Geometrie
Wissenswertes über: Geometrie ebener Figuren und von Körpern, Trigonometrie - Winkelfunktionen, Vektorrechnung in der Ebene und im Raum, Analytische lineare Geometrie: Punkt, Gerade und Ebene, 2 und 3-dimensional, Analytische nichtlineare Geometrie: Kreis und Kugel, Anayltische nichtlineare Geometrie: Kegelschnitte und Raumkurven.
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Würfel
Ein Würfel, auch Kubus genannt, ist ein Körper (ein Quader) der von 6 Quadraten begrenzt wird. Er besitzt 8 rechtwinkelige Ecken und 12 Kanten, die alle die gleiche Länge besitzen.
Volumen vom Würfel
Das Volumen vom Würfel errechnet sich aus Grundfläche mal Höhe. Die Länge, die Breite und die Höhe betragen jeweils a
\(V = {a^3}\)
Beispiel:
Wie viele Liter Wasser passen in 1m³?
1 Liter Wasser hat ein Volumen von 1dm³
1m hat 10dm
\(1{m^3} = 10dm \cdot 10dm \cdot 10dm = 1.000d{m^3} \buildrel \wedge \over{=} 1.000{\text{ l Wasser}}\)
Oberfläche vom Würfel
Die Oberfläche vom Würfel setzt sich aus 6 Quadraten mit der Kantenlänge a zusammen
\(O = 6{a^2}\)
Netz vom Würfel
Das Netz vom Würfel setzt sich aus der quadratischen Grund- und Deckfläche, sowie aus der Mantelfläche zusammen. Die Mantelfläche wiederum besteht aus vier quadratischen Seitenflächen.
Flächendiagonale vom Würfel
Die Flächendiagonale vom Würfel verbindet jeweils zwei gegenüber liegende Eckpunkte einer Seitenfläche. Sie errechnet sich als Hypotenuse mit Hilfe vom Satz des Pythagoras für ein gleichschenkeliges Dreieck, mit a als der Schenkellänge. Alle Flächendiagonalen sind gleich lang.
\({d_F} = \sqrt {2{a^2}} \)
Raumdiagonale vom Würfel
Die Raumdiagonalen vom Würfel gehen jeweils von einem Eckpunkt in den gegenüber liegenden, am weitesten entfernten Eckpunkt. Die Raumdiagonale vom Würfel errechnet sich mit Hilfe vom Satz des Pythagoras, wobei die Raumdiagonale durch eine Flächendiagonale und eine Kantenlänge aufgespannt wird. Alle Raumdiagonalen sind gleich lang.
\({d_R} = a\sqrt 3 \)
Illustration vom Würfel
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Quader
Ein Quader ist ein Körper der von 6 Rechtecken begrenzt wird, wobei die drei einander jeweils gegenüberliegenden Rechtecke gleich groß sind. Der Quader besitzt 8 rechtwinkelige Ecken und 12 Kanten, von denen jeweils 4 die gleiche Länge (a, b, c) besitzen. Haben sogar alle 12 Kanten die gleiche Länge, dann handelt es sich um einen Würfel.
Volumen vom Quader
Das Volumen vom Quader errechnet sich aus Grundfläche mal Höhe. Häufig werden die Kanten auch mit Länge l, Breite b und Höhe h bezeichnet. Länge mal Breite ergibt dann die Grund- bzw. Deckfläche.
\(V = a \cdot b \cdot c = {A_G} \cdot c\)
Oberfläche vom Quader
Die Oberfläche vom Quader setzt sich aus 6 Rechtecken zusammen. Die einander jeweils gegenüber liegenden Rechtecke sind jeweils gleich groß.
\(\eqalign{ & G = D = a \cdot b \cr & M = 2(ac + bc) \cr & O = 2{A_G} + {A_M} = 2(ab + ac + bc) \cr} \)
Netz vom Quader
Das Netz vom Quader setzt sich aus der rechteckigen Grund- und Deckfläche, sowie aus der Mantelfläche zusammen. Die Mantelfläche wiederum besteht aus vier rechteckigen Seitenflächen.
Flächendiagonale vom Quader
Die drei Flächendiagonale vom Quader errechnen sich mit Hilfe vom Satz des Pythagoras aus der Wurzel der Summe der quadrierten Kantenlängen der jeweiligen Fläche.
\(\eqalign{ & {d_G} = {d_D} = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \cr & {d_{M1}} = {d_{M3}} = \sqrt {{a^2} + {c^2}} \cr & {d_{M2}} = {d_{M4}} = \sqrt {{b^2} + {c^2}} \cr} \)
Raumdiagonale vom Quader
Die Raumdiagonalen vom Quader gehen jeweils von einem Eckpunkt in den gegenüber liegenden, am weitesten entfernten Eckpunkt. Die Raumdiagonale vom Quader errechnet sich mit Hilfe vom Satz des Pythagoras, wobei die Raumdiagonale durch eine Flächendiagonale und eine Kantenlänge aufgespannt wird. Alle Raumdiagonalen sind gleich lang.
