Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung
\(f\left( k \right) = P\left( {X = k} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right) \cdot {p^k} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{n - k}}\)
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Binomialverteilung
Die Binomialverteilung ist eine diskrete Verteilung, der ein mehrstufigen Zufallsexperiment zugrunde liegt. Sie entsteht, wenn man ein Bernoulli Experiment (einstufiges Experiment, welches nur 2 mögliche Ausgänge hat) n Mal gleich und unverändert wiederholt. Die Grundgesamtheit ändert sich also im Laufe der Wiederholungen nicht, d.h. es handelt sich um ein „Ziehen mit Zurücklegen“.
X heißt binomialverteilt mit den 2 Parametern n und p:
- n … Anzahl der Ziehungen bzw. der Wiederholungen vom Zufallsexperiment, wobei n ∈ N
- p ... Laplace-Wahrscheinlichkeit für das Auftreten vom Ereignis X, bei jedem einzelnen der n Versuche, mit 0 < p < 1
- k ... Anzahl der Treffer, d.h. das Ereignis X tritt genau k mal ein, mit k=0, 1, 2, ... n
- X ... Zufallsvariable bzw. Trefferzahl, d.h. das Ereignis X tritt genau, weniger, öfter mindestens,... k mal ein, mit k=0, 1, 2, ... n, wobei die Anzahl der unabhängigen Bernoulli-Versuche n beträgt und p die Erfolgswahrscheinlichkeit beschreibt.
Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass es genau k Treffer gibt:
\(f\left( k \right) = P\left( {X = k} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right) \cdot {p^k} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{n - k}}\) für k=0, 1, ..,n
Zur Erinnerung: Der Binomialkoeffizient errechnet sich zu: \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right) = \dfrac{{n!}}{{k! \cdot \left( {n - k} \right)!}}\)
Bestimmung der Wahrscheinlichkeit einer Binomialverteilung bei unterschiedlichen Grenzen
Ungleichungen im Sprachgebrauch:
- Weniger entspricht <
- Höchstens entspricht \( \le \)
- Mehr entspricht >
- Mindestens entspricht \( \ge \)
genau k Treffer | \(P(X = k) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right) \cdot {p^k} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{\left( {n - k} \right)}}\) |
höchstens k Treffer | \(P\left( {X \le k} \right) = \sum\limits_{i = 0}^k {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ i \end{array}} \right) \cdot {p^i} \cdot {{\left( {1 - p} \right)}^{n - i}}} \) |
weniger als k Treffer | \(P\left( {X < k} \right) = \sum\limits_{i = 0}^{k - 1} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ i \end{array}} \right) \cdot {p^i} \cdot {{\left( {1 - p} \right)}^{n - i}}} \) |
mindestens k Treffer | \(P\left( {X \ge k} \right) = 1 - P\left( {X \le k - 1} \right) = 1 - \sum\limits_{i = 0}^{k - 1} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ i \end{array}} \right) \cdot {p^i} \cdot {{\left( {1 - p} \right)}^{n - i}}} \) |
mehr als k Treffer | \(P\left( {X > k} \right) = 1 - P\left( {X \le k} \right) = 1 - \sum\limits_{i = 0}^k {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ i \end{array}} \right) \cdot {p^i} \cdot {{\left( {1 - p} \right)}^{n - i}}} \) |
mindestens k aber höchstens m Treffer | \(\begin{array}{l} P\left( {k \le X \ge m} \right) = P\left( {X \le m} \right) - P\left( {X \le k - 1} \right) = \\ = \sum\limits_{i = 0}^m {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ i \end{array}} \right) \cdot {p^i} \cdot {{\left( {1 - p} \right)}^{n - i}}} - \sum\limits_{i = 0}^{k - 1} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ i \end{array}} \right) \cdot {p^i} \cdot {{\left( {1 - p} \right)}^{n - i}}} \end{array}\) |
Illustration zur Veranschaulichung
Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung mit den Parametern n=10 Wiederholungen und einer Erfolgswahrscheinlichkeit von p=0,3
Laplace Bedingung
Wenn die Laplace Bedingung \(\sigma = \sqrt {n \cdot p \cdot \left( {1 - p} \right)} > 3\) erfüllt ist, kann man die Binomialverteilung durch die Normalverteilung annähern.
Sigma-Umgebungen
Der Erwartungswert ist der Wert mit der größten Wahrscheinlichkeit. Links und rechts vom Erwartungswert gruppieren sich die restlichen binomialverteilten Wahrscheinlichkeiten. Wenn die Streuung groß genug ist, kann man die Binomialverteilung durch die Normalverteilung annähern. Um zu prüfen ob diese Näherung zulässig ist, verwendet man die Laplace Bedingung.
