Geometrie
Wissenswertes über: Geometrie ebener Figuren und von Körpern, Trigonometrie - Winkelfunktionen, Vektorrechnung in der Ebene und im Raum, Analytische lineare Geometrie: Punkt, Gerade und Ebene, 2 und 3-dimensional, Analytische nichtlineare Geometrie: Kreis und Kugel, Anayltische nichtlineare Geometrie: Kegelschnitte und Raumkurven.
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene
Eine Gerade kann eine Ebene schneiden, zur Ebene parallel verlaufen oder in der Ebene liegen. Um herauszufinden wie die Lagebeziehung ist, setzt man die Gleichung der Geraden in die Gleichung der Ebene ein.
Entweder
- schneidet die Gerade die Ebene,
- Gleichsetzen von Gerade und Ebene führt zu genau einer Lösung
- verläuft die Gerade parallel zur Ebene
- Gleichsetzen von Gerade und Ebene führt zu genau keiner Lösung
- liegt die Gerade in der Ebene
- Gleichsetzen von Gerade und Ebene führt zu unendlich vielen Lösungen
Spurpunkt
Als Spurpunkt bezeichnet man den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene, die von zwei Achsen des Koordinatensystems aufgespannt wird.
- Sx ist der Durchstoßpunkt durch die yz-Ebene
- Sy ist der Durchstoßpunkt durch die xz-Ebene
- Sz ist der Durchstoßpunkt durch die xy-Ebene
Man bestimmt den Spurpunkt mit folgenden zwei Schritten:
- Abhängig vom Spurpunkt Si setzt man die i-te Zeile der Geradengleichung gleich Null und bestimmt den Wert von Lambda.
- Man setzt Lambda in die verbleibenden Zeilen der Geradengleichung ein und erhält so die fehlenden Komponenten des Spurpunkts
\(\begin{array}{l}
g:\overrightarrow u = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{A_x}}\\
{{A_y}}\\
{{A_z}}
\end{array}} \right) + \lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{r_x}}\\
{{r_y}}\\
{{r_z}}
\end{array}} \right)\\
{S_y} = {A_y} + \lambda \cdot {r_y} = 0 \to \lambda = - \dfrac{{{A_y}}}{{{r_y}}}\\
S = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{A_x}}\\
{{A_y}}\\
{{A_z}}
\end{array}} \right) - \dfrac{{{A_y}}}{{{r_y}}} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{r_x}}\\
{{r_y}}\\
{{r_z}}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{A_x} - \dfrac{{{A_y} \cdot {r_x}}}{{{r_y}}}}\\
0\\
{{A_z} - \dfrac{{{A_y} \cdot {r_z}}}{{{r_y}}}}
\end{array}} \right)
\end{array}\)
Schnittpunkt Gerade und Ebene
Man setzt die Gleichung der Geraden mit der Gleichung der Ebene gleich. Der gemeinsame Punkt ist der Schnittpunkt.
\(\overrightarrow p + \lambda \overrightarrow v = \overrightarrow q + \sigma \overrightarrow a + \tau \overrightarrow b\)
Schnittpunkt: Gerade und Ebene in der Parameterform
\(\eqalign{ & g:\overrightarrow X = \overrightarrow p + \lambda \overrightarrow v = \left( {\matrix{ {{p_x}} \cr {{p_y}} \cr {{p_z}} \cr } } \right) + \lambda \left( {\matrix{ {{v_x}} \cr {{v_y}} \cr {{v_z}} \cr } } \right) \cr & E:\overrightarrow X = \overrightarrow q + \sigma \overrightarrow a + \tau \overrightarrow b = \left( {\matrix{ {{q_x}} \cr {{q_y}} \cr {{q_z}} \cr } } \right) + \sigma \left( {\matrix{ {{a_x}} \cr {{a_y}} \cr {{a_z}} \cr } } \right) + \tau \left( {\matrix{ {{b_x}} \cr {{b_y}} \cr {{b_z}} \cr } } \right) \cr}\)
Wir setzen nun die Gerade und die Ebene gleich, um den Schnittpunkt zu finden:
\(\left( {\matrix{ {{p_x}} \cr {{p_y}} \cr {{p_z}} \cr } } \right) + \lambda \left( {\matrix{ {{v_x}} \cr {{v_y}} \cr {{v_z}} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {{q_x}} \cr {{q_y}} \cr {{q_z}} \cr } } \right) + \sigma \left( {\matrix{ {{a_x}} \cr {{a_y}} \cr {{a_z}} \cr } } \right) + \tau \left( {\matrix{ {{b_x}} \cr {{b_y}} \cr {{b_z}} \cr } } \right)\)
Somit haben wir für x, y und z jeweils eine eigene Gleichung, also 3 Gleichungen aus denen wir die 3 Unbekannten \(\lambda ,\sigma {\text{ und }}\tau\) ermitteln können.
