Geometrie
Wissenswertes über: Geometrie ebener Figuren und von Körpern, Trigonometrie - Winkelfunktionen, Vektorrechnung in der Ebene und im Raum, Analytische lineare Geometrie: Punkt, Gerade und Ebene, 2 und 3-dimensional, Analytische nichtlineare Geometrie: Kreis und Kugel, Anayltische nichtlineare Geometrie: Kegelschnitte und Raumkurven.
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Zusammenhang der Funktionswerte einer Winkelfunktion zu den anderen 5 Winkelfunktionen bei gleichem Winkel
Mit Hilfe dieser Beziehungen lässt sich eine Winkelfunktion in eine der fünf anderen Winkelfunktionen umrechnen
Sinus - Beziehungen zu den anderen 5 Winkelfunktionen
\(\eqalign{ & \sin \left( x \right) = \cr & = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\left( x \right)} = \dfrac{{\tan \left( x \right)}}{{\sqrt {1 - {{\tan }^2}\left( x \right)} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {{{\cot }^2}\left( x \right) + 1} }} = \cr & = \dfrac{{\sqrt {{{\sec }^2}\left( x \right) - 1} }}{{\sec \left( x \right)}} = \dfrac{1}{{\csc \left( x \right)}} \cr}\)
Kosinus - Beziehungen zu den anderen 5 Winkelfunktionen
\(\eqalign{ & \cos \left( x \right) = \cr & = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\left( x \right)} = \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {{\tan }^2}\left( x \right)} }} = \dfrac{{\cot \left( x \right)}}{{\sqrt {{{\cot }^2}\left( x \right) + 1} }} = \cr & = \dfrac{1}{{\sec \left( x \right)}} = \dfrac{{\sqrt {{{\csc }^2}\left( x \right) - 1} }}{{\csc \left( x \right)}} \cr}\)
Tangens - Beziehungen zu den anderen 5 Winkelfunktionen
\(\eqalign{
& \tan \left( x \right) = \cr
& = \dfrac{{\sin \left( x \right)}}{{\sqrt {1 - {{\sin }^2}\left( x \right)} }} = \dfrac{{\sqrt {1 - {{\cos }^2}\left( x \right)} }}{{\cos \left( x \right)}} = \dfrac{1}{{\cot \left( x \right)}} = \cr
& = \sqrt {{{\sec }^2}\left( x \right) - 1} = \dfrac{1}{{\sqrt {{{\csc }^2}\left( {x - 1} \right)} }} \cr} \)
Kotangens - Beziehungen zu den anderen 5 Winkelfunktionen
\(\eqalign{ & \cot \left( x \right) = \cr & = \dfrac{{\sqrt {1 - {{\sin }^2}\left( x \right)} }}{{\sin \left( x \right)}} = \dfrac{{\cos \left( x \right)}}{{\sqrt {1 - {{\cos }^2}\left( x \right)} }} = \dfrac{1}{{\tan \left( x \right)}} = \cr & = \dfrac{1}{{\sqrt {{{\sec }^2}\left( x \right) - 1} }} = \sqrt {{{\csc }^2}\left( x \right) - 1} \cr}\)
Sekans - Beziehungen zu den anderen 5 Winkelfunktionen
\(\eqalign{
& \sec \left( x \right) = \cr
& = \dfrac{1}{{\sqrt {1 - {{\sin }^2}\left( x \right)} }} = \dfrac{1}{{\cos \left( x \right)}} = \sqrt {1 + {{\tan }^2}\left( x \right)} = \cr
& = \dfrac{{\sqrt {{{\cot }^2}\left( x \right) + 1} }}{{\cot \left( x \right)}} = \dfrac{{\csc \left( x \right)}}{{\sqrt {{{\csc }^2}\left( x \right) - 1} }} \cr} \)
Kosekans - Beziehungen zu den anderen 5 Winkelfunktionen
\(\eqalign{
& \csc \left( x \right) = \cr
& = \dfrac{1}{{\sin \left( x \right)}} = \dfrac{1}{{\sqrt {1 - {{\cos }^2}\left( x \right)} }} = \dfrac{{\sqrt {1 + {{\tan }^2}\left( x \right)} }}{{\tan \left( x \right)}} = \cr
& = \sqrt {{{\cot }^2}\left( x \right) + 1} = \dfrac{{\sec \left( x \right)}}{{\sqrt {{{\sec }^2}\left( x \right) - 1} }} \cr} \)
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Besondere Punkte im Dreieck
In jedem Dreieck gibt es vier besondere Punkte
- Drei davon, der Höhenschnittpunkt, der Umkreismittelpunkt und der Schwerpunkt liegen sogar auf einer gemeinsamen Geraden, der Euler'schen Geraden.
- Der vierte besondere Punkt ist der Inkreismittelpunkt.
Höhenschnittpunkt im Dreieck
Eine Höhenlinie auf eine Seite entspricht dem kürzesten Abstand dieser Seite, dem „Normalabstand“, zum gegenüber liegenden Eckpunkt. Die drei Höhen eines Dreiecks schneiden einander im sogenannten Höhenschnittpunkt H. Der Höhenschnittpunkt liegt innerhalb der Figur bei einem spitzwinkeligen Dreiecks und ausserhalb bei einem stumpfwinkeligen Dreieck. Im stumpfwinkeligen Dreieck muss man daher die Seite über den Eckpunkt hinaus verlängern, um die Höhe in den gegenüber liegenden Eckpunkt zeichnen zu können.
