Algebra
Wissenswertes über: Zahlensysteme und Rechengesetze, Komplexe Zahlen, Potenzen, Wurzeln und Logarithmen, Matrizen, Gleichungen, Ungleichungen
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Julia Menge
Die Darstellung der Julia Menge ist ein Beispiel für ein Fraktal, welches durch Rekursion aus einer nichtlinearen Gleichungen generiert wird. Nicht zusammenhängende Julia Mengen werden Cantor Mengen genannt, zusammenhängende Julia Mengen werden Mandelbrot Mengen genannt.
\({z_{n + 1}} = {z_n}^2 + c\)
Indem man z0 variiert, kann man herausfinden, welche komplexen Startwerte zo , für ein gewähltes konstantes c , zur Julia Menge gehören und welche nicht. Die Julia-Menge ist also die Menge aller komplexer Startwerte z0, für welche die Folge zn für ein gewähltes konstantes c stets beschränkt bleibt, also konvergiert, d.h. sich immer mehr einem Grenzwert annähert.
Die Julia-Menge kann eine Staubwolke aus unendlich vielen Punkten sein, dann ist sie eine sogenannte Cantor-Menge, oder sie ist zusammenhängend, also verbunden, dann nennt man sie Mandelbrot Menge und stellt sie als Apfelmännchen-Fraktal dar. Für diese Unterscheidung muss man für das gewählte c nur einen einzigen Punkt untersuchen: Und zwar z0=0. Divergiert dieser Punkt in Richtung unendlich, so ist die Julia-Menge nicht zusammenhängend.
In der grafischen Darstellung hat die Julia Menge Im Unterschied zur Mandelbrot-Menge, unterschiedliche Aussehen, abhängig wie man c am Beginn festgelegt hat. D.h. für jedes c gibt es eine eigene Julia-Menge. Viele Julia-Mengen entsprechen der leeren Menge! Eine Julia-Menge ist genau dann nicht leer, wenn der Punkt c in der Mandelbrot-Menge liegt.
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Lineare Ungleichung mit einer Variablen
Bei einer linearen Ungleichung mit einer Variablen enthält die Ungleichung eine einzige Variable und diese wiederum lediglich zur 1. Potenz. Die Lösungsmenge, also all jene x, die die Ungleichung erfüllen, kann man am Zahlenstrahl durch Intervalle visualisieren.
\(ax + b < cx + d\)
Normalform einer linearen Ungleichung mit einer Variablen
Bei der Normalform einer linearen Ungleichung kommt die Variable x nur zur 1. Potenz vor und rechts vom Ungleichheitszeichen steht eine Null. Dazu ist es eventuell erforderlich die Ungleichung durch Äquivalenzumformungen entsprechend umzuformen
Beispiel
\(\eqalign{ & ax + b < cx + d \cr & \left( {a - c} \right) \cdot x + \left( {b - d} \right) < 0 \cr} \)
Zum Lösen der Ungleichung macht man die Variable explizit, indem man allfällige Klammern auflöst, die Therme zusammenfasst und Äquivalenzumformungen so durchführt, dass die Variable und allfällige Konstanten alleine auf einer Seite der Ungleichung stehen. Nicht vergessen: Bei Division oder Multiplikation mit einer negativen Zahl, muss man das Ungleichheitszeichen umdrehen!
\(\eqalign{ & ax + b < 0{\text{ }}...{\text{ mit a}}{\text{,b }} \in {\text{ }}{\Bbb R}{\text{ und a}} \ne {\text{0}} \cr & ax + b > 0{\text{ }}...{\text{ mit a}}{\text{,b }} \in {\text{ }}{\Bbb R}{\text{ und a}} \ne {\text{0}} \cr}\)
Gleichungen
Eine Gleichung ist eine mathematische Schreibweise, die zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen verbindet.
Gleichungssystem
Mehrere zusammengehörende Gleichungen bezeichnet man als Gleichungssystem. Eine Lösung des Gleichungssystems liegt dann vor, wenn man jeder der n Variablen genau einen Zahlenwert zuordnen kann, sodass alle m Gleichungen zu wahren Aussagen werden. Wenn man eine Lösung gefunden hat, empfiehlt sich die Probe durch einsetzen der Werte der Variablen in die Gleichungen des Gleichungssystems.
\(\matrix{ {{a_1} \cdot x} & { + {b_1}.y} & { = {c_1}} \cr {{a_2} \cdot x} & { + {b_2}.y} & { = {c_2}} \cr } \left| {\matrix{ {{\rm{Gl}}{\rm{.1}}} \cr {{\rm{Gl}}{\rm{.2}}} \cr } } \right.\)
wobei:
x, y | Variablen |
\({a_i},\,\,{b_i},\,\,{c_i}\,\, \in {\Bbb R}\) | Koeffizienten |
Homogenes und inhomogenes Gleichungssystem
- Bei einer homogenen Gleichung steht auf der rechten Seite der Gleichung eine Null. Wenn also in obigem Gleichungssystem alle ci=0 sind, dann spricht man von homogenen Gleichungssystemen
- Bei einer inhomogenen Gleichung steht auf der rechten Seite der Gleichung keine Null. Wenn also in obigem Gleichungssystem mindestens ein ci=0 ist, dann spricht man von inhomogenen Gleichungsystemen
Anzahl unterschiedlicher Variablen in einer Gleichung
Die Anzahl der unterschiedlichen Variablen in einer Gleichung muss gleich sein der Anzahl der von einander unabhängigen Gleichungen, damit das Gleichungssystem sicher eindeutig lösbar ist.
