Typ 1 - Wahrscheinlichkeit und Statistik
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung Inhaltsbereich WS 3.4
Wahrscheinlichkeitsverteilung(en)
WS 3.4: Normalapproximation der Binomialverteilung interpretieren und anwenden können
Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021
Ab dem Haupttermin 2021/22 nicht mehr prüfungsrelevant
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AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung Inhaltsbereich WS 4.1
Schließende/Beurteilende Statistik
WS 4.1: Konfidenzintervalle als Schätzung für eine Wahrscheinlichkeit oder einen unbekannten Anteil p interpretieren (frequentistische Deutung) und verwenden können, Berechnungen auf Basis der Binomialverteilung oder einer durch die Normalverteilung approximierten Binomialverteilung durchführen können
Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021
Ab dem Haupttermin 2021/22 nicht mehr prüfungsrelevant
Aufgaben
Aufgabe 1140
AHS - 1_140 & Lehrstoff: WS 1.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Eigenschaften des arithmetischen Mittels
Gegeben ist das arithmetische Mittel \(\overline x\) von Messwerten.
- Aussage 1: Das arithmetische Mittel teilt die geordnete Liste der Messwerte immer in eine untere und eine obere Teilliste mit jeweils gleich vielen Messwerten.
- Aussage 2: Das arithmetische Mittel kann durch Ausreißer stark beeinflusst werden.
- Aussage 3: Das arithmetische Mittel kann für alle Arten von Daten sinnvoll berechnet werden.
- Aussage 4: Das arithmetische Mittel ist immer gleich einem der Messwerte.
- Aussage 5: Multipliziert man das arithmetische Mittel mit der Anzahl der Messwerte, so erhält man immer die Summe aller Messwerte.
Aufgabenstellung:
Welche der obenstehenden Eigenschaften treffen für das arithmetische Mittel zu? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Antworten an!
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Aufgabe 1141
AHS - 1_141 & Lehrstoff: WS 2.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
FSME-Infektion
Infizierte Zecken können durch einen Stich das FSME-Virus (Frühsommer-Meningoenzephalitis) auf den Menschen übertragen. In einem Risikogebiet sind etwa 3 % der Zecken FSME-infiziert. Die FSME-Schutzimpfung schützt mit einer Wahrscheinlichkeit von 98 % vor einer FSME-Erkrankung.
Aufgabenstellung:
Eine geimpfte Person wird in diesem Risikogebiet von einer Zecke gestochen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person durch den Zeckenstich an FSME erkrankt!
Aufgabe 1144
AHS - 1_144 & Lehrstoff: WS 2.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Würfel
Ein idealer sechsseitiger Würfel mit den Augenzahlen 1 bis 6 wird einmal geworfen.
A | 1/3 |
B | 1/6 |
C | 1/2 |
D | 1 |
E | 5/6 |
F | 2/3 |
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den Fragestellungen in der linken Spalte die passenden Wahrscheinlichkeiten (aus A bis F) in der rechten Spalte zu!
- Fragestellung 1: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine gerade Zahl gewürfelt wird?
- Fragestellung 2: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl größer als 4 gewürfelt wird?
- Fragestellung 3: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl kleiner als 2 gewürfelt wird.
- Fragestellung 4: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl größer als 1 und kleiner als 6 gewürfelt wird?
Aufgabe 1148
AHS - 1_148 & Lehrstoff: WS 3.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Erwartungswert
In der nachstehenden Tabelle ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen X dargestellt.
\({a_i}{\text{ mit }}i \in \left\{ {1,\,\,2,\,\,3,\,\,4} \right\}\) | 1 | 2 | 3 | 4 |
\(P\left( {X = {a_i}} \right)\) | 0,1 | 0,3 | 0,5 | 0,1 |
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie den Erwartungswert E(X) der Zufallsvariablen X!
Aufgabe 1152
AHS - 1_152 & Lehrstoff: WS 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Binomialverteilung
Einige der unten angeführten Situationen können mit einer Binomialverteilung modelliert werden.
