Analysis
Wissenswertes über: Folgen, Reihen und Grenzwerte, Funktionen und Modelle, Differentialrechnung, Integralrechnung
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Formeln
Intervallweise lineare Funktion
Bei intervallweise linearen Funktionen handelt es sich um zusammengesetzte lineare Teil-Funktionen, die innerhalb eines definierten Intervalls (Anfangspunkt, Endpunkt) linear sind, die aber an den Intervallgrenzen Spitzen / Knicke oder Sprungstellen haben. Intervallweise lineare Funktionen haben keinen durchgängigen sondern einen auf Intervalle eingeschränkten Definitionsbereich Df.
Man bezeichnet solche zusammengesetzte Teilfunktionen auch „abschnittsweise linear“ oder „stückweise linear“. Zu den intervallweise linearen Funktionen gehören die Betragsfunktion, die Signumfunktion, die Integerfunktion und die Gaußklammerfunktion.
Betragsfunktion
Die Betragsfunktion ist eine intervallweise lineare Funktion. Sie kann in 2 Teilfunktionen zerlegt werden und hat eine Spitze an der Stelle f(0).
- Ist x eine positive Zahl, so ist abs x eine positive Zahl.
- Ist x = 0, so ist abs x gleich 0
- Ist x eine negative Zahl, so ist abs x der Betrag von x, also eine positive Zahl
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \left| x \right| \cr & f\left( x \right) = \operatorname{abs} x \cr & {D_f}:\left| x \right| = + x\,\,\forall x \geqslant 0\,\, \cup \,\, - x\,\,\forall x \leqslant 0 \cr}\)
Signumfunktion
Die Signumfunktion ist eine intervallweise lineare Funktion. Sie kann in 3 Teilfunktionen zerlegt werden und besitzt an der Stelle x=0 zwei Sprungstellen. Obwohl 0 kein Vorzeichen hat, ist sgn 0 = 0.
- Ist x eine positive Zahl, so wird sgn x zu +1
- Ist x = 0, so wird sgn 0 zu 0
- Ist x eine negative Zahl, so wird sgn x zu -1
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{sgn} x \cr & {D_f}:\,\,\operatorname{sgn} x = + 1\,\,\forall x > 0\,\, \cup \,\, - 1\,\,\forall x < 0 \cr}\)
Integerfunktion
Die Integerfunktion ist eine intervallweise lineare Funktion. Sie kann in unendlich viele Teilfunktionen zerlegt werden und besitzt an den Stellen wo x einen ganzzahligen Wert ≠ 0 annimmt eine Sprungstelle.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{int} x \cr & {D_f}:\operatorname{int} x = {\text{ganzahliger Teil von x }}\forall x \geqslant 0 \cup \forall x \leqslant 0 \cr}\)
Abrundungs- bzw. Aufrundungsfunktion
Die Abrundungs- bzw. Aufrundungsfunktion ordnen jeder reellen Zahl die nächstliegende nicht größere (floor) oder nicht kleinere (ceiling) ganze Zahl zu. Beide Funktionen können in unendlich viele Teilfunktionen zerlegt werden und besitzt an den Stellen wo x einen ganzzahligen Wert annimmt eine Sprungstelle.
In den beiden nachfolgenden Darstellungen wird das jeweilige Intervall durch
- einen vollen Punkt (Intervallgrenze enthalten)
- einen hohlen Punkt (Intervallgrenze nicht enthalten)
- den Strich dazwischen, für das Intervall selbst
veranschaulicht.
Abrundungs- oder Gaußklammerfunktion (floor)
Für eine reelle Zahl x ist floor x die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich x ist.
- floor(3,7)=3
- floor(-3,1)=-4
Aufrundungsfunktion (ceiling)
Für eine reelle Zahl x ist ceiling x die kleinste ganze Zahl, die größer oder gleich x ist
- ceiling(3,1)=4
- ceiling(-3,7)=-3
Abschnittsweise definierte Funktion
Unter einer abschnittsweise d.h. intervallweise definierten Funktion versteht man eine, aus zwei oder mehreren Funktionen zusammengesetzte Funktion, für jeweils unterschiedliche Intervalle der Zahlengeraden.
\(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{f_1}\left( x \right){\rm{ mit }}x \in \left] {{g_1};{g_2}} \right[}\\ {{f_2}\left( x \right){\rm{ mit }}x \in \left[ {{g_3};{g_4}} \right]{\rm{ }}}\\ {{f_3}\left( x \right){\rm{ mit x}} \in \left] {{g_5};{g_6}} \right[} \end{array}} \right.\)
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Quadratische Funktionen (Parabeln)
Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Die Parabel ist nach oben oder nach unten offen und nach links und rechts unbegrenzt. Der Punkt an dem die Parabel ihr Minimum annimmt heißt Scheitelpunkt. Die y-Achse ist die Symmetrieachse der Parabel. Es handelt sich um eine gerade Funktion, da f(x)=f(-x).
\(f\left( x \right) = a \cdot {x^2}\)
Allgemeine Form der quadratischen Funktion
Die quadratische Funktion setzt sich aus einem quadratischen, einem linearen und einem konstanten Glied zusammen.
- quadratisches Glied: Ist a positiv, so ist die Parabel noch oben offen, ist a negativ, so ist die Parabel nach unten offen. Die rein quadratische Parabel hat ihren Scheitel im Ursprung.