Gleichung mit keiner Variablen: Eine Gleichung ohne Variable ist eine triviale Aussage. Hier kann man nur prüfen ob es sich bei der Gleichung um eine wahre Aussage handelt, oder nicht
Beispiel:
\(1 + 3 = 4\)
Gleichung mit einer Variablen: Eine Gleichung mit einer Variablen formt man so um, dass die Variable explizit wird.
Beispiel:
\(x + 3 = 5 \to x = 2\)
Gleichungssystem mit mehreren Variablen: Gibt es zwei oder mehrere Variablen, so muss es auch zwei oder mehrere Gleichungen geben. Dann spricht man von einem Gleichungssystem. Die Lösung muss alle Gleichungen erfüllen
Beispiel:
\(\eqalign{ & {a_{11}} \cdot {x_1} + {a_{12}} \cdot {x_2} + ... + {a_{1n}} \cdot {x_n} = {c_1} \cr & {a_{21}} \cdot {x_1} + {a_{22}} \cdot {x_2} + ... + {a_{2n}} \cdot {x_n} = {c_2} \cr & ... \cr & {a_{m1}} \cdot {x_1} + {a_{m2}} \cdot {x_2} + ... + {a_{mn}} \cdot {x_n} = {c_m} \cr} \)
Es sei m die Anzahl der linearen (unabhängigen) Gleichungen und n die Anzahl der Variablen
- m=n → das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar
- m>n → überbestimmtes Gleichungssystem; Es gibt mehr Gleichungen als Variablen. Solch ein Gleichungssystem kann eindeutig lösbar sein
- m<n → unterbestimmtes Gleichungssystem; Es gibt weniger Gleichungen als Variablen. Solch ein Gleichungssystem ist nicht eindeutig lösbar
Grad der Variablen in einer Gleichung
Der Grad der Gleichung entspricht dem höchsten Exponenten der Variablen und er entspricht zudem der Anzahl der Lösungen.
lineare Gleichung → Grad = 1 → eine Lösung
Lineare Gleichungen in einer Variablen sind eindeutig lösbar, d.h. sie haben genau eine Lösung.
Beispiel:
\(a \cdot x + b = 0\) → \(x_1 = - \dfrac{b}{a}\)
quadratische Gleichung → Grad = 2 → zwei Lösungen
Beispiel:
\({x^2} = 9 \to {x_{1,2}} = \root 2 \of 9 = \pm 3\)
Gleichung höheren Grades → Grad >2 → mehrere Lösungen
Beispiel:
\({x^3} = 27 \to {x_{1,2,3}} = \root 3 \of {27} = 3\)
Implizite und Explizite Darstellung der Variablen in einer Gleichung
Um Gleichungen lösen zu können, d.h. jenes x zu ermitteln, welches die Gleichung zu einer wahren Aussage macht, strebt man an, dass die Variable x alleine (ohne Koeffizienten) auf einer Seite vom Gleichheitszeichen steht. Man spricht dann von der expliziten Darstellung, andernfalls von der impliziten Darstellung.
Explizite Darstellung:
Bei der expliziten Darstellung steht die Variable x alleine auf einer Seite vom Gleichheitszeichen.
Beispiel:
\(x = - \dfrac{b}{a}\)
Implizite Darstellung:
Bei der impliziten Darstellung steht die Variable x in Form eines Terms auf einer oder auf beiden Seiten vom Gleichheitszeichen. Durch Äquivalenzumformungen wird die Gleichung so lange vereinfacht, bis die Variable alleine auf einer Seite steht, also explizit gemacht wurde. Eine Äquivalenzumformung ändert die Lösung einer Gleichung nicht.
Beispiel.
\(a \cdot x + b = 0\)
Lösung einer Gleichung, bzw. eines Gleichungssystems
Bei Gleichungen mit einer oder mehreren Variablen gilt es jene Werte der Variablen aus einer gegebenen Grundmenge zu bestimmen, für die die Lösung der Gleichung eine wahre Aussage wird. Pro Variable benötigt man genau eine unabhängige Gleichung.
Beispiel:
\(1 + x = 3 \to x = 2 \to 1 + 2 = 3{\text{ wahre Aussage}}\)
Rechenregeln für Potenzen
Potenzrechnung geht vor Punktrechnung geht vor Strichrechnung
- \({0^0}...{\text{nicht definiert}}\)
- \({0^{ - n}}...{\text{nicht definiert}}\)
- \({0^n} = 0\)
- \({a^0} = 1\)
- \({a^1} = a\)
- \(n \in {{\Bbb N}_u}:\,\,\,{\left( { - a} \right)^n} = - {a^{n}}\)
- \(n \in {{\Bbb N}_g}:\,\,\,{\left( { - a} \right)^n} = {a^{n}}\)
- \({a^{ - n}} = \dfrac{1}{{{a^n}}}\)
Potenzen addieren bzw. subtrahieren, wenn die Basen und die Exponenten überein stimmen
Zwei Potenzen haben den selben Wert, wenn sie in Basis und Exponent übereinstimmen. Man kann in diesem Fall beim Addieren bzw. Subtrahieren die Potenz "herausheben".
