Österreichische BHS Matura - 2018.05.09 - HTL2 - 4 Teil B Beispiele

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Sternbild Großer Wagen - Aufgabe B_014

Die nachfolgende Abbildung zeigt eine schematische Darstellung des Sternbilds Großer Wagen.

Bild

Teil a

Astronomen verwenden verschiedene Koordinatensysteme. In einem Koordinatensystem mit der Erde im Koordinatenursprung O kann die Position eines Sterns S mithilfe der Winkel α und δ sowie der Entfernung OS von der Erde angegeben werden (siehe nachstehende Abbildung).

Bild

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung der Koordinate z_s aus dem Winkel δ und der Entfernung \(\overline {OS} \) 
z_s=
[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ordnen Sie den Koordinaten x_S und y_S jeweils den zutreffenden Ausdruck aus A bis D zu.
[2 zu 4]

• Aussage 1: \(\overline {OS} \cdot \sin \left( \alpha \right) \cdot \sin \left( \delta \right)\)
• Aussage 2: \(\overline {OS} \cdot \cos \left( \alpha \right) \cdot \sin \left( \delta \right)\)
• Aussage 3: \(\overline {OS} \cdot \sin \left( \alpha \right) \cdot \cos \left( \delta \right)\)
• Aussage 4: \(\overline {OS} \cdot \cos \left( \alpha \right) \cdot \cos \left( \delta \right)\)

[1 Punkt]

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Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
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Sternbild Großer Wagen - Aufgabe B_014

Teil b

In der nachstehenden Abbildung sind der Große Wagen und der Polarstern P in einem Koordinatensystem dargestellt.

Bild

Die Position des Polarsterns P kann nach folgender Faustregel bestimmt werden: Der Polarstern P liegt auf der Geraden, die durch die Punkte S₁ und S₂ verläuft. Der Abstand zwischen S₂ und P ist das 5-Fache der Länge der Strecke S₁S₂.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Übertragen Sie die Faustregel mithilfe der Vektorrechnung in einen mathematischen Ausdruck zur Berechnung von P.
[1 Punkt]

Es gilt: S1 = (5,5 | 3,8) und S2 = (5,0 | 4,4)

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P.
[1 Punkt]

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Sternbild Großer Wagen - Aufgabe B_014

Teil c

In der Astronomie wird als Maß für die Entfernung r eines Sterns von der Erde der sogenannte Entfernungsmodul \(5 \cdot \lg \left( {\dfrac{r}{{10}}} \right)\)  verwendet.

1. Teilaufgabe:

1Kreuzen Sie denjenigen Ausdruck an, der nicht dem Entfernungsmodul entspricht.
[1 aus 5]
[1 Punkt]

• Aussage 1: \( - 5 \cdot \lg \left( {\dfrac{{10}}{r}} \right)\)
• Aussage 2: \( - 5 + \lg \left( {{r^5}} \right)\)
• Aussage 3: \(\lg \left( {{{\left( {\dfrac{r}{{10}}} \right)}^5}} \right)\)
• Aussage 4: \(5 \cdot \lg \left( r \right) - \lg \left( {10} \right)\)
• Aussage 5: \(5 \cdot \left( {\lg \left( r \right) - 1} \right)\)

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
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Sternbild Großer Wagen - Aufgabe B_014

Teil d

Alkaid und Dubhe sind zwei Sterne des Sternbilds Großer Wagen. Ihre Positionen können mittels ihrer Koordinaten in Lichtjahren in Bezug auf ein bestimmtes kartesisches Koordinatensystem angegeben werden. Dabei befindet sich die Erde im Koordinatenursprung O.

• Alkaid: A = (–60|–31| 79)
• Dubhe: D = (–57|14|109)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie den Winkel zwischen den Vektoren OA und OD .
[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie die Entfernung der beiden Sterne voneinander.
[1 Punkt]

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Durchmesser einer Stahlwelle - Aufgabe B_019

Ein Unternehmen stellt auf computergesteuerten Drehmaschinen Stahlwellen für Elektromotoren in Massenproduktion her.

Teil a

Bei Maschine A sind die Durchmesser der hergestellten Stahlwellen annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 10,00 mm. In der nachstehenden Abbildung 1 ist der Graph der zugehörigen Dichtefunktion dargestellt.

Bild

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Skizzieren Sie in der nachfolgenden Abbildung 2 den Graphen der zugehörigen Verteilungsfunktion.  
[1 Punkt]

Bild

2. Teilaufgabe:

Veranschaulichen Sie mithilfe der Verteilungsfunktion in Abbildung 2 die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Stahlwelle einen Durchmesser von mindestens 10,02 mm hat.
[1 Punkt]

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Durchmesser einer Stahlwelle - Aufgabe B_019

Ein Unternehmen stellt auf computergesteuerten Drehmaschinen Stahlwellen für Elektromotoren in Massenproduktion her.