- lineares Glied: Verschiebt den Scheitel der Parabel in Richtung der x- und y-Achse. Die Parabel verläuft aber weiterhin durch den Ursprung
- konstantes Glied: Verschiebt die Parabel in Richtung der y-Achse. Der Parameter c heißt y-Achsenabschnitt der Parabel. Es ist dies der Schnittpunkt der Parabel mit der y-Achse, somit der Punkt \(S\left( {0\left| {{S_y}} \right.} \right)\)
\(f(x) = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\)
Normalform der quadratischen Funktion
Man kann durch Division durch a erzwingen, dass der Parameter a=1 wird. Dann spricht man von der Normalform der quadratischen Funktion.
\(f(x) = {x^2} + p \cdot x + q\)
Nullstellenform der quadratischen Funktion
Die Nullstellenform, auch die faktorisierte Form der quadratischen Funktion genannt, gibt es nur dann wenn die Parabel , also der Graph der quadratischen Funktion, überhaupt die x-Achse schneidet. Die quadratische Funktion in faktorisierter Form weist direkt die Nullstellen x1 bzw. x2 aus. Die Nullstellen der quadratischen Funktion findet man mit der abc Formel, die auch Mitternachtsformel genannt wird (siehe dort).
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = a\left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right) \cr & {x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \cr}\)
Beispiel:
Reinquadratische Funktion in der allgemeinen Form mit a=1 b=0 c=0
Beispiel:
Quadratischen Funktion mit a=1, b=1 und c=0; Durch das lineare Glied, welches einer Geraden durch den Ursprung mit einer Steigung von 45° entspricht, erhalten wir eine nach links und nach unten verschobene Gerade.
Beispiel:
Quadratischen Funktion mit a=1, b=0 und c=1; Durch das konstante Glied c=1 wird der Graph der Funktion um c nach oben verschoben.
Beispiel:
Reinquadratischen Funktion mit a=-1, b=0 und c=0; Wir erhalten eine nach unten offene Normalparabel, was einer Spiegelung um die x-Achse entspricht.
Gebrochenrationale Funktion
Gebrochenrationale Funktionen haben sowohl im Zähler als auch im Nenner ein Polynom.
\(f\left( x \right) = \dfrac{{p\left( x \right)}}{{q\left( x \right)}}\)
- Echt gebrochenrationale Funktion: Der Grad vom Zählerpolynom ist kleiner als der Grad vom Nennerpolynom. Ein Beispiel hierfür sind die Hyperbeln.
- Unecht gebrochenrationale Funktion: Der Grad vom Zählerpolynom ist größer oder gleich als der Grad vom Nennerpolynom.
Hyperbel n-ten Grades
Bei Hyperbeln n-ten Grades sind die Funktionswerte f(x) zu den Potenzen der Argumente x indirekt proportional. Der Graph der Funktion ist eine Hyperbel. Man bezeichnet die Funktion auch als Reziprokfunktion. Achtung: unter "hyperbolischen" Funktionen versteht man spezielle Exponentialfunktionen.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \dfrac{c}{{{x^n}}} = c \cdot {x^{ - n}} \cr & n \in {{\Bbb N}_g} \cr}\)
Hyperbeln vom Grad n, wenn n gerade ist
Graph liegt symmetrisch zur y-Achse
Hyperbeln vom Grad n, wenn n ungerade ist
Graph liegt symmetrisch zur x-Achse
Exponentialfunktion
Exponentialfunktionen sind Funktionen mit einer festen Basis a (die positiv und ungleich 1 ist) und einem variablen Exponenten x. Da die Variable x im Exponenten steht, heißt die Funktion Exponentialfunktion. c ist der Streckungsfaktor und zugleich der Anfangswert. Die Basis a ist ein Maß für die relative Zu- oder Abnahme. Bei einer Exponentialfunktion steigt der Funktionswert innerhalb von gleichbleibenden Zeitintervallen um den gleichen Prozentwert.
Allgemeine Form einer Exponentialfunktion
\(f\left( x \right) = c \cdot {a^{\lambda \cdot x}}{\text{ mit c}}{\text{,}}\lambda \in {\Bbb R}{\text{, a}} \in {{\Bbb R}^ + }\)
Einfachste Form einer Exponentialfunktion
\(f\left( x \right) = {a^x}\) mit \(a \in {{\Bbb R}^ + }\)
\(f'\left( x \right) = {a^x} \cdot \ln a\)
wobei: \(\eqalign{ & f\left( {x + 1} \right) = a \cdot f\left( x \right) \cr & a = \dfrac{{f\left( {x + 1} \right)}}{{f\left( x \right)}} \cr}\)
- a ist die Basis, die Variable x ist der Exponent
- alle Funktionswerte sind positiv: f(x)>0
- Graph - die Exponentialkurve - verläuft durch \(P(0\left| 1 \right.){\text{ und }}Q(1\left| a \right.)\)
- Die x-Achse bildet die Asymptote der Exponentialfunktion
- Die Exponentialfunktion hat keine Nullstellen und kein Symmetrieverhalten.