\(\eqalign{ & x \cdot {a^b} + y \cdot {a^b} = (x + y) \cdot {a^b} \cr & x \cdot {a^b} - y \cdot {a^b} = (x - y) \cdot {a^b} \cr}\)
Potenzen multiplizieren bzw. dividieren, wenn die Basen übereinstimmen
Potenzen gleicher Basis werden multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert. Bei der Division werden die beiden Exponenten subtrahiert.
\(\eqalign{ & {a^r} \cdot {a^s} = {a^{r + s}} \cr & {a^r}:{a^s} = \dfrac{{{a^r}}}{{{a^{}}}} = {a^{r - s}} \cr}\)
Potenzen multiplizieren bzw. dividieren, wenn die Exponenten übereinstimmen
Potenzen mit unterschiedlicher Basis aber übereinstimmenden Exponenten werden multipliziert bzw. dividiert indem man das Produkt bzw. den Quotient der Basen bildet und den Exponenten unverändert übernimmt
\(\eqalign{ & {a^r} \cdot {b^r} = {(a \cdot b)^r} \cr & {a^r}:{b^r} = {\left( {\dfrac{a}{b}} \right)^r} = {a^r} \cdot {b^{ - r}} \cr}\)
Potenzen potenzieren bzw. radizieren
Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert. Man zieht die Wurzel aus Potenzen, indem man den Exponenten der Potenz durch den Wurzelexponenten dividiert wobei die Basis unverändert bleibt.
\(\eqalign{ & {\left( {{a^r}} \right)^s} = {a^{r \cdot s}} = {\left( {{a^s}} \right)^r} \cr & \root s \of {{a^r}} = {a^{\dfrac{r}{s}}} \cr}\)
Grundrechnungsarten
Die vier Grundrechnungsarten umfassen die "Strichrechnungsarten" Addition und Subtraktion, sowie die "Punktrechnungsarten" Multiplikation und Division
Addition
Die Addition ist der lateinische Name für die Plus Rechnung. Summand plus Summand ist gleich der Summe
- Summand ist die Zahl die dazu zuzählen ist
- Summe ist das Resultat einer Plus Rechnung
Subtraktion
Die Subtraktion ist der lateinische Name für die Minus Rechnung. Minuend minus Subtrahend ist gleich der Differenz
- Minuend ist die Zahl von der etwas abgezogen wird
- Subtrahend ist die Zahl die abgezogen wird
- Differenz ist das Resultat einer Minus Rechnung
Addition und Subtraktion sind entgegengesetzte Rechenoperationen. Addiert man eine Zahl und subtrahiert man sie wieder, so erhält man die Ausgangszahl
Multiplikation
Die Multiplikation ist der lateinische Name für die Mal Rechnung. Faktor mal Faktor ist gleich dem Produkt
- Faktor ist die Zahl die multipliziert wird oder die Zahl mit der multipliziert wird
- Produkt ist das Resultat einer Mal Rechnung
Satz vom Nullprodukt
Ein Produkt ist dann null, wenn zumindest einer der beiden Faktoren null ist.
Division
Die Division ist der lateinische Name für das Teilen. Dividend durch Divisor ist gleich dem Quotient
- Dividend ist die Zahl die zu teilen ist
- Divisor ist die Zahl durch die geteilt wird
- Quotient ist das Resultat einer Geteilt Rechnung
Multiplikation und Division sind entgegengesetzte Rechenoperationen. Multipliziert man mit eine Zahl und dividiert man durch diese Zahl wieder, so erhält man die Ausgangszahl
Vorzeichenregeln bei Multiplikation und Division
- Plus mal / geteilt durch plus ergibt plus
- Plus mal / geteilt durch minus ergibt minus
- Minus mal / geteilt durch plus ergibt minus
- Minus mal / geteilt durch minus ergibt plus
Rechengesetze für reelle Zahlen
Für die vier Grundrechnungsarten gibt es mathematische Regeln, die in Form von Rechengesetzen formuliert sind
Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)
- ... der Addition: Summanden darf man vertauschen
\(a + b = b + a\) - ... der Multiplikation: Faktoren darf man vertauschen
\(a \cdot b = b \cdot a\)
Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz)
- ... der Addition: Summanden darf man zu Teilsummen verbinden
\(\left( {a + b} \right) + c = a + \left( {b + c} \right)\) - ... der Multiplikation: Faktoren darf man zu Produkten verbinden
\(\left( {a \cdot b} \right) \cdot c = a \cdot \left( {b \cdot c} \right)\)
Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)
- Klammern dürfen ausmultipliziert werden
\(\eqalign{ & a \cdot \left( {b + c} \right) = a \cdot b + a \cdot c \cr & a \cdot \left( {b - c} \right) = a \cdot b - a \cdot c \cr} \)
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Existenz eines neutralen Elements
- das neutrales Element der Addition und der Subtraktion ist 0
x+0=x; x-0=x - das neutrales Element der Multiplikation und der Division ist 1
x*1=x; x:1=x
Existenz eines inversen Elements
- das inverse Element der Addition ist (-x), das der Subtraktion ist (+x)
x+(-x)=0; -x+(+x)=0 - das inverse Element der Multiplikation ist x-1, das der Division ist x
\(x \cdot {x^{ - 1}} = 1;\,\,\,\,\,\dfrac{1}{x} \cdot x = 1\,\,\,\,\,{\rm{für x}} \ne {\rm{0}}\)
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Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen
Ebenso wie Gleichungen löst man auch Ungleichungen durch Äquivalenzumformungen. Unter einer Äquivalenzumformung einer Ungleichung versteht man eine Umformung, die den Wahrheitswert der Ungleichung unverändert lässt. Bei Ungleichungen unterscheidet man zwischen Äquivalenzumformung mit bzw. ohne Umkehrung des Ungleichheitszeichens.
