Österreichische BHS Matura - 2020.05.28 - HTL1 - 3 Teil B Beispiele

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Blumentopf - Aufgabe B_474

Teil a

Ein Unternehmen produziert Blumentöpfe. Der Außendurchmesser eines solchen Blumentopfs beträgt 40 cm. Auch die Gesamthöhe des Blumentopfs beträgt 40 cm. (Siehe nachstehende Abbildung der Begrenzungslinie. )

Bild

Für die Funktion f mit f(x) = y gilt:
\(y = \dfrac{{37}}{{{{19}^6}}} \cdot {x^6} + 3{\text{ mit }} - 19 \leqslant x \leqslant 19\)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Begründen Sie, warum f eine gerade Funktion ist.

[1 Punkt]

Die Innenwand des Blumentopfs entsteht durch Rotation des oben dargestellten Graphen von f um die y-Achse.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 11:20

Berechnen Sie das Innenvolumen des Blumentopfs.

[2 Punkte]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Blumentopf - Aufgabe B_474

Teil b

Ein Unternehmen produziert Stangen für Kletterpflanzen. Die Länge dieser Stangen ist annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 150 cm. Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der zugehörigen Verteilungsfunktion F.

Bild

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Lesen Sie aus der obigen Abbildung den Wert der Standardabweichung ab.

[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Veranschaulichen Sie in der obigen Abbildung die Wahrscheinlichkeit, die durch den nachstehenden Ausdruck berechnet wird.

1 – F(149,5)

[1 Punkt]

Ein anderes Unternehmen produziert auch solche Stangen. Die Länge dieser Stangen ist ebenfalls annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 150 cm. Es ist bekannt, dass 92,3 % dieser Stangen eine Länge von höchstens 151 cm haben.

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie die zugehörige Standardabweichung.

[1 Punkt]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
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Blumentopf - Aufgabe B_474

Teil c

Der Erlös aus dem Verkauf von Blumentöpfen kann durch die Funktion E beschrieben werden:
\(E\left( x \right) = 20 \cdot x - 0,12 \cdot {x^2}\)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie das größtmögliche Intervall für x, in dem der Erlös mindestens 100 GE betragt.

[1 Punkt]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
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W-LAN - Aufgabe B_475

In einer Fabrikshalle wird mit Access-Points und Repeatern ein W-LAN eingerichtet. Ein Access-Point verbindet einen Laptop kabellos mit einem Netzwerk. Ein Repeater verstärkt das Signal. Die Datenübertragungsrate beschreibt die übertragene Datenmenge pro Zeiteinheit und wird meist in der Einheit Megabit pro Sekunde (Mbit/s) angegeben.

Teil a 

Die Datenübertragungsrate zu einem Laptop hängt von seiner Entfernung von einem Access- Point ab. Es wurden folgende Daten erhoben:

Ein Mitarbeiter geht aufgrund der Messwerte von einem annähernd linearen Zusammenhang für die Datenübertragungsrate in Abhängigkeit von der Entfernung aus.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Erklären Sie, warum der zugehörige Korrelationskoeffizient negativ sein muss.

[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie eine Gleichung der zugehörigen linearen Regressionsfunktion.

[1 Punkt]

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Interpretieren Sie den Wert der Steigung dieser Funktion im gegebenen Sachzusammenhang.

[1 Punkt]

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Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
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W-LAN - Aufgabe B_475

In einer Fabrikshalle wird mit Access-Points und Repeatern ein W-LAN eingerichtet. Ein Access-Point verbindet einen Laptop kabellos mit einem Netzwerk. Ein Repeater verstärkt das Signal. Die Datenübertragungsrate beschreibt die übertragene Datenmenge pro Zeiteinheit und wird meist in der Einheit Megabit pro Sekunde (Mbit/s) angegeben.

Teil b

Eine Technikerin modelliert die Datenübertragungsrate in Abhängigkeit von der Entfernung von einem Access-Point mit einer Exponentialfunktion d.
\(d\left( x \right) = c \cdot {a^x}\)

Sie ermittelt folgende Messwerte:

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie die Parameter a und c der Exponentialfunktion d.

[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Kreuzen Sie die auf diese Exponentialfunktion d nicht zutreffende Aussage an.