Umkreismittelpunkt im Dreieck
Eine Streckensymmetrale geht durch den Halbierungspunkt einer Seite des Dreiecks und steht normal auf diese Seite. Die drei Streckensymmetralen schneiden einander im Umkreismittelpunkt, der von allen drei Eckpunkten des Dreiecks gleich weit entfernt liegt. Bei einem stumpfwinkeligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt außerhalb vom Dreieck.
Schwerpunkt im Dreieck
Eine Schwerelinie verläuft vom Halbierungspunkt einer Seite in den gegenüber liegenden Eckpunkt des Dreiecks. Die drei Schwerelinien schneiden einander im Schwerpunkt. Man kann ein Dreieck entlang jeder der drei Schwerelinien ausbalancieren. Im Schwerpunkt ist das Dreieck an einem einzigen Punkt ausbalanciert.
Inkreismittelpunkt im Dreieck
Eine Winkelsymmetrale halbiert einen Winkel. Alle Punkte welche die Winkelsymmetrale bilden, sind von den beiden Schenkeln des Winkels gleich weit entfernt. Die drei Winkelsymmetralen eines Dreiecks schneiden einander im sogenannten Inkreismittelpunkt I. Der Inkreismittelpunkt ist nämlich von allen drei Seiten des Dreiecks gleich weit entfernt.
Gleichung der Kugel
Die Kugeloberfläche, auch Sphäre genannt, ist die Menge aller Punkte X, die von einem gegebenen Punkt, dem Mittelpunkt M, den Abstand r (Kugelradius) haben.
\(s\left[ {M,r} \right]:\left\{ {X \in {{\Bbb R}^3}\left| {\overline {XM} = r} \right.} \right\}\)
Kugelgleichung, wobei der Mittelpunkt im Ursprung liegt
Bei einer Kugel in 1. Hauptlage liegt der Mittelpunkt der Kugel im Koordinatenursprung.
- Koordinatenschreibweise:
\({r^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2}\) - Vektorschreibweise:
\({\overrightarrow x ^2} = {r^2}\)
Allgemeine Kugelgleichung
Bei der allgemeinen Kugelgleichung ist der Mittelpunkt M der Kugel gegenüber dem Ursprung des Koordinatensystems in x- und / oder y- und / oder z-Richtung verschoben
- Koordinatenschreibweise:
\({\left( {x - {M_x}} \right)^2} + {\left( {y - {M_y}} \right)^2} + \left( {z - {M_z}} \right) = {r^2}\) wobei \(M\left( {{M_x}\left| {{M_y}\left| {{M_z}} \right.} \right.} \right)\) - Vektorschreibweise:
\({\left( {\overrightarrow x - \overrightarrow m } \right)^2} = {r^2}\)
Deltoid bzw. Drachenviereck
Ein Deltoid ist ein Viereck, bei dem mindestens eine Diagonale eine Symmetrieachse ist, bzw das zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten besitzt.
Daraus ergibt sich:
- Die beiden Diagonalen e und f stehen im rechten Winkel zueinander und die Diagonale „e“ halbiert die Diagonale „f“.
- Das Deltoid ist achsensymmetrisch zur Diagonale e
- Zwei der 4 einander gegenüber liegendem Winkel sind gleich groß, die Winkelsumme beträgt 360°
- Es muss keinen Umkreis aber einen Inkreis haben
- Der Name "Drachenviereck" leitet sich vom "Drachen" ab, den man im Wind steigen lässt
- Ein Deltoid mit vier gleich langen Seiten nennt man Raute, hier sind die einander gegenüber liegenden Seiten parallel.
Umfang vom Deltoid
Der Umfang vom Deltoid entspricht der doppelten Summe jener zwei Seiten, die auf der selben Seite der Symmetrieachse liegen
\(\eqalign{ & U = 2(a + b) \cr & a = d;\,\,\,\,\,b = c; \cr} \)
Winkelsumme im Deltoid
Die Summe der Innenwinkel eines Deltoids beträgt 360°.
\(\eqalign{ & \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \cr & \beta = \delta \cr} \)
Flächeninhalt vom Deltoid
Die Fläche eines Deltoids errechnet sich aus dem halben Produkt der beiden Diagonalen
\(A = \dfrac{{e \cdot f}}{2} = a \cdot b \cdot \sin \beta \)
Länge der Diagonalen im Deltoid
Die Länge der Diagonalen im Deltoid errechnet sich mit Hilfe vom Kosinussatz. Die Diagonale f teilt das Deltoid in zwei kongruente gleichschenkelige Dreiecke
\(\eqalign{ & e = \frac{{2 \cdot A}}{f} = \sqrt {{a^2} + {b^2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \beta } \cr & f = \frac{{2 \cdot A}}{e} = 2 \cdot a \cdot \sin \left( {\frac{\alpha }{2}} \right) = 2 \cdot b \cdot \sin \left( {\frac{\gamma }{2}} \right) \cr} \)
Inkreisradius vom Deltoid
Der Inkreisradius vom Deltoid errechnet sich aus dem doppelten vom Quotienten aus der Fläche und dem Umfang. Der Inkreismittelpunkt liegt am Schnittpunkt der beiden Winkelsymmetralen.