Ungleichungen kann man von links nach rechts und von rechts nach links lesen:
\({T_1} > {T_2} \Leftrightarrow {T_2} < {T_1}\)
"Wenn Term 1 größer als Term 2 ist, dann ist Term 2 kleiner als Term 1".
Zwei Ungleichungen mit gleichem Ungleichheitszeichen darf man zusammenfassen
\({T_1} \geqslant {T_2}\,\,\,\,\,{T_3} \geqslant {T_4} \Rightarrow {T_1} + {T_3} \geqslant {T_2} + {T_4}\)
"Wenn T1 größer gleich T2 und wenn T3 größer gleich T4 ist, dann ist auch die Summe aus T1 und T3 größer oder gleich T2 und T4".
Äquivalenzumformung ohne Umkehrung des Ungleichheitszeichens
Eine Äquivalenzumformung ändert die Lösung einer Ungleichung nicht.
Addition oder Subtraktion von einer Konstanten oder einem Term auf beiden Seiten der Ungleichung:
\(\eqalign{ & {T_1} < {T_2} \Leftrightarrow {T_1} \pm c < {T_2} \pm c \cr & {T_1} < {T_2} \Leftrightarrow {T_1} \pm {T_3} < {T_2} \pm {T_3} \cr} \)
Multiplikation bzw. Division mit einer positiven Zahl oder einem positiven Term erfordern keine Umkehrung des Ungleichheitszeichens:
\(\eqalign{ & {T_1} < {T_2} \Leftrightarrow {T_1} \cdot c < {T_2} \cdot c \cr & {T_1} < {T_2} \Leftrightarrow {T_1} \cdot {T_3} < {T_2} \cdot {T_3} \cr} \)
bzw.
\(\eqalign{ & {T_1} < {T_2} \Leftrightarrow {T_1}:c < {T_2}:c \cr & {T_1} < {T_2} \Leftrightarrow {T_1}:{T_3} < {T_2}:{T_3} \cr} \)
Äquivalenzumformung mit Umkehrung des Ungleichheitszeichens
Das Ungleichheitszeichen muss umgedreht werden, wenn man die Reihenfolge der Terme vertauscht oder wenn man mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert.
\(\eqalign{ & {T_1} < {T_2} \Leftrightarrow {T_2} > {T_1} \cr & \cr & {T_1} < {T_2} \Leftrightarrow {T_1} \cdot c > {T_2} \cdot c{\text{ }}...{\text{ wenn c eine negative Zahl ist}} \cr & \cr & {T_1} < {T_2} \Leftrightarrow {T_1}:c > {T_2}:c{\text{ }}...{\text{ wenn c eine negative Zahl ist}} \cr}\)
Beispiel:
Gegeben sei folgende Ungleichung
\(- 4 \cdot x + 6 < 14\)
Wir subtrahieren 6 von beiden Seiten der Ungleichung → keine Umkehrung vom Ungleichheitszeichen
\(\eqalign{ & - 4 \cdot x + 6 - 6 < 14 - 6 \cr & - 4 \cdot x < 8 \cr} \)
Wir dividieren beide Seiten der Ungleichung durch -4 → Umkehrung vom Ungleichheitszeichen erforderlich!
\(\eqalign{ & - 4 \cdot x < 8\,\,\,\,\,\left| {:\left( { - 4} \right)} \right. \cr & x > \frac{8}{{ - 4}} \cr & x > - 2 \cr} \)
Mandelbrot Menge
Die Mandelbrot Menge ist jene Untermenge der Julia Menge, die aus zusammenhängenden Punkten besteht. Die Darstellung der Mandelbrot Menge ist ein Beispiel für ein Fraktal, welches durch Rekursion aus einer nichtlinearen Gleichungen generiert wird.
\({z_{n + 1}} = {z_n}^2 + c\)
Indem man c variiert, kann man herausfinden, welche Punkte c der gaußschen Ebene zur Mandelbrot-Menge gehören und welche nicht. Zur Mandelbrot Menge gehören jene c, für die die komplexe Folge beschränkt bleibt, also konvergiert, d.h. sich immer mehr einem Grenzwert annähert.
