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Österreichische BHS Matura - 2018.05.09 - HTL2 - 4 Teil B Beispiele

Lösungsweg

Aufgabe 4086

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


Sternbild Großer Wagen - Aufgabe B_014

Die nachfolgende Abbildung zeigt eine schematische Darstellung des Sternbilds Großer Wagen.

Bild
beispiel_4086_1

 

Teil a

Astronomen verwenden verschiedene Koordinatensysteme. In einem Koordinatensystem mit der Erde im Koordinatenursprung O kann die Position eines Sterns S mithilfe der Winkel α und δ sowie der Entfernung OS von der Erde angegeben werden (siehe nachstehende Abbildung).

Bild
beispiel_4086_2

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung der Koordinate zs aus dem Winkel δ und der Entfernung \(\overline {OS} \) 
zs=
[1 Punkt]


2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ordnen Sie den Koordinaten xS und yS jeweils den zutreffenden Ausdruck aus A bis D zu.
[2 zu 4]

  • Aussage 1: \(\overline {OS} \cdot \sin \left( \alpha \right) \cdot \sin \left( \delta \right)\)
  • Aussage 2: \(\overline {OS} \cdot \cos \left( \alpha \right) \cdot \sin \left( \delta \right)\)
  • Aussage 3: \(\overline {OS} \cdot \sin \left( \alpha \right) \cdot \cos \left( \delta \right)\)
  • Aussage 4: \(\overline {OS} \cdot \cos \left( \alpha \right) \cdot \cos \left( \delta \right)\)

[1 Punkt]

Sternbild Großer Wagen - Sternbild Grosser Wagen - Aufgabe B_014
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Aufgabe 4087

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


Sternbild Großer Wagen - Aufgabe B_014

Teil b

In der nachstehenden Abbildung sind der Große Wagen und der Polarstern P in einem Koordinatensystem dargestellt.

Bild
beispiel_4087_1

Die Position des Polarsterns P kann nach folgender Faustregel bestimmt werden: Der Polarstern P liegt auf der Geraden, die durch die Punkte S1 und S2 verläuft. Der Abstand zwischen S2 und P ist das 5-Fache der Länge der Strecke S1S2.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Übertragen Sie die Faustregel mithilfe der Vektorrechnung in einen mathematischen Ausdruck zur Berechnung von P.
[1 Punkt]


Es gilt: S1 = (5,5 | 3,8) und S2 = (5,0 | 4,4)

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P.
[1 Punkt]

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Aufgabe 4088

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
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Sternbild Großer Wagen - Aufgabe B_014

Teil c

In der Astronomie wird als Maß für die Entfernung r eines Sterns von der Erde der sogenannte Entfernungsmodul \(5 \cdot \lg \left( {\dfrac{r}{{10}}} \right)\)  verwendet.

1. Teilaufgabe:

1Kreuzen Sie denjenigen Ausdruck an, der nicht dem Entfernungsmodul entspricht.
[1 aus 5]
[1 Punkt]

 

  • Aussage 1: \( - 5 \cdot \lg \left( {\dfrac{{10}}{r}} \right)\)
  • Aussage 2: \( - 5 + \lg \left( {{r^5}} \right)\)
  • Aussage 3: \(\lg \left( {{{\left( {\dfrac{r}{{10}}} \right)}^5}} \right)\)
  • Aussage 4: \(5 \cdot \lg \left( r \right) - \lg \left( {10} \right)\)
  • Aussage 5: \(5 \cdot \left( {\lg \left( r \right) - 1} \right)\)
Sternbild Großer Wagen - Sternbild Grosser Wagen - Aufgabe B_014
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Aufgabe 4089

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
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Sternbild Großer Wagen - Aufgabe B_014

Teil d

Alkaid und Dubhe sind zwei Sterne des Sternbilds Großer Wagen. Ihre Positionen können mittels ihrer Koordinaten in Lichtjahren in Bezug auf ein bestimmtes kartesisches Koordinatensystem angegeben werden. Dabei befindet sich die Erde im Koordinatenursprung O.

  • Alkaid: A = (–60|–31| 79)
  • Dubhe: D = (–57|14|109)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie den Winkel zwischen den Vektoren OA und OD .
[1 Punkt]


2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie die Entfernung der beiden Sterne voneinander.
[1 Punkt]

Sternbild Großer Wagen - Sternbild Grosser Wagen - Aufgabe B_014
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Winkel zwischen 2 Vektoren
Abstand zweier Punkte
Vektoren
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Aufgabe 4090

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
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Durchmesser einer Stahlwelle - Aufgabe B_019

Ein Unternehmen stellt auf computergesteuerten Drehmaschinen Stahlwellen für Elektromotoren in Massenproduktion her.

