Österreichische BHS Matura - 2018.05.09 - BRP & FAfEP & BASOP - 4 Teil B Beispiele

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Abrissbirnen - Aufgabe B_012

Abrissbirnen sind kugel- oder birnenförmige Werkzeuge zum Abreisen von Gebäuden.

Teil a

Eine Abrissbirne hat die Form einer Kugel mit dem Durchmesser d. Die Masse m und die Dichte ϱ der Kugel sind bekannt. Die Masse ist das Produkt von Volumen und Dichte.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung des Durchmessers d aus m und ϱ .
d= ……   
[1 Punkt]

Eine einfache Regel besagt: „Um die Masse einer Kugel zu verdoppeln, ist ihr Durchmesser um rund ein Viertel zu vergrößern.“

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Zeigen Sie allgemein, dass diese Regel richtig ist.
[1 Punkt]

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Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
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Abrissbirnen - Aufgabe B_012

Abrissbirnen sind kugel- oder birnenförmige Werkzeuge zum Abreisen von Gebäuden.

Teil b

Eine andere Abrissbirne kann als Körper modelliert werden, der durch Rotation des Graphen der Polynomfunktion f mit \(f\left( x \right) = a \cdot {x^4} + b \cdot {x^3} + c \cdot {x^2} + d \cdot x + e\) um die x-Achse entsteht.

Bild

Dabei gilt: A = (0|0), B = (1,1| 2,2), C = (9,4|5,1), D = (12| 0). Im Punkt C hat die Abrissbirne den größten Durchmesser.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 11:20

Erstellen Sie mithilfe der Informationen zu A, B, C und D ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten der Polynomfunktion f.
[2 Punkte]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie die Koeffizienten von f.

[1 Punkt]

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Abrissbirnen - Aufgabe B_012

Abrissbirnen sind kugel- oder birnenförmige Werkzeuge zum Abreisen von Gebäuden.

Teil c

Durch Rotation des Graphen der Funktion g im Intervall [1; b] um die x-Achse entsteht die Form einer weiteren Abrissbirne (siehe nachstehende Abbildung):

Bild

\(g\left( x \right) = - 0,00157 \cdot {x^4} + 0,03688 \cdot {x^3} - 0,29882 \cdot {x^2} + 1,26325 \cdot x\)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie die Nullstelle b.
[1 Punkt]

Das Volumen dieser Abrissbirne soll verkleinert werden. Durch Rotation des Graphen der Funktion g im Intervall [1; a] um die x-Achse entsteht die Form einer Abrissbirne mit einem um 10 dm³ kleineren Volumen.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie die in der obigen Abbildung dargestellte Stelle a.
[1 Punkt]

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Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
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Höhe der Wolkenuntergrenze - Aufgabe B_110

Die Höhe der Wolkenuntergrenze kann auf verschiedene Arten näherungsweise bestimmt werden.

Teil a

Die Höhe der Wolkenuntergrenze wurde früher mithilfe eines Nachtwolkenscheinwerfers bestimmt. Folgende Anweisung musste man dabei befolgen: „Platzieren Sie auf einer horizontalen Ebene den Scheinwerfer in einem Punkt P so, dass sein Lichtstrahl senkrecht nach oben gerichtet ist. Dort erzeugt er auf der Wolkenuntergrenze in der Höhe h einen punktförmigen Lichtfleck L. Begeben Sie sich in einen anderen Punkt Q dieser Ebene und messen Sie die Streckenlänge PQ. Messen Sie den Höhenwinkel α, unter dem der Lichtfleck L nun von Punkt Q aus gesehen wird.“

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Veranschaulichen Sie den beschriebenen Sachverhalt mithilfe einer Skizze. Beschriften Sie P, Q, L, h und α in dieser Skizze.
[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Erstellen Sie eine Formel, mit deren Hilfe man die Höhe der Wolkenuntergrenze h mit den gemessenen Größen bestimmen kann.
h = ________                    
[1 Punkt]

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Höhe der Wolkenuntergrenze - Aufgabe B_110

Die Höhe der Wolkenuntergrenze kann auf verschiedene Arten näherungsweise bestimmt werden.

Teil b

Ein Ceilometer ist ein Messgerät, mit dem man aufgrund einer Lichtlaufzeitmessung die Höhe der Wolkenuntergrenze bestimmen kann. Dabei gilt:
\(h = \dfrac{{c \cdot t}}{2}\)

mit

Das Gerät misst eine Lichtlaufzeit von \(10\mu s\)

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Kreuzen Sie denjenigen Ausdruck an, mit dem die Höhe der Wolkenuntergrenze h in Metern korrekt ermittelt wird.
[1 aus 5]   [1 Punkt]

• Aussage 1: \(\dfrac{{300 \cdot {{10}^{ - 6}} \cdot 10 \cdot {{10}^{ - 6}}}}{2}\)
   
• Aussage 2: \(\dfrac{{300 \cdot {{10}^6} \cdot 10 \cdot {{10}^{ - 9}}}}{2}\)
   
• Aussage 3: \(\dfrac{{3 \cdot {{10}^{ - 8}} \cdot {{10}^5}}}{2}\)
   
• Aussage 4: \(\dfrac{{3 \cdot {{10}^8} \cdot 10 \cdot {{10}^9}}}{2}\)
   
• Aussage 5: \(\dfrac{{3 \cdot {{10}^8} \cdot {{10}^{ - 5}}}}{2}\)

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Höhe der Wolkenuntergrenze - Aufgabe B_110

Die Höhe der Wolkenuntergrenze kann auf verschiedene Arten näherungsweise bestimmt werden.