In der grafischen Darstellung als „Apfelmännchen-Fraktal“ werden die Elemente der Mandelbrot-Menge rot dargestellt. Alle anderen Punkte c, deren Zahlenfolge vor dem Erreichen der Iterationsgrenze divergieren, erhalten oft eine Farbe, die davon abhängt, nach wie vielen Iterationsschritten n die Divergenz festgestellt werden konnte, im obigen Bild sind diese Punkte aber alle weiß dargestellt..
Matrixalgebra
Matrizen sind zweidimensionale Listen von Zahlen mit denen man rechnen kann
Addition bzw. Subtraktion von Matrizen
Die Addition bzw. Subtraktion von Matrizen (die gleich vielen Zeilen und Spalten haben müssen, die also quadratische Matrizen sind) erfolgt, indem man die Komponenten mit gleichem Index addiert bzw. subtrahiert. Das Resultat ist wieder eine Matrix mit gleich vielen Zeilen und Spalten wie die Summanden bzw. wie Minuend und Subtrahend.
\(A \pm B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{....}&{{a_{1n}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{...}&{{a_{2n}}}\\ {...}&{...}&{...}&{...}\\ {{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}&{...}&{{a_{mn}}} \end{array}} \right) \pm \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_{11}}}&{{b_{12}}}&{....}&{{b_{1n}}}\\ {{b_{21}}}&{{b_{22}}}&{...}&{{b_{2n}}}\\ {...}&{...}&{...}&{...}\\ {{b_{m1}}}&{{b_{m2}}}&{...}&{{b_{mn}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}} \pm {b_{11}}}&{{a_{12}} \pm {b_{12}}}&{....}&{{a_{1n}} \pm {b_{1n}}}\\ {{a_{21}} \pm {b_{21}}}&{{a_{22}} \pm {b_{22}}}&{...}&{{a_{2n}} \pm {b_{2n}}}\\ {...}&{...}&{...}&{...}\\ {{a_{m1}} \pm {b_{m1}}}&{{a_{m2}} \pm {b_{m2}}}&{...}&{{a_{mn}} \pm {b_{mn}}} \end{array}} \right)\)
Multiplikation einer Matrix A mit einer Zahl k
Eine Matrix A wird mit einer Zahl k multipliziert, indem man jede einzelne Komponente der Matrix mit der Zahl multipliziert.
\(k \cdot A = k \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{....}&{{a_{1n}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{...}&{{a_{2n}}}\\ {...}&{...}&{...}&{...}\\ {{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}&{...}&{{a_{mn}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {k \cdot {a_{11}}}&{k \cdot {a_{12}}}&{....}&{k \cdot {a_{1n}}}\\ {k \cdot {a_{21}}}&{k \cdot {a_{22}}}&{...}&{k \cdot {a_{2n}}}\\ {...}&{...}&{...}&{...}\\ {k \cdot {a_{m1}}}&{k \cdot {a_{m2}}}&{...}&{k \cdot {a_{mn}}} \end{array}} \right)\)
Multiplikation von Matrizen
- Damit man überhaupt 2 Matrizen mit einander multiplizieren kann, muss die Spaltenanzahl der 1. Matrix gleich groß wie die Zeilenanzahl der 2. Matrix sein. Das Produkt der beiden Matrizen ist wieder eine Matrix, die so viele Zeilen wie die 1. Matrix und so viele Spalten wie die 2. Matrix hat
- Die Komponente cij(also das Element in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte) der resultierenden Matrix C errechnet sich aus der Summe aller Produkte der i-ten Zeile von Matrix A und der j-ten Spalte von Matrix B.
- Die Multiplikation von Matrizen ist im allgemeinen nicht kommutativ. \(A \cdot B \ne B \cdot A\)
- Die Einheitsmatrix I ist das neutrale Element der Matrixmultiplikation gemäß: \(A \cdot I = I \cdot A = A\)
- Für 3 Matrizen die man miteinander multiplizieren kann, gilt das Assoziativgesetz gemäß: \(\left( {A \cdot B} \right) \cdot C = A \cdot \left( {B \cdot C} \right)\)
- Es gibt 2 Varianten vom Distributivgesetz:
- links nach rechts: \(A \cdot \left( {B + C} \right) = A \cdot B + A \cdot C\)
- rechts nach links: \(\left( {A + B} \right) \cdot C = A \cdot C + B \cdot C\)
In Matrizenschreibweise ergibt sich:
\(C = A \cdot B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{...}&{{a_{1p}}}\\ {...}&{...}&{...}\\ {{a_{i1}}}&{...}&{{a_{ip}}}\\ {...}&{...}&{...}\\ {{a_{m1}}}&{...}&{{a_{mp}}} \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_{11}}}&{...}&{{b_{1j}}}&{...}&{{b_{1n}}}\\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...}\\ {{b_{p1}}}&{...}&{{b_{pj}}}&{...}&{{b_{pn}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_{11}}}&{...}&{{c_{1j}}}&{...}&{{c_{1n}}}\\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...}\\ {{c_{i1}}}&{...}&{{c_{ij}}}&{...}&{{c_{in}}}\\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...}\\ {{c_{m1}}}&{...}&{{c_{mj}}}&{...}&{{c_{mn}}} \end{array}} \right)\)
mit \(\eqalign{ & {c_{ij}} = {a_{i1}} \cdot {b_{1j}} + {a_{i2}} \cdot {b_{2j}} + ... + {a_{ip}} \cdot {b_{pj}} \cr & {c_{ij}} = \sum\limits_{k = 1}^m {{a_{ik}} \cdot {b_{kj}}} \cr} \)
wobei
A | m x p - Matrix |
B | p x n - Matrix |
C=A•B | m x n - Matrix |
Achtung: Es ist zwar möglich die beiden Matrizen zu multiplizieren, es ist aber nicht möglich A+B oder A-B, also die Summe bzw. die Differenz der beiden Matrizen zu berechnen, da sie unterschiedliche Dimensionen haben.