Schnittpunkt: Gerade und Ebene in der parameterfreien Form
\(\eqalign{ & g:\overrightarrow X = \overrightarrow p + \lambda \overrightarrow v = \left( {\matrix{ {{p_x}} \cr {{p_y}} \cr {{p_z}} \cr } } \right) + \lambda \left( {\matrix{ {{v_x}} \cr {{v_y}} \cr {{v_z}} \cr } } \right) \cr & E:{n_1} \cdot x + {n_2} \cdot y + {n_3} \cdot z + {c_1} = 0 \cr} \)
Aus der Geradengleichung ...
\(\eqalign{ & x = \left( {{p_x} + \lambda \cdot {v_x}} \right) \cr & y = \left( {{p_y} + \lambda \cdot {v_y}} \right) \cr & z = \left( {{p_z} + \lambda \cdot {v_z}} \right) \cr}\)
... und durch Einsetzen in die Ebenengleichung errechnet sich die einzige Unbekannte \(\lambda\)
\(\eqalign{ & {\rm{E:}}\,\,\,{{\rm{n}}_1} \cdot \left( {{p_x} + \lambda {v_x}} \right) + {n_2} \cdot \left( {{p_y} + \lambda {v_y}} \right) + {n_3} \cdot \left( {{p_z} + \lambda {v_z}} \right) + {c_1} \cr & \overrightarrow {0S} = \left( {\matrix{ {{p_x}} \cr {{p_y}} \cr {{p_z}} \cr } } \right) + \lambda \left( {\matrix{ {{v_x}} \cr {{v_y}} \cr {{v_z}} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {{S_x}} \cr {{S_y}} \cr {{S_z}} \cr } } \right) \cr}\)
Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene
Der Schnittwinkel j zwischen einer Geraden und einer Ebene ist der Winkel zwischen der Geraden und ihrer senkrechten Projektion auf die Ebene.
Gerade, gegeben durch ihren Richtungsvektor:
\(\overrightarrow r = \left( {\matrix{ {{r_x}} \cr {{r_y}} \cr {{r_z}} \cr } } \right)\)
Ebene, gegeben durch ihren Normalvektor:
\(\overrightarrow n = \left( {\matrix{ {{n_x}} \cr {{n_y}} \cr {{n_z}} \cr } } \right)\)
Daraus ergibt sich der Schnittwinkel wie folgt:
\(\eqalign{ & \varphi = \arcsin {{\left| {\overrightarrow r \cdot \overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow r } \right| \cdot \left| {\overrightarrow n } \right|}} \cr & \varphi = \arcsin {{\left| {{r_x} \cdot {n_x} + {r_y} \cdot {n_y} + {r_z} \cdot {n_z}} \right|} \over {\sqrt {{r_x}^2 + {r_y}^2 + {r_z}^2} .\sqrt {{n_x}^2 + {n_y}^2 + {n_z}^2} }} \cr}\)
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Produkte von Winkelfunktionen vereinfachen
Die Produkte trigonometrischer Winkelfunktionen lassen sich mit folgenden Formeln auf Summen bzw. Differenzen von Winkelfunktiuonen vereinfachen
\(\begin{array}{l} \sin \alpha \cdot \sin \beta = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\alpha - \beta } \right) - \cos \left( {\alpha + \beta } \right)} \right]\\ \cos \alpha \cdot \cos \beta = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\alpha - \beta } \right) + \cos \left( {\alpha + \beta } \right)} \right]\\ \tan \alpha \cdot \tan \beta = \dfrac{{\tan \alpha - tan\beta }}{{\cot \alpha - \cot \beta }}\\ \cot \alpha \cdot \cot \beta = \dfrac{{\cot \alpha - \cot \beta }}{{\tan \alpha - \tan \beta }}\\ \sin \alpha \cdot \cos \beta = \dfrac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\alpha - \beta } \right) + \sin \left( {\alpha + \beta } \right)} \right]\\ \tan \alpha \cdot \cot \beta = - \dfrac{{\tan \alpha - \cot \beta }}{{\cot \alpha - \tan \beta }} \end{array}\)
Lagebeziehung zweier Ebenen
Zwei Ebenen können zu einander parallel sein, identisch sein oder sich in einer Schnittgeraden schneiden
Schnittwinkel zweier Ebenen
Der Schnittwinkel zweier Ebenen - so sie sich überhaupt schneiden - entspricht dem spitzen Winkel zwischen den Normalvektoren der beiden Ebenen, wobei diese beiden Normalvektoren einen gemeinsamen Punkt auf der Schnittgerade der beiden Ebenen haben müssen.