\({d_R} = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)
Illustration vom Quader
Prisma
Ein Prisma ist ein Körper, dessen Grund- und Deckfläche kongruente n-Ecke sind, die in parallelen Ebenen liegen. Es gibt daher dreiseitige, vierseitige, fünfseitige,... Prismen.
Gerades Prisma
Beim geraden Prisma steht die Höhe senkrecht auf die Grund- und Deckfläche. Die Mantelfläche besteht aus n Parallelogrammen. Die Höhe vom geraden Prisma entspricht dem Abstand zwischen Grund- und Deckfläche.
Volumen vom geraden Prisma
Das Volumen vom geraden Prisma errechnet sich aus Grundfläche mal Höhe.
\(V = G \cdot h \)
Mantelfläche vom geraden Prisma
Die Mantelfläche vom geraden Prisma ergibt sich aus dem Umfang der Grundfläche mal der Höhe vom Prisma
\(M = {U_G} \cdot h\)
Oberfläche vom geraden Prisma
Die Oberfläche vom geraden Prisma ergibt sich aus der Summe von Grund- und Deckfläche plus Mantelfläche
\(O = 2G + M\)
Illustration vom geraden Prisma
Netz vom geraden Prisma
Das Netz vom geraden Prisma setzt sich aus der n-eckigen Grund- und Deckfläche, sowie aus der Mantelfläche zusammen. Die Mantelfläche wiederum besteht aus n rechteckigen Seitenflächen.
Schiefes Prisma
Beim schiefen Prisma steht die Höhe nicht senkrecht auf der Grund- und Deckfläche.
Mantelfläche vom schiefen Prisma
Die Mantelfläche besteht aus n Rechtecken. Die Höhe vom schiefen Prisma entspricht dem senkrechten Abstand zwischen der Ebene in der die Grund- bzw. Deckfläche liegt.
\(M \ne {U_G} \cdot h\)
Oberfläche vom schiefen Prisma
Die Oberfläche vom geraden Prisma ergibt sich aus der Summe von Grund- und Deckfläche plus Mantelfläche
\(O = 2G + M\)
Illustration vom schiefen Prisma
Prinzip von Cavalieri
Das Prinzip von Cavalieri besagt, dass das Volumen eines Prismas das Produkt aus Grundfläche und Höhe ist, unabhängig davon ob es sich um ein gerades oder schiefes Prisma handelt.
\(V = G \cdot h\)
Drehkegel
Ein Drehkegel ist ein Körper, dessen Grundfläche ein Kreis ist. Der Mittelpunkt des Kreises, ist zugleich der Fußpunkt der Kegelhöhe h. Bei einem geraden Kegel befindet sich dessen Spitze lotrecht über dem Mittelpunkt vom Kreis, der die Grundfläche bildet.
Mantellinie vom geraden Drehkegel
Die Mantellinie vom geraden Drehkegel errechnet sich mit Hilfe vom Satz des Pythagoras aus der Wurzel der Summe der Quadrate vom Kreisradius und der Kegelhöhe.
\(\eqalign{ & s = \sqrt {{r^2} + {h^2}} \cr & h = \sqrt {{s^2} - {r^2}} \cr} \)
Volumen vom geraden Drehkegel
Das Volumen eines Drehkegels ist ein Drittel vom Volumen eines Zylinders, welcher die selbe kreisförmige Grundfläche und die selbe Höhe hat.
\(V = G \cdot \dfrac{h}{3} = {r^2} \cdot \pi \cdot \dfrac{h}{3}\)
Oberfläche vom geraden Drehkegel
Die Oberfläche eines Drehkegels setzt sich aus der kreisförmigen Grundfläche und der kreissektorförmigen Mantelfläche zusammen
\(O = G + M = {r^2}\pi + r\pi s = r\pi (r + s)\)
Netz vom Drehkegel
Die Grundfläche vom Drehkegel ist ein Kreis. Die Mantelfläche lässt sich zu einem Kreissektor abwickeln.
Illustration vom Drehkegel
Kegelstumpf
Ein Kegelstumpf ist der verbleibende Körper, nachdem man von einem Kegel die Spitze abgeschnitten hat. Er besitzt also eine kreisförmige Grund- und Deck- bzw. Schnittfläche. Die Mantelfläche hat das Aussehen wie der Sektor von einem Kreisring.
O | Oberfläche |
G | Grundfläche |
D | Deckfläche |
M | Mantel |
Mantellinie vom Kegelstumpf
Die Höhe h entspricht der Strecke zwischen dem Mittelpunkt der Grund- und der Deckfläche. Die Mantellinie s vom Kegelstumpf entspricht dessen Seitenlänge.
\(\eqalign{ & s = \sqrt {{{\left( {{r_1} - {r_2}} \right)}^2} + {h^2}} \cr & h = \sqrt {{s^2} - {{\left( {{r_1} - {r_2}} \right)}^2}} \cr} \)
Oberfläche vom Kegelstumpf
Die Oberfläche vom Kegelstumpf setzt sich aus der Grund- und Deckfläche, sowie der Mantelfläche zusammen.
