Österreichische BHS Matura - 2021.09.17 - HTL2 - 3 Teil B Beispiele

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Tunnelvortrieb - Aufgabe B_521

Für eine Eisenbahnstrecke wird ein Tunnel gegraben.

Teil a

In der nachstehenden Abbildung ist eine bestimmte Baggerposition dargestellt.

Bild

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Veranschaulichen Sie in Abbildung 2 diejenige Länge s, die durch den nachstehenden Ausdruck berechnet werden kann.
\(s = a \cdot \cos \left( \alpha \right)\)

[0 / 1 P.]

Es gilt:

• a = 4,65 m
• b = 4,50 m
• β = 110°

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie die Länge d.

[0 / 1 P.]

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Kreuzen Sie die richtige Formel zur Berechnung des Winkels γ an.

[1 aus 5] [0 / 1 P.]

• Formel 1: \(\gamma = \alpha - \arccos \left( {\dfrac{a}{d}} \right)\)
• Formel 2: \(\gamma = \alpha - \arcsin \left( {\dfrac{{b \cdot \sin \left( \beta \right)}}{d}} \right)\)
• Formel 3: \(\gamma = \arcsin \left( {\dfrac{{a \cdot \sin \left( \alpha \right)}}{d}} \right)\)
• Formel 4: \(\gamma = \alpha - \left( {\dfrac{{180^\circ - \beta }}{2}} \right)\)
• Formel 5: \(\gamma = \arccos \left( {\dfrac{{{b^2} + {d^2} - {a^2}}}{{2 \cdot b \cdot d}}} \right)\)

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Tunnelvortrieb - Aufgabe B_521

Für eine Eisenbahnstrecke wird ein Tunnel gegraben.

Teil b

Ein Teil des anfallenden Materials wird aufgeschüttet. Der dabei entstehende Schüttkegel hat einen Neigungswinkel von 32° (siehe nachstehende Abbildung).

Bild

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie den Radius r eines solchen Schüttkegels mit einem Volumen von 200 m³.

[0 / 1 P.]

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Tunnelvortrieb - Aufgabe B_521

Für eine Eisenbahnstrecke wird ein Tunnel gegraben.

Teil c

Beim Ausbau des Tunnels werden vorgefertigte Betonelemente eingesetzt. Die Breite dieser Betonelemente ist annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 5 m und der Standardabweichung σ = 0,005 m. Zur Qualitätssicherung werden Zufallsstichproben mit dem Stichprobenumfang n = 10 entnommen und die Stichprobenmittelwerte der Breiten ermittelt.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Geben Sie den Erwartungswert \({\mu _{\overline x }}\) und die Standardabweichung \({\sigma _{\overline x }}\) für die Verteilung dieser Stichprobenmittelwerte an.

• \({\mu _{\overline x }}=\)
• \(\sigma _{\overline x }=\)

[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass diese Stichprobenmittelwerte zwischen 4,996 m und 5,004 m liegen.

[0 / 1 P.]

• f₁ ist die Dichtefunktion für die Verteilung der Stichprobenmittelwerte mit dem Stichprobenumfang n₁ = 6.
• f₂ ist die Dichtefunktion für die Verteilung der Stichprobenmittelwerte mit dem Stichprobenumfang n₂.

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ermitteln Sie mithilfe der nachstehenden Abbildung den Stichprobenumfang n₂.

Bild

[0 / 1 P.]

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Attersee - Aufgabe B_524

Teil a

Der zeitliche Verlauf der Temperatur des Attersees kann modellhaft durch die Funktion f beschrieben werden (siehe nachstehende Abbildung).

Bild

\(f\left( t \right) = a \cdot \sin \left( {b \cdot t - \dfrac{{2 \cdot \pi }}{3}} \right) + c{\text{ mit }}0 \leqslant t \leqslant 360\)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ermitteln Sie mithilfe der obigen Abbildung den Parameter b.

[0 / 1 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ordnen Sie den beiden Größen jeweils den zutreffenden Zahlenwert aus A bis D zu.

[0 / 1 P.]

• Größe 1: Amplitude von f
• Größe 2: linearer Mittelwert (Integralmittelwert) von f im Intervall [30; 210]

• Zahlenwert 1: 10
• Zahlenwert 2: 12
• Zahlenwert 3: 13
• Zahlenwert 4: 23

Zur Zeit t = 120 betrug die tatsächlich gemessene Temperatur 12 °C.

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Geben Sie den Betrag des absoluten Fehlers an, der entsteht, wenn man statt der tatsächlich gemessenen Temperatur den Funktionswert an der Stelle t = 120 verwendet.

[0 / 1 P.]

Zur Überprüfung der Qualität der Modellfunktion f werden 1 000 Messwerte y_ider Temperatur zu verschiedenen Zeiten t_ierhoben. Für jeden dieser Messpunkte (t_i| y_i) wird die Differenz des Messwerts y_izum Funktionswert f(t_i) ermittelt. Diese Differenzen werden jeweils quadriert und danach aufsummiert. Die so erhaltene Summe wird mit s bezeichnet.

4. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Vervollständigen Sie die nachstehende Formel zur Berechnung von s.

\(s = \sum\limits_{i = 1}^{1000} {???} \)

[0 / 1 P.]

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Attersee - Aufgabe B_524

Teil b

Der pH-Wert von Wasser wird mithilfe der Konzentration c der Wasserstoffionen berechnet. Auf der nachstehenden logarithmischen Skala ist die Konzentration c1 einer Wasserprobe aus dem Attersee eingetragen.

Bild

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Lesen Sie den Wert von c₁ ab.

c₁ = mol/L

[0 / 1 P.]

Für den Zusammenhang zwischen der Konzentration c und dem pH-Wert gilt: pH = –lg(c).

Eine andere Wasserprobe wird untersucht. Das Messgerät zeigt dabei einen pH-Wert von 8,0 an. Aufgrund der Messungenauigkeit muss der tatsächliche pH-Wert der Wasserprobe zwischen 7,9 und 8,1 liegen. Die Konzentration, die einem pH-Wert von 8,0 entspricht, wird mit c₂ bezeichnet.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie, um wie viel Prozent die Konzentration der Wasserprobe höchstens unter bzw. über der Konzentration c₂ liegt.

[0 / 1 P.]

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Attersee - Aufgabe B_524

Teil c

Die beiden Orte Nußdorf und Weyregg liegen auf einander gegenüberliegenden Ufern des Attersees. Die Schiffsanlegestellen Nußdorf (N) und Weyregg (W) sind im nachstehenden Koordinatensystem dargestellt.

Bild

Die Entfernung zwischen den Punkten N und W betragt 3,5 km. Die Gerade durch die Punkte N und W hat den Richtungsvektor \(\overrightarrow v = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\ 3 \end{array}} \right)\)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ermitteln Sie den Vektor NW.

[0 / 1 P.]

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Förderband - Aufgabe B_525

Teil a

Ein neues Förderband wird geplant (siehe unten stehende Abbildung). Es soll bis zum Punkt P horizontal verlaufen, dann einen Höhenunterschied von 1 m überwinden und ab dem Punkt Q wieder horizontal verlaufen. Im Intervall 0 ≤ x ≤ 8 soll der Verlauf des Förderbands mithilfe einer Funktion h beschrieben werden.

Bild

Für die Modellierung der Funktion h werden verschiedene Varianten überlegt. Der Graph der Funktion h soll durch die Punkte P und Q verlaufen und dort jeweils eine waagrechte Tangente haben.

Im Modell A wird der Verlauf des Förderbands im Intervall 0 ≤ x ≤ 8 durch die Polynomfunktion 3. Grades h mit
\(h\left( x \right) = a \cdot {x^3} + b \cdot {x^2} + c \cdot x + d\)

beschrieben.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 11:20

Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten von h.

[0 / 1 / 2 P.]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie diese Koeffizienten.

[0 / 1 P.]

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Förderband - Aufgabe B_525

Teil b

Im Modell B wird der Verlauf des Förderbands im Intervall 0 ≤ x ≤ 8 durch die Funktion h mit
\(h\left( x \right) = a \cdot \cos \left( {\dfrac{\pi }{8} \cdot x} \right) + d\)

beschrieben.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 11:20

Geben Sie mithilfe der obigen Abbildung die Parameter a und d an.

• a =
• d =

[0 / 1 / 2 P.]

Das Förderband soll an keiner Stelle eine Steigung von mehr als 20 % haben.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Überprüfen Sie nachweislich, ob diese Vorgabe im Modell B eingehalten wird.

[0 / 1 P.]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
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Förderband - Aufgabe B_525

Teil c

Nach dem Punkt Q verlauft das Förderband 4 m horizontal bis zum Punkt R. Vom Punkt R bis zum Punkt S wird der Verlauf des Förderbands durch die Funktion h1 beschrieben. (Siehe nachstehende Abbildung.)

Bild

Der Graph der Funktion h₁ entsteht durch Verschiebung des Graphen der Funktion h.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Kreuzen Sie die richtige Funktionsgleichung von h1 an.

[1 aus 5] [0 / 1 P.]

• Funktionsgleichung 1: \({h_1}\left( x \right) = h\left( {x - 12} \right) - 1\)
• Funktionsgleichung 2: \({h_1}\left( x \right) = h\left( {x - 4} \right) - 1\)
• Funktionsgleichung 3: \({h_1}\left( x \right) = h\left( {x + 4} \right) + 1\)
• Funktionsgleichung 4: \({h_1}\left( x \right) = h\left( {x + 12} \right) + 1\)
• Funktionsgleichung 5: \({h_1}\left( x \right) = h\left( {x - 12} \right) + 1\)
   

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Stellen Sie eine Formel zur Berechnung der Länge L des Förderbands vom Punkt P bis zum Punkt S auf.

L =

[0 / 1 P.]