- für die Basis a, die ein Maß für die relative Zu-/Abnahme ist, gilt:
- 1-a entspricht der relativen Zu- bzw. Abnahme pro Zeitintervall
- z.B.: a=0,9917 → 1-0,9917=0,0083→ Abnahme um 0,83%
- z.B.: Einer Abnahme um 8% pro Zeitintervall entspricht eine Abnahme auf 92%. Daher muss a=0,92 sein
- a<0: Die Exponentialfunktion ist für negative a nicht definiert, so ist \(f\left( x \right) = {\left( { - 1,3} \right)^x}\) keine Exponentialfunktion
- 0<a<1: Exponentielle Abnahme: Der Graph verläuft streng monoton fallend, man spricht von einer Abnahmefunktion
- a=1: Sonderfall: Wegen \(f\left( x \right) = {1^x} = 1\) wird die Funktion zu einer konstanten Funktion
- a>1: Exponentielle Zunahme: Der Graph verläuft streng monoton steigend. So bedeutet a=1,35 eine relative Zunahme um 35%. Man spricht von einer Wachstumsfunktion
- a=e: natürliche Exponentialfunktion, hat die Eulersche Zahl e als Basis und x als Exponent
- sign x: Ein negativer Exponent, also \(f\left( x \right) = {a^{ - x}}\)kehrt das oben genannte Monotonieverhalten gegenüber \(f\left( x \right) = {a^x}\) um
- 1-a entspricht der relativen Zu- bzw. Abnahme pro Zeitintervall
- \(f\left( x \right) = {a^x}{\text{ und g}}\left( x \right) = {\left( {\dfrac{1}{a}} \right)^x}\) sind achsensymmetrisch zur y-Achse
- Exponentialfunktionen sind bijektive Funktionen, d.h. sie besitzen eine Umkehrfunktion. Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion: \(f\left( x \right) = {a^x} \leftrightarrow {f^{ - 1}}\left( x \right) = {}^a\operatorname{logx} = lo{g_a}x\)
- Die häufigste Exponentialfunktion ist jene, bei der die Basis a gleich der Eulerschen Zahl e (=2,7182) ist, die sogenannte Natürliche Exponentialfunktion. Deren Umkehrfunktion ist die ln-Funktion.
- Man kann Exponentialfunktionen (mit der Basis a) mittels \(f\left( x \right) = {a^x} = {e^{bx}}{\text{ mit b = }}\ln \left( a \right)\) in natürliche Exponentialfunktionen (mit der Basis e) umrechnen
- Die Funktionalgleichung besagt: \(f\left( x \right) \cdot f\left( y \right) = f\left( {x + y} \right)\)
Exponentialfunktion mit Anfangswert c
\(f\left( x \right) = c \cdot {a^x}\) mit \(c \in {\Bbb R}{\text{ und }}a \in {{\Bbb R}^ + }\)
\(f'\left( x \right) = c \cdot {a^x} \cdot \ln a\)
- c ist der Streckungsfaktor und zugleich der Anfangswert, weil \(f\left( {x = 0} \right) = c \cdot {a^0} = c\)
- der Wert von c verändert die Steilheit vom Graph der Funktion
- 0<c<1: gestaucht gegenüber \(f\left( x \right) = {a^x}\)
- c=1: identisch zu \(f\left( x \right) = {a^x}\)
- c>1: gestreckt gegenüber \(f\left( x \right) = {a^x}\)
- sign c: ein negatives Vorzeichen von c kehrt das Monotonieverhalten gegenüber dem Verhalten von \(f\left( x \right) = {a^x}\) um
- für die Basis a, die ein Maß für die relative Zu-/Abnahme ist, gilt:
- 1-a entspricht der relativen Zu- bzw. Abnahme pro Zeitintervall
- z.B.: a=0,9917 → 1-0,9917=0,0083→ Abnahme um 0,83%
- z.B.: Einer Abnahme um 8% pro Zeitintervall entspricht eine Abnahme auf 92%. Daher muss a=0,92 sein
- \(0 < a < 1\) und \(c > 0\): Exponentialfunktion bleibt monoton fallend
- \(0 < a < 1\) und \(c < 0\): Exponentialfunktion wird monoton steigend
- \(a > 1\) und \(c > 1\): Exponentialfunktion bliebt monoton steigend
- \(a > 1\) und \(c < 1\): Exponentialfunktion wird monoton fallend
- 1-a entspricht der relativen Zu- bzw. Abnahme pro Zeitintervall
- für dem Exponenten x gilt
- sign x: Ein negativer Exponent, also \(f\left( x \right) = c \cdot {a^{ - x}}\)kehrt das oben genannte Monotonieverhalten gegenüber \(f\left( x \right) = c \cdot {a^x}\) um
- \(\left| x \right|\): Je größer der Wert von x umso schneller steigt die Funktion an
- c entspricht dem Funktionswert an der Stelle x=0: f(x=0)=c
- Graph verläuft durch \(P(0\left| {c)} \right.\)
Wachstums- und Zerfallsprozesse
übliche Schreibweise:
f(x) → N(t)
c→N0
a→e
Wenn man die Halbwertszeit kennt, kann man das Lambda wie folgt berechnen:
\({T_{0,5}} = \dfrac{{\ln \left( {0,5} \right)}}{\lambda } \to \lambda = \dfrac{{\ln \left( {0,5} \right)}}{T}\)