Teil c

Eine Wolke wirft einen 150 m langen Schatten auf den Erdboden. Von A aus sieht man die Wolke unter dem Sehwinkel α = 4°. Der Einfallswinkel der parallelen Sonnenstrahlen gegenüber der Horizontalen betragt β = 30°.

Die folgende Abbildung stellt diese Situation vereinfacht und nicht maßstabsgetreu dar:

Bild

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Tragen Sie die gegebenen Winkel α und β in die obige Abbildung ein.
[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie die Entfernung BC.
[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie die Höhe h.
[1 Punkt]

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Würfel - Aufgabe B_115

Teil a

Das im Folgenden beschriebene Spiel wird mit herkömmlichen fairen Spielwürfeln gespielt, bei denen die Augenzahlen 1 bis 6 jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit als Würfelergebnis auftreten. Es werden 2 Spielwürfel gleichzeitig geworfen und es wird deren Augensumme bestimmt. Nun sollen die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten ermittelt werden.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Tragen Sie die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten in die nachstehende Tabelle ein.

[1 Punkt]

Es wird Ihnen nun folgendes Spiel vorgeschlagen:

• Sie gewinnen, wenn die Augensumme 5, 6, 7 oder 8 beträgt.

oder

• Sie gewinnen mit allen übrigen Augensummen.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie, welche der beiden Möglichkeiten die höhere Gewinnwahrscheinlichkeit hat.
[1 Punkt]

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Würfel - Aufgabe B_115

Teil b

Mit Würfeln wird eine Treppe gebaut:

Bild

Das obige Bauschema soll auf diese Art fortgesetzt werden.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Erstellen Sie ein rekursives Bildungsgesetz, mit dem man die Anzahl der Würfel in der n-ten Ebene berechnen kann.
[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Bestimmen Sie, wie viele Würfel in der 7. Ebene liegen.
[1 Punkt]

Die Anzahl s_n der Würfel, die für eine solche Treppe aus n Ebenen insgesamt benötigt wird, kann mithilfe der folgenden Formel bestimmt werden:
\({s_n} = 1,5 \cdot \left( {{n^2} + n} \right)\)

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie, aus wie vielen Ebenen eine solche Treppe besteht, wenn man insgesamt 360 Würfel verbaut.
[1 Punkt]

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Wiener Öffis - Aufgabe B_187

Wien betreibt das fünftgrößte Straßenbahnnetz weltweit und das fünftgrößte U-Bahn-Netz in der Europäischen Union. Seit 1995 steigt die Zahl der Passagiere ständig an.

Teil a

Fahrgastzahlen:
 

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Interpretieren Sie das Ergebnis der folgenden Berechnung im gegebenen Sachzusammenhang:
\(\dfrac{{875,0 - 722,4}}{{722,4}} \approx 0,21\)

[1 Punkt]

Es wird angenommen, dass der Zusammenhang zwischen der Zeit t in Jahren und der Fahrgastzahl der Wiener Linien in Millionen pro Jahr näherungsweise durch eine lineare Funktion beschrieben werden kann.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie eine Gleichung der zugehörigen linearen Regressionsfunktion. Wählen Sie t = 0 für das Jahr 2002.
[1 Punkt]

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie mithilfe dieser Regressionsfunktion eine Prognose für die Fahrgastzahl im Jahr 2018.
[1 Punkt]

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Wiener Öffis - Aufgabe B_187

Wien betreibt das fünftgrößte Straßenbahnnetz weltweit und das fünftgrößte U-Bahn-Netz in der Europäischen Union. 

Teil b

Im Folgenden ist ein kleiner Ausschnitt des Wiener U-Bahn-Netzes abgebildet:

Bild

Die Mengen der Haltestellen der Linien U1, U2 und U4, die in diesem Ausschnitt dargestellt sind, werden mit U1, U2 bzw. U4 bezeichnet.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Tragen Sie in jeden Teilbereich des nachstehenden Diagramms die entsprechende Anzahl an Haltestellen für den abgebildeten Ausschnitt des Wiener U-Bahn-Netzes ein.
[1 Punkt]

Bild

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Geben Sie die Namen derjenigen Haltestellen an, die in der folgenden Menge liegen:

U1 \ (U2 ∪ U4)
[1 Punkt]

Aus dem abgebildeten Ausschnitt des Wiener U-Bahn-Netzes wird eine Haltestelle zufällig ausgewählt.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich um eine Haltestelle handelt, die an mehr als einer U-Bahn-Linie liegt.
[1 Punkt]