\({r_i} = \dfrac{{2 \cdot A}}{U} = \dfrac{{e \cdot f}}{{2 \cdot \left( {a + b} \right)}}\)
Illustration vom Deltoid
Reduktionsformeln für beliebige Winkel
Mit Hilfe der Reduktionsformeln kann die Berechnung jedes beliebigen Winkelfunktionswerts auf die Berechnung des Winkelfunktionswerts zwischen 0 ° und 90 ° zurückführen.
Reduktionsformeln für \( - \varphi ,\,\,\,\left( {\varphi \pm 90^\circ } \right),\,\,\,\left( {\varphi \pm 180^\circ } \right)\)
\(\eqalign{ & \sin \left( { - \varphi } \right) = - \sin \left( \varphi \right) \cr & sin\left( {\varphi \pm 90^\circ } \right) = \pm \cos \left( \varphi \right) \cr & \sin \left( {\varphi \pm 180^\circ } \right) = - \sin \left( \varphi \right) \cr & \cr & \cos \left( { - \varphi } \right) = \cos \left( \varphi \right) \cr & \cos \left( {\varphi \pm 90^\circ } \right) = \mp \sin \left( \varphi \right) \cr & \cos \left( {\varphi \pm 180} \right) = - \cos \left( \varphi \right) \cr & \cr & \tan \left( { - \varphi } \right) = - \tan \left( \varphi \right) \cr & \tan \left( {\varphi \pm 90^\circ } \right) = - \cot \left( \varphi \right) \cr & \tan \left( {\varphi \pm 180^\circ } \right) = \tan \left( \varphi \right) \cr & \cr & \cot \left( { - \varphi } \right) = - \cot \left( \varphi \right) \cr & \cot \left( {\varphi \pm 90^\circ } \right) = - \tan \left( \varphi \right) \cr & \cot \left( {\varphi \pm 180^\circ } \right) = \cot \left( \varphi \right) \cr} \)
Reduktionformeln für \(90^\circ \pm \varphi \)
\(\eqalign{ & \cos \left( {90\,^\circ - \varphi } \right) = - \cos \left( {90^\circ + \varphi } \right) = sin\left( \varphi \right) \cr & \sin \left( {90\,^\circ - \varphi } \right) = \sin \left( {90^\circ + \varphi } \right) = cos\left( \varphi \right) \cr & \cot \left( {90^\circ - \varphi } \right) = - \cot \left( {90^\circ + \varphi } \right) = \tan \left( \varphi \right) \cr & \tan \left( {90\,^\circ - \varphi } \right) = - \tan \left( {90^\circ + \varphi } \right) = \cot \left( \varphi \right) \cr} \)
Reduktionformeln für \(180° \pm \varphi \)
\(\eqalign{ & \sin \left( {180\,^\circ - \varphi } \right) = - \sin \left( {180\,^\circ + \varphi } \right) = \sin \left( \varphi \right) \cr & - \cos \left( {180\,^\circ - \varphi } \right) = - \cos \left( {180\,^\circ + \varphi } \right) = \cos \left( \varphi \right) \cr & - \tan \left( {180\,^\circ - \varphi } \right) = \tan \left( {180\,^\circ + \varphi } \right) = \tan \left( \varphi \right) \cr & - \cot \left( {180\,^\circ - \varphi } \right) = \cot \left( {180\,^\circ + \varphi } \right) = \cot \left( \varphi \right) \cr} \)
Reduktionformeln für \(270° \pm \varphi \)
\(\eqalign{ & - \cos \left( {270\,^\circ - \varphi } \right) = \cos \left( {270\,^\circ + \varphi } \right) = \sin \left( \varphi \right) \cr & - \sin \left( {270\,^\circ - \varphi } \right) = - \sin \left( {270\,^\circ + \varphi } \right) = \cos \left( \varphi \right) \cr & \cot \left( {270\,^\circ - \varphi } \right) = - \cot \left( {270\,^\circ + \varphi } \right) = \tan \left( \varphi \right) \cr & \tan \left( {270\,^\circ - \varphi } \right) = - \tan \left( {270\,^\circ + \varphi } \right) = \cot \left( \varphi \right) \cr} \)
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Lagebeziehung zwischen Punkt und Ebene
Entweder liegt der Punkt in der Ebene oder außerhalb der Ebene, dann ist sein Normalabstand der kürzeste Abstand zwischen dem Punkt und der Ebene.
- \(P∈ε\)
- \(Q∉ε\)
Prüfen ob ein Punkt in der Ebene liegt
Ein Punkt liegt in einer Ebene, wenn er für alle Koordinatenachsen die Ebenengleichung erfüllt
Gegeben sei ein Punkt und eine Ebene
\(P\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_x}}\\ {{P_y}}\\ {{P_z}} \end{array}} \right);\,\,\,\,\,\,\,\,\,\varepsilon :X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_x}}\\ {{Q_y}}\\ {{Q_z}} \end{array}} \right) + \lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}}\\ {{v_y}}\\ {{v_z}} \end{array}} \right) + \mu \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{w_x}}\\ {{w_y}}\\ {{w_z}} \end{array}} \right)\)
Wir prüfen ob der Punkt die Ebenegleichung erfüllt.
