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  2. Österreichische BHS Matura - 2018.05.09 - HTL1 - 4 Teil B Beispiele

Österreichische BHS Matura - 2018.05.09 - HTL1 - 4 Teil B Beispiele

Lösungsweg

Aufgabe 4093

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


Abrissbirnen - Aufgabe B_012

Abrissbirnen sind kugel- oder birnenförmige Werkzeuge zum Abreisen von Gebäuden.

Teil a

Eine Abrissbirne hat die Form einer Kugel mit dem Durchmesser d. Die Masse m und die Dichte ϱ der Kugel sind bekannt. Die Masse ist das Produkt von Volumen und Dichte.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung des Durchmessers d aus m und ϱ .
d= ……   
[1 Punkt]


Eine einfache Regel besagt: „Um die Masse einer Kugel zu verdoppeln, ist ihr Durchmesser um rund ein Viertel zu vergrößern.“

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Zeigen Sie allgemein, dass diese Regel richtig ist.
[1 Punkt]

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Lösungsweg

Aufgabe 4094

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind


Abrissbirnen - Aufgabe B_012

Abrissbirnen sind kugel- oder birnenförmige Werkzeuge zum Abreisen von Gebäuden.

Teil b

Eine andere Abrissbirne kann als Körper modelliert werden, der durch Rotation des Graphen der Polynomfunktion f mit \(f\left( x \right) = a \cdot {x^4} + b \cdot {x^3} + c \cdot {x^2} + d \cdot x + e\) um die x-Achse entsteht.

Bild
beispiel_4094_1

 

Dabei gilt: A = (0|0), B = (1,1| 2,2), C = (9,4|5,1), D = (12| 0). Im Punkt C hat die Abrissbirne den größten Durchmesser.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 11:20

Erstellen Sie mithilfe der Informationen zu A, B, C und D ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten der Polynomfunktion f.
[2 Punkte]


2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie die Koeffizienten von f.

[1 Punkt]

Abrissbirnen - Aufgabe B_012
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Aufgabe 4095

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
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Abrissbirnen - Aufgabe B_012

Abrissbirnen sind kugel- oder birnenförmige Werkzeuge zum Abreisen von Gebäuden.

Teil c

Durch Rotation des Graphen der Funktion g im Intervall [1; b] um die x-Achse entsteht die Form einer weiteren Abrissbirne (siehe nachstehende Abbildung):

Bild
beispiel_4095_1

\(g\left( x \right) = - 0,00157 \cdot {x^4} + 0,03688 \cdot {x^3} - 0,29882 \cdot {x^2} + 1,26325 \cdot x\)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie die Nullstelle b.
[1 Punkt]


Das Volumen dieser Abrissbirne soll verkleinert werden. Durch Rotation des Graphen der Funktion g im Intervall [1; a] um die x-Achse entsteht die Form einer Abrissbirne mit einem um 10 dm3 kleineren Volumen.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie die in der obigen Abbildung dargestellte Stelle a.
[1 Punkt]

Abrissbirnen - Aufgabe B_012
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Volumen eines Rotationskörpers
Polynomfunktion
Rotationsvolumen
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Lösungsweg

Aufgabe 4096

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
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Wings for Life World Run - Aufgabe B_022

Teil a

Beim Wings for Life World Run starten alle Läufer/innen gleichzeitig. Eine halbe Stunde später verlässt ein Verfolgerauto („Catcher-Car“) den Start und fährt den Läuferinnen und Läufern nach. Die Teilnehmer/innen laufen jeweils so lange, bis sie vom Catcher-Car eingeholt werden. Der vom Catcher-Car innerhalb der ersten 2,5 Stunden ab dem Start der Läufer/innen zurückgelegte Weg kann näherungsweise durch die folgende stückweise definierte Funktion s beschrieben werden:

\(s\left( t \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{{\rm{für}}}&{t \le 0,5}\\ {}&{{\rm{für}}}&{0,5 < t \le 1,5}\\ {16 \cdot t - 9}&{{\rm{für}}}&{1,5 < t \le 2,5} \end{array}} \right.\)

mit

t Zeit ab dem Start der Läufer/innen in h
s(t) der vom Catcher-Car zur Zeit t zurückgelegte Weg in km

 

Im Zeitintervall ]0,5; 1,5] fährt das Catcher-Car mit konstanter Geschwindigkeit.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ergänzen Sie die Weg-Zeit-Funktion für das Zeitintervall ]0,5; 1,5] in der gegebenen Funktionsdefinition.
[1 Punkt]


1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Die Geschwindigkeit eines bestimmten Läufers kann näherungsweise durch folgende Funktion v beschrieben werden:

\(v\left( t \right) = - 0,73 \cdot {t^2} + 2,43 \cdot t + 10\)

v(t) Geschwindigkeit des Läufers zur Zeit t in km/h

 

Berechnen Sie denjenigen Zeitpunkt, zu dem dieser Läufer vom Catcher-Car eingeholt wird.
[1 Punkt]

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Wings for Life World Run - Aufgabe B_022
Geschwindigkeit-Zeit-Funktion
Bewegungsaufgaben
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Aufgabe 4097

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
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Wings for Life World Run - Aufgabe B_022

Teil b

Der zeitliche Verlauf der Herzfrequenz einer Läuferin kann näherungsweise durch eine Funktion p beschrieben werden.