Teil a

Bei Maschine A sind die Durchmesser der hergestellten Stahlwellen annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 10,00 mm. In der nachstehenden Abbildung 1 ist der Graph der zugehörigen Dichtefunktion dargestellt.

Bild
beispiel_4090_1

 

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Skizzieren Sie in der nachfolgenden Abbildung 2 den Graphen der zugehörigen Verteilungsfunktion.  
[1 Punkt]

Bild
beispiel_4090_2

 


2. Teilaufgabe:

Veranschaulichen Sie mithilfe der Verteilungsfunktion in Abbildung 2 die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Stahlwelle einen Durchmesser von mindestens 10,02 mm hat.
[1 Punkt]

Durchmesser einer Stahlwelle - Aufgabe B_019
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Dichtefunktion einer Normalverteilung
Verteilungsfunktion der Normalverteilung
Normalverteilung
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Aufgabe 4091

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
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Durchmesser einer Stahlwelle - Aufgabe B_019

Ein Unternehmen stellt auf computergesteuerten Drehmaschinen Stahlwellen für Elektromotoren in Massenproduktion her.

Teil b

Bei Maschine B sind die Durchmesser der hergestellten Stahlwellen annähernd normalverteilt mit der Standardabweichung σ = 0,02 mm. Ein Durchmesser von 9,97 mm wird von 0,1 % der Stahlwellen unterschritten.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie den zugehörigen Erwartungswert μ .

[1 Punkt]

Durchmesser einer Stahlwelle - Aufgabe B_019
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Geogebra Normal Befehl
Geogebra nLöse Befehl
Erwartungswert Normalverteilung
Normalverteilung
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Aufgabe 4096

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
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Wings for Life World Run - Aufgabe B_022

Teil a

Beim Wings for Life World Run starten alle Läufer/innen gleichzeitig. Eine halbe Stunde später verlässt ein Verfolgerauto („Catcher-Car“) den Start und fährt den Läuferinnen und Läufern nach. Die Teilnehmer/innen laufen jeweils so lange, bis sie vom Catcher-Car eingeholt werden. Der vom Catcher-Car innerhalb der ersten 2,5 Stunden ab dem Start der Läufer/innen zurückgelegte Weg kann näherungsweise durch die folgende stückweise definierte Funktion s beschrieben werden:

\(s\left( t \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{{\rm{für}}}&{t \le 0,5}\\ {}&{{\rm{für}}}&{0,5 < t \le 1,5}\\ {16 \cdot t - 9}&{{\rm{für}}}&{1,5 < t \le 2,5} \end{array}} \right.\)

mit

t Zeit ab dem Start der Läufer/innen in h
s(t) der vom Catcher-Car zur Zeit t zurückgelegte Weg in km

 

Im Zeitintervall ]0,5; 1,5] fährt das Catcher-Car mit konstanter Geschwindigkeit.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ergänzen Sie die Weg-Zeit-Funktion für das Zeitintervall ]0,5; 1,5] in der gegebenen Funktionsdefinition.
[1 Punkt]


1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Die Geschwindigkeit eines bestimmten Läufers kann näherungsweise durch folgende Funktion v beschrieben werden:

\(v\left( t \right) = - 0,73 \cdot {t^2} + 2,43 \cdot t + 10\)

v(t) Geschwindigkeit des Läufers zur Zeit t in km/h

 

Berechnen Sie denjenigen Zeitpunkt, zu dem dieser Läufer vom Catcher-Car eingeholt wird.
[1 Punkt]

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Wings for Life World Run - Aufgabe B_022
Geschwindigkeit-Zeit-Funktion
Bewegungsaufgaben
BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool 4.5
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Aufgabe 4097

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
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Wings for Life World Run - Aufgabe B_022

Teil b

Der zeitliche Verlauf der Herzfrequenz einer Läuferin kann näherungsweise durch eine Funktion p beschrieben werden.

Bild
beispiel_4097_1

Der Graph von p ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt. Der Flächeninhalt des farblich markierten Rechtecks entspricht dem Inhalt der Fläche unter dem Funktionsgraphen von p im Intervall [0; t1].

