Österreichische BHS Matura - 2017.05.10 - 5 Teil A Beispiele

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-A Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Vergnügungspark - Aufgabe A_249

Teil a

Bei einer Besucherbefragung in einem Vergnügungspark wurden folgende Daten erhoben:

• 60 % der Besucher sind aus dem Inland. Die Besucher aus dem Inland reisen zu 45 % mit dem PKW an, die restlichen Besucher aus dem Inland mit öffentlichen Verkehrsmitteln.
• 90 % der Besucher aus dem Ausland reisen mit öffentlichen Verkehrsmitteln an, die restlichen Besucher aus dem Ausland mit dem PKW.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Vervollständigen Sie das nachstehende Baumdiagramm so, dass es den beschriebenen Sachverhalt wiedergibt. [1 Punkt]

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Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-A Aufgabe
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Vergnügungspark - Aufgabe A_249

Teil b
In einem Vergnügungspark werden Familien nach ihren Ausgaben befragt. Die beiden nachstehenden Boxplots veranschaulichen die Ausgaben der befragten Familien für die Attraktionen und jene für Essen und Getränke.

• Attraktionen: Ausgaben pro befragter Familie in €
  
• Essen und Getränke: Ausgaben pro befragter Familie in €
  

Andreas behauptet, aus den beiden Boxplots Folgendes ablesen zu können: „Es gibt mit Sicherheit mindestens eine Familie, die insgesamt 120 Euro für Attraktionen sowie Essen und Getränke ausgibt.“

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Argumentieren Sie, dass die Behauptung von Andreas falsch ist. [1 Punkt]

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Vergnügungspark - Aufgabe A_249

Teil c

Aus Erfahrung weiß man, dass eine bestimmte Attraktion des Vergnügungsparks von jeder Person mit der Wahrscheinlichkeit p genutzt wird. Es werden 10 Personen zufällig ausgewählt.

• Aussage 1: Genau 3 der 10 Personen nutzen die Attraktion.
• Aussage 2: Maximal 7 der 10 Personen nutzen die Attraktion.
• Aussage 3: Mindestens 7 der 10 Personen nutzen die Attraktion.
• Aussage 4: Genau 7 der 10 Personen nutzen die Attraktion.
• Aussage 5: Höchstens 3 der 10 Personen nutzen die Attraktion.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Kreuzen Sie dasjenige Ereignis E an, für dessen Wahrscheinlichkeit gilt: \(P\left( E \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {10}\\ 3 \end{array}} \right) \cdot {p^3} \cdot {\left( {1 - p} \right)^7}\) [1 Punkt]

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Fußballspielen im Park - Aufgabe A_250

Teil a

Roland und Julia spielen im Park Fußball. Roland legt den Ball auf die horizontale Wiese, nimmt Anlauf und schießt. Die Flugbahn des Balls kann näherungsweise durch den Graphen einer Polynomfunktion 3. Grades h beschrieben werden. Dabei wird der Ball als punktförmig angenommen.

\(h\left( x \right) = - 0,003 \cdot {x^3} + 0,057 \cdot {x^2}{\text{ mit }}x \geqslant 0\)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie den für diesen Sachzusammenhang größtmöglichen sinnvollen Definitionsbereich für die Funktion h. [1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie den höchsten Punkt der Flugbahn. [1 Punkt]

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Fußballspielen im Park - Aufgabe A_250

Teil b

Roland und Julia spielen im Park Fußball. Roland legt den Ball auf die horizontale Wiese, nimmt Anlauf und schießt. Die Flugbahn des Balls kann näherungsweise durch den Graphen einer Polynomfunktion 3. Grades h beschrieben werden. Dabei wird der Ball als punktförmig angenommen.

\(h\left( x \right) = - 0,003 \cdot {x^3} + 0,057 \cdot {x^2}{\text{ mit }}x \geqslant 0\)

Julia fängt den Ball aus einer Höhe von 1,80 m.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie die beiden horizontalen Entfernungen von der Abschussstelle, an denen Julia sich dabei befinden kann. [1 Punkt]

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Fußballspielen im Park - Aufgabe A_250

Teil c

Roland und Julia spielen im Park Fußball. Roland legt den Ball auf die horizontale Wiese, nimmt Anlauf und schießt. Die Flugbahn des Balls kann näherungsweise durch den Graphen einer Polynomfunktion 3. Grades h beschrieben werden. Dabei wird der Ball als punktförmig angenommen.