Bild
beispiel_4097_1

Der Graph von p ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt. Der Flächeninhalt des farblich markierten Rechtecks entspricht dem Inhalt der Fläche unter dem Funktionsgraphen von p im Intervall [0; t1].

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Interpretieren Sie die Bedeutung von h im gegebenen Sachzusammenhang.
[1 Punkt]


2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Erstellen Sie mithilfe der obigen Abbildung eine Formel zur Berechnung von h, wenn die Funktion p bekannt ist.
h =
[1 Punkt]

Wings for Life World Run - Aufgabe B_022
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Integralmittelwert
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Lösungsweg

Aufgabe 4098

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
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Wings for Life World Run - Aufgabe B_022

Teil c

Beim Laufen bewegt sich der Schwerpunkt des menschlichen Körpers in regelmäßigen Zeitabständen auf und ab. Modellhaft kann der zeitliche Verlauf der Höhe des Schwerpunkts durch die Funktion h beschrieben werden (siehe nachstehende Abbildung).

Bild
beispiel_4098_1

\(h\left( t \right) = 5 \cdot \sin \left( {6 \cdot \pi \cdot t} \right) + 110\)

mit:

t Zeit in s
h(t) Höhe des Schwerpunkts über dem Boden zur Zeit t in cm

 

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehenen Kästchen ein.
[1 Punkt]

Wings for Life World Run - Aufgabe B_022
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Harmonische Schwingung
Sinusfunktion bzw Cosinusfunktion
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Aufgabe 4090

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
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Durchmesser einer Stahlwelle - Aufgabe B_019

Ein Unternehmen stellt auf computergesteuerten Drehmaschinen Stahlwellen für Elektromotoren in Massenproduktion her.

Teil a

Bei Maschine A sind die Durchmesser der hergestellten Stahlwellen annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 10,00 mm. In der nachstehenden Abbildung 1 ist der Graph der zugehörigen Dichtefunktion dargestellt.

Bild
beispiel_4090_1

 

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Skizzieren Sie in der nachfolgenden Abbildung 2 den Graphen der zugehörigen Verteilungsfunktion.  
[1 Punkt]

Bild
beispiel_4090_2

 


2. Teilaufgabe:

Veranschaulichen Sie mithilfe der Verteilungsfunktion in Abbildung 2 die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Stahlwelle einen Durchmesser von mindestens 10,02 mm hat.
[1 Punkt]

Durchmesser einer Stahlwelle - Aufgabe B_019
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Dichtefunktion einer Normalverteilung
Verteilungsfunktion der Normalverteilung
Normalverteilung
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Aufgabe 4091

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
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Durchmesser einer Stahlwelle - Aufgabe B_019

Ein Unternehmen stellt auf computergesteuerten Drehmaschinen Stahlwellen für Elektromotoren in Massenproduktion her.

Teil b

Bei Maschine B sind die Durchmesser der hergestellten Stahlwellen annähernd normalverteilt mit der Standardabweichung σ = 0,02 mm. Ein Durchmesser von 9,97 mm wird von 0,1 % der Stahlwellen unterschritten.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie den zugehörigen Erwartungswert μ .

[1 Punkt]

Durchmesser einer Stahlwelle - Aufgabe B_019
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Geogebra Normal Befehl
Geogebra nLöse Befehl
Erwartungswert Normalverteilung
Normalverteilung
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Lösungsweg

Aufgabe 4092

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
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Durchmesser einer Stahlwelle - Aufgabe B_019

Ein Unternehmen stellt auf computergesteuerten Drehmaschinen Stahlwellen für Elektromotoren in Massenproduktion her.

Teil c

Bei Maschine C sind die Durchmesser der hergestellten Stahlwellen annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 10,00 mm und der Standardabweichung σ = 0,03 mm. Im Rahmen der Qualitätssicherung werden Stichproben vom Umfang n untersucht.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie für n = 30 den zum Erwartungswert symmetrischen Zufallsstreubereich, in dem erwartungsgemäß 99 % aller Stichprobenmittelwerte liegen.
[1 Punkt]


2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Geben Sie an, um welchen Faktor sich der Stichprobenumfang ändern muss, damit sich die Breite des 99-%-Zufallsstreubereichs halbiert.