Teil b

Bei Maschine B sind die Durchmesser der hergestellten Stahlwellen annähernd normalverteilt mit der Standardabweichung σ = 0,02 mm. Ein Durchmesser von 9,97 mm wird von 0,1 % der Stahlwellen unterschritten.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie den zugehörigen Erwartungswert μ .

[1 Punkt]

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Wings for Life World Run - Aufgabe B_022

Teil a

Beim Wings for Life World Run starten alle Läufer/innen gleichzeitig. Eine halbe Stunde später verlässt ein Verfolgerauto („Catcher-Car“) den Start und fährt den Läuferinnen und Läufern nach. Die Teilnehmer/innen laufen jeweils so lange, bis sie vom Catcher-Car eingeholt werden. Der vom Catcher-Car innerhalb der ersten 2,5 Stunden ab dem Start der Läufer/innen zurückgelegte Weg kann näherungsweise durch die folgende stückweise definierte Funktion s beschrieben werden:

\(s\left( t \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{{\rm{für}}}&{t \le 0,5}\\ {}&{{\rm{für}}}&{0,5 < t \le 1,5}\\ {16 \cdot t - 9}&{{\rm{für}}}&{1,5 < t \le 2,5} \end{array}} \right.\)

mit

Im Zeitintervall ]0,5; 1,5] fährt das Catcher-Car mit konstanter Geschwindigkeit.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ergänzen Sie die Weg-Zeit-Funktion für das Zeitintervall ]0,5; 1,5] in der gegebenen Funktionsdefinition.
[1 Punkt]

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Die Geschwindigkeit eines bestimmten Läufers kann näherungsweise durch folgende Funktion v beschrieben werden:

\(v\left( t \right) = - 0,73 \cdot {t^2} + 2,43 \cdot t + 10\)

Berechnen Sie denjenigen Zeitpunkt, zu dem dieser Läufer vom Catcher-Car eingeholt wird.
[1 Punkt]

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Wings for Life World Run - Aufgabe B_022

Teil b

Der zeitliche Verlauf der Herzfrequenz einer Läuferin kann näherungsweise durch eine Funktion p beschrieben werden.

Bild

Der Graph von p ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt. Der Flächeninhalt des farblich markierten Rechtecks entspricht dem Inhalt der Fläche unter dem Funktionsgraphen von p im Intervall [0; t₁].

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Interpretieren Sie die Bedeutung von h im gegebenen Sachzusammenhang.
[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Erstellen Sie mithilfe der obigen Abbildung eine Formel zur Berechnung von h, wenn die Funktion p bekannt ist.
h =
[1 Punkt]

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Wings for Life World Run - Aufgabe B_022

Teil c

Beim Laufen bewegt sich der Schwerpunkt des menschlichen Körpers in regelmäßigen Zeitabständen auf und ab. Modellhaft kann der zeitliche Verlauf der Höhe des Schwerpunkts durch die Funktion h beschrieben werden (siehe nachstehende Abbildung).

Bild

\(h\left( t \right) = 5 \cdot \sin \left( {6 \cdot \pi \cdot t} \right) + 110\)

mit:

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehenen Kästchen ein.
[1 Punkt]

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Bewegung eines Bootes - Aufgabe B_074

Teil a

Die Bewegung eines Bootes wird durch folgende Differenzialgleichung beschrieben:
\(m \cdot \dfrac{{dv}}{{dt}} = - k \cdot v\)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Argumentieren Sie mathematisch anhand der Differenzialgleichung, dass die Geschwindigkeit mit zunehmender Zeit t abnimmt.
[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung.
[1 Punkt]

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Bewegung eines Bootes - Aufgabe B_074

Teil b

Ein Boot wird von einem Motorboot geschleppt. Zur Zeit t = 0 s wird das Schleppseil gelöst. Die nachstehende Tabelle gibt die Geschwindigkeit des Bootes zu 4 verschiedenen Zeiten an.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie mithilfe der Daten aus der obigen Tabelle eine Gleichung der exponentiellen Ausgleichsfunktion, die den zeitlichen Verlauf der Geschwindigkeit des Bootes beschreibt.
[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie mit dieser Ausgleichsfunktion einen Schätzwert für die Geschwindigkeit des Bootes zur Zeit t = 5 s.
[1 Punkt]

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Zusatzfragestellung, nicht in der original Matura enthalten!

Ermitteln Sie die Wegstrecke, die das Boot in den ersten 9 Sekunden zurück legt.

[1 Punkt]

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Bewegung eines Bootes - Aufgabe B_079

Teil c

Für einen bestimmten Zeitraum kann der zeitliche Verlauf der Geschwindigkeit eines anderen Motorboots durch die Funktion v_MB näherungsweise beschrieben werden:
\({v_{MB}}\left( t \right) = a + b \cdot \left( {{e^{ - 0,1 \cdot t}} - {e^{ - t}}} \right)\)

mit:

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Argumentieren Sie mathematisch, dass die Gerade mit der Gleichung v = a eine Asymptote dieser Funktion ist.
[1 Punkt]