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_x}}\\ {{P_y}}\\ {{P_z}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_x}}\\ {{Q_y}}\\ {{Q_z}} \end{array}} \right) + \lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}}\\ {{v_y}}\\ {{v_z}} \end{array}} \right) + \mu \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{w_x}}\\ {{w_y}}\\ {{w_z}} \end{array}} \right)\)
→ Aus den drei Gleichungen für die x, y und z Komponente kann man die 2 Unbekannten \(\lambda\) und \(\mu\) berechnen
Normalabstand eines Punktes von einer Ebene
zunächst bestimmt man den Normalvektor zur Ebene
Merkregel: "(links oben mal rechts unten) minus (links unten mal rechts oben)"
\(\overrightarrow n = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}}\\ {{v_y}}\\ {{v_z}} \end{array}} \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{w_x}}\\ {{w_y}}\\ {{w_z}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_y} \cdot {w_z} - {v_z} \cdot {w_y}}\\ {{v_z} \cdot {w_x} - {v_x} \cdot {w_z}}\\ {{v_x} \cdot {w_y} - {v_y} \cdot {w_x}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{n_x}}\\ {{n_y}}\\ {{n_z}} \end{array}} \right)\)
dann schreiben wir die Normalform der Ebene an
\(\varepsilon {\rm{:}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{n_x}}\\ {{n_y}}\\ {{n_z}} \end{array}} \right) \circ \left[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{X_x}}\\ {{X_y}}\\ {{X_z}} \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_x}}\\ {{Q_y}}\\ {{Q_z}} \end{array}} \right)} \right] = 0\)
bzw. die Hesse'sche Normalform der Ebene, für die wir lediglich normieren müssen
\(\varepsilon {\rm{ = }}\dfrac{1}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}}\overrightarrow n \circ \left( {\overrightarrow x - \overrightarrow q } \right) = 0\)
Letztlich können wir den Abstand d wie folgt anschreiben
\(d\left( {P,\varepsilon } \right) = \dfrac{{\left| {\left( {\overrightarrow P - \overrightarrow Q } \right) \cdot \overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \left| {\left( {\overrightarrow P - \overrightarrow Q } \right) \cdot \overrightarrow {{n_0}} } \right|\)
mit \(\overrightarrow {{n_0}} = \dfrac{{\overrightarrow n }}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}}\)
Ergänzungswinkel
Unter Ergänzungswinkel versteht man Winkel die sich zu einem rechten oder einen gestreckten Winkel ergänzen
Komplementärwinkel
Komplementärwinkel sind 2 Winkel, die einander auf 90° ergänzen.
\(\alpha + \beta = 90^\circ\)
Beispiel:
Gegeben sei der Winkel \(\alpha = 32^\circ \). Gesucht ist der Komplementärwinkel \(\beta \)
\(\begin{array}{l} \alpha = 32^\circ \\ \beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 32^\circ = 58^\circ \end{array}\)
Supplementärwinkel
Supplementärwinkel sind 2 Winkel, die einander auf 180° ergänzen.
\(\alpha + \beta = 180^\circ\)
Beispiel:
Gegeben sei der Winkel \(\alpha = 32^\circ \). Gesucht ist der Supplementärwinkel \(\beta \)
\(\begin{array}{l} \alpha = 32^\circ \\ \beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 32^\circ = 148^\circ \end{array}\)
Winkelpaare
Bei einander schneidenden Geraden unterscheidet man zwischen Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel
Scheitelwinkel
Scheitelwinkel liegen sich an zwei einander schneidenden Geraden gegenüber und sind gleich groß
\(\alpha = \alpha '\)
Stufenwinkel
Stufenwinkel liegen sich an zwei parallelen Geraden, die von einer dritten Geraden geschnitten werden, gegenüber und sind gleich groß
\(\alpha = \alpha '\)
Wechselwinkel
Wechselwinkel setzen sich aus einem Scheitel- und einem Stufenwinkel zusammen und sind gleich groß
\(\alpha = \alpha '\)
Symmetralen
Als Symmetralen bezeichnet man die Menge aller Punkte, die von zwei geometrischen Objekten gleich weit entfernt ist.
Streckensymmetrale
Die Streckensymmetrale halbiert die Strecke und steht normal auf diese Strecke
- Vom Punkt P1 und P2 aus wird jeweils ein hinreichend großer Kreisbogen gezeichnet. Die beiden Kreisbögen schneiden einander in den Punkten S1 und S2
- Die Streckensymmetrale ergibt sich als die Verbindungsgerade von S1 und S2. An Ihrem Schnittpunkt mit der Geraden teilt die Strecke von P1 nach P2 in zwei gleiche lange Hälften.
Winkelsymmetrale
Die Winkelsymmetrale halbiert den Winkel, sodass Punkte die auf ihr liegen den selben Normalabstand von den beiden Schenkeln dieses Winkels haben
- Vom Schenkel S des Winkels aus wird ein Kreisbogen gezeichnet, welcher die Schenkel in den Punkten S1 und S2 schneidet
- Von jedem der beiden so konstruierten Punkte S1 und S2 aus wird erneut jeweils ein Kreisbogen gezeichnet. Diese beiden Kreisbögen schneiden einander im Punkt S3
- Die Winkelsymmetrale ergibt sich als die Verbindungsgerade von S und S3
Parallelogramm bzw. Rhomboid
Das Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem die einander gegenüber liegenden Seiten zu einander parallel sind
- Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und parallel.
- Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß, je 2 benachbarte Winkel ergeben zusammen 180°.
- Die beiden Diagonalen halbieren einander im Schnittpunkt M.
- Es gibt keinen Umkreis, Wenn \(a \ne b\) gibt es auch keinen Inkreis
Umfang vom Parallelogramm
Der Umfang vom Parallelogramm entspricht der doppelten Summe der beiden Seitenlängen
\(U = 2(a + b)\)
Winkelsumme im Parallelogramm
Die Summe der Innenwinkel eines Parallelogramm beträgt 360°.
\(\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \)
\(\alpha = \gamma ;\,\,\,\,\,\beta = \delta ;\,\,\,\,\,\alpha + \beta = \gamma + \delta = 180^\circ \)
Flächeninhalt vom Parallelogramm
Die Fläche vom Parallelogramm errechnet sich aus dem Produkt von Seite und zugehöriger Höhe
\(A = a \cdot {h_a} = b \cdot {h_b} = a \cdot b \cdot \sin \alpha \)
\(\eqalign{ & {h_a} = b \cdot \sin \left( \alpha \right) \cr & {h_b} = a \cdot \sin \left( \beta \right) \cr} \)
Länge der Diagonalen im Parallelogramm
Die Länge der Diagonalen im Parallelogramm errechnet sich mit Hilfe vom Kosinussatz.
\(\eqalign{ & e = \sqrt {{a^2} + {b^2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left( \beta \right)} = \cr & = \sqrt {{a^2} + {b^2} + 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left( \alpha \right)} \cr & f = \sqrt {{a^2} + {b^2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left( \alpha \right)} = \cr & = \sqrt {{a^2} + {b^2} + 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left( \beta \right)} \cr} \)
Parallelogrammsidentität
Die Summe der Flächen der Quadrate über jeder der vier Seiten ist gleich groß der Summe der Flächen über den beiden Diagonalen
\(2 \cdot \left( {{a^2} + {b^2}} \right) = {e^2} + {f^2}\)
Illustration vom Parallelogramm
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Additionstheoreme für Winkelfunktionen
Die Additionstheoreme vereinfachen das Rechnen mit Summen bzw. Differenzen von zwei Winkeln oder Summen bzw. Differenzen von zwei Winkelfunktionen
1. Summensatz Winkelfunktionen
Mit Hilfe des 1. Summensatzes kann man Winkelfunktionen, deren Argumente Summen oder Differenzen sind, in Winkelfunktionen mit einfachen Argumenten umrechnen.
\(\eqalign{ & \sin \left( {\alpha \pm \beta } \right) = \sin \alpha \cdot \cos \beta \pm \cos \alpha \cdot \sin \beta \cr & \cos \left( {\alpha \pm \beta } \right) = \cos \alpha \cdot \cos \beta \mp \sin \alpha \cdot \sin \beta \cr & \tan \left( {\alpha \pm \beta } \right) = \dfrac{{\tan \alpha \pm \tan \beta }}{{1 \mp \tan \alpha \cdot \tan \beta }} \cr & \cot \left( {\alpha \pm \beta } \right) = \dfrac{{\cot \alpha \cdot \cot \beta \mp 1}}{{\cot \alpha \pm \cot \beta }} \cr}\)
2. Summensatz Winkelfunktionen
Mit Hilfe des 2. Summensatzes kann man Summen oder Differenzen von Winkelfunktionen auf Produkte von Winkelfunktionen umrechnen.
\(\begin{array}{l} \sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \cdot \sin \dfrac{{\alpha \pm \beta }}{2} \cdot \cos \dfrac{{\alpha \mp \beta }}{2};\\ \cos \alpha \pm \cos \beta = \pm 2 \cdot \cos \dfrac{{\alpha + \beta }}{2} \cdot \cos \dfrac{{\alpha - \beta }}{2};\\ \tan\alpha \pm \tan \beta = \dfrac{{\sin \left( {\alpha \pm \beta } \right)}}{{\cos \alpha \cdot \cos \beta }};\\ \cot \alpha \pm \cot \beta = \dfrac{{\sin \left( {\alpha \pm \beta } \right)}}{{\sin \alpha \cdot \sin \beta }} \end{array}\)
Lagebeziehung zweier Geraden
Zwei Gerade können deckungsgleich, parallel, normal, schneidend oder windschief zu einander sein
Implizite Darstellung zweier Geraden:
\(\begin{array}{*{20}{c}} {I:}&{{a_1}x}& + &{{b_1}y}& = &{{c_1}}\\ {II}&{{a_2}x}& + &{{b_2}y}& = &{{c_2}} \end{array}\)
Explizite Darstellung zweier Geraden:
\(\eqalign{ & y = {k_1}x + {d_1} \cr & y = {k_2}x + {d_2} \cr}\)
Umrechnung zwischen impliziter und expliziter Darstellungsform
\({k_i} = - \dfrac{{{a_i}}}{{{b_i}}};\,\,\,\,\,\,\,{d_i} = \dfrac{{{c_i}}}{{{b_i}}}\)
Identische Geraden
Zwei Geraden sind identisch, wenn alle bzw. mindestens 2 Punkte der einen Gerade auch Punkte der anderen Gerade sind. Die beiden Geraden fallen dann zusammen. Zwei Geraden sind identisch, wenn
- die beiden Richtungsvektoren kollinear, also linear abhängig von einander, sind und ein gemeinsamer Punkt nachgewiesen werden kann \(g \cap h = g = h\)
- sie die selbe Steigung k und den selben Ordinatenabschnitt d aufweisen
Das Gleichungssystem für 2 deckungsgleiche Geraden hat unendlich viele Lösungen:
\(\begin{array}{l} {a_1} \cdot C = {a_2}\\ {b_1} \cdot C = {b_2}\\ {c_1} \cdot C = {c_2} \end{array}\)
\(\eqalign{ & {k_1} = {k_2} \cr & {d_1} = {d_2} \cr} \)
Parallele Geraden
Zwei Geraden sind parallel, wenn sie durch eine Verschiebung ineinander übergeführt werden können. Zwei Geraden sind parallel, wenn ihre
- Richtungsvektoren kollinear, also linear abhängig von einander, sind und kein gemeinsamer Punkt nachgewiesen werden kann. \(g \cap h = \left\{ {} \right\}\).