1. Ebene, gegeben durch ihren Normalvektor:
\(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {\matrix{ {{n_{1x}}} \cr {{n_{1x}}} \cr {{n_{1z}}} \cr } } \right)\)
2. Ebene, gegeben durch ihren Normalvektor:
\(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {\matrix{ {{n_{2x}}} \cr {{n_{2y}}} \cr {{n_{2z}}} \cr } } \right)\)
Somit errechnet sich der Schnittwinkel zwischen den beiden Ebenen:
\(\eqalign{ & \varphi = \arccos \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \circ \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} \cr & \varphi = \arccos \frac{{\left| {{n_{1x}} \cdot {n_{2x}} + {n_{1y}} \cdot {n_{2y}} + {n_{1z}} \cdot {n_{2z}}} \right|}}{{\sqrt {{n_{1x}}^2 + {n_{1y}}^2 + {n_{1z}}^2} .\sqrt {{n_{2x}}^2 + {n_{2y}}^2 + {n_{2z}}^2} }} \cr} \)
Formel vom halben Winkel
Die Formeln vom halben Winkel führt den Funktionswert eines halben Winkels auf die Funktionswerte ganzer Winkel zurück
\(\begin{array}{l} \sin \left( {\dfrac{\alpha }{2}} \right) = \pm \sqrt {\dfrac{{1 - \cos \left( \alpha \right)}}{2}} \\ \cos \left( {\dfrac{\alpha }{2}} \right) = \pm \sqrt {\dfrac{{1 + \cos \left( \alpha \right)}}{2}} \\ \tan \left( {\dfrac{\alpha }{2}} \right) = \dfrac{{1 - \cos \left( \alpha \right)}}{{\sin \left( \alpha \right)}} = \dfrac{{\sin \alpha }}{{1 + \cos \left( \alpha \right)}}\\ \cot \left( {\dfrac{\alpha }{2}} \right) = \dfrac{{1 + \cos \left( \alpha \right)}}{{\sin \left( \alpha \right)}} = \dfrac{{\sin \alpha }}{{1 - \cos \left( \alpha \right)}} \end{array}\)
Formel vom doppelten Winkel
Die Formeln vom doppelten Winkel führt den Funktionswert eines doppelten Winkels auf die Funktionswerte ganzer Winkel zurück
\(\begin{array}{l} \sin \left( {2\alpha } \right) = 2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha = \dfrac{{2 \cdot \tan \alpha }}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }}\\ \cos \left( {2\alpha } \right) = {\cos ^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1 = 1 - 2{\sin ^2}\alpha = \dfrac{{1 - {{\tan }^2}\alpha }}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }}\\ \tan \left( {2\alpha } \right) = \dfrac{{2\tan \alpha }}{{1 - {{\tan }^2}\alpha }}\\ \cot \left( {2\alpha } \right) = \dfrac{{{{\cot }^2}\alpha - 1}}{{2\cot \alpha }} \end{array}\)
Arkusfunktionen als Umkehrung der Winkelfunktionen
Die Arkusfunktionen sind die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Winkelfunktionen. Sie werden verwendet, wenn man aus einer gegebenen Strecke, den zugrundeliegenden Winkel ausrechnen will. Bei den Arkusfunktionen erfolgt eine Vertauschung von unabhängiger und abhängiger Variable gegenüber den trigonometrischen Winkelfunktionen.