Potenz einer Matrix
Die n-te Potenz einer Matrix erhält man, indem man die Matrix n mal mit sich selbst multipliziert
\(\eqalign{ & {A^2} = A \cdot A \cr & {A^n} = A \cdot ... \cdot A{\text{ (n - mal multipliziert)}} \cr} \)
Rundungsregeln
Es kann sinnvoll sein, Zahlen zu runden. Etwa wenn bei Divisionen unerwünscht viele Nachkommastellen entstehen. So macht etwa die 3. Nachkommastelle bei einem Euro-Betrag oder ein zehntel Millimeter bei einem Hausbau in der täglichen Praxis keinen Sinn. Speziell im technischen Umfeld spricht man dann von Scheingenauigkeit (Gemessen wurde auf Millimeter, aber durch eine Division entstanden rechnerisch zehntel Millimeter) . Grundsätzlich kann man Zahlen auf jeden beliebigen Stellenwert auf oder abrunden.
Kaufmännisches Runden
Um den Rundungsfehler möglichst klein zu halten bedient man sich in der täglichen Praxis gerne des kaufmännischen Rundens. Beim kaufmännischen Runden wird ausschließlich auf Grund der ersten wegfallenden Dezimalstelle gerundet
- 0,1,2,3,4 werden abgerundet
- 5,6,7,8,9 werden aufgerundet
- negative Zahlen werden so gerundet, als würde man deren Betrag runden, wobei das negative Vorzeichen nach dem Runden natürlich wieder angeschrieben wird
Beispiel:
Der Nettopreis einer Ware beträgt 23,13€. Die deutsche Mehrwertsteuer beträgt 19%. Ermittle den kaufmännisch gerundeten Bruttopreis!
richtige Lösung
\(23,13 \cdot 1,19 = 27,5247 \approx 27,52\)
Die erste wegfallende Dezimalstelle ist eine "4", daher wird abgerundet.
falsche Lösung
Achtung: Man darf das Problem nicht von hinten aufrollen und die "7" in die Rundung mit einbeziehen.
Das würde nämlich wie folgt zu einer faschen Rundung führen:
\(23,13 \cdot 1,19 = 27,5247 \approx 27,525 \approx 27,53\)
Summenerhaltendes Runden
Hier wird so gerundet, dass die Summe der gerundeten Zahlen exakt der Ausgangszahl entspricht. Dieses Problem stellt sich bei der Ermittlung der Sitzverteilung in Abhängigkeit von den Wählerstimmen und bei der Ermittlung vom Gesamt-Bruttopreis, wenn von Netto-Teilpreisen ausgegangen wird:
Beispiel:
Ein Produkt besteht aus 2 Komponenten, deren Nettopreise betragen 23,13 bzw. 9,33 €. Die deutsche Mehrwertsteuer beträgt 19%
Variante 1:
Wir berechnen den Netto-Summenpreis, ermitteln daraus den Bruttopreis vom Produkt und runden am Schluss
\(\left( {23,13 + 9,33} \right) \cdot 1,19 = 32,46 \cdot 1,19 = 38,6274 \approx 38,63\)
Variante 2:
Wir berechnen die Bruttopreise je Komponente, runden kaufmännisch und addieren zum Summenpreis.
\(\begin{array}{l} 23,13 \cdot 1,19 = 27,5247 \approx 27,52\\ 9,33 \cdot 1,19 = 11,1027 \approx 11,10\\ 27,52 + 11,10 = 38,62 \end{array}\)
→ Variante 1 und Variante 2 unterscheiden sich um 1 Cent.
Variante 3
Wir berechnen die Bruttopreise je Komponente, runden summenerhaltend und addieren zum Summenpreis.
Um summenerhaltend runden zu können, bestimmen wir den Fehler zwischen dem tatsächlichen Bruttopreis je Komponente und dem gerundeten Bruttopreis je Komponente. Wir runden jene Komponente die den größeren Fehler aufweist, sodass die Summe wieder stimmt.
\(\begin{array}{l} 23,13 \cdot 1,19 = 27,5247 \approx 27,52 \to {\Delta _1} = 27,5247 - 27,52 = 0,0047\\ 9,33 \cdot 1,19 = 11,1027 \approx 11,10 \to {\Delta _2} = 11,1027 - 11,10 = 0,0027\\ {\Delta _1} > {\Delta _2} \to 27,5247 \approx 27,53\\ 27,53 + 11,10 = 38,63 \end{array}\)
→ Variante 1 und Variante 3 unterscheiden sich nicht mehr.
Schon den nächsten Badeurlaub geplant?
