Typ 1 - Wahrscheinlichkeit und Statistik
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung Inhaltsbereich WS 3.4
Wahrscheinlichkeitsverteilung(en)
WS 3.4: Normalapproximation der Binomialverteilung interpretieren und anwenden können
Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021
Ab dem Haupttermin 2021/22 nicht mehr prüfungsrelevant
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AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung Inhaltsbereich WS 4.1
Schließende/Beurteilende Statistik
WS 4.1: Konfidenzintervalle als Schätzung für eine Wahrscheinlichkeit oder einen unbekannten Anteil p interpretieren (frequentistische Deutung) und verwenden können, Berechnungen auf Basis der Binomialverteilung oder einer durch die Normalverteilung approximierten Binomialverteilung durchführen können
Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021
Ab dem Haupttermin 2021/22 nicht mehr prüfungsrelevant
Aufgaben
Aufgabe 1229
AHS - 1_229 & Lehrstoff: WS 1.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Mittlere Punkteanzahl
Ein Test enthält fünf Aufgaben, die jeweils nur mit einem Punkt (alles richtig) oder keinem Punkt (nicht alles richtig) bewertet werden. Die nebenstehende Grafik zeigt das Ergebnis dieses Tests für eine bestimmte Klasse.
Aufgabenstellung
Wie viele Punkte hat die Hälfte aller Schüler/innen bei diesem Test mindestens erreicht? Geben Sie an, welchen Mittelwert Sie zur Beantwortung dieser Frage heranziehen, und berechnen Sie diesen!
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Aufgabe 1230
AHS - 1_230 & Lehrstoff: WS 1.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sportwettbewerb
150 Grazer und 170 Wiener Schüler/innen nahmen an einem Sportwettbewerb teil. Der Vergleich der Listen der Hochsprungergebnisse ergibt für beide Schülergruppen das gleiche arithmetische Mittel von 1,05 m sowie eine empirische Standardabweichung für die Grazer von 0,22 m und für die Wiener von 0,3 m.
- Aussage 1: Die Sprunghöhen der Grazer Schüler/innen weichen vom arithmetischen Mittel nicht so stark ab wie die Höhen der Wiener Schüler/innen.
- Aussage 2: Das arithmetische Mittel repräsentiert die Leistungen der Grazer Schüler/innen besser als die der Wiener.
- Aussage 3: Die Standardabweichung der Grazer ist aufgrund der geringeren Teilnehmerzahl kleiner als die der Wiener.
- Aussage 4: Von den Sprunghöhen (gemessen in m) der Wiener liegt kein Wert außerhalb des Intervalls [0,45; 1,65].
- Aussage 5: Beide Listen haben den gleichen Median.
Aufgabenstellung
Entscheiden Sie, welche Aussagen aus den gegebenen Daten geschlossen werden können, und kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Aufgabe 1231
AHS - 1_231 & Lehrstoff: WS 1.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Monatsnettoeinkommen
Die nachstehende Tabelle zeigt Daten zum Monatsnettoeinkommen unselbständig Erwerbstätiger in Österreich (im Jahresdurchschnitt 2010) in Abhängigkeit vom Alter.
Unselbstständig Erwerbstätige | arithmetisches Mittel | 10% | 25% | 50% (Median) | 75% | 90% | |
Markmale | in 1000 | ||||||
Insgesamt | 3.407,9 | 1.872,8 | 665 | 1.188 | 1.707 | 2.303 | 3.122 |
Alter in Jahren | |||||||
15 - 19 Jahre | 173,5 | 799 | 399 | 531 | 730 | 1.020 | 1.315 |
20 - 29 Jahre | 705 | 1.487 | 596 | 1.114 | 1.506 | 1.843 | 2.175 |
30 - 39 Jahre | 803 | 1.885,7 | 770 | 1.252 | 1.778 | 2.306 | 2.997 |
40 - 49 Jahre | 1.020 | 2.086 | 863 | 1.338 | 1.892 | 2.556 | 3.442 |
50 - 59 Jahre | 632 | 2.205 | 893 | 1.394 | 1.977 | 2.779 | 3.710 |
60 + Jahre | 73 | 2.144,7 | 258 | 420 | 1.681 | 3.254 | 4.808 |
Quelle: Statistik Austria
Aufgabenstellung:
Wie viel Euro verdienen genau 25 % der 30- bis 39-Jährigen mindestens? Geben Sie an, welche statistische Kennzahl Sie zur Beantwortung dieser Frage benötigen, und ermitteln Sie die entsprechende Verdienstuntergrenze!
Aufgabe 1232
AHS - 1_232 & Lehrstoff: WS 2.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Augensumme
Zwei herkömmliche Spielwürfel werden geworfen und die Augensumme wird ermittelt.
Aufgabenstellung
Untersuchen Sie, welches der Ereignisse „Augensumme 6“ oder „Augensumme 9“ wahrscheinlicher ist, und begründen Sie Ihre Aussage!
Aufgabe 1233
AHS - 1_233 & Lehrstoff: WS 2.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Reißnagel
Wenn man einen Reißnagel fallen lässt, bleibt dieser auf eine der beiden dargestellten Arten liegen.
Aufgabenstellung:
Beschreiben Sie eine Methode, wie man die Wahrscheinlichkeiten für die beiden Fälle herausfinden kann!
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Aufgabe 1236
AHS - 1_236 & Lehrstoff: WS 2.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Reihenfolge
Für eine Abfolge von fünf verschiedenen Bildern gibt es nur eine richtige Reihung. Diese Bilder werden gemischt und, ohne sie anzusehen, in einer Reihe aufgelegt.
Aufgabenstellung
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit P (in %) dafür, dass die richtige Reihenfolge erscheint!