- Exponentielles Wachstum: l ... Wachstumskonstante
\(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {e^{\lambda t}}\)
- Exponentieller Zerfall: -l Zerfallskonstante
\(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {e^{ - \lambda t}}\)
Exponentialfunktion - Illustration zeigt das Monotonieverhalten abhängig von der Basis a, bei fixem c=1
Exponentialfunktion - Interaktive Illustration
Die interaktive Illustration zeigt das Monotonieverhalten abhängig von der Basis a und dem Anfangswert c auf der Website von Geogebra.org:
Illustration auf GeoGebra.org anzeigen
- Regler a: Verändere die Basis
- Regler c: Verändere den Faktor
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Relative und die absolute Änderung der Exponentialfunktion mit Anfangswert
Nachfolgend betrachten wir die relative und die absolute Änderung der Exponentialfunktion mit Anfangswert:
\(\eqalign{ & N\left( t \right) = {N_0} \cdot {a^t} \cr & N(t + 1) = {N_0} \cdot {a^{t + 1}} = {N_0} \cdot {a^t} \cdot a = a \cdot N(t) \cr} \)
Für die relative Änderung ergibt sich folgender Zusammenhang, der unabhängig von der Zeit t ist und daher in gleichen Zeitintervallen gleich groß ist:
\(\dfrac{{\Delta {y_n}}}{{{y_n}}} = \dfrac{{{y_{n + 1}} - {y_n}}}{{{y_n}}} = \dfrac{{a \cdot N\left( t \right) - N\left( t \right)}}{{N\left( t \right)}} = \dfrac{{N\left( t \right) \cdot \left( {a - 1} \right)}}{{N\left( t \right)}} = a - 1\)
Für die absolute Änderung ergibt sich folgender Zusammenhang, der abhängig von der Zeit ist, und daher in gleichen Zeitintervallen unterschiedlich groß ist:
\(\Delta y = {y_{n + 1}} - {y_n} = a \cdot N\left( t \right) - N\left( t \right) = N\left( t \right) \cdot \left( {a - 1} \right)\)
Natürliche Exponentialfunktion
Die natürliche Exponentialfunktion, auch e-Funktion, Euler’sche Funktion genannt, ist eine spezielle Exponentialfunktion, nämlich eine mit der Euler’schen Zahl e=2,718 als Basis
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {e^x} \cr & f\left( 0 \right) = {e^0} = 1 \cr & f'\left( x \right) = {e^x} \cr}\)
- Die natürliche Exponentialfunktion ist eine speziell Exponentialfunktion, nämlich mit der Euler’schen Zahl e=2,718 als Basis: \(f\left( x \right) = {e^x} = {a^x}{\text{ mit }}a = e = 2,7182818..\)
- Gegenüber \(f\left( x \right) = {a^x}\) zeichnet sich die e-Funktion durch ihre Steigung aus:
- Als einzige Funktion f(x) ist ihre Ableitung f'(x) identisch mit der Funktion selbst.
- Die Stammfunktion F(x) ist ebenfalls - die um c auf der x-Achse verschobene - Funktion f(x)
- \(f'\left( x \right) = f\left( x \right) = F(x) = {e^x}\)
- \(f'\left( {x = 0} \right) = {e^0};\,\,\,\,\,f'\left( {x = 1} \right) = {e^1};\,\,\,\,\,f'\left( {x = 2} \right) = {e^2}\)
- Graph - die Exponentialkurve - verläuft durch \(P(0\left| e \right.),\,\,\,\,\,{Q_1}(1\left| e \right.),\,\,\,\,\,{Q_2}\left( {2\left| {{e^2}} \right.} \right),{\text{ usw}}.\)
- Sie ist die Umkehrfunktion der ln-Funktion
- Sie dient zur Beschreibung von Wachstums- bzw. Zerfallsprozessen.
Natürliche Exponentialfunktion mit Anfangswert N0
Exponentielles Wachstum, exponentieller Zerfall
\(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {e^{\lambda t}}\)
- N0 ... Startwert, Startwert
- \(\lambda {\text{ > 0}}\) - positives l: Wachstumskonstante
- \(\lambda {\text{ < 0}}\) - negatives l: Zerfallskonstante
Natürliche Exponentialfunktion - Illustration zeigt Wachstum für \(\lambda = + 1\) bzw. Zerfall für \(\lambda = - 1\)
Natürliche Exponentialfunktion - Interaktive Illustration
Die interaktive Illustration einer natürlichen Exponentialfunktion zeigt die Wirkung von \(\lambda\) und von N0 auf der Website von Geogebra.org:
Illustration auf GeoGebra.org anzeigen
- Regler \(\lambda\): Entscheidet über Wachstum oder Zerfall
- Regler N0: Entscheidet über Startwert
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Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.
