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Österreichische BHS Matura - 2017.05.10 - HTL2 - 6 Teil B Beispiele

LösungswegBeat the Clock

Aufgabe 4016

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


Bodenunebenheiten - Aufgabe B_405

Teil a
Um Unebenheiten eines Bodens festzustellen, wird eine Messlatte verwendet.

Zahl a Zahl a: IntegralZwischen(f, g, 0.07, 0.9) Zahl a Zahl a: IntegralZwischen(f, g, 0.07, 0.9) Funktion p p(x) = Wenn(0 < x < 0.9, -70000x⁴ + 150000x³ - 100000x² + 17000x + 3000) Funktion f f(x) = Wenn(0.05 < x < 0.9, -4046x + 4378) Funktion g g(x) = Wenn(0.07 < x < 0.91, -4046x + 6000) Funktion q q(x) = Wenn(-0.1 < x < 0.15, -4046x + 4378) Funktion r r(x) = Wenn(0.9 < x < 1, -4046x + 4378) Funktion s s(x) = Wenn(-0.08 < x < 0, -70000x⁴ + 150000x³ - 100000x² + 17000x + 3000) Funktion t t(x) = Wenn(0.9 < x < 1.1, -70000x⁴ + 150000x³ - 100000x² + 17000x + 3000) Strecke i Strecke i: Strecke B, C Strecke j Strecke j: Strecke D, E Punkt F Punkt F: Punkt auf f Punkt F Punkt F: Punkt auf f Punkt G Punkt G: Punkt auf f Punkt G Punkt G: Punkt auf f p(x), f(x), in mm text1 = “p(x), f(x), in mm” Messlatte text2 = “Messlatte” x in m text3 = “x in m” P_1 Text1 = “P_1” P_1 Text1 = “P_1” P_2 Text2 = “P_2” P_2 Text2 = “P_2” p(x) Text3 = “p(x)” f(x) Text4 = “f(x)”

Das Profil des Bodens kann näherungsweise durch den Graphen einer Polynomfunktion p beschrieben werden, die Unterkante der Messlatte kann durch den Graphen einer linearen Funktion f beschrieben werden. Die Messlatte berührt den Boden in den Punkten \({P_1} = \left( {{x_1}\left| {p\left( {{x_1}} \right)} \right.} \right){\text{ und }}{P_2} = \left( {{x_2}\left| {p\left( {{x_2}} \right)} \right.} \right)\). Eine der folgenden Aussagen stimmt nicht mit der obigen Abbildung überein.

  • Aussage 1: \(k = \dfrac{{p\left( {{x_2}} \right) - p\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\)
  • Aussage 2: \(p'\left( {{x_1}} \right) = 0\)
  • Aussage 3: \(p'\left( {{x_2}} \right) = k\)
  • Aussage 4: \(p'\left( {{x_1}} \right) = p'\left( {{x_2}} \right)\)
  • Aussage 5: \(f\left( {{x_1}} \right) = p\left( {{x_1}} \right)\)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Kreuzen Sie die nicht zutreffende Aussage an.
[1 aus 5] [1 Punkt]

Bodenunebenheiten - Aufgabe B_405
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Aufgabe 4017

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


Bodenunebenheiten - Aufgabe B_405

Teil b


1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Um Unebenheiten eines Bodens festzustellen, wird eine Messlatte verwendet.