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Diagramme und Histogramme
Diagramme und Histogramme dienen der Veranschaulichung von Größenverhältnissen zwischen Zahlen
Balkendiagramm
Ein Balkendiagramm stellt Balken parallel zur x-Achse dar. Die Länge vom Balken veranschaulicht die absolute oder relative Häufigkeit, die Breite vom Balken ist ohne Bedeutung.
Beispiel:
Für die Filialen mit den Nummern 10..14, die alle in der Innenstadt von Wien liegen, ist der Umsatz in 1000 € / Tag bekannt. Veranschauliche die Werte in einem Balkendiagramm
Filialnummer | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
---|---|---|---|---|---|
Umsatz in k€/d | 5 | 8 | 12 | 0 | 1 |
Säulendiagramm
Ein Säulendiagramm stellt Säulen senkrecht zur x-Achse dar. Die Länge der Säule veranschaulicht die absolute oder relative Häufigkeit, die Breite der Säule ist ohne Bedeutung.
Kreisdiagramm
Ein Kreisdiagramm stellt relative Häufigkeiten in Form von Teilen eines Kreises dar, wobei 360° 100% entspricht. Der Radius vom Kreis ist beliebig, entscheidend ist der Winkel je relativer Häufigkeit.
\({\text{Öffnungswinkel}} = \dfrac{{360^\circ \cdot {\text{Teilwert}}}}{{{\text{Gesamtwert}}}}\)
Beispiel:
Darstellung der Anteile A, B und C
\(\eqalign{ & A = 50\% \to \dfrac{{360^\circ \cdot 50\% }}{{100\% }} = 180^\circ \cr & B = 33\% \to \dfrac{{360^\circ \cdot 33\% }}{{100\% }} = 118,8^\circ \cr & C = 17\% \to \dfrac{{360^\circ \cdot 17\% }}{{100\% }} = 61,2^\circ \cr} \)
Stängel-Blatt-Diagramm
Das Stängel-Blatt-Diagramm ist eine tabellarische Darstellung von Zahlen, bei der es jeweils eine Spalte pro Stellenwert (Dezimalstelle) gibt.
Beispiel:
Stängel-Blatt-Diagramm zur Visualisierung der Häufigkeitsverteilung einer Messreihe.
Stängel | Blatt | Dekadisch |
---|---|---|
1 | 9 | 19 |
2 | 2 3 | 22, 23 |
2 | 6 6 7 | 26, 26, 27 |
Beispiel:
Vertraut ist uns diese Darstellung von den Fahrplänen öffentlicher Verkehrsmittel, bei denen der „Stängel“ der Stunde und das „Blatt“ der Minute von der Abfahrtzeit entspricht.
Stängel | Blatt | Abfahrtszeit |
---|---|---|
8 | 00 15 30 45 | 08:00, 08:15, 08:30, 08:45 |
9 | 00 20 40 | 09:00, 09:20, 09:40 |
10 | 00 20 40 | 10:00, 10:20, 10:40 |
Mengendiagramm (Venn-Diagramm)
Ein Mengendiagramm veranschaulicht welche Elemente innerhalb eines geschlossenen Linienzugs liegen und somit Element der Menge sind, und welche Elemente außerhalb vom geschlossenen Linienzugs liegen und somit kein Element der Menge sind.
Potenzen von Binomen
Multipliziert man ein Binom ein- oder mehrfach mit sich selbst, so kommen die Binomischen Formeln und Lehrsätze zur Anwendung.
Binom
Ein Binom ist die Summe oder die Differenz zweier Monome (a, b).
\(\left( {a \pm b} \right)\)
Binomische Formeln
Mit Hilfe der Binomischen Formeln kann man das Quadrat eines Binoms oder das Produkt zweier Binome einfach in ein Polynom umwandeln. Den umgekehrten Vorgang, bei dem ein Polynom in das Quadrat eines Binoms umgewandelt wird, nennt man faktorisieren. Die drei Binomischen Formeln sollte man auswendig kennen.
1. Binomische Formel (Plus-Formel)
\({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2};\)
2. Binomische Formel (Minus-Formel):
\({(a - b)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2};\)
3. Binomische Formel (Plus-Minus-Formel)
\((a + b) \cdot (a - b) = {a^2} - {b^2};\)
Höhere Potenzen von der 1. bzw. 2. Binomischen Formel
\({\left( {a \pm b} \right)^3} = {a^3} \pm 3{a^2}b + 3a{b^2} \pm {b^3};\)
\({\left( {a \pm b} \right)^4} = {a^4} \pm 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} \pm 4a{b^3} + {b^4}\)
Binomischer Lehrsatz
Der binomische Lehrsatz ermöglicht es auf einfache Weise, die n-te Potenz des Binoms in ein Polynom umzuwandeln. Die Koeffizienten "n über k" werden als Binomialkoeffizienten bezeichnet.