Potenzfunktionen
Potenzfunktionen sind Funktionen, bei denen x zu einer höheren als der 1. Potenz vorkommt.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = c \cdot {x^n}{\text{ }}...{\text{Potenzfunktion}} \cr & f\left( x \right) = c \cdot {x^{2n}}{\text{ }}...{\text{gerade Funktion}} \cr & f\left( x \right) = c \cdot {x^{2n + 1}}{\text{ }}...{\text{ungerade Funktion}} \cr}\)
Exponent | Exponent | |
n ist gerade | n ist positiv bzw. xn |
|
n ist ungerade | n ist positiv bzw. xn |
|
n ist gerade | n ist negativ bzw. \({x^{ - n}} = \dfrac{1}{{{x^n}}}\) |
|
n ist ungerade | negativ bzw. \({x^{ - n}} = \dfrac{1}{{{x^n}}}\) |
|
n = 0 | \(f\left( x \right) = c \cdot {x^0} = c\) |
|
Verschiebungen vom Graph zufolge von Parametern
- (x+n): Der Graph ist um n nach links, also entlang der negativen x-Achse, verschoben
- (x-n): Der Graph ist um n nach rechts, also entlang der positiven x-Achse, verschoben
- \(c \cdot {x^z} + b\): Der Graph wird nach oben, also entlang der positiven y-Achse, verschoben
- b=0: Der Graph verläuft durch den Ursprung
- \(c \cdot {x^z} - b\): Der Graph wird nach unten, also entlang der negativen y-Achse, verschoben
Unterschied Potenzfunktion zu Exponentialfunktion
Potenzfunktion
Bei der Potenzfunktion fungiert die Variable x als Basis, während der Exponent n eine Konstante ist → weitere Details siehe unter "Potenzfunktion"
\(f\left( x \right) = c \cdot {x^n}\)
Exponentialfunktion
Bei der Exponentialfunktion fungiert die Variable x als Exponent, während die Basis a eine Konstante ist → weitere Details siehe unter "Exponentialfunktion"
\(f\left( x \right) = c \cdot {a^x}\)
Wurzelfunktionen
Die Wurzelfunktion ist ein Spezialfall der Potenzfunktion und kann einfach in eine entsprechende Schreibweise umgeformt werden. Sie ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion für positive x. Der Graph aller Wurzelfunktionen startet im Ursprung \(\left( {0\left| 0 \right.} \right)\) vom Koordinatensystem und verläuft durch den Punkt \(\left( {1\left| 1 \right.} \right)\). Wurzelfunktionen sind streng monoton steigend
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \root n \of x = {x^{\dfrac{1}{n}}} \cr & {D_f} = {W_f} = {\Bbb R}_0^ + \cr & x \in {\Bbb R}_0^ + \cr & n \in {\Bbb N} \cr} \)
Logarithmusfunktionen
Die Logarithmusfunktion \({}^a\operatorname{logx} \) ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion f(x)=ax . Alle Logarithmusfunktionen verlaufen rechts von der y-Achse und durch den gemeinsamen Punkt (1|0). Logarithmusfunktionen sind nur für den Bereich x>0 definiert. Der Definitionsbereich aller Logarithmusfunktionen ist \(\mathbb{R}^+\), der Wertebereich ist \(\mathbb{R}\) und sie haben alle x0=1 als Nullstelle.
Die y-Achse bildet eine Asymptote und die Nullstelle liegt an der Stelle x=1. Die Umkehrfunktion der Logarithmusfunktion ist die Exponentialfunktion. Die häufigste Logarithmusfunktion ist jene mit der Basis e (Euler'sche Zahl e=2,7182), die natürliche Logarithmusfunktion ln.
\(f\left( x \right) = {}^a\log x = {\log _a}x \)
\(\eqalign{ & a \in {{\Bbb R}^ + }\backslash \left\{ 1 \right\} \cr & x \in {{\Bbb R}^ + } \cr}\)
speziell:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {}^2\log x = \operatorname{lb} x \cr & f\left( x \right) = {}^e\log x = \ln x \cr & f\left( x \right) = {}^{10}\log x = \lg x \cr} \)
- \(a < 0\): Der Logarithmus ist für einen negativen Numerus nicht definiert
- \(0 < a < 1\): Die Logarthmusfunktion ist streng monoton fallend
- \(a = 1\): Der Logarithmus ist für die Basis = 1 nicht definiert
- \(a > 1\): Die Logarthmusfunktion ist streng monoton steigend
Grafisches Differenzieren
Beim grafischen Differenzieren leitet man Aussagen über den Verlauf einer Funktion aus dem Verlauf ihrer 1. und 2. Ableitung ab, bzw. umgekehrt
f hat Extremstelle (HP oder TP) | f' hat NST | |
f hat Wendepunkt | f' hat Extremstelle (HP oder TP) | f'' hat NST |
f hat Sattelpunkt | f' hat HP oder TP auf x-Achse | f'' hat NST |
f steigt streng monoton | f' liegt oberhalb der x-Achse bzw. f' > 0 | |
f sinkt streng monoton | f' liegt unterhalb der x-Achse bzw. f' < 0 | |
f ist linksgekrümmt, positiv gekrümmt bzw. konvex | f' ist steigend | f'' > 0 |
f ist rechtsgekrümmt, negativ gekrümmt bzw. konkav | f' ist fallend | f'' < 0 |
Merkhilfe: NEW-Regel
N = Nullstelle; E=Extremstelle (HP, TP); W=Wendestelle