Zahl a Zahl a: IntegralZwischen(f, g, 0.07, 0.9) Zahl a Zahl a: IntegralZwischen(f, g, 0.07, 0.9) Funktion p p(x) = Wenn(0 < x < 0.9, -70000x⁴ + 150000x³ - 100000x² + 17000x + 3000) Funktion f f(x) = Wenn(0.05 < x < 0.9, -4046x + 4378) Funktion g g(x) = Wenn(0.07 < x < 0.91, -4046x + 6000) Funktion q q(x) = Wenn(-0.1 < x < 0.15, -4046x + 4378) Funktion r r(x) = Wenn(0.9 < x < 1, -4046x + 4378) Funktion s s(x) = Wenn(-0.08 < x < 0, -70000x⁴ + 150000x³ - 100000x² + 17000x + 3000) Funktion t t(x) = Wenn(0.9 < x < 1.1, -70000x⁴ + 150000x³ - 100000x² + 17000x + 3000) Strecke i Strecke i: Strecke B, C Strecke j Strecke j: Strecke D, E Punkt F Punkt F: Punkt auf f Punkt F Punkt F: Punkt auf f Punkt G Punkt G: Punkt auf f Punkt G Punkt G: Punkt auf f p(x), f(x), in mm text1 = “p(x), f(x), in mm” Messlatte text2 = “Messlatte” x in m text3 = “x in m” P_1 Text1 = “P_1” P_1 Text1 = “P_1” P_2 Text2 = “P_2” P_2 Text2 = “P_2” p(x) Text3 = “p(x)” f(x) Text4 = “f(x)”

Begründen Sie, warum der Grad der in der obigen Abbildung dargestellten Polynomfunktion p größer oder gleich 4 sein muss.
[1 Punkt]

Bodenunebenheiten - Aufgabe B_405
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Polynomfunktion
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Aufgabe 4018

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
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Bodenunebenheiten - Aufgabe B_405

Teil c
Der Graph der Polynomfunktion p mit \(p\left( x \right) = a \cdot {x^4} + b \cdot {x^3} + c \cdot {x^2} + d \cdot x + e\) verläuft durch die folgenden 5 Punkte:

\(\eqalign{ & A = \left( {0\left| {1,8} \right.} \right) \cr & B = \left( {0,25\left| {2,1} \right.} \right) \cr & C = \left( {0,5\left| {0,4} \right.} \right) \cr & D = (0,75\left| {0,7)} \right. \cr & E = \left( {1\left| {0,5} \right.} \right) \cr} \)

mit

x horizontale Koordinate in Metern (m)
p(x) vertikale Koordinate in Millimetern (mm)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Stellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten dieser Polynomfunktion p auf.
[1 Punkt]


2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie die Koeffizienten dieser Polynomfunktion p.
[1 Punkt]

Bodenunebenheiten - Aufgabe B_405
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Aufgabe 4019

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
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Bodenunebenheiten - Aufgabe B_405

Teil d
Um die Unebenheit eines anderen Bodens zu ermitteln, soll der Punkt T bestimmt werden. Im Punkt T ist die Tangente an den Graphen von p parallel zur Geraden f (siehe nachstehende Skizze).

Zahl a Zahl a: IntegralZwischen(f, g, 0, 1) Zahl a Zahl a: IntegralZwischen(f, g, 0, 1) Funktion p p(x) = Wenn(0 < x < 1, -70000x⁴ + 150000x³ - 100000x² + 17000x + 3000) Funktion f f(x) = -4046x + 4378 Funktion g g(x) = -4046x + 6000 Funktion h h(x) = Wenn(0.4 < x < 0.65, -4046x + 2850) Punkt T Punkt T: (0.52, h(0.52)) Punkt T Punkt T: (0.52, h(0.52)) p(x), f(x), in mm text1 = “p(x), f(x), in mm” Messlatte text2 = “Messlatte” x in m text3 = “x in m” f text4 = “f” p text5 = “p” // Text1 = “//” // Text1_1 = “//” T Text2 = “T”

Es gilt:
\(\eqalign{ & p\left( x \right) = - 70,000 \cdot {x^4} + 150,000 \cdot {x^3} - 100,000 \cdot {x^2} + 17,000 \cdot x + 3,000 \cr & f\left( x \right) = - 4,046 \cdot x + 4,378 \cr} \)

mit:

x horizontale Koordinate in Metern (m)
p(x), f(x) vertikale Koordinate in Millimetern (mm)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie eine Gleichung, mit der die x-Koordinate des Punktes T berechnet werden kann.
[1 Punkt]


2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die x-Koordinate des Punktes T.
[1 Punkt]

Bodenunebenheiten - Aufgabe B_405
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Aufgabe 4025

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
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Prismen und Linsen - Aufgabe B_411

Teil a
Der Verlauf eines Lichtstrahls durch ein Glasprisma wird als Strahlengang bezeichnet. In einem Spezialglas beträgt die Lichtgeschwindigkeit 205 337 300 m/s. In einem aus diesem Glas gefertigten Prisma beträgt die Länge des Strahlengangs 5 cm.