\(O = G + D + M = r_1^2\pi + r_2^2\pi + ({r_1} + {r_2})\pi s\)
Volumen vom Kegelstumpf
Das Volumen vom Kegelstumpf kann aus den Radien der Grund- bzw. Deckfläche und der verbleibenden Höhe errechnet werden
\(V = \dfrac{{h\pi }}{3} \cdot (r_1^2 + {r_1}.{r_2} + r_2^2)\)
Illustration vom Kegelstumpf
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Hyperbelfunktionen
Die hyperbolischen Funktionen auch Hyperbelfunktionen genannt sind bestimmte Kombinationen der natürlichen Exponentialfunktionen ex und e-x, die vor allem in der Technik häufig vorkommen.
\(\begin{array}{l} \sinh x = \dfrac{1}{2}({e^x} - {e^{ - x}}) = - i \cdot sin\left( {ix} \right)\\ \cosh x = \dfrac{1}{2}\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right) = \cos (ix)\\ \tanh x = \dfrac{{\sinh \,x}}{{\cosh \,x}} = \dfrac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}\\ \coth x = \dfrac{{\cosh \,x}}{{\sinh \,x}} = \dfrac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{{{e^x} - {e^{ - x}}}} \end{array}\)
Kostruktion von sinh und cosh an der Einheitshyperbel
Vergleichbar dazu, wie sich die trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis herleiten lassen, lassen sich die Hyperbelfunktionen an der Einheitshyperbel herleiten. Der Ausgangspunkt ist die Einheitshyperbel in 1. Hauptlage mit Halbachsenlängen a und b. Die Asymptoten haben die Steigungen \(\dfrac{b}{a}{\text{ bzw}}{\text{. - }}\dfrac{b}{a}\). Die Brennpunkte liegen auf einem Kreis mit dem Radius \(r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \) .
Für die Koordinaten x bzw. y eines auf der Einheitshyperbel liegenden Punktes P gilt dabei folgender funktionaler Zusammenhang zur blau markierten Fläche:
\(\eqalign{ & x = \cosh \left( A \right) \to A = \operatorname{arcosh} \left( x \right) \cr & y = \sinh \left( A \right) \to A = ar\sinh (x) \cr} \)
Area leitet sich aus dem Zusammenhang mit dem Flächeninhalt (=area) des blau markierten Hyperbelsektors ab.
Einige Notationen zur Einheitshyperbel
\(\eqalign{ & \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 \cr & a = b = 1 \cr & \dfrac{{{x^2}}}{{{1^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{1^2}}} = 1 \to {x^2} - {y^2} = 1 \cr & r = \sqrt {{1^2} + {1^2}} = \sqrt 2 = 1,414 \cr} \)
Illustration der Einheitshyperbel
Geogebra Befehl Hyperbel
Die Konstruktion selbst erfolge mit dem Geogebra Befehl Hyperbel
- Hyperbel( <Brennpunkt>, <Brennpunkt>, <Halbachsenlänge> )
- Hyperbel((-1.414, 0), (1.414, 0), 1)
Zusammenhang coshx und sinhx mit der Eulerschen Funktion
Man kann für coshx und sinhx folgende einfache Zusammenhänge angeben
\(\begin{array}{l} \cosh x + \sinh x = {e^x}\\ \cos hx - \sinh x = {e^{ - x}}\\ \cos {h^2}x - {\sinh ^2}x = 1 \end{array}\)
Kettenlinie
Hyperbolische Funktionen finden sich bei Spinnweben und als „Kettenlinie“ bzw. „Seilkurve“ etwa beim Durchhang von Leiterseilen auf Leitungsmasten zufolge ihrer Eigenlast. Die Funktion coshx wird auch als Kettenlinie bezeichnet.
Eine an zwei Punkten aufgehängte und dazwischen durchhängende Kette, nimmt diese Kettenlinienform an. Die Form der Kettenlinie hängt von der Lage der beiden Aufhängepunkte und der Länge der Kette ab, sie ist aber unabhängig vom auf die Länge bezogenen Gewicht der Kette. (also von deren Material.)
Beispiel:
Durchhang von einem Leitungsseil zwischen zwei Masten
- Gegeben sei ein Seil der Länge 2l=52,96m. Achtung, die Länge vom Seil ist 2l und nicht l !
- Die beiden Aufhängepunkte haben einen Abstand 2b=40m. Achtung, der Abstand ist 2b und nicht b!
- Die beiden Aufhängepunkte befinden sich in einer Höhe h=40m über Grund. Achtung, die Höhe ist h und nicht 2h !
Die Kettenlinie f(x) nimmt dann folgende Form an
\(y = f\left( x \right) = h - a \cdot \cosh \dfrac{b}{a} + a \cdot \cosh \dfrac{x}{a}\)
Der Seilparameter a ist durch Iteration etwa mit Hilfe des Newtonschen Näherungsverfahren mit Hilfe der nachfolgenden Beziehung zu bestimmen:
\(2l = 2a \cdot \sinh \dfrac{b}{a}\)
in unserem Beispiel ergibt sich a gemäß
\(a = \dfrac{l}{{\sinh \dfrac{b}{a}}} = 15\)
Probe:
\(l = a.\sinh \dfrac{b}{a} = 26,48 \Rightarrow 2l = 52,96m\)
Für den Durchhang d gilt:
\(d = \sqrt {{l^2} + {a^2}} - a{\text{ vorausgesetzt: }}d = h - f\left( 0 \right)\)
in unserem Beispiel ergibt sich d gemäß
\(d = \sqrt {{l^2} + {a^2}} - a = 15,43m\)
Illustration zum Beispiel für die Berechnung vom Durchhang eines Leiterseils zwischen zwei Masten
Areafunktionen
Area Funktionen sind die Umkehrfunktionen der hyperbolischen Funktionen. Area leitet sich aus dem Zusammenhang mit dem Flächeninhalt (=area) eines Hyperbelsektors ab.