F(x) | f(x) | N | E | W | ||
f(x) | f'(x) | N | E | W | ||
f'(x) | f''(x) | N | E | W |
Zusammenhänge zwischen der Funktion, ihrer ersten und ihrer zweiten Ableitung beim grafisches Differenzieren
Funktion f(x) | Ableitung f‘(x) | Ableitung f"(x) |
f hat eineExtremstelle |
f‘ hat eine Nullstelle | keine Aussage möglich |
f hat einen Wendepunkt und die Krümmung ändert sich von positiv \(\cup\) auf negativ \(\cap\). |
f‘ hat einen Extremwert: Hochpunkt | f" hat eine Nullstelle |
f hat einen Wendepunktund die Krümmung ändert sich von negativ \(\cap\) auf positiv \(\cup\). |
f‘ hat einen Extremwert: Tiefpunkt | f" hat eine Nullstelle |
f hat einen Sattelpunkt und die Krümmung ändert sich von positiv \(\cup\) auf negativ \(\cap\). |
f‘ hat einen Hochpunkt der auf der x-Achse liegt d.h. der auch Nullstelle ist | f‘‘ hat eine Nullstelle |
f hat einen Sattelpunkt und die Krümmung ändert sich von negativ \(\cap\) auf positiv \(\cup\). |
f‘ hat einen Tiefpunkt der auf der x-Achse liegt d.h. der auch Nullstelle ist |
f‘‘ hat eine Nullstelle |
f steigt streng monoton an d.h. k>0 | f‘ liegt oberhalb der x-Achse | |
f sinkt streng monoton d.h. k<0 | f‘ liegt unterhalb der x-Achse | |
f ist symmetrisch zur y-Achse d.h. f ist eine gerade Funktion |
f‘ ist punktsymmetrisch zum Ursprung d.h. f‘ ist eine ungerade Funktion | f‘‘ ist symmetrisch zur y-Achse, d.h. f‘‘ ist eine gerade Funktion |
f ist punktsymmetrisch zum Ursprung d.h. f ist eine ungerade Funktion | f‘ ist symmetrisch zur y-Achse d.h. f‘ ist eine gerade Funktion | f‘‘ ist punktsymmetrisch zum Ursprung d.h. f‘‘ ist eine ungerade Funktion |
Die Steigung k der Tangente … | … ist der Funktionswert der Ableitung | |
Die Steigung k der Tangente … | … ist der Funktionswert der Ableitung |
Zusammenhang zwischen höheren Ableitungen
Je mehr Ableitungen man von einer Funktion kennt, um so genauere Aussagen kann man über den Verlauf vom Graph der Funktion machen
\(f\left( {{x_0}} \right) = 0\) | ⇒ | f(x) hat eine Nullstelle an der Stelle x0 |
\(f'\left( {{x_0}} \right) > 0\) | ⇒ | f(x0) ist streng monoton wachsend |
\(f'\left( {{x_0}} \right) < 0\) | ⇒ | f(x0) ist streng monoton fallend |
\(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) | ⇒ | f(x0) hat eine waagrechte Tangente an der Stelle x0 |
\(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) > 0\) | ⇒ | f(x0) hat Tiefpunkt / lokales Minimum an der Stelle x0 |
\(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) | ⇒ | f(x0) hat Hochpunkt / lokales Maximum an der Stelle x0 |
\(f''\left( {{x_0}} \right) > 0\) | ⇒ | f(x0) ist links / positiv / konkav gekrümmt |
\(f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) | ⇒ | f(x0) ist rechts / negativ / konvex gekrümmt |
\(f''\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f'''\left( {{x_0}} \right) \ne 0\) | ⇒ | f(x0) hat einen Wendepunkt (Graph ändert sein Krümmungsverhalten) an der Stelle x0; Der WP ist jener Punkt, an dem f(x) die stärkste Steigung hat. |
\(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f'''\left( {{x_0}} \right) \ne 0\) | ⇒ | f(x0) hat einen Sattelpunkt (=Wendepunkt mit waagrechter Tangente) an der Stelle x0 |
Graph mit Hochpunkt
Graph mit Tiefpunkt
Graph mit Wendepunkt
Graph mit Sattelpunkt
Schon den nächsten Urlaub geplant?
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Integro- Differentialgleichungen
Integro-Differentialgleichungen sind gewöhnliche oder partielle Differentialgleichungen, die zusätlich Integralterme beinhalten.
Änderungsmaße
Um die Änderung von einem Wert in Bezug auf einen anderen Wert quantifizieren zu können, bedient man sich verschiedener Änderungsmaße. Man unterscheidet dabei zwischen Änderung und Änderungsrate
- Änderung: Beschreibt die Veränderung zwischen dem "vorher" und dem "nachher" Wert einer Größe
- Absolute Änderung
- Relative Änderung
- Prozentuelle Änderung
- Änderungsrate: Beschreibt das Verhältnis der Veränderung einer abhängigen Größe \(\Delta y\) zur Veränderung einer unabhängigen Größe \(\Delta x\)
- Mittlere Änderungsrate
- Momentane Änderungsrate
Absolute Änderung
Die absolute Änderung entspricht der Differenz aus "oberem Wert" minus "unterem Wert" vom betrachteten Intervall. Sie hat - im Unterschied zur relativen bzw. prozentuellen Änderung - eine physikalische Einheit.