Aufgabe 1239
AHS - 1_239 & Lehrstoff: WS 4.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wähleranteil
Bei einer Stichprobe von n = 500 Personen gaben 120 Personen an, sie würden die Partei A wählen.
Aufgabenstellung
Geben Sie das 95-%-Konfidenzintervall KI für den Wähleranteil der Partei A an!
Aufgabe 1290
AHS - 1_290 & Lehrstoff: WS 2.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Binomialkoeffizient
Betrachtet wird der Binomialkoeffizient \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {20}\\ x \end{array}} \right)\)mit \(x \in {\Bbb N}\).
Aufgabenstellung:
Geben Sie alle Werte für \(x \in {\Bbb N}\) an, für die der gegebene Binomialkoeffizient den Wert 1 annimmt!
Aufgabe 1291
AHS - 1_291 & Lehrstoff: WS 3.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Binomialverteilte Zufallsvariable
Die Zufallsvariable X sei binomialverteilt mit n = 8 und p = 0,25.
x | P(x) |
0 | 0,1001 |
1 | 0,2670 |
2 | 0,3115 |
3 | 0,2076 |
4 | 0,0865 |
5 | 0,0231 |
6 | 0,0038 |
7 | 0,0004 |
8 | 0,00002 |
Aufgabenstellung:
μ ist der Erwartungswert, σ die Standardabweichung der Verteilung.
Berechnen Sie die folgende Wahrscheinlichkeit: \(P\left( {\mu - \sigma < X < \mu + \sigma } \right)\)
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Aufgabe 1292
AHS - 1_292 & Lehrstoff: WS 3.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Flaschensortieranlage
Auf einer Sortieranlage werden 500 Flaschen von einem Scanner untersucht – es wird die Art des Kunststoffes ermittelt. p % der Flaschen werden richtig erkannt und in die bereitgestellten Behälter einsortiert. Die Werte der binomialverteilten Zufallsvariablen X beschreiben die Anzahl k der falschen Entscheidungen beim vorgegebenen Stichprobenumfang.
k | P(X=k) |
10 | 0,0003 |
11 | 0,0007 |
12 | 0,0015 |
13 | 0,0029 |
14 | 0,0053 |
15 | 0,009 |
16 | 0,0144 |
17 | 0,0216 |
18 | 0,0305 |
19 | 0,0408 |
20 | 0,0516 |
21 | 0,0621 |
22 | 0,0712 |
23 | 0,0778 |
24 | 0,0814 |
25 | 0,0816 |
26 | 0,0785 |
27 | 0,0725 |
28 | 0,0644 |
29 | 0,0552 |
30 | 0,0456 |
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie mithilfe der gegebenen Tabelle die Wahrscheinlichkeit \(P\left( {22 < X \leqslant 27} \right)\)und markieren Sie diese in der Grafik.
Aufgabe 1294
AHS - 1_294 & Lehrstoff: WS 3.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Schülerarbeit
Die Spinde einer Schule werden mit Vorhängeschlössern gesichert, die im Eigentum der Schüler/innen stehen. Erfahrungsgemäß müssen 5 % aller Spindschlösser innerhalb eines Jahres aufgebrochen werden, weil die Schlüssel verloren wurden. Ein Schüler berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb eines Jahres von 200 Schlössern mindestens zwölf aufgebrochen werden müssen. Die nachstehenden Aufzeichnungen zeigen seine Vorgehensweise:
\(P\left( {x \geqslant 12} \right)\) … Berechnung bzw. Berechnung der Gegenwahrscheinlichkeit zu umständlich!
\(\eqalign{ & \mu = 200 \cdot 0,05 = 10 \cr & \sigma = \sqrt {200 - 0,05 \cdot 0,95} \approx 3,08\,\,\, > \,\,\,3 \cr & z = \frac{{x - \mu }}{\sigma } = \frac{{11,5 - 10}}{\sigma } \approx 0,49 \cr & \phi \left( {0,49} \right) = 0,6879 \cr & \Rightarrow P\left( {x \geqslant 12} \right) \cong 1 - 0,6879 \cong 0,3121 \cr & \Rightarrow Zu \approx 31\% \cr} \)
Aufgabenstellung
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte Aussage entsteht!
Bei der Anzahl der Schlösser, die aufgebrochen werden müssen, handelt es sich um eine _____1_____ , und _____2_____ .
1 | |
gleichverteilte Zufallsvariable | A |
binomialverteilte Zufallsvariable | B |
normalverteilte Zufallsvariable | C |
2 | |
der Schüler rechnet mit der Normalverteilung, obwohl es nicht zulässig ist | I |
der Schüler verwechselt den Mittelwert mit dem Erwartungswert, also ist die Aufgabe deshalb nicht richtig gelöst | II |
der Schüler rechnet zulässigerweise mit der Normalverteilung | III |
Aufgabe 1304
AHS - 1_304 & Lehrstoff: WS 2.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ereignisse
In einer Schachtel befinden sich 3 rote Kugeln, 20 grüne Kugeln und 47 blaue Kugeln. Die Kugeln sind – abgesehen von ihrer Farbe – nicht unterscheidbar. Es werden nacheinander 3 Kugeln nach dem Zufallsprinzip entnommen, wobei diese nach jedem Zug wieder zurückgelegt werden.
Aufgabenstellung
Der Grundraum dieses Zufallsexperiments ist die Menge aller möglichen Farbtripel (x; y; z). x, y und z nehmen dabei die Buchstaben r, g oder b – entsprechend der Farbe der Kugeln – an. Für das Ereignis E gilt: Es werden keine blauen Kugeln gezogen. Geben Sie alle Elemente des Ereignisses E an!