Hyperbelfunktionen: Funktionen, die sich aus einfachen Exponentialfunktionen zusammensetzen | Areafunktionen: Funktionen, die durch den natürlichen Logarithmus ausgedrückt werden |
\(\sinh x = \dfrac{1}{2}({e^x} - {e^{ - x}})\) | \({\mathop{\rm arsinh}\nolimits} \left( x \right) = \ln (x - \sqrt {{x^2} + 1} \) |
\(\cosh x = \dfrac{1}{2}\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)\) | \(\operatorname{arcosh} \left( x \right) = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right){\text{ für }}x \geqslant 1\) |
\(\tanh x = \dfrac{{\sinh \,x}}{{\cosh \,x}} = \dfrac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}\) | \({\mathop{\rm artanh}\nolimits} \left( x \right) = \dfrac{1}{2}\ln \left( {\dfrac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right){\rm{ für }}\left| x \right| < 1\) |
\(\coth x = \dfrac{{\cosh \,x}}{{\sinh \,x}} = \dfrac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{{{e^x} - {e^{ - x}}}}\) | \({\mathop{\rm arcoth}\nolimits} \left( x \right) = \dfrac{1}{2}\ln \left( {\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right){\rm{ für }}\left| x \right| > 1\) |
Beschriftung im kartesischen Koordinatensystem
Die drei Koordinatenachsen stehen im kartesischen Koordinatensystem orthogonal (in 90°) aufeinander. Die Achsen werden entweder mit x,y und z beschriftet oder mit x1, x2, x3.
Punkt im \({{\Bbb R}^2},\,\,\,{{\Bbb R}^3}\)
Die Lage eines Punkts ist durch den Abstand je Koordinatenrichtung vom Ursprung des Koordinatensystems bestimmt. Abhängig davon, wie die Koordinatenachsen beschriftet wurdenm gibt es unterschiedliche Möglichkeiten Punkte und Vektoren zu beschriften
\(\begin{array}{l} {\Bbb R^{2:}}:P\left( {{P_x}\left| {{P_y}} \right.} \right) \buildrel \wedge \over = P\left( {{P_1}\left| {{P_2}} \right.} \right)\\ {\Bbb R^3}:P\left( {{P_x}\left| {{P_y}\left| {{P_z}} \right.} \right.} \right) \buildrel \wedge \over = P\left( {{P_1}\left| {{P_2}\left| {{P_3}} \right.} \right.} \right) \end{array}\)
Skalar
Skalar ist ein Ausdruck in der Vektorrechnung für eine relle Zahl. Man verwendet den Begriff Skalar um die Richtungsunabhängigkeit einer Größe im Unterschied zum richtungsabhängigen Vektor zu betonen.
Vektor
Ein Vektor ist eine Strecke in der Ebene oder im Raum. Jeder Vektor ist durch Richtung, Orientierung und durch Betrag gekennzeichnet. Vektoren können im Raum beliebig parallelverschoben werden, d.h. ihr Anfangspunkt kann beliebig festgelegt werden, daraus ergibt sich dann ein eindeutiger Endpunkt. Vektoren spielen in der Physik eine große Rolle, so ist etwa die Geschwindigkeit kein Skalar, sondern ein Vektor.
- Geometrisch wird ein Vektor durch einen Pfeil, mit einem Schaft und einer Spitze (definiert die Orientierung) repräsentiert.
- Algebraisch sind Vektoren eindimensionale Listen von Zahlen, wobei die Komponenten des Vektors in Form von Zeilen- und als Spaltenvektor angeschrieben werden können. Die Anzahl der Komponenten eines Vektors stimmt mit der Dimension des Vektors überein. (ax,ay,az) repräsentiert also einen 3-dimensionalen Vektor. Die Reihenfolge in der die Komponenten angeschrieben werden spielt eine wesentliche Rolle dabei, in welche Richtung der Vektor zeigt
\(\eqalign{ & \overrightarrow a = \overrightarrow {{a_x}} + \overrightarrow {{a_y}} + \overrightarrow {{a_z}} = \left( {\matrix{ {{a_x}} \cr {{a_y}} \cr {{a_z}} \cr } } \right) \cr & \overrightarrow a = {a_x} \cdot \overrightarrow i + {a_y} \cdot \overrightarrow j + {a_z} \cdot \overrightarrow k \cr}\)
Illustration eines Vektors vom Ursprung zum Punkt P
Gegenvektor
Den Gegenvektor erhält man, indem man den Ausgangsvektor um 180° dreht, bzw. indem man den Ausgangsvektor mit dem Skalar -1 multipliziert. Vektor und Gegenvektor haben den gleichen Betrag, die gleiche Richtung aber entgegengesetzte Orientierung.