[1 aus 5] [1 Punkt]

• Aussage 1: Die Funktionswerte der 1. Ableitung der Funktion d sind negativ.
• Aussage 2: Die x-Achse ist für den Graphen der Funktion d eine Asymptote.
• Aussage 3: Wird der Änderungsfaktor a in der Form e^k geschrieben, muss k positiv sein.
• Aussage 4: Die Funktion d hat an der Stelle x = 0 den Funktionswert c.
• Aussage 5: Die Funktionswerte der 2. Ableitung der Funktion d sind positiv.

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W-LAN - Aufgabe B_475

In einer Fabrikshalle wird mit Access-Points und Repeatern ein W-LAN eingerichtet. Ein Access-Point verbindet einen Laptop kabellos mit einem Netzwerk. Ein Repeater verstärkt das Signal. Die Datenübertragungsrate beschreibt die übertragene Datenmenge pro Zeiteinheit und wird meist in der Einheit Megabit pro Sekunde (Mbit/s) angegeben.

Teil c

Im Rahmen einer Testinstallation werden in der Fabrikshalle ein Access-Point, ein Repeater und 2 Laptops auf gleich hohe Tische gestellt (siehe nachstehende schematische Abbildung, Ansicht von oben).

Bild

Im Punkt A = (30 | 0) befindet sich der Access-Point. Die Laptops in den Punkten P₁ = (20 | 2) und P₂ = (45 | 20) sollen diesen Access-Point nutzen können.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Zeigen Sie mithilfe der Vektorrechnung, dass der Winkel α kleiner als 120° ist.

[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Zeichnen Sie in der obigen Abbildung denjenigen Punkt P₃ ein, der folgendermaßen bestimmt werden kann:
\(\overrightarrow {O{P_3}} = \overrightarrow {O{P_2}} - \dfrac{1}{3} \cdot \overrightarrow {{P_1}{P_2}} \)

1 Punkt]

Ein Repeater soll im Punkt R = (x_R | 30) in einem Abstand von 40 m vom Access-Point im Punkt A montiert werden (siehe obige Abbildung).

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie x_R.

[1 Punkt]

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Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

W-LAN - Aufgabe B_475

In einer Fabrikshalle wird mit Access-Points und Repeatern ein W-LAN eingerichtet. Ein Access-Point verbindet einen Laptop kabellos mit einem Netzwerk. Ein Repeater verstärkt das Signal. Die Datenübertragungsrate beschreibt die übertragene Datenmenge pro Zeiteinheit und wird meist in der Einheit Megabit pro Sekunde (Mbit/s) angegeben.

Teil d

In der nachstehenden Abbildung ist die Datenübertragungsrate in Abhängigkeit von der Zeit bei einem bestimmten Downloadvorgang dargestellt.

Bild

Dabei gilt:
\(f\left( t \right) = 15 - 12 \cdot {e^{ - 0,3 \cdot t}}{\text{ mit }}t \geqslant 0\)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Zeigen Sie mithilfe der Differenzialrechnung, dass die Funktion f monoton steigend ist.

[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie die gesamte Datenmenge in Mbit, die im Zeitintervall [0; 8] heruntergeladen wurde.

[1 Punkt]

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Hochstuhl für Kinder - Aufgabe B_476

Teil a 

In der nachstehenden Abbildung sind Teile eines Hochstuhls schematisch dargestellt.

Bild

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Erstellen Sie mithilfe von l₁, l₂ und b eine Formel zur Berechnung von α.

α =

[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Markieren Sie in der obigen Abbildung die Winkel β und γ, für die gilt:

\(\dfrac{{\sin \left( \beta \right)}}{h} = \dfrac{{\sin \left( \gamma \right)}}{{{l_3}}}\)

[1 Punkt]

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Hochstuhl für Kinder - Aufgabe B_476

Teil b

In der nachstehenden Abbildung ist ein Modell der Rückenlehne eines bestimmten Hochstuhls dargestellt.

Bild

Die obere Begrenzungslinie lässt sich näherungsweise durch den Graphen der Funktion f mit
\(f\left( x \right) = a \cdot {x^4} + b \cdot {x^2} + c\)

beschreiben. Im Punkt P verlauft die Tangente an den Graphen der Funktion f waagrecht.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 11:20

Erstellen Sie mithilfe der Informationen zu P und Q ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten a, b und c.

[2 Punkte]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie diese Koeffizienten.

[1 Punkt]

Die untere Begrenzungslinie entsteht durch Spiegelung des Graphen der Funktion f an der x-Achse.

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie den Inhalt der in der obigen Abbildung grau markierten Fläche.

[1 Punkt]