zugrunde liegende Strecke Funktionswert = Strecke |
trigonometrische Winkelfunktion |
zugrunde liegender Winkel Funktionswert Winkel |
Arkusfunktion Argument = Strecke |
\(y=\) | \(\sin \left( \alpha \right)\) | \(\alpha = \) | \(\arcsin \left( y \right)\) |
\(x=\) | \(\cos \left( \alpha \right)\) | \(\alpha =\) | \(\arccos \left( x \right)\) |
\(\dfrac{y}{x}=\) | \(\tan \left( \alpha \right)\) | \(\alpha =\) | \(\arctan \left( {\dfrac{y}{x}} \right)\) |
\(\dfrac{x}{y}=\) | \(\cot \left( \alpha \right)\) | \(\alpha =\) | \(arccot \left( {\dfrac{x}{y}} \right)\) |
Illustration von Funktionswert und zugehörigem Argument bei trigonometrischen Winkelfunktionen
Achtung: Auf Taschenrechnern findet sich oft die Beschriftung sin-1 für den Arcussinus. Dies ist mit Vorsicht zu genießen, denn \(\operatorname{arcsinx} \ne \dfrac{1}{{\sin x}}\)
Definitions- und Wertemengen der Arkusfunktionen
Für die Hauptwerte der Arkusfunktionen gelten folgende Definitions- und Wertemengen:
Funktion | \(\arcsin \left( x \right)\) | \(\arccos \left( x \right)\) | \(\arctan \left( x \right)\) | \({\mathop{\rm arccot}\nolimits} \left( x \right)\) |
Definitionsmenge Df | \({D_f} = \left[ { - 1;1} \right]\) | \({D_f} = \left[ { - 1;1} \right]\) | \({D_f} = {\Bbb R}\) | \({D_f} = {\Bbb R}\) |
Wertemenge Wf | \({W_f} = \left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]\) | \({W_f} = \left[ {0;\pi } \right]\) | \({W_f} = \left] { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right[\) | \({W_f} = \left] {0;\pi } \right[\) |
Nullstellen | 0 | 1 | 0 | - |
Wendepunkte | 0 | 0 | 0 | 0 |
Asymptoten | - | - | \(\eqalign{ & y = \dfrac{\pi }{2} \cr & y = - \dfrac{\pi }{2} \cr}\) | \(\eqalign{ & y = 0 \cr & y = \pi \cr} \) |
Haupt- und Nebenwerte der Arkusfunktionen
Zufolge der Periodizität der zugrunde liegenden trigonometrischen Winkelfunktionen - die innerhalb jeder einzelnen Periodendauer sämtliche Funktionswerte einmalig durchlaufen und somit eindeutig umkehrbar sind - unterscheidet man bei den Arkusfunktionen zwischen Hauptwert und Nebenwerten.
Illustration der Graphen der Hauptwerte der Arkusfunktionen
Pythagoräischer Lehrsatz für die Arkusfunktionen
Neben dem Satz des Pythagoras für rechtwinkelige Dreiecke und dem trigonometrischen Pythagoras für Winkelfunktionen kann man auch einen pythagoräischen Lehrsatz für die Arkusfunktionen anschreiben. Bedenke: Die Länge der Hypotenuse wird bei allen 3 Darstellungsformen auf 1 normiert.
\(\eqalign{ & {a^2} + {b^2} = {c^2}=1 \cr & {\cos ^2}\left( \alpha \right) + {\sin ^2}\left( \alpha \right) = 1 \cr & {\cos ^2}\left( {\arcsin \left( x \right)} \right) + {\sin ^2}\left( {\arccos \left( x \right)} \right) = 1 \cr} \)
Zusammenhänge der Arkusfunktionen
Man kann folgende - eher selten verwendete - Zusammenhänge für die Arkusfunktionen anschreiben:
\(\eqalign{ & \sin \left( {\arccos \left( x \right)} \right) = \sqrt {1 - {x^2}} = \cos \left( {\arcsin \left( x \right)} \right) \cr & \sin \left( {\arctan \left( x \right)} \right) = \dfrac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = \cos \left( {\arctan \left( x \right)} \right) \cr & \cr & \arcsin \left( x \right) + \arccos \left( x \right) = \dfrac{\pi }{2} \buildrel \wedge \over = 90^\circ \cr & \arctan \left( x \right) + \operatorname{arccot} \left( x \right) = \dfrac{\pi }{2} \cr & \operatorname{arc} \sec \left( x \right) + \operatorname{arc} \csc \left( x \right) = \dfrac{\pi }{2} \cr & \cr & \arcsin ( - x) = - \arcsin (x) \cr & \arccos ( - x) = \pi - \arccos \left( x \right) \cr & \arctan \left( { - x} \right) = - \arctan (x) \cr & \operatorname{arccot} ( - x) = \pi - \operatorname{arccot} (x) \cr} \)
Zusammenhang der Funktionswerte einer Arkusfunktion zu den anderen 3 Arkusunktionen bei gleichem Winkel
Man kann folgende Beziehungen zwischen einer Arkusfunktion und den jeweiligen 3 anderen Arkusfunktionen anschreiben
\(\eqalign{
& \arcsin \left( x \right) = \arccos \left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right) = \arctan \left( {\dfrac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} \right) = \operatorname{arccot} \left( {\dfrac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{x}} \right) \cr
& \arccos \left( x \right) = \arcsin \left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right) = \arctan \left( {\dfrac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{x}} \right) = \operatorname{arccot} \left( {\dfrac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} \right) \cr
& \arctan \left( x \right) = \arcsin \left( {\dfrac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} \right) = \arccos \left( {\dfrac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} \right) = \operatorname{arccot} \left( {\frac{1}{x}} \right) \cr
& \operatorname{arccot} \left( x \right) = \arcsin \left( {\dfrac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} \right) = \arccos \left( {\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} \right) = \arctan \left( {\dfrac{1}{x}} \right) \cr} \)
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Koordinatensysteme
Koordinatensysteme, auch Bezugssysteme genannt, dienen dazu, die gegenseitige Beziehung von Punkten zueinander und zum Ursprung des Koordinatensystems in zweckmäßig vielen Dimensionen anzugeben. Jeder Dimension entspricht eine Koordinatenachse. Rechnerisch einfach sind orthogonale Koordinatensysteme, bei denen die Koordinatenachsen im rechten Winkel zu einander stehen und sich im Ursprung des Koordinatensystems schneiden.
