Österreichische BHS Matura - 2017.05.10 - HTL2 - 6 Teil B Beispiele

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Bodenunebenheiten - Aufgabe B_405

Teil a
Um Unebenheiten eines Bodens festzustellen, wird eine Messlatte verwendet.

Das Profil des Bodens kann näherungsweise durch den Graphen einer Polynomfunktion p beschrieben werden, die Unterkante der Messlatte kann durch den Graphen einer linearen Funktion f beschrieben werden. Die Messlatte berührt den Boden in den Punkten \({P_1} = \left( {{x_1}\left| {p\left( {{x_1}} \right)} \right.} \right){\text{ und }}{P_2} = \left( {{x_2}\left| {p\left( {{x_2}} \right)} \right.} \right)\). Eine der folgenden Aussagen stimmt nicht mit der obigen Abbildung überein.

• Aussage 1: \(k = \dfrac{{p\left( {{x_2}} \right) - p\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\)
• Aussage 2: \(p'\left( {{x_1}} \right) = 0\)
• Aussage 3: \(p'\left( {{x_2}} \right) = k\)
• Aussage 4: \(p'\left( {{x_1}} \right) = p'\left( {{x_2}} \right)\)
• Aussage 5: \(f\left( {{x_1}} \right) = p\left( {{x_1}} \right)\)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Kreuzen Sie die nicht zutreffende Aussage an.
[1 aus 5] [1 Punkt]

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Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
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Bodenunebenheiten - Aufgabe B_405

Teil b

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Um Unebenheiten eines Bodens festzustellen, wird eine Messlatte verwendet.

Begründen Sie, warum der Grad der in der obigen Abbildung dargestellten Polynomfunktion p größer oder gleich 4 sein muss.
[1 Punkt]

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Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
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Bodenunebenheiten - Aufgabe B_405

Teil c
Der Graph der Polynomfunktion p mit \(p\left( x \right) = a \cdot {x^4} + b \cdot {x^3} + c \cdot {x^2} + d \cdot x + e\) verläuft durch die folgenden 5 Punkte:

\(\eqalign{ & A = \left( {0\left| {1,8} \right.} \right) \cr & B = \left( {0,25\left| {2,1} \right.} \right) \cr & C = \left( {0,5\left| {0,4} \right.} \right) \cr & D = (0,75\left| {0,7)} \right. \cr & E = \left( {1\left| {0,5} \right.} \right) \cr} \)

mit

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Stellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten dieser Polynomfunktion p auf.
[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie die Koeffizienten dieser Polynomfunktion p.
[1 Punkt]

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Bodenunebenheiten - Aufgabe B_405

Teil d
Um die Unebenheit eines anderen Bodens zu ermitteln, soll der Punkt T bestimmt werden. Im Punkt T ist die Tangente an den Graphen von p parallel zur Geraden f (siehe nachstehende Skizze).

Es gilt:
\(\eqalign{ & p\left( x \right) = - 70,000 \cdot {x^4} + 150,000 \cdot {x^3} - 100,000 \cdot {x^2} + 17,000 \cdot x + 3,000 \cr & f\left( x \right) = - 4,046 \cdot x + 4,378 \cr} \)

mit:

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie eine Gleichung, mit der die x-Koordinate des Punktes T berechnet werden kann.
[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die x-Koordinate des Punktes T.
[1 Punkt]

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Prismen und Linsen - Aufgabe B_411

Teil a
Der Verlauf eines Lichtstrahls durch ein Glasprisma wird als Strahlengang bezeichnet. In einem Spezialglas beträgt die Lichtgeschwindigkeit 205 337 300 m/s. In einem aus diesem Glas gefertigten Prisma beträgt die Länge des Strahlengangs 5 cm.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie, wie viele Sekunden es dauert, bis ein Lichtstrahl dieses Prisma durchquert hat.
[1 Punkt]

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Prismen und Linsen - Aufgabe B_411

Teil b
Ein Strahlengang durch ein Glasprisma einer Filmkamera kann folgendermaßen dargestellt werden:

Hinweis: Die Skizze ist nicht maßstabsgetreu!