\(\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_x}}\\
{{a_y}}\\
{{a_z}}
\end{array}} \right) \Leftrightarrow - \overrightarrow a = - 1 \circ \overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - {a_x}}\\
{ - {a_y}}\\
{ - {a_z}}
\end{array}} \right)\)
Betrag eines Vektors
Der Betrag bzw. die Länge des Vektors ergeben sich aus dem Abstand zwischen seinem Anfangspunkt, dem Schaft im Punkt "P" und seinem Endpunkt, also seiner Spitze in "Q".
\(\left| {\overrightarrow {PQ} } \right| = \left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt {{{\left( {{Q_x} - {P_x}} \right)}^2} + {{\left( {{Q_y} - {P_y}} \right)}^2} + {{\left( {{Q_z} - {P_z}} \right)}^2}} = \sqrt {{v_x}^2 + {v_y}^2 + {v_z}^2} \)
\(\left| {\overrightarrow v } \right| = \left| {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}}\\ {{v_y}}\\ {{v_z}} \end{array}} \right)} \right| = \sqrt {{v_x}^2 + {v_y}^2 + {v_z}^2} \)
Illustration zur Richtung und zur Berechnung vom Betrag eines zweidimensionalen Vektors
Richtung des Vektors
Die Richtung eins Vektors ist durch seine Lage relativ zu den Achsen des Koordinatensystems bestimmt. Ein Vektor hat eine einzige Richtung! Die Richtung des Vektors kann man aus dem Arkustangens vom Quotienten aus der Differenz der y-Koordinaten und der Differenz der x-Koordinaten zweier Punkte vom Vektor berechnen.
\(\alpha = \arctan \dfrac{{{Q_y} - {P_y}}}{{{Q_x} - {P_x}}}\)
Orientierung eines Vektors
Vektoren mit gleicher Richtung haben entweder gleiche oder entgegengesetzte Orientierung. Die Orientierung wird durch Schaft und Spitze des Vektors definiert. Ein Gegenvektor ist ein Vektor mit gleichem Betrag und gleicher Richtung aber umgekehrter Orientierung als der betrachtete Vektor.
Gleiche Vektoren
Vektoren sind gleich, wenn sie gleich lang, parallel und gleich orientiert (Pfeilspitze) sind. Gleiche Vektoren können unterschiedliche Koordinatendarstellungen haben.
Illustration zur Orientierung, zur Gleichheit von Vektoren und zum Gegenvektor eines Vektors und zu Vektoren mit gleichem Betrag
Nullvektor
Der Nullvektor \(\overrightarrow 0\) hat keine bestimmte Richtung. Seine Länge (sein Betrag) ist null. Der Nullvektor ist das neutrale Element bezüglich der Addition von Vektoren. Schaft und Spitze vom Nullvektor fallen in einem Punkt zusammen.
\(\begin{array}{l} \overrightarrow 0 = \left( {0\left| 0 \right.} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0 \end{array}} \right)\\ \overrightarrow {AA} = 0 \end{array}\)
Der Nullvektor ist kollinear zu jedem anderen Vektor und komplanar zu einer von 2 Vektoren aufgespannten Ebene.
Basisvektor
Die Basisvektoren liegen jeweils in einer Koordinatenachse, ihre Länge d.h. ihr Betrag ist 1. Sie spannen das Koordinatensystem auf. Je Dimension gibt es einen eigenen Basisvektor. Seine Komponenten bestehen aus einer "1" und sonst nur aus Nullen.
\(\eqalign{ & \overrightarrow i = \left( {\matrix{ 1 \cr 0 \cr } } \right) \cr & \overrightarrow j = \left( {\matrix{ 0 \cr 1 \cr } } \right) \cr}\)
Einheitsvektor
Der Einheitsvektor \( \overrightarrow {{r_0}}\), hat dieselbe Richtung wie der Richtungs- bzw. der Ortsvektor \( \overrightarrow r\), seine Länge wurde aber auf 1 normiert.
\(\eqalign{ & \overrightarrow {{r_0}} = {{\overrightarrow r } \over {\left| r \right|}} = \left( {\matrix{ {{{{r_x}} \over {\sqrt {{{\left( {{r_x}} \right)}^2} + {{\left( {{r_y}} \right)}^2}} }}} \cr {{{{a_y}} \over {\sqrt {{{\left( {{r_x}} \right)}^2} + {{\left( {{r_y}} \right)}^2}} }}} \cr } } \right) \cr & {\rm{mit}}\,\,\,\left| {\overrightarrow r } \right| \ne 0 \cr}\)
Ortsvektor
Der Ortsvektor ist der Vektor vom Ursprung des Koordinatensystems zu einem gegebenen Punkt. Ein Ortsvektor \(\overrightarrow a\) hat seinen Anfang immer im Ursprung des Koordinatensystems. Seine Richtung, Orientierung und Betrag ergeben sich aus der Lage seines Endpunkts. Einen Ortsvektor darf man daher nicht parallel verschieben, man darf auch nicht seinen Betrag ändern.