- sie die selbe Steigung k aber unterschiedliche Ordinatenabschnitt d aufweisen
Für parallele Gerade kann man einen Abstand zwischen den Geraden angeben.
Das Gleichungssystem für 2 parallele Geraden hat keine Lösung:
\(\begin{array}{l} {a_1} \cdot C = {a_2}\\ {b_1} \cdot C = {b_2}\\ {c_1} \cdot C \ne {c_2} \end{array}\)
\(\eqalign{ & {k_1} = {k_2} \cr & {d_1} \ne {d_2} \cr} \)
Schneidende Geraden
Zwei Geraden schneiden einander in einem Punkt, wenn sie einen gemeinsamen Punkt, den Schnittpunkt, haben. Zwei Geraden schneiden einander,
- wenn sie in einer Ebene liegen, ihre Richtungsvektoren nicht kollinear sind und ein gemeinsamer Punkt nachgewiesen werden kann \(g \cap h = \left\{ S \right\}\)
- wenn sie unterschiedliche Steigungen aufweisen.
Bei einander schneidenden Geraden kann man einen Schnittpunkt und einen Schnittwinkel angeben. Zwei Geraden sind rechtwinkelig, wenn sie einen Schnittpunkt haben und der Schnittwinkel 90° beträgt.
Das Gleichungssystem für 2 schneidende Geraden hat eine Lösung \(S\left( {{x_S}\left| {{y_2}} \right.} \right)\).
\(\begin{array}{l} {a_1} \cdot C = {a_2}\\ {b_1} \cdot C \ne {b_2}\\ egal \end{array}\)
\(\eqalign{ & {k_1} \ne {k_2} \cr & egal \cr} \)
Windschiefe Geraden
Zwei Gerade sind zu einander windschief, wenn sie nicht parallel sind und sich auch nicht schneiden. Das ist natürlich nur im Raum möglich. Zwei Gerade sind windschief,
- wenn ihre Richtungsvektoren nicht kollinear sind und kein gemeinsamer Punkt nachgewiesen werden kann. \(g \cap h = \left\{ {} \right\}\)
Das Gleichungssystem für 2 windschiefe Geraden hat keine Lösung
Illustration identischer, paralleler, schneidender und windschiefer Geraden
Normale Geraden
Eine Gerade n steht auf die Gerade g mit der Steigung k \(\left( {k \ne 0} \right)\) dann normal / senkrecht / im rechten Winkel, wenn die Steigung von n: \( - \dfrac{1}{k}\) beträgt. Im Spezialfall von k=0 nennt man die Gerade g eine horizontale Gerade und jede vertikale Gerade ist eine normale Gerade dazu.
Illustration einer Geraden und der Normalen dazu
Schnittpunkt S von zwei Geraden
Den Schnittpunkt von zwei Geraden, so es ihn überhaupt gibt, erhält man, indem man die beiden Geraden gleichsetzt, da der Schnittpunkt beiden Geradengleichungen entsprechen muss
- indem man die beiden Geradengleichungen gleichsetzt und die Parameter u und v berechnet
- dann setzt man die beiden Parameter u und v in die jeweilige Geradengleichung ein. Erhält man eine wahre Aussage so gibt es tatsächlich einen Schnittpunkt.
- um die Koordinaten vom Schnittpunkt zu berechnen, setzt man u in \(\overrightarrow g\) ein oder alternativ v in \(\overrightarrow h\).
