Bayern Mathematik Abitur 2015 - Prüfungsteil A+B - ohne CAS - Gruppe 2

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis​

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Tangente an eine Logarithmusfunktion

Gegeben ist die Funktion

\(g:x \mapsto \ln \left( {2x + 3} \right)\)

mit maximaler Definitionsmenge D und Wertemenge W. Der Graph von g wird mit G_g bezeichnet. 

1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Geben Sie D und W an.

2. Teilaufgabe b) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an G_g im Schnittpunkt von G_g mit der x-Achse.

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis​

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Polynomfunktion 3. Grades

Gegeben ist die Funktion f mit

\(f\left( x \right) = {x^3} - 6 \cdot {x^2} + 11 \cdot x - 6{\text{ und }}x \in {\Bbb R}\)

1. Teilaufgabe a) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Weisen Sie nach, dass der Wendepunkt des Graphen von f auf der Geraden mit der Gleichung \(y = x - 2\) liegt.

Der Graph von f wird verschoben. Der Punkt (2 | 0) des Graphen der Funktion f besitzt nach der Verschiebung die Koordinaten (3 | 2). Der verschobene Graph gehört zu einer Funktion h.

2. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Geben Sie eine Gleichung von h an.

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis​

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Funktionsterm aus gegebenen Eigenschaften eruieren

Geben Sie den Term einer Funktion an, die die angegebene Eigenschaft besitzt. 

1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Die Funktion g hat die maximale Definitionsmenge \(\left] { - \infty ;5} \right]\)

Geben Sie den Term einer Funktion an, die die angegebenen Eigenschaften besitzt. 

2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Die Funktion k hat in x=2 eine Nullstelle und in x=-3 eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. Der Graph von k hat die Gerade mit der Gleichung y =1 als Asymptote.

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis​

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Schar an natürlichen Exponentialfunktionen

Gegeben ist die Schar der in \({\Bbb R}\) definierten Funktionen

\({f_a}:x \mapsto x \cdot {e^{ax}}{\text{ mit }}a \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).

1. Teilaufgabe a) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Ermitteln Sie, für welchen Wert von a die erste Ableitung von f_a an der Stelle x=2 den Wert 0 besitzt.

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Stochastik​

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Binomialverteilte Zufallsgröße

In einer Urne befinden sich vier rote und sechs blaue Kugeln. Aus dieser wird achtmal eine Kugel zufällig gezogen, die Farbe notiert und die Kugel anschließend wieder zurückgelegt.

1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Geben Sie einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Es werden gleich viele rote und blaue Kugeln gezogen“ berechnet werden kann.

2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Beschreiben Sie im Sachzusammenhang jeweils ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch den angegebenen Term berechnet werden kann.

• Aussage 1: \(1 - {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^8}\)
   
• Aussage 2: \({\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^8} + 8 \cdot \dfrac{2}{5} \cdot {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^7}\)

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Stochastik​

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Erwartungswert und Wahrscheinlichkeit einer binomialverteilten Zufallsgröße

Für ein Zufallsexperiment wird eine Zufallsgröße X festgelegt, welche die drei Werte -2, 1 und 2 annehmen kann. In der Abbildung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X dargestellt.

1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Ermitteln Sie mithilfe der Abbildung den Erwartungswert der Zufallsgröße X.

Das Zufallsexperiment wird zweimal durchgeführt. Dabei wird jeweils der Wert der Zufallsgröße X notiert.

2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe dieser beiden Werte negativ ist.

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Geometrie​

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Die Gerade g verläuft durch die Punkte A(0 |1| 2) und B(2 | 5 | 6).

1. Teilaufgabe a.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Zeigen Sie, dass die Punkte A und B den Abstand 6 haben.

Die Punkte C und D liegen auf g und haben von A jeweils den Abstand 12.

2. Teilaufgabe a.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Bestimmen Sie die Koordinaten von C und D.

Die Punkte A, B und E(1| 2 | 5) sollen mit einem weiteren Punkt die Eckpunkte eines Parallelogramms bilden.

3. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Für die Lage des vierten Eckpunkts gibt es mehrere Möglichkeiten. Geben Sie für zwei dieser Möglichkeiten die Koordinaten des vierten Eckpunkts an.

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Geometrie​

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Nachfolgende Abbildung zeigt die Pyramide ABCDS mit quadratischer Grundfläche ABCD. Der Pyramide ist eine Stufenpyramide einbeschrieben, die aus Würfeln mit der Kantenlänge 1 besteht.

Bild

1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Geben Sie das Volumen der Stufenpyramide und die Höhe der Pyramide ABCDS an.

2. Teilaufgabe b.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Bestimmen Sie unter Verwendung eines geeignet gewählten kartesischen Koordinatensystems eine Gleichung für die Gerade, die durch die Punkte B und S verläuft.

3. Teilaufgabe b.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Zeichnen Sie das gewählte Koordinatensystem in die Abbildung ein.

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis​

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Der Graph Gf einer in \({\Bbb R}\)  definierten Funktion

 \(f:x \mapsto a \cdot {x^4} + b \cdot {x^3}{\text{ mit }}a,b \in {\Bbb R}\)

Punkt O(0 | 0) einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente.

W(1| -1) ist ein weiterer Wendepunkt von G_f .

1. Teilaufgabe a) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Bestimmen Sie mithilfe dieser Information die Werte von a und b.

2. Teilaufgabe b) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von G_f .

Die Gerade g schneidet G_f in den Punkten W und (2 | 0).

3. Teilaufgabe c.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse G_f sowie die Gerade g in ein Koordinatensystem ein.

4. Teilaufgabe c.1) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Geben Sie die Gleichung der Geraden g an.

G_f und die x-Achse schließen im IV. Quadranten ein Flächenstück ein, das durch die Gerade g in zwei Teilflächen zerlegt wird.

5. Teilaufgabe d) 6 BE - Bearbeitungszeit: 14:00

Berechnen Sie das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Teilflächen.

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis​

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Gegeben ist die Schar der in \({\Bbb R}\) definierten Funktionen

\({f_n}:x \mapsto {x^4} - 2 \cdot {x^n}{\text{ mit }}n \in {\Bbb N}\)

sowie die in \({\Bbb R}\) definierte Funktion 

\({f_0}:x \mapsto {x^4} - 2\)

Die Abbildungen 1 bis 4 zeigen die Graphen der Funktionen f₀ , f₁ , f₂ bzw. f₄ .

• Abbildung 1: f₀
  
   
• Abbildung 2: f₁
  
   
• Abbidlung 3: f₂
  
   
• Abbildung 4: f₃
  

1. Teilaufgabe a) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Ordnen Sie jeder dieser Funktionen den passenden Graphen zu und begründen Sie drei Ihrer Zuordnungen durch Aussagen zur Symmetrie, zu den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen oder dem Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs des jeweiligen Graphen.

Betrachtet werden nun die Funktionen

\({f_n}{\text{ mit }}n > 4\)

2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Geben Sie in Abhängigkeit von n das Verhalten dieser Funktionen für \(x \to + \infty \) und für \(x \to - \infty \) an.

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis​

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In der Lungenfunktionsdiagnostik spielt der Begriff der Atemstromstärke eine wichtige Rolle. Im Folgenden wird die Atemstromstärke als die momentane Änderungsrate des Luftvolumens in der Lunge betrachtet, d. h. insbesondere, dass der Wert der Atemstromstärke beim Einatmen positiv ist. Für eine ruhende Testperson mit normalem Atemrhythmus wird die Atemstromstärke in Abhängigkeit von der Zeit modellhaft durch die Funktion

\(g:t \mapsto - \dfrac{\pi }{8} \cdot \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} \cdot t} \right)\)

mit Definitionsmenge \({{\Bbb R}_0}^ + \)  beschrieben. Dabei ist t die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Sekunden und g(t) die Atemstromstärke in Litern pro Sekunde. Die nachfolgende Abbildung zeigt den durch die Funktion g beschriebenen zeitlichen Verlauf der Atemstromstärke.