\(\overrightarrow a = x.\overrightarrow i + y.\overrightarrow j = \left( {\matrix{ x \cr y \cr } } \right) = \left( {x,y} \right)\)
Verbindungsvektor
Der Verbindungsvektor verbindet zwei Punkte im Raum. Es sind die Punkte P (Px l Py) und Q (Qx l Qy) gegeben. Der Verbindungsvektor ist jener Vektor, der in P seinen Schaft und in Q seine Spitze hat. Um ihn zu berechnen subtrahiert man vom Ortsvektor zu Q (Spitze) den Ortsvektor zu P (Schaft). Einen Verbindungsvektor darf man daher nicht parallel verschieben, man darf auch nicht seinen Betrag oder seine Orientierung ändern.
In \({{\Bbb R}^2}\):
\(\overrightarrow v = \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {UQ} - \overrightarrow {UP} = Q - P = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_x} - {P_x}}\\ {{Q_y} - {P_y}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}}\\ {{v_y}} \end{array}} \right)\)
In \({{\Bbb R}^3}\):
\(\begin{array}{l} A\left( {{A_x}\left| {{A_y}\left| {{A_z}} \right.} \right.} \right)\\ B\left( {{B_x}\left| {{B_y}\left| {{B_z}} \right.} \right.} \right)\\ \overrightarrow {AB} = B - A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{B_x} - {A_x}}\\ {{B_y} - {A_y}}\\ {{B_z} - {A_z}} \end{array}} \right) \end{array}\)
"Spitze minus Schaft Regel": Man erhält den Verbindungsvektor zweier Punkte, indem man Komponentenweise die Koordinaten von der Spitze minus jener vom Schaft anschreibt.
Illustration vom Verbindungsvektor zwischen 2 Punkten
Richtungsvektor als Parallelvektor zum Verbindungsvektor
Der Richtungsvektor \(\overrightarrow r\) ist entweder der Verbindungsvektor oder ein zum Verbindungsvektor paralleler Vektor. Der Richtungsvektor hat zwar eine definierte Länge, aber keine feste Position im Koordinatensystem d.h. er kann parallel verschoben werden und ist noch immer ein Richtungsvektor. Der Verbindungsvektor ist ein besonderer Richtungsvektor, weil sein Anfangs- bzw. Endpunkt mit den besonderen Punkten P und Q zusammenfallen.
Mehrdimensionaler Vektor
Die Anzahl der Komponenten eines Vektors entspricht der Dimension des Raums. Dreidimensionale Vektoren spannen den uns vertrauten dreidimensionalen Raum aus Breite, Tiefe und Höhe auf. Vierdimensionale Vektoren spannen die Raum-Zeit der Physik auf. Bei höherdimensionalen Vektoren nummeriert man die Komponenten, weil die Dimensionen mitunter keinen anschaulichen Namen haben.
\(\eqalign{ & P = \left( {{P_1}\left| {{P_2}\left| {...\left| {{P_n}} \right.} \right.} \right.} \right) \cr & Q = \left( {{Q_1}\left| {{Q_2}\left| {...\left| {{Q_n}} \right.} \right.} \right.} \right) \cr}\)
n-dimensionaler Richtungsvektor von P nach Q:
\(\overrightarrow {PQ} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{Q_1} - {P_1}}\\ {{Q_2} - {P_2}}\\ {...}\\ {{Q_n} - {P_n}} \end{array}} \right)\)
Kreis und Gerade
Liegen ein Kreis und eine Gerade in einer Ebene, so gibt es, abhängig von der Lage der Geraden zum Kreis, unterschiedliche Bezeichnungen für die Gerade. Konkret unterscheidet man Sehne, Sekante, Tangente und Passante.
Kreissehne
Eine Sehne verbindet zwei beliebige Punkte, die auf der Kreislinie liegen. Sie ist somit der im Kreisinneren liegende Teil einer Sekante. Die längste Sehne muss durch den Kreismittelpunkt laufen und entspricht somit dem Kreisdurchmesser.
\(\eqalign{ & g \cap k = \left\{ {{P_1},{P_2}} \right\} \cr & S = \overline {{P_1}{P_2}} \cr & \left| {{S_{\max }}} \right| = \left| {\overline {{P_1}M{P_2}} } \right| = d \cr} \)
Sekante
Eine Sekante ist eine Gerade, die einen Kreis in 2 Punkten schneidet.
\(g \cap k = \left\{ {{P_1},{P_2}} \right\}\)
Tangente
Eine Tangente ist eine Gerade, die einen Kreis in 1 Punkt berührt.
\(g \cap k = \left\{ {{P_1}} \right\}\)
Passante
Eine Passante ist eine Gerade, die einen Kreis weder schneidet noch berührt.
\(g \cap k = \left\{ {} \right\}\)
Zylinderkoordinaten
Die Zylinderkoordinaten bestimmen die Position eines Punktes P(r, φ,h) im Raum mit Hilfe von drei Koordinaten, dem Abstand r vom Ursprung, dem Winkel φ und der Höhe h. Es handelt sich dabei um die Erweiterung der Polarkoordinaten um die dritte Dimension, also die Höhe.
- dem Abstand r vom Koordinatenursprung
- dem Winkel φ in der Basisebene und
- der Höhe h des Punktes P über der Basisebene.