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Interpretieren Sie die Bedeutung von h im gegebenen Sachzusammenhang.
[1 Punkt]


2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Erstellen Sie mithilfe der obigen Abbildung eine Formel zur Berechnung von h, wenn die Funktion p bekannt ist.
h =
[1 Punkt]

Wings for Life World Run - Aufgabe B_022
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Integralmittelwert
BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool B_T2_4.5
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Aufgabe 4098

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
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Wings for Life World Run - Aufgabe B_022

Teil c

Beim Laufen bewegt sich der Schwerpunkt des menschlichen Körpers in regelmäßigen Zeitabständen auf und ab. Modellhaft kann der zeitliche Verlauf der Höhe des Schwerpunkts durch die Funktion h beschrieben werden (siehe nachstehende Abbildung).

Bild
beispiel_4098_1

\(h\left( t \right) = 5 \cdot \sin \left( {6 \cdot \pi \cdot t} \right) + 110\)

mit:

t Zeit in s
h(t) Höhe des Schwerpunkts über dem Boden zur Zeit t in cm

 

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehenen Kästchen ein.
[1 Punkt]

Wings for Life World Run - Aufgabe B_022
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Harmonische Schwingung
Sinusfunktion bzw Cosinusfunktion
BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool B_T2_3.3
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Aufgabe 4099

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
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Bewegung eines Bootes - Aufgabe B_074

Teil a

Die Bewegung eines Bootes wird durch folgende Differenzialgleichung beschrieben:
\(m \cdot \dfrac{{dv}}{{dt}} = - k \cdot v\)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Argumentieren Sie mathematisch anhand der Differenzialgleichung, dass die Geschwindigkeit mit zunehmender Zeit t abnimmt.
[1 Punkt]


2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung.
[1 Punkt]

Bewegung eines Bootes - Aufgabe B_074
kostenlose Mathematik Maturavorbereitung - BHS - Aufgabenpool Cluster HTL2
Mathematik Zentralmatura BHS - Mai 2018 - kostenlos vorgerechnet
Beschleunigung
Differentialgleichung 1. Ordnung mit trennbaren Variablen
Differenzialgleichungen
BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool B_T2_4.6
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Aufgabe 4100

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
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Bewegung eines Bootes - Aufgabe B_074

Teil b

Ein Boot wird von einem Motorboot geschleppt. Zur Zeit t = 0 s wird das Schleppseil gelöst. Die nachstehende Tabelle gibt die Geschwindigkeit des Bootes zu 4 verschiedenen Zeiten an.

Zeit in s 3 9 15 21
Geschwindigkeit in m/s 6,5 2,5 1,1 0,5

 

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie mithilfe der Daten aus der obigen Tabelle eine Gleichung der exponentiellen Ausgleichsfunktion, die den zeitlichen Verlauf der Geschwindigkeit des Bootes beschreibt.
[1 Punkt]


2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie mit dieser Ausgleichsfunktion einen Schätzwert für die Geschwindigkeit des Bootes zur Zeit t = 5 s.
[1 Punkt]


3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Zusatzfragestellung, nicht in der original Matura enthalten!

Ermitteln Sie die Wegstrecke, die das Boot in den ersten 9 Sekunden zurück legt.

[1 Punkt]

Bewegung eines Bootes - Aufgabe B_074
kostenlose Mathematik Maturavorbereitung - BHS - Aufgabenpool Cluster HTL2
Mathematik Zentralmatura BHS - Mai 2018 - kostenlos vorgerechnet
Geogebra TrendExp2
GeoGebra TrendExp
Regressionsanalyse
Regression - nicht linear
BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool B_W1_5.2
BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool B_W2_5.2
BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool B_P_5.1
BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool B_T2_5.5
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Lösungsweg

Aufgabe 4101

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
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Bewegung eines Bootes - Aufgabe B_079

Teil c

Für einen bestimmten Zeitraum kann der zeitliche Verlauf der Geschwindigkeit eines anderen Motorboots durch die Funktion vMB näherungsweise beschrieben werden:
\({v_{MB}}\left( t \right) = a + b \cdot \left( {{e^{ - 0,1 \cdot t}} - {e^{ - t}}} \right)\)

mit:

t Zeit
vMB(t) Geschwindigkeit des Motorboots zur Zeit t
a, b positive Konstante

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Argumentieren Sie mathematisch, dass die Gerade mit der Gleichung v = a eine Asymptote dieser Funktion ist.
[1 Punkt]

Bewegung eines Bootes - Aufgabe B_074
kostenlose Mathematik Maturavorbereitung - BHS - Aufgabenpool Cluster HTL2
Mathematik Zentralmatura BHS - Mai 2018 - kostenlos vorgerechnet
Asymptote
Grenzwert und Stetigkeit
BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool B_T_4.1
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