\(\eqalign{ & \overrightarrow g = \left( {\matrix{ {{p_x}} \cr {{p_y}} \cr {{p_z}} \cr } } \right) + u\left( {\matrix{ {{a_x}} \cr {{a_y}} \cr {{a_z}} \cr } } \right);\,\,\,\,\,\overrightarrow h = \left( {\matrix{ {{q_x}} \cr {{q_y}} \cr {{q_z}} \cr } } \right) + v\left( {\matrix{ {{b_x}} \cr {{b_y}} \cr {{b_z}} \cr } } \right) \cr & \left( {\matrix{ {{S_x}} \cr {{S_y}} \cr {{S_z}} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {{p_x}} \cr {{p_y}} \cr {{p_z}} \cr } } \right) + u\left( {\matrix{ {{a_x}} \cr {{a_y}} \cr {{a_z}} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {{q_x}} \cr {{q_y}} \cr {{q_z}} \cr } } \right) + v\left( {\matrix{ {{b_x}} \cr {{b_y}} \cr {{b_z}} \cr } } \right) \cr}\)
Schnittwinkel schneidender Geraden
Um den Schnittwinkel schneidender Geraden zu bestimmen bilden wir den Quotienten aus dem Skalarprodukt und dem Betrag der beiden Richtungsvektoren und berechnen davon den Arkuskosinus
\(\cos \varphi = \dfrac{{\overrightarrow a \circ \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}} = \dfrac{{{a_x} \cdot {b_x} + {a_y} \cdot {b_y}}}{{\sqrt {{a_x}^2 + {a_y}^2} .\sqrt {{b_x}^2 + {b_y}^2} }}\)
Wobei a und b die Richtungsvektoren der einander schneidenden Geraden sind.
Abstand zweier windschiefer Geraden
Liegen zwei Gerade nicht in einer Ebene, so sind sie windschief. Die kürzeste Verbindung d(g,h) zwischen 2 windschiefen Geraden g, h ist genau jene Verbindung, die sowohl senkrecht auf g als auch senkrecht auf h steht.
Gegeben sind also zwei windschiefe Gerade g, h, jeweils durch einen Ortsvektor p, q zu einem Aufpunkt P, Q und je einen Richtungsvektor a, b
\(\begin{array}{l} \overrightarrow g = \overrightarrow p + \lambda \overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{p_x}}\\ {{p_y}}\\ {{p_z}} \end{array}} \right) + \lambda \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_x}}\\ {{a_y}}\\ {{a_z}} \end{array}} \right)\\ \overrightarrow h = \overrightarrow q + \mu \overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{q_x}}\\ {{q_y}}\\ {{q_z}} \end{array}} \right) + \mu \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_x}}\\ {{b_y}}\\ {{b_z}} \end{array}} \right) \end{array}\)
Der gemeinsame Normalvektor auf die beiden Richtungsvektoren ergibt sich mit Hilfe vom Kreuzprodukt wie folgt:
\(\overrightarrow n = \overrightarrow a \times \overrightarrow b \)
Der Abstand der windschiefen Geraden ergibt sich mit Hilfe vom Skalarproukt zu
\(d = \dfrac{{\left| {\left( {\overrightarrow q - \overrightarrow p } \right) \circ \overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}}\)
Illustration zum Abstand zweier windschiefer Geraden
Trapez
Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zumindest zwei einander gegenüberliegende Seiten parallel sind
- 2 Seiten (die Grundseiten) sind zueinander parallel \(a\parallel c\), die längere Seite (a) bezeichnet man als Basis, die beiden nicht parallelen Seiten (b, d) nennt man Schenkel.
- Parallel zu den beiden Grundseiten verläuft durch die Mittelpunkte der beiden Schenkel die Mittelparallele m
- Die (einzige) Höhe h ist der Abstand der beiden parallelen Seiten.
- Die beiden Diagonalen (e, f) schneiden einander im gleichen Verhältnis.
Umfang vom Trapez
Der Umfang vom Trapez entspricht der Summe der vier Seitenlängen
\(U = a + b + c + d\)
\(a\parallel c;\,\,\,\,\,a > c;\,\,\,\,\,b\nparallel d\)
Mittenparallele
\(m = \dfrac{{a + c}}{2}\)
Winkelsumme im Trapez
Die Summe der Innenwinkel im Trapez beträgt 360°.
\(\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \)
\(\alpha + \delta = \beta + \gamma = 180^\circ\)
Flächeninhalt vom Trapez
Die Fläche vom Trapez berechnet sich aus der halben Summe der Längen beiden Grundseiten mal deren Parallelabstand (also der Höhe)
\(A = \dfrac{{a + c}}{2} \cdot h = m \cdot h\)
Länge der Diagonalen im Trapez
Die Länge der Diagonalen im Trapez errechnet sich mit Hilfe vom Kosinussatz.