\({\left( {a + b} \right)^n} = \left( {\matrix{ n \cr 0 \cr } } \right){a^n}{b^0} + \left( {\matrix{ n \cr 1 \cr } } \right){a^{n - 1}}{b^1} + \left( {\matrix{ n \cr 2 \cr } } \right){a^{n - 2}}{b^2} + ... + \left( {\matrix{ n \cr {n - 1} \cr } } \right){a^1}{b^{n - 1}} + \left( {\matrix{ n \cr n \cr } } \right){a^0}{b^n}\)
\({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\matrix{ n \cr k \cr } } \right)} \cdot {a^{n - k}} \cdot {b^k}\)
\({\left( {a - b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right)} \cdot {a^{n - k}} \cdot {\left( { - b} \right)^k}\)
Durch die Anwendung vom Binomischen Lehrsatz erspart man sich das Ausmultiplizieren von n Klammerausdrücken.
Pascal‘sches Dreieck - n-te Potenz von Binomen
Neben dem Binomischen Lehrsatz bietet das Pascalsche Dreieck einen Algorithmus, die Potenzen eines Binoms in ein Polynom umzuwandeln, ohne die n Klammern arbeitsintensiv ausmultiplizieren zu müssen.
\(\eqalign{ & {\left( {a \pm b} \right)^0} = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \cr & {\left( {a \pm b} \right)^1} = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a \pm b \cr & {\left( {a \pm b} \right)^2} = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{a^2} \pm 2ab + {b^2} \cr & {\left( {a \pm b} \right)^3} = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{a^3} \pm 3{a^2}b + 3a{b^2} \pm {b^3} \cr & {\left( {a \pm b} \right)^4} = {a^4} \pm 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} \pm 4a{b^3} + {b^4} \cr} \)
Die Koeffizienten sind die Summe der links und rechts darüber liegenden Koeffizienten
Merke:
- Mit fallenden Potenzen von a steigen die Potenzen von b
- In jedem Glied ist die Summe der beiden Exponenten gleich dem Exponenten des Binoms
- Die Vorzahlen des 2. und des vorletzten Gliedes sind gleich dem Exponenten des Binoms
- Bei Potenzen einer Differenz (a-b) wechseln die Vorzeichen von Glied zu Glied
Quadratische Ergänzung
Kann man zu einem Polynom einen Term addieren und sofort wieder subtrahieren, sodass eine Binomische Formel entsteht, so spricht man von einem vollständigen Quadrat durch quadratische Ergänzung.
Maßstab
Unter einem Maßstab versteht man das Verhältnis zwischen der tatsächlichen Länge einer Strecke in der Natur und der Länge dieser Strecke in einer Abbildung. Der Maßstab kann eine Vergrößerung oder Verkleinerung bewirken.
Beispiel: Autokarte im Maßstab 1:600.000
\(\begin{array}{l} \dfrac{{{\rm{Abbildung}}}}{{{\rm{Natur}}}} = \dfrac{1}{{600\,\,000}}\\ 1m \buildrel \wedge \over = 600km \end{array}\)
600 km Luftlinie in der Natur entsprechen 1 m auf der Autokarte
Aufgaben
Aufgabe 20
Division komplexer Zahlen
Berechne:
\(\eqalign{ & w = {z_1}/{z_2} \cr & {z_1} = 6 - 8i \cr & {z_2} = 2i \cr}\)
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Aufgabe 57
Potenzen mit reellen Exponenten
Vereinfache:
\(w = \dfrac{{{b^{ - 3}}{c^3}}}{{{a^2}{b^{ - 4}}{c^{ - 2}}}} \cdot {a^2}\)
Aufgabe 220
Faktorisieren mit Hilfe vom hornerschen Schema
Löse die Gleichung durch Faktorisieren mit Hilfe der Horner’schen Regel:
\(\left( {{x^3} - 8} \right) = 0\)
Schreibe sowohl die faktorisierte Gleichung als auch deren Lösungen an.
Aufgabe 21
Division komplexer Zahlen
Berechne:
\(\eqalign{ & w = {z_1}/{z_2} \cr & {z_1} = 2 - 3i \cr & {z_2} = 3 - 2i \cr}\)
Aufgabe 58
Potenzen mit reellen Exponenten
Vereinfache:
\(w = 5{a^{ - 3}}\)
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Aufgabe 22
Potenzen komplexer Zahlen
Berechne:
\(w = \dfrac{{i{{(5 + 4i)}^2}}}{{4 - 5i}}\)
Aufgabe 59
Potenzieren von Potenzen
Vereinfache:
\(w = {\left( {{b^{r + 3}}} \right)^2} - {\left( {{b^2}} \right)^{r + 3}} + {\left( {{b^r}} \right)^{3r}}\)
Aufgabe 23
Potenzen komplexer Zahlen
Berechne:
\(w = \dfrac{{i{{(6 - 3i)}^2}}}{{3 + 6i}}\)
Aufgabe 60
Potenzieren von Potenzen
Vereinfache:
\(w = {\left( {{{\left( {\dfrac{2}{a}} \right)}^3}} \right)^2}\)
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Aufgabe 24
Potenzen komplexer Zahlen
Berechne:
\(w = \dfrac{{(2 + 4i)}}{{{{(2 - 2i)}^2}}}\)
Aufgabe 61
Potenzieren von Potenzen
Vereinfache:
\(w = {\left( {{{\left( { - a} \right)}^4}} \right)^r}\)
Aufgabe 25
Potenzen komplexer Zahlen
Berechne:
\(w = - {(3i)^3} - {(3 - 2i)^2} + ( - 40i) + 4\)