1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie, wie viele Sekunden es dauert, bis ein Lichtstrahl dieses Prisma durchquert hat.
[1 Punkt]

Prismen und Linsen - Aufgabe B_411
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Aufgabe 4026

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
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Prismen und Linsen - Aufgabe B_411

Teil b
Ein Strahlengang durch ein Glasprisma einer Filmkamera kann folgendermaßen dargestellt werden:

Sektor c Sektor c: Kreissektor(K, L, M) Sektor c Sektor c: Kreissektor(K, L, M) Sektor d Sektor d: Kreissektor(N, O, P) Sektor d Sektor d: Kreissektor(N, O, P) Sektor k Sektor k: Kreissektor(N, S, T) Sektor k Sektor k: Kreissektor(N, S, T) Sektor q Sektor q: Kreissektor(Z, A_1, B_1) Sektor q Sektor q: Kreissektor(Z, A_1, B_1) Sektor r Sektor r: Kreissektor(Z, C_1, D_1) Sektor r Sektor r: Kreissektor(Z, C_1, D_1) Strecke f Strecke f: Strecke A, B Strecke g Strecke g: Strecke B, D Strecke h Strecke h: Strecke D, C Strecke i Strecke i: Strecke A, C Vektor u Vektor u: Vektor(E, F) Vektor u Vektor u: Vektor(E, F) Vektor v Vektor v: Vektor(G, E) Vektor v Vektor v: Vektor(G, E) Vektor w Vektor w: Vektor(H, G) Vektor w Vektor w: Vektor(H, G) Vektor a Vektor a: Vektor(I, J) Vektor a Vektor a: Vektor(I, J) Vektor b Vektor b: Vektor(J, I) Vektor b Vektor b: Vektor(J, I) Punkt E_1 E_1 = (7.04, 5.66) Punkt E_1 E_1 = (7.04, 5.66) a text1 = “a” z text2 = “z” y text3 = “y” x text4 = “x” \beta text5 = “\beta” \beta text6 = “\beta” \gamma text7 = “\gamma” \gamma text8 = “\gamma”
Hinweis: Die Skizze ist nicht maßstabsgetreu!

\(\eqalign{ & a = 0,50{\text{ cm}} \cr & x = 0,55{\text{ cm}} \cr & \beta = 40^\circ \cr & \gamma = 68^\circ \cr} \)


1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Länge z des Strahlengangs.
[1 Punkt]


2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Länge y des Strahlengangs.
[1 Punkt]


3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Länge x + y + z des Strahlengangs
[1 Punkt]

Prismen und Linsen - Aufgabe B_411
kostenlose Mathematik Maturavorbereitung - BHS - Aufgabenpool Cluster HTL1
kostenlose Mathematik Maturavorbereitung - BHS - Aufgabenpool Cluster HTL2
Sinussatz
Tangensfunktion
Mathematik Zentralmatura BHS - Mai 2017 - kostenlos vorgerechnet
sin cos tan im rechtwinkeligen Dreieck
BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool B_P_2.2
BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool B_T_2.1
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LösungswegBeat the Clock

Aufgabe 4027

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B-Aufgaben
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Prismen und Linsen - Aufgabe B_411

Teil c
Bei der Abbildung eines Gegenstands mithilfe einer Sammellinse gelten folgende Beziehungen:

\(\dfrac{B}{G} = \dfrac{b}{g}{\text{ und }}b = \dfrac{{g \cdot f}}{{g - f}}\)

mit

B Höhe des Bildes
G Höhe des Gegenstands
b Abstand des Bildes von der Linse
g Abstand des Gegenstands von der Linse
f Brennweite der Linse

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an.
[1 aus 5] [1 Punkt]