Koordinaten
Koordinaten sind Zahlenwerte in Bezug auf die Koordinatenachsen, die entweder einem Abstand vom Ursprung oder einem Winkel zwischen Richtungsvektor und einer Koordinatenachse entsprechen.
Transformation
Unter einer Transformation versteht man die Umrechnung von einem Bezugssystem in ein anderes Bezugssystem.
- Beispiele aus der Physik: Galilei-Transformation, Lorenz-Transformation
- Beispiele aus der Mathematik: Kugelkoordinaten in kartesische Koordinaten, z-Transformation der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Zweidimensionale Koordinatensysteme
Zweidimensionale Koordinatensysteme repräsentieren zwei Dimensionen, die durch 2 Abstände oder 1 Abstand und 1 Winkel quantifiziert werden
- Kartesische Koordinaten: 2 Abstände
- Polarkoordinaten: 1 Abstand + 1 Winkel
Dreidimensionale Koordinatensysteme
Dreidimensionale Koordinatensysteme repräsentieren drei Dimensionen, die durch 3 Abstände oder 2 Abstände und 1 Winkel oder 1 Abstand und 2 Winkel quantifiziert werden
- Kartesische Koordinaten: 3 Abstände
- Zylinderkoordinaten: 2 Abstände + 1 Winkel
- Kugelkoordinaten: 1 Abstand + 2 Winkel
Mehrdimensionale Koordinatensysteme
In der Physik ist es zweckmäßig Hyperräume wie die Raum-Zeit (4 Dimensionen) einzuführen. In der allgemeinen Relativitätstheorie kommen auch 10-dimensionale Koordinatensysteme zum Einsatz und in der fraktalen Geometrie gibt es auch nicht-ganzzahlige Dimensionen.
Ganzzahlige Dimension
Der Begriff Dimension geht auf die euklidische Geometrie zurück und bedeutet soviel wie „Anzahl der Ausdehnungen“. Eine Dimension ist die Ausdehnung in eine eigene "Richtung / Qualität", die nicht bereits durch eine andere Dimension dargestellt werden kann. Regelmäßige Gebilde, mit „glatten“ Randlinien, wie Quadrate, Kreise, Quader oder Kugeln haben ganzzahlige Dimensionen.
- D=0: Punkt
- D=1: Länge, Begrenzungslinie einer Fläche
- D=2: Flächeninhalt
- D=3: Rauminhalt, Volumen
- D=4: Hyperräume, etwa die Raum-Zeit
- D=10: allgemeine Relativitätstheorie
- D=4+6: Stringtheorie mit vierdimensionaler Raumzeit und 6 eng aufgerollten Extradimensionen
Nicht ganzzahlige Dimension
Da die euklidische Geometrie unregelmäßige Formen wie Küstenlinien nicht abbilden kann, begann Mandelbrot über den Begriff der Dimension nachzuforschen. Er führte neben den ganzzahligen Dimensionen auch gebrochenzahlige, sogenannte fraktale Dimensionen ein. Die Küste ist nämlich ein Mittelding zwischen Linie und Fläche und hat eine nicht ganzzahlige Dimension. Die fraktale Dimension D lässt sich in Abhängigkeit von der Teileanzahl a und einem Skalierungsfaktor s berechnen.
\(D = - \dfrac{{\ln \left( {a\left( s \right)} \right)}}{{\ln \left( s \right)}}\)
Die Länge der Küstenlinie einer Insel hängt von der Größe des Maßstabs der Karte ab: Obwohl die Fläche einer Insel endlich groß ist, nähert sich die Länge der Küstenlinie bei beliebiger Verkleinerung des Maßstabs der Karte dem Wert Unendlich. An keinem Punkt der Küste ist Differenzierbarkeit gewährleistet.
Vorab eine Mindmap zu den Inhalten dieser Mikro-Lerneinheit
Vektoranalysis
Die Vektoranalysis ist ein Teilgebiet der Mathematik, welches sich mit Skalaren, Vektoren und Tensoren, sowie deren Änderung in Raum und Zeit beschäftigt.