\(\begin{array}{l} \Delta y = {y_2} - {y_1}\\ \Delta {y_n} = {y_{n + 1}} - {y_n}\\ \Delta f = f\left( b \right) - f\left( a \right) \end{array}\)
Relative Änderung
Die relative Änderung entspricht der absoluten Änderung „bezogen auf den“ oder „relativ zum“ Grundwert. Sie errechnet sich als der Quotient aus der absoluten Änderung und dem Grundwert. Die relative Änderung ist eine Dezimalzahl, die keine physikalische Einheit hat.
\(\begin{array}{l} \dfrac{{\Delta y}}{{{y_1}}} = \dfrac{{{y_2} - {y_1}}}{{y1}}\\ \dfrac{{\Delta {y_n}}}{{{y_n}}} = \dfrac{{{y_{n + 1}} - {y_n}}}{{{y_n}}}\\ \dfrac{{\Delta f}}{{{f_a}}} = \dfrac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{f\left( a \right)}} \end{array}\)
Prozentuelle Änderung
Die prozentuale Änderung entspricht dem Quotienten aus der absoluten Änderung und dem Grundwert, multipliziert mit 100%. Die prozentuale Änderung ist daher eine relative Änderung in Prozentschreibweise ohne physikalische Einheit. Der Grundwert y1 ist zugleich der 100% Wert. Die prozentuale Änderung beschreibt in Prozent, um wie viel sich ein gegebener Grundwert verändert, also erhöht oder verringert, hat.
\(p = \dfrac{{{y_2} - {y_1}}}{{{y_1}}} \cdot 100\% \)
Beispiel:
Datenquelle:
https://www.statistik.at/web_de/statistiken/menschen_und_gesellschaft/b…
- durchschnittliche Bevölkerung Österreichs im Jahr 2000: 8.011.566 EW
- durchschnittliche Bevölkerung Österreichs im Jahr 2019: 8.877.637 EW
absolute Änderung der Bevölkerung im Betrachtungszeitraum:
\(E{W_{2019}} - E{W_{2000}} = 8.877.637{\text{ EW}} - 8.011.566{\text{ EW}} = 866.071{\text{ EW}}\)
→ Die Bevölkerung ist im Betrachtungszeitraum um 866.071 Einwohner gestiegen
relative Änderung der Bevölkerung im Betrachtungszeitraum:
\(\dfrac{{E{W_{2019}} - E{W_{2000}}}}{{E{W_{2000}}}} = \dfrac{{8.877.637 - 8.011.566}}{{8.011.566}} = \dfrac{{866.071}}{{8.011.566}} = 0,1081\)
→ Die Bevölkerung ist im Betrachtungszeitraum auf das 1,1081 fache gestiegen
prozentuale Änderung der Bevölkerung im Betrachtungszeitraum:
\(\dfrac{{E{W_{2019}} - E{W_{2000}}}}{{E{W_{2000}}}} \cdot 100\% = \dfrac{{866.071}}{{8.011.566}} \cdot 100\% = 10,81\% \)
→ Die Bevölkerung ist im Betrachtungszeitraum um 10,81 % gestiegen
Differenzengleichungen
Eine Differenzengleichung ist eine rekursive Bildungsvorschrift für eine Zahlenfolge. Mit Hilfe der Differenzengleichung kann man aus der n-ten Zahl xn der Folge die darauf folgende n+1 Zahl xn+1 der Folge ermitteln. x0 ist der Startwert der Folge. n muss eine natürliche Zahl (1,2,3…) sein
Die lineare Differenzengleichung entspricht einer arithmetischen Folge. Dabei liegt zwischen dem n-ten und den n+1-ten Glied ein fester Betrag k.
\(\eqalign{ & {a_{n + 1}} = {a_n} \pm k........{\text{rekursive Darstellung}} \cr & {a_{n + 1}} - {a_n} = \pm k......{\text{Differenzendarstellung}} \cr} \)
Beispiel Startwert 100, je Zeitintervall kommen 5 Einheiten dazu
\(\eqalign{ & {a_0} = 100 \cr & {a_1} = {a_0} + k = 100 + 5 = 105 \cr & {a_2} = {a_1} + k = 105 + 5 = 110 \cr} \)
Die exponentielle Differenzengleichung entspricht einer geometrischen Folge. Dabei liegt zwischen dem n-ten und den n+1-ten Glied ein fester Prozentsatz bzw. ein gleicher relativer Anteil.
\(\eqalign{ & {a_{n + 1}} = {a_n} \cdot q{\text{ mit q}} = \dfrac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}{\text{ = 1}} \pm \dfrac{p}{{100}}.....{\text{rekursive Darstellung}} \cr & {a_{n + 1}} - {a_n} = {a_n} \cdot \left( {q - 1} \right)..........{\text{Differenzendarstellung}} \cr} \)
Beispiel: Startwert 100, sinkt je Zeitintervall um 5%
\(\eqalign{ & {a_0} = 100\,\,\,\,\,\,\,\,5\% \buildrel \wedge \over = 1 - \frac{5}{{100}} = 0,95 \cr & {a_1} = 100 \cdot 0,95 = 95 \cr & {a_2} = 95 \cdot 0,95 = 90,25 \cr} \)
Mittlere Änderungsrate bzw. Differenzenquotient
Der Differenzenquotient gibt die mittlere Änderungsrate in einem Intervall an und entspricht der Steigung einer Sekante durch zwei Punkte am Graph der Funktion \(f\). Die mittlere Änderungsrate errechnet sich aus dem Quotienten von der Differenz der Funktionswerte (f(b), f(a)) zur Differenz der Argumente (b, a).