- Aussage 1: Aus einer Urne mit vier blauen, zwei grünen und drei weißen Kugeln werden drei Kugeln mit Zurücklegen gezogen. (X = Anzahl der grünen Kugeln)
- Aussage 2: In einer Gruppe mit 25 Kindern sind sieben Linkshänder. Es werden drei Kinder zufällig ausgewählt. (X = Anzahl der Linkshänder)
- Aussage 3: In einem U-Bahn-Waggon sitzen 35 Personen. Vier haben keinen Fahrschein. Drei werden kontrolliert. (X = Anzahl der Personen ohne Fahrschein)
- Aussage 4: Bei einem Multiple-Choice-Test sind pro Aufgabe drei von fünf Wahlmöglichkeiten richtig. Die Antworten werden nach dem Zufallsprinzip angekreuzt. Sieben Aufgaben werden gestellt. (X = Anzahl der richtig gelösten Aufgaben).
- Aussage 5: Die Wahrscheinlichkeit für die Geburt eines Mädchens liegt bei 52 %. Eine Familie hat drei Kinder. (X = Anzahl der Mädchen)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie diejenige(n) Situation(en) an, bei der/denen die Zufallsvariable X binomialverteilt ist!
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Aufgabe 1159
AHS - 1_159 & Lehrstoff: WS 1.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Boxplot
Die Nettogehälter von 44 Angestellten einer Firmenabteilung werden durch folgendes Kastenschaubild (Boxplot) dargestellt:
- Aussage 1: 22 Angestellte verdienen mehr als € 2.400.
- Aussage 2: Drei Viertel der Angestellten verdienen € 2.100 oder mehr.
- Aussage 3: Ein Viertel aller Angestellten verdient € 1.400 oder weniger.
- Aussage 4: Es gibt Angestellte, die mehr als € 3.300 verdienen.
- Aussage 5: Das Nettogehalt der Hälfte aller Angestellten liegt im Bereich [€ 1.400; € 2.100].
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Antworten an!
Aufgabe 1162
AHS - 1_162 & Lehrstoff: WS 1.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Geordnete Urliste
9 Kinder wurden dahingehend befragt, wie viele Stunden sie am Wochenende fernsehen. Die nachstehende Tabelle gibt ihre Antworten wieder.
Kind | Fernsehstunden |
Fritz | 2 |
Susi | 2 |
Michael | 3 |
Martin | 3 |
Angelika | 4 |
Paula | 5 |
Max | 5 |
Hubert | 5 |
Lisa | 8 |
- Aussage 1: Der Median würde sich erhöhen, wenn Fritz um eine Stunde mehr fernsehen würde.
- Aussage 2: Der Median ist kleiner als das arithmetische Mittel der Fernsehstunden.
- Aussage 3: Die Spannweite der Fernsehstunden beträgt 3.
- Aussage 4: Das arithmetische Mittel würde sich erhöhen, wenn Lisa anstelle von 8 Stunden 10 Stunden fernsehen würde.
- Aussage 5: Der Modus ist 8.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Aufgabe 1185
AHS - 1_185 & Lehrstoff: WS 2.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Laplace-Experiment
In einer Schachtel befinden sich rote, blaue und gelbe Wachsmalstifte. Ein Stift wird zufällig entnommen, dessen Farbe notiert und der Stift danach zurückgelegt. Dann wird das Experiment wiederholt. Beobachtet wird, wie oft bei zweimaligem Ziehen ein gelber Stift entnommen wurde. Die Werte der Zufallsvariablen X beschreiben die Anzahl x der gezogenen gelben Stifte. Die nachstehende Tabelle stellt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X dar.
x | P(X=x) |
0 | \(\dfrac{4}{9}\) |
1 | \(\dfrac{4}{9}\) |
2 | \(\dfrac{1}{9}\) |
- Aussage 1: Die Wahrscheinlichkeit, mindestens einen gelben Stift zu ziehen, ist \(\dfrac{4}{9}\)
- Aussage 2: Die Wahrscheinlichkeit, höchstens einen gelben Stift zu ziehen, ist \(\dfrac{4}{9}\)
- Aussage 3: Die Wahrscheinlichkeit, nur rote oder blaue Stifte zu ziehen, ist \(\dfrac{4}{9}\)
- Aussage 4: Die Wahrscheinlichkeit, keinen oder einen gelben Stift zu ziehen, ist \(\dfrac{4}{9}\)
- Aussage 5: Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als ein gelber Stift gezogen wird, ist größer als 10 %.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Aufgabe 1186
AHS - 1_186 & Lehrstoff: WS 2.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Laplace-Wahrscheinlichkeit
In einer Schachtel befinden sich ein roter, ein blauer und ein gelber Wachsmalstift. Ein Stift wird zufällig entnommen, dessen Farbe notiert und der Stift danach zurückgelegt. Dann wird das Experiment wiederholt. Beobachtet wird, wie oft bei zweimaligem Ziehen ein gelber Stift entnommen wurde. Die Werte der Zufallsvariablen X beschreiben die Anzahl der gezogenen gelben Stifte.
