = a \cdot {b^t}\)
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie mithilfe des Graphen die Größe der Verdoppelungszeit!
Aufgabe 1155
AHS - 1_155 & Lehrstoff: FA 5.5
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Halbwertszeit von Felbamat
Zur Behandlung von Epilepsie wird oft der Arzneistoff Felbamat eingesetzt. Nach der Einnahme einer Ausgangsdosis D0 nimmt die Konzentration D von Felbamat im Körper näherungsweise exponentiell mit der Zeit ab. Für D gilt folgender funktionaler Zusammenhang: \(D\left( t \right) = {D_0} \cdot {0,9659^t}\) Dabei wird die Zeit t in Stunden gemessen.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Halbwertszeit von Felbamat! Geben Sie die Lösung auf Stunden gerundet an!
Aufgabe 1303
AHS - 1_303 & Lehrstoff: FA 5.5
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Biologische Halbwertszeit
Die biologische Halbwertszeit bezeichnet diejenige Zeitspanne, in der in einem biologischen Organismus (Mensch, Tier …) der Gehalt von zum Beispiel einem Arzneimittel ausschließlich durch biologische Prozesse (Stoffwechsel, Ausscheidung usw.) auf die Hälfte abgesunken ist. Für das Arzneimittel Penicillin G wird bei Erwachsenen eine biologische Halbwertszeit von 30 Minuten angegeben.
Aufgabenstellung
Einer Person wird um 10:00 Uhr eine Dosis Penicillin G verabreicht. Ermitteln Sie, wie viel Prozent der ursprünglichen Dosis vom Körper der Person bis 11:00 Uhr noch nicht verarbeitet wurden!
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Aufgabe 1085
AHS - 1_085 & Lehrstoff: FA 5.6
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Relative und absolute Zunahme
Die Formel \(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {a^t}{\text{ mit }}a > 1\) beschreibt ein exponentielles Wachstum.
- Aussage 1: Die relative Zunahme ist in gleichen Zeitintervallen gleich groß.
- Aussage 2: Die absolute Zunahme ist in gleichen Zeitintervallen gleich groß.
- Aussage 3: Die relative Zunahme ist unabhängig von N0.
- Aussage 4: Die relative Zunahme ist abhängig von a.
- Aussage 5: Die absolute Zunahme ist abhängig von a.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!
Aufgabe 1275
AHS - 1_275 & Lehrstoff: FA 5.6
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Insektenvermehrung
Eine Insektenanzahl vermehrt sich wöchentlich um 25 %. Ein Forscher behauptet, dass sich die Insektenanzahl alle 4 Wochen verdoppelt.
Aufgabenstellung:
Beurteilen Sie, ob diese Behauptung richtig oder falsch ist, und begründen Sie Ihre Antwort rechnerisch!
Aufgabe 1276
AHS - 1_276 & Lehrstoff: FA 5.6
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Lichtintensität
Licht, das in eine dicke Schicht aus Glas eintritt, wird abgeschwächt. Der Hersteller eines Sicherheitsglases gibt an, dass die Intensität I des Lichts pro Zentimeter um 6 % abnimmt. I0 gibt die Intensität des Lichts bei Eintritt in das Glas an.
- Aussage 1: \(I\left( x \right) = {I_0} \cdot {0,94^x}\)
- Aussage 2: \(I\left( x \right) = {I_0} \cdot {1,06^x}\)
- Aussage 3: \(I\left( x \right) = {I_0} \cdot {0,06^x} + {I_0}\)
- Aussage 4: \(I\left( x \right) = {I_0} \cdot \left( {1 - 0,06 \cdot x} \right)\)
- Aussage 5: \(I\left( x \right) = 1 - {I_0} \cdot 0,06 \cdot x\)
- Aussage 6: \(I\left( x \right) = \dfrac{{{I_0}}}{x}\)
Aufgabenstellung:
Welche der obenstehenden Gleichungen beschreibt die Lichtintensität I in Abhängigkeit von der Eindringtiefe x (in cm)? Kreuzen Sie die zutreffende Gleichung an!
Aufgabe 1277
AHS - 1_277 & Lehrstoff: FA 5.6
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Viruserkrankung
Eine Viruserkrankung breitet sich sehr schnell aus. Die Anzahl der Infizierten verdoppelt sich alle vier Tage.
Aufgabenstellung
Geben Sie an, durch welchen Funktionstyp ein derartiges Wachstum beschrieben werden kann, und begründen Sie Ihre Antwort!
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Aufgabe 1278
AHS - 1_278 & Lehrstoff: FA 5.6
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wachstumsprozesse
Zur Beschreibung von Wachstumsvorgängen aus der Natur bzw. dem Alltag können oft Exponentialfunktionen herangezogen werden.
- Aussage 1: Ein Sparbuch hat eine Laufzeit von 6 Monaten. Eine Spareinlage wird mit 1,5 % effektiven Zinsen pro Jahr, also 0,125 % pro Monat, verzinst. Diese werden ihm allerdings erst nach dem Ende des Veranlagungszeitraums gutgeschrieben. [Modell für das Kapitalwachstum in diesem halben Jahr]
- Aussage 2: Festverzinsliche Anleihen garantieren einen fixen Ertrag von effektiv 6 % pro Jahr. Allerdings muss der angelegte Betrag 5 Jahre gebunden bleiben. [Modell für das Kapitalwachstum über diese 5 Jahre]
- Aussage 3: Haare wachsen pro Tag ca. 1/3 mm. [Modell für das Haarwachstum]
- Aussage 4: Milchsäurebakterien vermehren sich an heißen Tagen abhängig von der Außentemperatur um 5 % pro Stunde. [Modell für die Vermehrung der Milchsäurebakterien]
- Aussage 5: Die Sonneneinstrahlung auf einen Körper wird stärker, je höher die Sonne über den Horizont steigt. [Modell für die Steigerung der Sonneneinstrahlung abhängig vom Winkel des Sonneneinfalls (zur Horizontalen gemessen)]
Aufgabenstellung
Welche der nachstehend angeführten Fallbeispiele werden am besten durch eine Exponentialfunktion modelliert? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Beispiele an!
Aufgabe 1279
AHS - 1_279 & Lehrstoff: FA 5.6
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Zerfallsprozess
Die Population P einer vom Aussterben bedrohten Tierart sinkt jedes Jahr um ein Drittel der Population des vorangegangenen Jahres. P0 gibt die Anzahl der ursprünglich vorhandenen Tiere an.
- Aussage 1: \(P\left( t \right) = {P_0} \cdot {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^t}\)
- Aussage 2: \(P\left( t \right) = {P_0} \cdot {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^t}\)
- Aussage 3: \(P\left( t \right) = {P_0} \cdot \left( {1 - \dfrac{1}{3} \cdot t} \right)\)
- Aussage 4: \(P\left( t \right) = \dfrac{{{P_0}}}{{3 \cdot t}}\)
- Aussage 5: \(P\left( t \right) = \dfrac{{2 \cdot {P_0}}}{3} \cdot t\)
- Aussage 6: \(P\left( t \right) = {\left( {{P_0} - \dfrac{1}{3}} \right)^t}\)
Aufgabenstellung
Welche der obenstehend angeführten Gleichungen beschreibt die Population P in Abhängigkeit von der Anzahl der abgelaufenen Jahre t? Kreuzen Sie die zutreffende Gleichung an!