\(\begin{array}{l} e = \sqrt {{a^2} + {b^2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left( \beta \right)} = \\ = \sqrt {{c^2} + {d^2} - 2 \cdot c \cdot d \cdot \cos \left( \delta \right)} \\ f = \sqrt {{a^2} + {d^2} - 2 \cdot a \cdot d \cdot \cos \left( \alpha \right)} = \\ = \sqrt {{b^2} + {c^2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \left( \gamma \right)} \end{array}\)
Illustration vom Trapez
Aufgaben
Aufgabe 98
Halbierungspunkt eines Vektors
Ermittle den Mittelpunkt \({M_{\overrightarrow {AB} }}\) der Strecke \(\overrightarrow {AB}\), wenn
\(\overrightarrow A = \left( {\matrix{ 3 \cr 4 \cr } } \right);\,\,\,\,\,\overrightarrow B = \left( {\matrix{ { - 7} \cr 6 \cr } } \right);\)
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Aufgabe 99
Richtungsvektor der Winkelsymmetrale
Ermittle den Richtungsvektor der Winkelsymmetrale zwischen den beiden gegebenen Vektoren
\(\overrightarrow a = \left( {\matrix{ { - 4} \cr 7 \cr 4 \cr } } \right);\,\,\,\,\,\overrightarrow b = \left( {\matrix{ 3 \cr 6 \cr { - 6} \cr } } \right);\)
Aufgabe 100
Schwerpunkt eines Dreiecks mittels Vektorrechnung
Bestimme auf 2 Arten den Schwerpunkt des Dreieckes, welches durch nachfolgende Punkte gebildet wird
\(A = \left( {\matrix{ 3 \cr 2 \cr } } \right);\,\,\,\,\,B = \left( {\matrix{ 5 \cr 3 \cr } } \right);\,\,\,\,\,C = \left( {\matrix{ 1 \cr 4 \cr } } \right);\)
1. Teilaufgabe: Setze direkt in die entsprechende Formel ein
2. Teilaufgabe: Schneide 2 der 3 Schwerelinien
Aufgabe 101
Halbierungspunkt
Gegeben ist ein Parallelogramm mit 2 Eckpunkten A, D sowie dem Schnittpunkt M der beiden Diagonalen:
\(A\left( {\matrix{ { - 2} \cr { - 3} \cr } } \right);\,\,\,\,\,D\left( {\matrix{ { - 2} \cr 4 \cr } } \right);\,\,\,\,\,M\left( {\matrix{ 1 \cr 2 \cr } } \right)\)
Berechne die Koordinaten der fehlenden beiden Eckpunkte B und C.
Aufgabe 102
Höhenschnittpunkt eines Dreieckes
Bestimme den Höhenschnittpunkt des Dreieckes, welches durch nachfolgende Punkte gebildet wird
\(A = \left( {\matrix{ { - 2} \cr { - 4} \cr } } \right);\,\,\,\,\,B = \left( {\matrix{ {20} \cr 2 \cr } } \right);\,\,\,\,\,C = \left( {\matrix{ { - 4} \cr {10} \cr } } \right);\)
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Aufgabe 103
Verbindungsvektor
Es sind folgende 2 Punkte gegeben:
\(P\left( {\matrix{ 3 \cr 2 \cr } } \right);\,\,\,\,\,Q\left( {\matrix{ 5 \cr 4 \cr } } \right)\)
1. Teilaufgabe: Berechne die Koordinaten des Verbindungsvektors:\(\overrightarrow v = \overrightarrow {PQ}\)
2. Teilaufgabe: Berechne den Betrag des Verbindungsvektors: \(\left| {\overrightarrow v } \right|\)
Aufgabe 104
Verbindungsvektor
Es sind folgende 2 Punkte gegeben:
\(P\left( {\matrix{ {15} \cr { - 2} \cr 2 \cr } } \right);\,\,\,\,\,Q\left( {\matrix{ 3 \cr 2 \cr 5 \cr } } \right);\)
1. Teilaufgabe: Berechne die Koordinaten des Verbindungsvektors: \(\overrightarrow v = \overrightarrow {PQ}\)
2. Teilaufgabe: Berechne den Betrag des Verbindungsvektors: \(\left| {\overrightarrow v } \right|\)
Aufgabe 105
Winkel zwischen 2 Vektoren
Es sind die Punkte \(A\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ 3 \end{array}} \right)\), \(B\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 2 \end{array}} \right)\) und \(S\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ { - 4} \end{array}} \right)\)gegeben.
Berechne den Winkel \(\varphi\) zwischen \(\overrightarrow {AS}\) und \(\overrightarrow {BS} \).
Aufgabe 106
Orthogonalitätskriterium
Zeige durch Vektorrechnung, dass nachfolgende Punkte ein rechtwinkeliges Dreieck bilden:
\(A\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ { - 4} \end{array}} \right);\,\,\,\,\,B\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 2 \end{array}} \right);\,\,\,\,\,C\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ 2 \end{array}} \right);\)
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Aufgabe 107
Orthogonalitätskriterium
Zeige durch Vektorrechnung, dass nachfolgende Punkte ein rechtwinkeliges Dreieck bilden:
\(A\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ { - 2} \end{array}} \right);\,\,\,\,\,B\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 4 \end{array}} \right);\,\,\,\,\,C\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 9\\ { - 1} \end{array}} \right);\)
Aufgabe 108
Parallelogramm mittels Vektoren berechnen
Gegeben ist ein Parallelogramm mit:
\(A\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ { - 2} \end{array}} \right);\,\,\,\,\,B\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 1 \end{array}} \right);\,\,\,\,\,C\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 4}\\ 3 \end{array}} \right);\)
1. Teilaufgabe: Prüfe, ob es sich tatsächlich „nur“ um ein Parallelogramm handelt, oder ob nicht sogar ein Rechteck vorliegt
2. Teilaufgabe: Berechne die Koordinaten von D auf 2 Arten
3. Teilaufgabe: Berechne den Umfang der Figur
Aufgabe 109
Quadrat mittels Vektorrechnung berechnen
Gegeben sei ein Quadrat mit:
\(A\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ { - 2} \end{array}} \right);\,\,\,\,\,B\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 4 \end{array}} \right);\)
1. Teilaufgabe: Überlege, wie viele Quadrate es geben kann
2. Teilaufgabe: Berechne die Koordinaten von C und D