Radius der Sigma Umgebung (also Vielfachen der Standardabweichung):
\(\begin{array}{l} 1\sigma \buildrel \wedge \over = P\left( {\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma } \right) \approx 68\% \\ 2\sigma \buildrel \wedge \over = P\left( {\mu - 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma } \right) \approx 95,5\% \\ 3\sigma \buildrel \wedge \over = P\left( {\mu - 3\sigma \le X \le \mu + 3\sigma } \right) \approx 99,7\% \end{array}\)
Verteilungsfunktion der Binomialverteilung
Verteilungsfunktion der Binomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass es höchstens k Treffer gibt:
\(F\left( k \right) = P\left( {0 \le X \le k} \right) = \sum\limits_{i = 0}^k {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ i \end{array}} \right)} \cdot {p^i} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{n - i}}\)
Erwartungswert der Binomialverteilung
Der Erwartungswert eine Binomialverteilung, deren Zufallsvariable nur 2 Werte (Treffer / Niete) annehmen kann und deren Trefferwahrscheinlichkeit immer p ist, ergibt sich bei n unabhängigen Bernoulli-Versuchen aus dem Produkt von n und p.
\(E\left( X \right) = \mu = n \cdot p\)
Dabei handelt es sich um eine Vereinfachung der nachfolgenden Formel für den Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen, die mehrere Werte annehmen kann.
Erwartungswert einer diskreten Verteilung
Der Erwartungswert einer diskreten Verteilung, deren Zufallsvariable mehrere Werte X=xi annehmen kann, die ihrerseits mit unterschiedlicher Wahrscheinlichkeit P(X=xi) vorkommen entspricht der Summe der Werte der Zufallsvariablen X=xi multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von xi also P(X=xi).
\(E(X) = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i} \cdot P\left( {X = {x_i}} \right)} = \mu \)
\(P\left( E \right) = \dfrac{{{\text{Anzahl günstiger Fälle}}}}{{{\text{Anzahl mölicher Fälle}}}}\)
Varianz der Binomialverteilung
Die Varianz einer Binomialverteilung mit den Parametern n und p ist gegeben durch:
\({\sigma ^2} = Var\left( X \right) = n \cdot p \cdot \left( {1 - p} \right)\)
Hierbei ist X eine Zufallsvariable, welche die Anzahl der Treffer in n unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p beschreibt.
Standardabweichung der Binomialverteilung
\(\sigma = \sqrt {Var(X)} = \sqrt {n \cdot p \cdot \left( {1 - p} \right)} \)
Binomialverteilung → Normalverteilung
Die Binomialverteilung kann bei großen Stichproben, also bei relativ hohem n, durch die Normalverteilung ersetzt werden. Wobei dann für die Normalverteilung - so wie bei der Binomialverteilung - wie folgt gilt:
- Erwartungswert bei großem n: \(E\left( x \right) = \mu = n \cdot p\)
- Standardabweichung bei großem n: \(\sigma = \sqrt {Var(x)} = \sqrt {n \cdot p \cdot \left( {1 - p} \right)} \)
Hat eine Zufallsvariable X eine Normalverteilung mit beliebigen μ und σ, so kann man die Werte der Normalverteilung mit \(z = \dfrac{{X - \mu }}{\sigma }\) in eine Standardnormalverteilung umrechnen.
Das zugehörige \(\Phi \left( {{z}} \right)\) entnimmt man anschließend der entsprechenden Tabelle für die Standardnormalverteilung.
Bei 2 zum Erwartungswert symmetrisch liegenden Wahrscheinlichkeiten kann man den Umstand, dass \(\left| {{z_{oG}}} \right| = \left| {{z_{uG}}} \right|\) ausnützen und aus speziellen Tabellen für die Standardnormalverteilung direkt den Wert für das Intervall D ablesen.
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.
Aufgaben
Aufgabe 1779
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-1-Aufgaben - 22. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wahrscheinlichkeitsverteilung
In einer Urne befinden sich ausschließlich weiße und schwarze Kugeln. Drei Kugeln werden ohne Zurücklegen gezogen. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen weißen Kugeln an. Durch die nachstehende Tabelle ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X gegeben.
x | 1 | 2 | 3 |
P(X=x) | 0,3 | 0,6 | 0,1 |
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an.
- Aussage 1: Die Wahrscheinlichkeit, höchstens zwei weise Kugeln zu ziehen, ist 0,9.
- Aussage 2: Die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine weise Kugel zu ziehen, ist 0,3.
- Aussage 3: Die Wahrscheinlichkeit, mehr als eine weise Kugel zu ziehen, ist 0,6.
- Aussage 4: Die Wahrscheinlichkeit, genau zwei schwarze Kugeln und eine weise Kugel zu ziehen, ist 0,1.
- Aussage 5: Die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine schwarze Kugel zu ziehen, ist 0,9.
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.