  • Aussage 1: Wenn g = 3 · f gilt, dann ist B größer als G.
  • Aussage 2: Wenn g = 3 · f gilt, dann ist B = G.
  • Aussage 3: Wenn g = 2 · f gilt, dann ist B kleiner als G.
  • Aussage 4: Wenn g = 2 · f gilt, dann ist B = G.
  • Aussage 5: Wenn g = 2 · f gilt, dann ist B größer als G.
Prismen und Linsen - Aufgabe B_411
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kostenlose Mathematik Maturavorbereitung - BHS - Aufgabenpool Cluster HTL2
kostenlose Mathematik Maturavorbereitung - BHS - Aufgabenpool Cluster BAfEP, BASOP, BRP
Substitutionsverfahren für lineare Gleichungssysteme
Mathematik Zentralmatura BHS - Mai 2017 - kostenlos vorgerechnet
Formeln und Abhängigkeiten
BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool 2.6
Fragen oder Feedback
Lösungsweg

Aufgabe 4028

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
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Prismen und Linsen - Aufgabe B_411

Teil d
Ein Unternehmen fertigt Linsen aus Glas für industrielle Anwendungen. Die Dicke spezieller Linsen (gemessen in der Linsenmitte) erweist sich als annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ und der Standardabweichung σ:

  • μ = 12,000 mm
  • σ = 0,060 mm

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie dasjenige um μ symmetrische Intervall, in dem die Dicke einer zufällig ausgewählten Linse mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % liegt.
[1 Punkt]


Eine Linse erreicht Präzisionsqualität, wenn die Abweichung vom Erwartungswert nicht mehr als ± 0,040 mm beträgt.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Linse Präzisionsqualität hat.
[1 Punkt]

Prismen und Linsen - Aufgabe B_411
kostenlose Mathematik Maturavorbereitung - BHS - Aufgabenpool Cluster HTL1
kostenlose Mathematik Maturavorbereitung - BHS - Aufgabenpool Cluster HTL2
Normalverteilung
Geogebra Normal Befehl
Mathematik Zentralmatura BHS - Mai 2017 - kostenlos vorgerechnet
BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool 5.6
Normalverteilung
Fragen oder Feedback
Lösungsweg

Aufgabe 4030

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


Leistungsdiagnostik im Sport - Aufgabe B_417

Teil a
Bei höherer Belastung benötigt der Körper mehr Sauerstoff und produziert als „Abfallprodukt“ Laktat. Ab einer gewissen Laktatkonzentration ist das Herz-Kreislauf-System nicht mehr in der Lage, die arbeitenden Muskeln mit genügend Sauerstoff zu versorgen. Diese Laktatkonzentration heißt anaerobe Schwelle.

Für einen bestimmten Sportler kann die Laktatkonzentration in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit beim Laufen näherungsweise durch die Funktion f beschrieben werden:
\(f\left( x \right) = 0,0461 \cdot {e^{0,29 \cdot x}} + 0,9\)
mit

x Geschwindigkeit beim Laufen in Kilometern pro Stunde (km/h)
f(x) Laktatkonzentration bei der Geschwindigkeit x in Millimol pro Liter Blut (mmol/L)

Erreicht die Laktatkonzentration die anaerobe Schwelle, so beträgt der Steigungswinkel von f an dieser Stelle 45°.


1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Bestimmen Sie die anaerobe Schwelle dieses Sportlers.
[1 Punkt]

Leistungsdiagnostik im Sport - Aufgabe B_417
kostenlose Mathematik Maturavorbereitung - BHS - Aufgabenpool Cluster HTL1
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Erste Ableitung einer Funktion
Exponentialfunktionen differenzieren
Mathematik Zentralmatura BHS - Mai 2017 - kostenlos vorgerechnet
Differenzialrechnung
Exponentialfunktion
BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool 2.11
BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool 4.4
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LösungswegBeat the Clock

Aufgabe 4031

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
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Leistungsdiagnostik im Sport - Aufgabe B_417

Teil b
Nach Beginn einer körperlichen Belastung beim Sport (Arbeitsphase) passt sich das Atmungssystem nur verzögert dem erhöhten Sauerstoffbedarf an. Erst nach einigen Minuten wird eine ausreichende Versorgung erreicht. Bis dahin kommt es zu einem Sauerstoffdefizit.