1. Teilaufgabe a.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Berechnen Sie g(1,5)

2. Teilaufgabe a.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Interpretieren Sie das Vorzeichen dieses Werts im Sachzusammenhang.

3. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40

Beim Atmen ändert sich das Luftvolumen in der Lunge. Geben Sie auf der Grundlage des Modells einen Zeitpunkt an, zu dem das Luftvolumen in der Lunge der Testperson minimal ist, und machen Sie Ihre Antwort mithilfe der Abbildung plausibel.

4. Teilaufgabe c) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Berechnen Sie \(\int\limits_2^4 {g\left( t \right)} \,\,dt\) und deuten Sie den Wert des Integrals im Sachzusammenhang.

(Teilergebnis: Wert des Integrals: 0,5 )

Zu Beginn eines Ausatemvorgangs befinden sich 3,5 Liter Luft in der Lunge der Testperson.

5. Teilaufgabe d) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Skizzieren Sie auf der Grundlage des Modells unter Berücksichtigung des Ergebnisses aus Aufgabe c in einem Koordinatensystem für \(0 \leqslant t \leqslant 8\) den Graphen einer Funktion, die den zeitlichen Verlauf des Luftvolumens in der Lunge der Testperson beschreibt.

6. Teilaufgabe e.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Geben Sie zunächst die Atemfrequenz der Testperson an.

Die Atemstromstärke eines jüngeren Menschen, dessen Atemfrequenz um 20% höher ist als die der bisher betrachteten Testperson, soll durch eine Sinusfunktion der Form

\(h:t \mapsto a \cdot \sin \left( {b \cdot t} \right){\text{ mit }}t \geqslant 0{\text{ und }}\left( {b > 0} \right)\) beschrieben werden.

7. Teilaufgabe e.2) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Ermitteln Sie den Wert von b.

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis​

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Die beiden Diagramme zeigen für die Bevölkerungsgruppe der über 14-Jährigen in Deutschland Daten zur Altersstruktur und zum Besitz von Mobiltelefonen.

Diagramm 1: 

Diagramm 2: 

Aus den über 14-Jährigen in Deutschland wird eine Person zufällig ausgewählt. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

• Ereignis M: „Die Person besitzt ein Mobiltelefon.“
• Ereignis S: „Die Person ist 65 Jahre oder älter.“
• Ereignis E: „Mindestens eines der Ereignisse M und S tritt ein.“

1. Teilaufgabe a) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Geben Sie an, welche zwei der folgenden Mengen 1 bis 6 jeweils das Ereignis E beschreiben.

• Menge 1: \(M \cap S\)
• Menge 2: \(M \cup S\)
• Menge 3: \(\overline {M \cup S} \)
• Menge 4: \(\left( {M \cap \overline S } \right) \cup \left( {\overline M \cap S} \right) \cup \left( {\overline M \cap \overline S } \right)\)
• Menge 5: \(\left( {M \cap S} \right) \cup \left( {M \cap \overline S } \right) \cup \left( {\overline M \cap S} \right)\)
• Menge 6: \(\overline {M \cap S} \)

2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Entscheiden Sie anhand geeigneter Terme und auf der Grundlage der vorliegenden Daten, welche der beiden folgenden Wahrscheinlichkeiten größer ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung.

• p1 ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person ein Mobiltelefon besitzt, wenn bekannt ist, dass sie 65 Jahre oder älter ist.
• p2 ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person 65 Jahre oder älter ist, wenn bekannt ist, dass sie ein Mobiltelefon besitzt.

3. Teilaufgabe c.1) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Erstellen Sie zu dem beschriebenen Sachverhalt für den Fall, dass das Ereignis E mit einer Wahrscheinlichkeit von 98% eintritt, eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel

4. Teilaufgabe c.2) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Bestimmen Sie für diesen Fall die Wahrscheinlichkeit P_S(M) .

5. Teilaufgabe d) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Schraffieren Sie in der Abbildung die Fläche, die dem Ereignis \(\overline M \cap S\) entspricht.