Aufgabe 1780
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-1-Aufgaben - 23. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Zimmerbuchung
Ein Hotelmanager geht aufgrund langjähriger Erfahrung davon aus, dass jede Zimmerbuchung, die unabhängig von anderen Zimmerbuchungen erfolgte, mit 10%-iger Wahrscheinlichkeit storniert wird. Er nimmt für einen bestimmten Termin 40 voneinander unabhängige Zimmerbuchungen an.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an diesem Termin von den 40 Zimmerbuchungen höchstens 5 % storniert werden.
Aufgabe 1804
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. September 2020 - Teil-1-Aufgaben - 23. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wurf einer Münze
Eine Münze zeigt nach einem Wurf entweder Kopf oder Zahl. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze Kopf zeigt, ist bei jedem Wurf genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit, dass sie Zahl zeigt. Die Ergebnisse der Würfe sind voneinander unabhängig. Die Münze wird 20-mal geworfen.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei diesen 20 Würfen die Münze genau 12-mal Kopf zeigt.
[0 / 1 Punkt]
Aufgabe 1852
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-1-Aufgaben - 23. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Rauchverhalten
Laut einer Studie wollen 34 % aller Raucher/innen mit dem Rauchen aufhören.
Aufgabenstellung:
Interpretieren Sie den nachstehenden Ausdruck im gegebenen Sachzusammenhang.
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {200}\\ {57} \end{array}} \right) \cdot {0,34^{57}} \cdot {0,66^{143}}\)
[0 / 1 P.]
Aufgabe 4236
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 16. September 2020 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Fahrscheine - Aufgabe A_133
Teil b
Erfahrungsgemäß wird man bei einer Fahrt mit einer bestimmten U-Bahn-Linie mit einer Wahrscheinlichkeit von 2,5 % kontrolliert. Eine Person fahrt 300-mal mit dieser U-Bahn-Linie.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ordnen Sie den beiden Wahrscheinlichkeiten jeweils das entsprechende Ereignis aus A bis D zu. [2 zu 4] [1 Punkt]
- Wahrscheinlichkeit 1: \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {300}\\ 2 \end{array}} \right) \cdot {0,975^{298}} \cdot {0,025^2}\)
- Wahrscheinlichkeit 2: \(1 - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {300}\\ 1 \end{array}} \right) \cdot {0,975^{299}} \cdot {0,025^1} - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {300}\\ 0 \end{array}} \right) \cdot {0,975^{300}} \cdot {0,025^0}\)
- Ereignis A: Die Person wird genau 2-mal kontrolliert.
- Ereignis B: Die Person wird genau 2-mal nicht kontrolliert.
- Ereignis C: Die Person wird mindestens 2-mal nicht kontrolliert.
- Ereignis D: Die Person wird mindestens 2-mal kontrolliert.
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.
Aufgabe 4248
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sicherheit auf dem Schulweg - Aufgabe A_293
Im Nahbereich von Schulen stellen die zu- und abfahrenden Fahrzeuge ein großes Problem dar.
Teil a
Vor einer Schule werden Geschwindigkeitsmessungen durchgeführt. Es ist bekannt, dass sich Kfz-Lenker/innen mit einer Wahrscheinlichkeit von nur 26 % an das geltende Tempolimit halten.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich von 20 zufällig ausgewählten Kfz-Lenkerinnen und -Lenkern mehr als die Hälfte an das geltende Tempolimit hält.
[1 Punkt]
Aufgabe 4276
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Darts - Aufgabe A_302
Darts ist ein Spiel, bei dem Pfeile auf eine kreisförmige Dartscheibe geworfen werden
Teil d
Ein Spieler wirft 5-mal hintereinander auf eine Dartscheibe. Die Wahrscheinlichkeit, das sogenannte Bull’s Eye in der Mitte der Dartscheibe zu treffen, beträgt bei jedem Wurf p.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ordnen Sie den beiden Satzanfängen jeweils eine Fortsetzung aus A bis D zu, sodass zutreffende Aussagen entstehen.
[0 / 1 P.]
- Satzanfang 1: Mit dem Ausdruck \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 4 \end{array}} \right) \cdot {p^4} \cdot \left( {1 - p} \right) + {p^5}\) wird die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass der Spieler bei 5 Würfen …
- Satzanfang 2: Mit dem Ausdruck \(1 - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 4 \end{array}} \right) \cdot {p^4} \cdot \left( {1 - p} \right) + {p^5}\) wird die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass der Spieler bei 5 Würfen …
- Fortsetzung A: ... höchstens 3-mal das Bull‘s Eye trifft.
- Fortsetzung B: ... mindestens 3-mal das Bull‘s Eye trifft.
- Fortsetzung C: ... höchstens 4-mal das Bull‘s Eye trifft.
- Fortsetzung D: ... mindestens 4-mal das Bull‘s Eye trifft.