\(\begin{array}{l} {k_{{\rm{Sekante}}}} = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}\\ {k_{{\rm{Sekante}}}} = \dfrac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}} \end{array}\)
\(\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta t}} = \dfrac{{y\left( {{t_2}} \right) - y\left( {{t_1}} \right)}}{{{t_2} - {t_1}}};\)
Während eine lineare Funktion (deren Graph eine Gerade ist) eine konstante Steigung k besitzt, hat eine Funktion höheren Grades (deren Graph eine "Kurve" ist) eine Steigung, die vom jeweiligen Punkt auf dem Graphen abhängt.
Der Differenzenquotient ermöglicht es, die Steigung einer nicht linearen Funktion für einen bestimmten Abschnitt, der durch 2 Punkte \({f\left( {{x_0}} \right)}\) und \({f\left( {{x_0} + \Delta x} \right)}\) auf dem Graphen definiert ist, zu berechnen. Dabei entspricht die jeweilige Steigung der Funktion der zugehörigen Steigung der Geraden (=Sekante) durch die beiden Punkte. Man spricht auch von der "mittleren Anstiegsrate"
Der Differenzenquotient ist leider nur eine Näherung für die Steigung der Funktion. Erst der Differentialquotient (als Grenzwert des Differenzenquotienten mit \(\vartriangle x \to 0\)) liefert dann eine exakte Berechnung, bei der die Sekante in eine Tangente übergeht, da der Abstand zwischen den beiden Punkten gegen Null geht.
Momentane Änderungsrate bzw. Differentialquotient
Der Differentialquotient gibt die momentane Änderungsrate im Punkt x0 an und entspricht der Steigung k der Tangente an die Funktion \(f\) . Er errechnet sich aus der 1. Ableitung \(f'\) der Funktion \(f\). Der Differentialquotient ist definiert als der Grenzwert (Limes) vom Differenzenquotient.
\(\eqalign{ & f'({x_0}) = {\left. {\dfrac{{df}}{{dx}}} \right|_{x = {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}} = \dfrac{{dy}}{{dx}} \cr & f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{x_1} \to {x_0}} \dfrac{{f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{{x_1} - {x_0}}} \cr}\)
Grafisch lässt sich Differenzierbarkeit so deuten, dass an den Graphen der Funktion f(x) an jeder Stelle genau (!) eine Tangente existiert.
Aufgaben
Aufgabe 200
Differentialrechnung bei impliziter Darstellung
Gegeben sei die Funktion: \({y^3} = 2x;\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung für implizite Darstellung.
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Aufgabe 201
Differentialrechnung bei impliziter Darstellung
Gegeben sei die Funktion: \({x^2} + {y^2} = 4;\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung für implizite Darstellung.
Aufgabe 202
Differenzieren von Brüchen
Gegeben sei die Funktion: \(f\left( x \right) = \dfrac{{1 - x}}{{\sqrt x }}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Aufgabe 203
Differenzieren von Potenzen
Gegeben sei die Funktion: \(f\left( x \right) = {\left( {x + \sqrt {2x} } \right)^2}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung.
- 1. Teilaufgabe: Löse die Klammer auf und differenziere die verbleibenden Summanden
- 2. Teilaufgabe: Löse die Klammer nicht auf und wende die Kettenregel an.
Aufgabe 204
Produktregel beim Differenzieren
Gegeben sei die Funktion: \(f\left( x \right) = {\left( {x + 2} \right)^2} \cdot \sqrt {x + 2}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung.
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Aufgabe 206
Extremwertaufgabe
Eine Brauerei will 330ml Bier in eine Dose abfüllen. Welche Abmessungen muss die zylinderförmige Dose haben, damit möglichst wenig Aluminium verbraucht wird?
Aufgabe 208
Produktregel beim Differenzieren
Gegeben sei die Funktion \(f(x) = \left( {{x^2} - 1} \right) \cdot {e^{2x}}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung.
Aufgabe 209
Differenzieren von Logarithmusfunktionen
Gegeben sei die Funktion \(f(x) = \ln \left( x \right)\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung.
Aufgabe 210
Differenzieren von Logarithmusfunktionen
Gegeben sei die Funktion \(f(x) = \ln \left( {{x^2}} \right)\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung.
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Aufgabe 211
Differenzieren von Logarithmusfunktionen
Gegeben sei die Funktion \(f(x) = {\left( {\ln x} \right)^2} = {\ln ^2}\left( x \right)\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung.
Aufgabe 212
Differenzieren von Logarithmusfunktionen
Gegeben sei die Funktion \(f(x) = {\left( {\ln \left( {{x^2}} \right)} \right)^2} = {\ln ^2}\left( {{x^2}} \right)\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung.
Aufgabe 216
Differenzieren von Exponentialfunktionen
Gegeben sei die Funktion \(f\left( x \right) = \dfrac{{{e^{\sqrt x }}}}{x} = \dfrac{{{e^{{x^{\dfrac{1}{2}}}}}}}{x}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung.
- 1. Teilaufgabe: Wende die Quotientenregel an
- 2. Teilaufgabe: Schreibe f(x) als Produkt an und wende die Produktregel an