In der Physik spricht man in diesem Zusammenhang von Feldern, z.B.: \(\vec D{\mkern 1mu} - {\mkern 1mu} \vec E{\mkern 1mu} - {\mkern 1mu} \vec B{\mkern 1mu} - {\mkern 1mu} \vec H\) in der Elektrodynamik, in der Mathematik von Funktionen, z.B.: \(\overrightarrow f = \overrightarrow f \left( {x,y,z} \right)\). Die Vektoranalysis verbindet die Vektorrechnung mit der Analysis und dort speziell mit der Infinitesimalrechnung (Differential- und Integralrechnung).
Ein Feld ist eine Energieform, die den Raum erfüllt. Felder können sich mit endlicher Geschwindigkeit ausbreiten, wobei ihre Dynamik durch Feldgleichungen beschrieben wird.
Zeitlich unveränderliche räumliche Felder benötigen zu ihrer Beschreibung eine Funktion mit den 3 Variablen \(\overrightarrow f = \overrightarrow f \left( {x,y,z} \right)\) , um das Feld in jedem Punkt im 3-dimensionalen Raum beschreiben zu können. Will man eine derartige Funktion ableiten, so bedient man sich der partiellen Ableitung. Bei der partiellen Ableitung leitet man jeweils nach einer der unabhängigen Variablen ab, und behandelt die anderen unabhängigen Variablen wie Konstante.
Ein wichtiges Anwendungsgebiet der Vektoranalysis sind elektromagnetische Felder. Die maxwellschen Gleichungen, in Integral- und Differentialform zur Beschreibung des elektromagnetischen Feldes, sind fundamentale Anwendungsgebiete der Vektoranalysis in der physikalischen Praxis.
Ein weiteres wichtiges Anwendungsgebiet der Vektoranalysis sind die 4 fundamentalen Wechselwirkungen, die beschreiben, wie physikalische Objekte einander beeinflussen, samt dem Higgs-Feld, welches dafür sorgt, dass Teilchen ihre Masse erhalten.
Die Verwendung von Tensoren, speziell von Minkowski-Raumzeit-Tensoren ermöglichte eine kompakte Darstellung der Lorenz-Transformation in der speziellen Relativitätstheorie und die Formulierung der Beziehung zwischen der Gravitationskraft einerseits und der Krümmung der Raumzeit andererseits, zufolge der Einstein-Tensorgleichung der allgemeinen Relativitätstheorie.
Felder, durch Tensoren dargestellt
Ein Tensor ist ein mathematischer Begriff zur Verallgemeinerung von Skalaren, Vektoren und Matrizen. Der Rang eines Tensors ergibt sich aus der Anzahl der Indizes, die benötigt werden, um ein Element zu referenzieren.
Man kann Felder nach ihrem Rang wie folgt unterscheiden:
- Skalarfelder
Ein Skalarfeld ist ein Tensor des Rangs 0, da es nur einen Wert gibt, und somit kein Index nötig ist.- Temperatur im Raum
- Higgs Feld
- Vektorfelder
Ein Vektorfeld ist ein Tensor des Rangs 1, da nur 1 Index zur Beschreibung nötig ist.- Die elektromagnetischen Felder \(\vec D{\mkern 1mu} - {\mkern 1mu} \vec E{\mkern 1mu} - {\mkern 1mu} \vec B{\mkern 1mu} - {\mkern 1mu} \vec H\) , z.B.: \(\overrightarrow {{E_x}} ,\overrightarrow {{E_y}} ,\overrightarrow {{E_z}} \)
- Feld der schwachen Wechselwirkung
- Feld der starken Wechselwirkung
- Tensorfelder
Matrizen sind Tensor vom Rang >1, da 2 oder mehr Indizes zur Beschreibung der Elemente nötig sind.- Elektromagnetischer Feldstärkentensor \({F^{\mu \upsilon }}\) ist ein Tensor des Rangs 2, der sowohl die Stärke des elektrischen Feldes E als auch die Stärke des magnetischen Feldes B umfasst.
- Riemann-Tensor zur Beschreibung der Krümmung des Raum-Zeit-Kontinuums ist ein Tensor des Rangs 4.
Wir verwenden folgende Schreibweise:
- s steht für ein Skalarfeld, in der Literatur wird auch gerne f verwendet
- \(\overrightarrow v \) steht für ein Vektorfeld, in der Literatur wird auch gerne F verwendet
- Tij unter Verwendung von fetten Buchstaben und Indizes steht für ein Tensorfeld
Differentialoperatoren
Ein Differentialoperator ist eine Abbildungsvorschrift, bei der einer Ausgangsfunktion eine andere Funktion zugeordnet wird, die partielle Ableitungen der Ausgangsfunktion hat.