[1 Punkt]

Durchmesser einer Stahlwelle - Aufgabe B_019
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Normalverteilung einer Stichprobe
Zentraler Grenzwertsatz
Varianz einer Stichprobe
Zufallsstreubereich und Konfidenzintervall
BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool B_T_5.2
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Aufgabe 4083

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
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Smartphones - Aufgabe B_079

Der Akku eines Smartphones entlädt sich aufgrund von Hintergrundanwendungen auch dann, wenn das Gerät nicht aktiv benutzt wird.

Teil a

Für ein bestimmtes Smartphone wird die zeitliche Entwicklung des Akku-Ladestands in Prozent beobachtet. Zur Zeit t = 0 ist der Akku vollständig aufgeladen.

Zeit t in Stunden Akku-Ladestand in Prozent
0 100
3 94
6 81
10 71
18 43

 

Die zeitliche Entwicklung des Akku-Ladestands in Prozent soll beschrieben werden.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie eine Gleichung der zugehörigen linearen Regressionsfunktion.
[1 Punkt]


Bei einem Akku-Ladestand von 15 % sollte das Smartphone wieder ans Stromnetz angeschlossen werden.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie, wie viele Stunden nach dem vollständigen Aufladen dies gemäß diesem linearen Regressionsmodell gemäß Teil a der Fall ist.

[1 Punkt]

Smartphones - Aufgabe B_079
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Regressionsgerade
Regression - Korrelation und Methode der kleinsten Quadrate
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Aufgabe 4084

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
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Smartphones - Aufgabe B_079

Der Akku eines Smartphones entlädt sich aufgrund von Hintergrundanwendungen auch dann, wenn das Gerät nicht aktiv benutzt wird.

Teil b

Die zeitliche Entwicklung des Akku-Ladestands beim Aufladen lasst sich näherungsweise durch die Funktion A beschreiben:
\(A\left( t \right) = 100 - 85 \cdot {e^{ - \lambda \cdot t}}\)

  • t ... Zeit nach Beginn des Aufladens in h
  • A(t) ... Akku-Ladestand zur Zeit t in Prozent
  • \(\lambda \) ... positiver Parameter

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Argumentieren Sie mathematisch, dass sich die Funktionswerte von A mit wachsendem t dem Wert 100 annähern.
[1 Punkt]


2 Stunden nach Beginn des Aufladens betragt der Akku-Ladestand 80 %.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie λ.
[1 Punkt]


3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie, zu welcher Zeit nach Beginn des Aufladens der Akku-Ladestand 90 % beträgt.
[1 Punkt]

Smartphones - Aufgabe B_079
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Exponentialgleichungen
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BHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung - Aufgabenpool 3.5
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Lösungsweg

Aufgabe 4085

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
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Smartphones - Aufgabe B_079

Teil c

Die Entwicklung der weltweiten Verkaufszahlen von Smartphones kann modellhaft durch die Funktion S beschrieben werden:
\(S\left( t \right) = \dfrac{{1918}}{{1 + 4,84 \cdot {e^{ - 0,54 \cdot t}}}}\)

  • t ... Zeit in Jahren (t = 0 entspricht dem Beginn des Jahres 2010)
  • S(t) ... Anzahl der bis zur Zeit t insgesamt verkauften Smartphones in Millionen Stück

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie mithilfe dieses Modells die Anzahl der bis zum Beginn des Jahres 2020 insgesamt verkauften Smartphones.
[1 Punkt]


Im nachstehenden Diagramm ist der Graph der Ableitungsfunktion S′ dargestellt. Auf dem Graphen von S′ ist der Hochpunkt H markiert.

Bild
beispiel_4085_1

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Beschreiben Sie die mathematische Bedeutung der Stelle t = 2,9 in Bezug auf die Funktion S. [1 Punkt]

Smartphones - Aufgabe B_079
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  • Wissenspfade: Zu jeder Lerneinheit werden gut strukturiert empfohlenes Vorwissen, verbreiterndes und vertiefendes Wissen angezeigt.
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  • Soziale Mission: Als E-Learning Plattform mit sozialer Mission bietet maths2mind Chancen-Fairness durch genderneutralen Bildungszugang. Unabhängig von sozioökonomischem Umfeld, Wohnort, Einstellung oder Kulturkreis der Eltern, Sympathiewert des Lehrenden, finanzieller Schulausstattung oder Tagespolitik.
  • Kostenlose Fragen per E-Mail: Bei Unklarheiten können Fragen kostenlos per E-Mail gestellt werden.

Maths2Mind.com ist somit eine umfassende Plattform, die nicht nur Wissen vermittelt, sondern auch auf individuelle Bedürfnisse eingeht und einen fairen Zugang zur Bildung ermöglicht.

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