- Aussage 1: \(P\left( {X = 0} \right) > P\left( {X = 1} \right)\)
- Aussage 2: \(P\left( {X = 2} \right) = \dfrac{1}{9}\)
- Aussage 3: \(P\left( {X \leqslant 2} \right) = \dfrac{8}{9}\)
- Aussage 4: \(P\left( {X > 0} \right) = \dfrac{5}{9}\)
- Aussage 5: \(P\left( {X < 3} \right) = 1\)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die zutreffende(n) Aussage(n) an!
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Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.
Aufgabe 1188
AHS - 1_188 & Lehrstoff: WS 3.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kennzahlen der Binomialverteilung
Auf einer Sortieranlage werden Flaschen von einem Scanner untersucht und es wird die Art des Kunststoffes ermittelt. 95 % der Flaschen werden richtig erkannt und in die bereitgestellten Behälter einsortiert. Die Werte der Zufallsvariablen X beschreiben die Anzahl der falschen Entscheidungen bei einem Stichprobenumfang von 500 Stück. Verwenden Sie die Binomialverteilung als Modell.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung für die Zufallsvariable X!
Aufgabe 1190
AHS - 1_190 & Lehrstoff: WS 4.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Konfidenzintervall
Von einer Stichprobe sind jeweils der Stichprobenumfang n und die relative Häufigkeit h eines beobachteten Merkmals gegeben.
- Konfidenzintervall A:
- Konfidenzintervall B:
- Konfidenzintervall C:
- Konfidenzintervall D:
- Konfidenzintervall E:
- Konfidenzintervall F:
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie jeder Stichprobe das richtige Konfidenzintervall (aus A bis F) für das vorgegebene Konfidenzniveau γ (Sicherheitsniveau) zu!
Stichprobe S | Deine Antwort |
1=\(\eqalign{ & n = 1000 \cr & h = 0,3 \cr & \gamma = 0,60 \cr} \) |
|
2=\(\eqalign{ & n = 1000 \cr & h = 0,3 \cr & \gamma = 0,95 \cr}\) |
|
3=\(\eqalign{ & n = 500 \cr & h = 0,3 \cr & \gamma = 0,99 \cr}\) | |
4=\(\eqalign{ & n = 1000 \cr & h = 0,4 \cr & \gamma = 0,50 \cr}\) |
Aufgabe 1228
AHS - 1_228 & Lehrstoff: WS 1.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Nationalratswahlen
In der folgenden Abbildung sind die Ergebnisse der Nationalratswahl 2006 (linksstehende Balken) und der Nationalratswahl 2008 (rechtsstehende Balken) dargestellt. Alle Prozentsätze beziehen sich auf die Anzahl der gültigen abgegebenen Stimmen, die 2006 und 2008 ungefähr gleich war.
- Aussage 1: Das BZÖ hat seinen Stimmenanteil von 2006 auf 2008 um mehr als 100 % gesteigert.
- Aussage 2: Die GRÜNEN erreichten 2006 weniger Stimmenanteile als 2008.
- Aussage 3: Der Stimmenanteil der ÖVP hat von 2006 auf 2008 um fast ein Viertel abgenommen.
- Aussage 4: Die Anzahl der erreichten Stimmen für die SPÖ hat von 2006 auf 2008 um 6 % abgenommen.
- Aussage 5: Das BZÖ hat von 2006 auf 2008 deutlich mehr Stimmen dazugewonnen als die FPÖ.
Aufgabenstellung
Überprüfen Sie anhand der Abbildung die obenstehenden Aussagen und kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!