So bildet etwa der Differentialoperator \(\dfrac{d}{{dx}}\) eine differenzierbare Funktion \(f\left( x \right)\) auf deren 1. Ableitung ab:
\(f\left( x \right) \to \dfrac{d}{{dx}} \to f'\)
Wir werden nun folgende Differentialoperatoren besprechen:
- Gradient, gibt die Richtung des steilsten Anstiegs des Skalarfeldes in Form eines Vektors an
- Divergenz, ist ein Maß für die Existenz von Quellen oder Senken in einem Vektorfeld
- Rotation, ist ein Maß für Drehbewegungen bzw. für die Wirbel des Vektorfeldes.
Zur Vereinfachung der Schreibweise von partiellen Ableitungen dienen folgende Differentialoperatoren:
- Nabla-Operator, entspricht dann der ersten partiellen Ableitung eines ortsabhängigen Feldes und vereinheitlicht die Schreibweise für Gradient, Divergenz und Rotation
- Laplace-Operator, entspricht dann der zweiten partiellen Ableitung eines ortsabhängigen Feldes.
- D’Alembert-Operator, stellt eine Verallgemeinerung des Laplace Operators für den 4-dimensionalen Minkowski Raum dar und ist invariant unter der Laplace-Transformation
Gradient
Der Gradient ist jener Differentialoperator, der einem räumlichen Skalarfeld \(s \to s\left( {x,y,z} \right)\) den Vektor der partiellen Ableitungen des Skalarfeldes zuordnet. Dieser Vektor heißt Gradient und kann mit dem Nabla-Operator einfach angeschrieben werden.
\(grad\,s = \overrightarrow \nabla s = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\partial _x}s}\\ {{\partial _y}s}\\ {{\partial _z}s} \end{array}} \right)\)
Umgekehrt formuliert, bildet der Differentialoperator, diesmal als Zeilenvektor geschrieben, \(\left( {\dfrac{\partial }{{\partial x}},\dfrac{\partial }{{\partial y}},\dfrac{\partial }{{\partial z}}} \right)\) ein zeitlich unveränderliches räumliches Skalarfeld \(s = s\left( {x,y,z} \right)\)auf dessen Gradienten – ein Vektorfeld - ab:
\(s\left( {x,y,z} \right) \to \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{\partial }{{\partial x}}}\\ {\dfrac{\partial }{{\partial y}}}\\ {\dfrac{\partial }{{\partial z}}} \end{array}} \right) \to grad\,s = \overrightarrow \nabla \,s\)
Rechenregeln:
\(\begin{array}{l} \overrightarrow \nabla \left( {f + g} \right) = \overrightarrow \nabla f + \overrightarrow \nabla g\\ \overrightarrow \nabla \left( {f \cdot g} \right) = f \cdot \overrightarrow \nabla g + g \cdot \overrightarrow \nabla f \end{array}\)
Beispiel: Anwendung des Nabla-Operators auf eine Funktion mit 3 unabhängigen Variablen, bzw. Bildung des Gradienten der Funktion
\(\begin{array}{l} s\left( {x,y,z} \right) = {x^2} + {y^2} + {z^2}\\ grad\,s = ?\\ \\ \dfrac{{\partial s}}{{\partial x}} = 2x + 0 + 0\\ \dfrac{{\partial s}}{{\partial y}} = 0 + 2y + 0\\ \dfrac{{\partial s}}{{\partial z}} = 0 + 0 + 2z\\ \\ \overrightarrow \nabla s = grad\,s = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2x}\\ {2y}\\ {2z} \end{array}} \right) = 2x \cdot \overrightarrow i + 2y \cdot \overrightarrow j + 2z \cdot \overrightarrow k \end{array}\)
mit
\(\overrightarrow i ,\overrightarrow j {\text{ und }}\overrightarrow k {\text{ : Basisvektoren}}\)
Divergenz
Der Divergenz ist jener Differentialoperator, der einem räumlichen Vektorfeld \(\overrightarrow v \to \overrightarrow v \left( {x,y,z} \right)\) die Summe der partiellen Ableitung der x,y,z-Koordinate zuordnet. Diese Summe ist ein Skalar. Sie ist ein Maß für die Quellenstärke des Vektorfeldes in einem bestimmten Punkt.
Mathematisch ist die Divergenz das Skalarprodukt aus dem Nabla-Vektor und dem räumlichen Vektorfeld.