\(P\left( {r,\varphi ,h} \right)\)
Umrechnung von Zylinder- auf kartesische Koordinaten
Bei der Umrechnung von Zylinder- auf kartesische Koordinate errechnet sich die x-Koordinate aus dem Produkt vom Abstand r und dem Kosinus vom Winkel Phi und die y-Koordinate aus dem Produkt vom Abstand r und dem Sinus vom Winkel Phi, wobei die x-Achse bei φ=0 liegt, und die h- bzw. z-Achsen zusammenfallen
\(\eqalign{ & x = r \cdot \cos \varphi \cr & y = r \cdot \sin \varphi \cr & z = h \cr}\)
Umrechnung von kartesischen Koordinaten auf Zylinderkoordinaten
Bei der Umrechnung von kartesischen auf Zylinderkoordinaten errechnet sich der Abstand r mit Hilfe vom Satz des Pythagoras aus der x- bzw. y-Koordinate, und der Winkel Phi aus dem Arkustangens vom Quotienten aus y- und x-Koordinate, wobei die x-Achse bei φ=0 liegt, und die h- bzw. z-Achsen zusammenfallen
\(\eqalign{ & r = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \cr & \varphi = \arctan \left( {\frac{y}{x}} \right) \cr & h = z \cr} \)
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Kugelkoordinaten
Die Position eines Punktes im 3 dimensionalen Raum wird durch 3 Werte, dem Abstand r vom Ursprung, dem Winkel φ in der xy-Ebene und dem Winkel ϑ in der rz-Ebene dargestellt.
\(P\left( {r,\varphi ,\vartheta } \right)\)
Es gelten dabei folgende Konventionen:
- r ist der Ortsvektor , also der Vektor vom Koordinatenursprung bis zum Punkt P
- \(\varphi\) ist der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Ortsvektor r wobei \(0 \le \varphi \le 360^\circ \buildrel \wedge \over = 2 \cdot \pi \)
- \(\vartheta\) ist der Winkel zwischen der positiven z-Achse und dem Ortsvektor r wobei \(0 \le \vartheta \le 180^\circ \buildrel \wedge \over = \pi \)
Einordung der Bestimmungsgrößen in den drei gängigen dreidimensionalen Koordinatensystemen
- Kartesische Koordinaten: 3 Abstände
- Kugelkoordinaten: 1 Abstand + 2 Winkel
- Zylinderkoordinaten: 2 Abstände + 1 Winkel
Breitenkreise in Kugelkoordinaten
Breitenkreise verlaufen parallel zum Äquator, bei der Erde spricht man von nördlicher Breite oder südlicher Breite, es gibt 90+90=180 Breitenkreise. Dabei entsprechen 0° nördlicher und südlicher Breite dem Äquator. Bei der Schreibweise mit Kugelkoordinaten gilt r=konstant, ϑ=konstant,
Längenkreise in Kugelkoordinaten
Längenkreise, auch Meridiane genannt, verlaufen durch N und S-Pol, bei der Erde spricht man von westlicher Länge oder östlicher Länge, es gibt 90+90=180 Längenkreise. Bei der Schreibweise mit Kugelkoordinaten gilt r= konstant, φ = konstant,
Umrechnung von Kugel- auf kartesische Koordinaten
Die Umrechnung von Kugel- auf kartesische Koordinaten erfordert die Länge vom Ortsvektor und den Sinus bzw. Kosinus vom jeweiligen Winkel zwischen dem Ortsvektor und der x- bzw. z- Achse
\(\begin{array}{l}
x = r \cdot \sin \vartheta \cdot \cos \varphi \\
y = r \cdot \sin \vartheta \cdot \sin \varphi \\
z = r \cdot \cos \vartheta
\end{array}\)
Umrechnung von kartesischen Koordinaten auf Kugelkoordinaten
Die Umrechnung von kartesischen Koordinaten auf Kugelkoordinaten erfordert die x, y und z-Koordinaten vom Punkt und erfolgt unter Verwendung von ArkusKosinus bzw. ArkusTangens und dem Satz des Pythagoras
\(\begin{array}{l} r = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \\ \varphi = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\arccos \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}{\rm{ \text{ für y}}} \ge {\rm{0}}}\\ {2 \cdot \pi - \arccos \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}{\rm{ \text{ für y} < 0}}} \end{array}} \right.\\ \vartheta = {\mathop{\rm arctan}\nolimits} \dfrac{z}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} \end{array}\)
Aufgaben
Aufgabe 98
Halbierungspunkt eines Vektors
Ermittle den Mittelpunkt \({M_{\overrightarrow {AB} }}\) der Strecke \(\overrightarrow {AB}\), wenn
\(\overrightarrow A = \left( {\matrix{ 3 \cr 4 \cr } } \right);\,\,\,\,\,\overrightarrow B = \left( {\matrix{ { - 7} \cr 6 \cr } } \right);\)
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Aufgabe 99
Richtungsvektor der Winkelsymmetrale
Ermittle den Richtungsvektor der Winkelsymmetrale zwischen den beiden gegebenen Vektoren
\(\overrightarrow a = \left( {\matrix{ { - 4} \cr 7 \cr 4 \cr } } \right);\,\,\,\,\,\overrightarrow b = \left( {\matrix{ 3 \cr 6 \cr { - 6} \cr } } \right);\)
Aufgabe 100
Schwerpunkt eines Dreiecks mittels Vektorrechnung
Bestimme auf 2 Arten den Schwerpunkt des Dreieckes, welches durch nachfolgende Punkte gebildet wird
\(A = \left( {\matrix{ 3 \cr 2 \cr } } \right);\,\,\,\,\,B = \left( {\matrix{ 5 \cr 3 \cr } } \right);\,\,\,\,\,C = \left( {\matrix{ 1 \cr 4 \cr } } \right);\)
1. Teilaufgabe: Setze direkt in die entsprechende Formel ein
2. Teilaufgabe: Schneide 2 der 3 Schwerelinien
Aufgabe 101
Halbierungspunkt
Gegeben ist ein Parallelogramm mit 2 Eckpunkten A, D sowie dem Schnittpunkt M der beiden Diagonalen:
\(A\left( {\matrix{ { - 2} \cr { - 3} \cr } } \right);\,\,\,\,\,D\left( {\matrix{ { - 2} \cr 4 \cr } } \right);\,\,\,\,\,M\left( {\matrix{ 1 \cr 2 \cr } } \right)\)
Berechne die Koordinaten der fehlenden beiden Eckpunkte B und C.