\(\eqalign{ & a = 0,50{\text{ cm}} \cr & x = 0,55{\text{ cm}} \cr & \beta = 40^\circ \cr & \gamma = 68^\circ \cr} \)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Länge z des Strahlengangs.
[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Länge y des Strahlengangs.
[1 Punkt]

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Länge x + y + z des Strahlengangs
[1 Punkt]

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Prismen und Linsen - Aufgabe B_411

Teil c
Bei der Abbildung eines Gegenstands mithilfe einer Sammellinse gelten folgende Beziehungen:

\(\dfrac{B}{G} = \dfrac{b}{g}{\text{ und }}b = \dfrac{{g \cdot f}}{{g - f}}\)

mit

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an.
[1 aus 5] [1 Punkt]

• Aussage 1: Wenn g = 3 · f gilt, dann ist B größer als G.
• Aussage 2: Wenn g = 3 · f gilt, dann ist B = G.
• Aussage 3: Wenn g = 2 · f gilt, dann ist B kleiner als G.
• Aussage 4: Wenn g = 2 · f gilt, dann ist B = G.
• Aussage 5: Wenn g = 2 · f gilt, dann ist B größer als G.

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Prismen und Linsen - Aufgabe B_411

Teil d
Ein Unternehmen fertigt Linsen aus Glas für industrielle Anwendungen. Die Dicke spezieller Linsen (gemessen in der Linsenmitte) erweist sich als annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ und der Standardabweichung σ:

• μ = 12,000 mm
• σ = 0,060 mm

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie dasjenige um μ symmetrische Intervall, in dem die Dicke einer zufällig ausgewählten Linse mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % liegt.
[1 Punkt]

Eine Linse erreicht Präzisionsqualität, wenn die Abweichung vom Erwartungswert nicht mehr als ± 0,040 mm beträgt.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Linse Präzisionsqualität hat.
[1 Punkt]

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Leistungsdiagnostik im Sport - Aufgabe B_417

Teil a
Bei höherer Belastung benötigt der Körper mehr Sauerstoff und produziert als „Abfallprodukt“ Laktat. Ab einer gewissen Laktatkonzentration ist das Herz-Kreislauf-System nicht mehr in der Lage, die arbeitenden Muskeln mit genügend Sauerstoff zu versorgen. Diese Laktatkonzentration heißt anaerobe Schwelle.

Für einen bestimmten Sportler kann die Laktatkonzentration in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit beim Laufen näherungsweise durch die Funktion f beschrieben werden:
\(f\left( x \right) = 0,0461 \cdot {e^{0,29 \cdot x}} + 0,9\)
mit

Erreicht die Laktatkonzentration die anaerobe Schwelle, so beträgt der Steigungswinkel von f an dieser Stelle 45°.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Bestimmen Sie die anaerobe Schwelle dieses Sportlers.
[1 Punkt]

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Leistungsdiagnostik im Sport - Aufgabe B_417

Teil b
Nach Beginn einer körperlichen Belastung beim Sport (Arbeitsphase) passt sich das Atmungssystem nur verzögert dem erhöhten Sauerstoffbedarf an. Erst nach einigen Minuten wird eine ausreichende Versorgung erreicht. Bis dahin kommt es zu einem Sauerstoffdefizit.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Stellen Sie eine Formel auf, mit der man das Sauerstoffdefizit D die mit durchgängiger Begrenzung eingerahmte Fläche in obiger Skizze) berechnen kann, wenn eine Gleichung der Funktion s bekannt ist.
D =
[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Geben Sie die Einheit von D an.
[1 Punkt]

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Leistungsdiagnostik im Sport - Aufgabe B_417

Teil c
Bei einem bestimmten Sportler wird die Herzschlagfrequenz in Abhängigkeit von der Laufgeschwindigkeit bestimmt:

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Leistungsdiagnostik im Sport - Aufgabe B_417

Teil d
Das Absinken der Sauerstoffaufnahme nach Beendigung einer körperlichen Belastung beim Sport kann mit der folgenden Differenzialgleichung beschrieben werden:

\(\dfrac{{dy}}{{dt}} = - 1,386 \cdot \left( {y - 0,3} \right)\)

mit

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Lösen Sie diese Differenzialgleichung mithilfe der Methode Trennen der Variablen.
[1 Punkt]