\(h\left( x \right) = - 0,003 \cdot {x^3} + 0,057 \cdot {x^2}{\text{ mit }}x \geqslant 0\)

Roland überlegt, ob er bei diesem Schuss den Ball über ein 2,8 m hohes Klettergerüst, das in direkter Schussrichtung 10 m von der Abschussstelle entfernt steht, schießen könnte.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Überprüfen Sie nachweislich, ob der Ball bei diesem Schuss tatsächlich über das Klettergerüst fliegen kann. [1 Punkt]

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Medikamentenabbau - Aufgabe A_251

Teil a

Der Abbau von Medikamenten im Körper kann näherungsweise durch exponentielle Modelle beschrieben werden. Die nachstehende Tabelle gibt an, welche Menge N(t) eines bestimmten Medikaments zur Zeit t im Körper vorhanden ist:

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Erklären Sie, warum die in der Tabelle angegebenen Daten die Beschreibung des Medikamentenabbaus durch ein exponentielles Modell nahelegen. [1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Erstellen Sie eine Gleichung derjenigen Exponentialfunktion N, die diesen Medikamentenabbau beschreibt. [1 Punkt]

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie diejenige Menge des Medikaments, die zur Zeit t = 3 h im Körper vorhanden ist. [1 Punkt]

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Medikamentenabbau - Aufgabe A_251

Teil b

Ein anderes Medikament hat im Körper die Halbwertszeit 1,5 h. Am Anfang (t = 0 h) sind 80 mg des Medikaments im Körper vorhanden. Der Medikamentenabbau im Körper kann näherungsweise durch eine Exponentialfunktion N beschrieben werden.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Zeichnen Sie im nachstehenden Koordinatensystem den Graphen von N im Zeitintervall [0 h; 6 h] ein. [1 Punkt]

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Medikamentenabbau - Aufgabe A_251

Teil c

Ein Medikament hat im Körper eine Halbwertszeit \({T_{\frac{1}{2}}}\)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an. [1 aus 5] [1 Punkt]

• Aussage 1: Nach einer Zeitdauer von \(3 \cdot {T_{1/2}}\) ist \(\dfrac{1}{6}\) der Ausgangsmenge vorhanden.
• Aussage 2: Nach einer Zeitdauer von \(2 \cdot {T_{1/2}}\) sind 75% der Ausgangsmenge vorhanden.
• Aussage 3: Nach einer Zeitdauer von \(2 \cdot {T_{1/2}}\) sind 50% der Ausgangsmenge vorhanden.
• Aussage 4: Nach einer Zeitdauer von \(2 \cdot {T_{1/2}}\)ist weniger als \(\dfrac{1}{8}\) der Ausgangsmenge vorhanden.
• Aussage 5: Nach einer Zeitdauer von \(5 \cdot {T_{1/2}}\) sind 10% der Ausgangsmenge vorhanden.

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Medikamentenabbau - Aufgabe A_251

Teil d
Der Abbau eines anderen Medikaments im Körper kann näherungsweise durch die Funktion N beschrieben werden:

\(N\left( t \right) = 200 \cdot {e^{ - 0,3 \cdot t}}\)

mit

Das Medikament muss wieder verabreicht werden, sobald nur noch 15 % der Ausgangsmenge im Körper vorhanden sind.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie denjenigen Zeitpunkt, zu dem das Medikament wieder verabreicht werden muss. [1 Punkt]

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Rohmilchproduktion - Aufgabe A_252

Teil a
Im Jahr 1995 betrug die Rohmilchproduktion der Kühe in Österreich insgesamt 2,948 Millionen Tonnen, im Jahr 2013 betrug sie 3,393 Millionen Tonnen. Die jährliche absolute Zunahme der Rohmilchproduktion wird als konstant angenommen.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie eine Gleichung der Funktion f, die die Rohmilchproduktion in Abhängigkeit von der Zeit t beschreibt. Wählen Sie t = 0 für das Jahr 1995. [1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie mithilfe der Funktion f die voraussichtliche Rohmilchproduktion im Jahr 2017. [1 Punkt]

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Rohmilchproduktion - Aufgabe A_252

Teil b
In der nachstehenden Tabelle ist die durchschnittliche Jahresmilchleistung pro Kuh in Kilogramm (kg) für einige ausgewählte europäische Länder im Jahr 2012 angegeben.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie, um wie viel Prozent die durchschnittliche Jahresmilchleistung pro Kuh in Dänemark höher als jene in Rumänien war.
[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Diese Daten sind, mit Ausnahme der durchschnittlichen Jahresmilchleistung pro Kuh in Tschechien, im nachstehenden Diagramm dargestellt.
Zeichnen Sie im folgenden Diagramm die fehlende Säule für Tschechien ein.
[1 Punkt]