Aufgabe 102
Höhenschnittpunkt eines Dreieckes
Bestimme den Höhenschnittpunkt des Dreieckes, welches durch nachfolgende Punkte gebildet wird
\(A = \left( {\matrix{ { - 2} \cr { - 4} \cr } } \right);\,\,\,\,\,B = \left( {\matrix{ {20} \cr 2 \cr } } \right);\,\,\,\,\,C = \left( {\matrix{ { - 4} \cr {10} \cr } } \right);\)
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Aufgabe 103
Verbindungsvektor
Es sind folgende 2 Punkte gegeben:
\(P\left( {\matrix{ 3 \cr 2 \cr } } \right);\,\,\,\,\,Q\left( {\matrix{ 5 \cr 4 \cr } } \right)\)
1. Teilaufgabe: Berechne die Koordinaten des Verbindungsvektors:\(\overrightarrow v = \overrightarrow {PQ}\)
2. Teilaufgabe: Berechne den Betrag des Verbindungsvektors: \(\left| {\overrightarrow v } \right|\)
Aufgabe 104
Verbindungsvektor
Es sind folgende 2 Punkte gegeben:
\(P\left( {\matrix{ {15} \cr { - 2} \cr 2 \cr } } \right);\,\,\,\,\,Q\left( {\matrix{ 3 \cr 2 \cr 5 \cr } } \right);\)
1. Teilaufgabe: Berechne die Koordinaten des Verbindungsvektors: \(\overrightarrow v = \overrightarrow {PQ}\)
2. Teilaufgabe: Berechne den Betrag des Verbindungsvektors: \(\left| {\overrightarrow v } \right|\)
Aufgabe 105
Winkel zwischen 2 Vektoren
Es sind die Punkte \(A\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ 3 \end{array}} \right)\), \(B\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 2 \end{array}} \right)\) und \(S\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ { - 4} \end{array}} \right)\)gegeben.
Berechne den Winkel \(\varphi\) zwischen \(\overrightarrow {AS}\) und \(\overrightarrow {BS} \).
Aufgabe 106
Orthogonalitätskriterium
Zeige durch Vektorrechnung, dass nachfolgende Punkte ein rechtwinkeliges Dreieck bilden:
\(A\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ { - 4} \end{array}} \right);\,\,\,\,\,B\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 2 \end{array}} \right);\,\,\,\,\,C\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ 2 \end{array}} \right);\)
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Aufgabe 107
Orthogonalitätskriterium
Zeige durch Vektorrechnung, dass nachfolgende Punkte ein rechtwinkeliges Dreieck bilden:
\(A\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ { - 2} \end{array}} \right);\,\,\,\,\,B\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 4 \end{array}} \right);\,\,\,\,\,C\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 9\\ { - 1} \end{array}} \right);\)
Aufgabe 108
Parallelogramm mittels Vektoren berechnen
Gegeben ist ein Parallelogramm mit:
\(A\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ { - 2} \end{array}} \right);\,\,\,\,\,B\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 1 \end{array}} \right);\,\,\,\,\,C\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 4}\\ 3 \end{array}} \right);\)
1. Teilaufgabe: Prüfe, ob es sich tatsächlich „nur“ um ein Parallelogramm handelt, oder ob nicht sogar ein Rechteck vorliegt
2. Teilaufgabe: Berechne die Koordinaten von D auf 2 Arten
3. Teilaufgabe: Berechne den Umfang der Figur
Aufgabe 109
Quadrat mittels Vektorrechnung berechnen
Gegeben sei ein Quadrat mit:
\(A\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ { - 2} \end{array}} \right);\,\,\,\,\,B\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 4 \end{array}} \right);\)
1. Teilaufgabe: Überlege, wie viele Quadrate es geben kann
2. Teilaufgabe: Berechne die Koordinaten von C und D