Viereck v1 Viereck v1: Polygon C, D, F, G Zahl a Zahl a: Integral von p im Intervall [0.45, 6] Zahl a Zahl a: Integral von p im Intervall [0.45, 6] Funktion p p(x) = Wenn(x > 0.45, -1 / x² + 8) Gerade f f: x = 0.45 Gerade g g: y = 8 Gerade h h: x = 6 Gerade i i: y = 3 Strecke c Strecke c: Strecke C, D Strecke d Strecke d: Strecke D, F Strecke f_1 Strecke f_1: Strecke F, G Strecke g_1 Strecke g_1: Strecke G, C Vektor k Vektor k: Vektor(K, J) Vektor k Vektor k: Vektor(K, J) Vektor j Vektor j: Vektor(I, H) Vektor j Vektor j: Vektor(I, H) Vektor u Vektor u: Vektor(M, L) Vektor u Vektor u: Vektor(M, L) Sauerstoffaufnahme in Litern pro Minute text1 = “Sauerstoffaufnahme in Litern pro Minute” Ruhephase text3 = “Ruhephase” Arbeitsphase mit Sauderstoffdefizit text4 = “Arbeitsphase mit Sauderstoffdefizit” Arbeitsphase mit Sauderstoffdefizit text4 = “Arbeitsphase mit Sauderstoffdefizit” Zeit in Minuten text5 = “Zeit in Minuten” Sauerstoffdefizit D text6 = “Sauerstoffdefizit D” s(t) text8 = “s(t)” S_{Ruhe} text91 = “S_{Ruhe}” S_{Ruhe} text91 = “S_{Ruhe}” S_{Arbeit} text92 = “S_{Arbeit}” S_{Arbeit} text92 = “S_{Arbeit}” t_2 Text2 = “t_2” t_2 Text2 = “t_2” t_1 Text2_1 = “t_1” t_1 Text2_1 = “t_1”


1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Stellen Sie eine Formel auf, mit der man das Sauerstoffdefizit D die mit durchgängiger Begrenzung eingerahmte Fläche in obiger Skizze) berechnen kann, wenn eine Gleichung der Funktion s bekannt ist.
D =
[1 Punkt]


2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Geben Sie die Einheit von D an.
[1 Punkt]

Leistungsdiagnostik im Sport - Aufgabe B_417
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Bestimmtes Integral
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Regression - Korrelation und Methode der kleinsten Quadrate
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Aufgabe 4032

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Leistungsdiagnostik im Sport - Aufgabe B_417

Teil c
Bei einem bestimmten Sportler wird die Herzschlagfrequenz in Abhängigkeit von der Laufgeschwindigkeit bestimmt:

Laufgeschwindigkeit in km/h 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0 13,5 14,0 14,5
Herzschlagfrequenz in min-1 140 150 162 168 175 182 190 200

Die Herzschlagfrequenz in Abhängigkeit von der Laufgeschwindigkeit soll mithilfe einer linearen Ausgleichsfunktion beschrieben werden.


1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Bestimmen Sie eine Gleichung dieser linearen Ausgleichsfunktion.
[1 Punkt]

Leistungsdiagnostik im Sport - Aufgabe B_417
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Aufgabe 4033

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
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Leistungsdiagnostik im Sport - Aufgabe B_417

Teil d
Das Absinken der Sauerstoffaufnahme nach Beendigung einer körperlichen Belastung beim Sport kann mit der folgenden Differenzialgleichung beschrieben werden:

\(\dfrac{{dy}}{{dt}} = - 1,386 \cdot \left( {y - 0,3} \right)\)

mit

t Zeit nach Beendigung der körperlichen Belastung in Minuten (min)
y(t) Sauerstoffaufnahme zur Zeit t in Litern pro Minute (L/min)

 


1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Lösen Sie diese Differenzialgleichung mithilfe der Methode Trennen der Variablen.
[1 Punkt]

Leistungsdiagnostik im Sport - Aufgabe B_417
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