\(div\,\overrightarrow v = \overrightarrow \nabla \circ \overrightarrow v = \sum\limits_{i = x}^z {{\partial _i}{v_i}} = \dfrac{{\partial {v_x}}}{{\partial x}} + \dfrac{{\partial {v_y}}}{{\partial y}} + \dfrac{{\partial {v_z}}}{{\partial z}}\)
Rechenregeln:
\(\begin{array}{l} div\left( {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right) = div\overrightarrow u + div\overrightarrow v \\ div\left( {s \cdot \overrightarrow v } \right) = s \cdot div\overrightarrow v + \left( {\overrightarrow {\nabla s} } \right) \cdot \overrightarrow v \\ div\left( {\overrightarrow u \times \overrightarrow v } \right) = \overrightarrow v \cdot rot\overrightarrow u - \overrightarrow u \cdot rot\overrightarrow v \end{array}\)
Beispiel: Anwendung des Skalarprodukts aus dem Nabla-Operator und einer Vektorfunktion mit 3 unabhängigen Variablen, bzw. Bildung der Divergenz der Funktion.
\(\begin{array}{l} \overrightarrow v \left( {x,y,z} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {3xz - 4{e^{2z}}}\\ {2z + 2x{e^{ - 4y}}}\\ {3x{y^2}z} \end{array}} \right)\\ div\,\overrightarrow v = ?\\ \\ div\,\overrightarrow v = \overrightarrow \nabla \circ \overrightarrow v \\ NR.:\\ \dfrac{{\partial {v_x}}}{{\partial x}} = \dfrac{d}{{dx}} \cdot \left( {3xz - 4{e^{2z}}} \right) = 3z\\ \dfrac{{\partial {v_y}}}{{\partial y}} = \dfrac{d}{{dy}} \cdot \left( {2z + 2x{e^{ - 4y}}} \right) = - 4 \cdot 4x \cdot {e^{ - 4y}}\\ \dfrac{{\partial {v_z}}}{{\partial z}} = \dfrac{d}{{dz}} \cdot \left( {3x{y^2}z} \right) = 3x{y^2}\\ \\ div\,\overrightarrow v = \overrightarrow \nabla \circ \overrightarrow v = \sum\limits_{i = x}^z {{\partial _i}{v_i}} = 3z - 16x \cdot {e^{ - 4y}} + 3x{y^2} \end{array}\)
Setzt man nun für einen Punkt des Vektorfeldes ein, gibt es 3 Möglichkeiten:
\(\eqalign{ & P\left( {{x_P}|{y_P}|{z_p}} \right) \cr & div\,\overrightarrow v = 3{z_P} - 16{x_P} \cdot {e^{ - 4{y_P}}} + 3{x_P}{y_P}^2 > 0 \to {\text{P ist Quelle}} \cr & div\,\overrightarrow v = 3{z_P} - 16{x_P} \cdot {e^{ - 4{y_P}}} + 3{x_P}{y_P}^2 < 0 \to {\text{P ist Senke}} \cr & div\,\overrightarrow v = 3{z_P} - 16{x_P} \cdot {e^{ - 4{y_P}}} + 3{x_P}{y_P}^2 = 0 \to {\text{P ist weder Quelle noch Senke}} \cr} \)
Rotation
Die Rotation ist jener Differentialoperator, der einem räumlichen Vektorfeld \(\overrightarrow v \to \overrightarrow v \left( {x,y,z} \right)\) ein anderes räumliches Vektorfeld gemäß dem Kreuzprodukt aus dem Gradienten des Vektorfeldes und dem Vektorfeld selbst zuordnet.
Mathematisch ist die Rotation das Kreuzprodukt aus dem Nabla-Vektor und dem räumlichen Vektorfeld.
\(rot\,\overrightarrow v = \overrightarrow \nabla \times \overrightarrow v = \left( {\dfrac{{\partial {v_z}}}{{\partial y}} - \dfrac{{\partial {v_y}}}{{\partial z}},\dfrac{{\partial {v_x}}}{{\partial z}} - \dfrac{{\partial {v_z}}}{{\partial x}},\dfrac{{\partial {v_y}}}{{\partial x}} - \dfrac{{\partial {v_x}}}{{\partial y}}} \right)\)
Rechenregeln:
\(\begin{array}{l} rot\left( {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right) = rot\overrightarrow u + rot\overrightarrow v \\ rot\left( {s \cdot \overrightarrow v } \right) = s \cdot rot\overrightarrow v + \left( {\overrightarrow \nabla s} \right) \times \overrightarrow v \\ rot\left( {\overrightarrow u \times \overrightarrow v } \right) = \left( {\overrightarrow v \circ \overrightarrow \nabla } \right)\overrightarrow u - \overrightarrow v \left( {\overrightarrow \nabla \circ \overrightarrow u } \right) - \left( {\overrightarrow u \circ \overrightarrow \nabla } \right)\overrightarrow v + \overrightarrow u \left( {\overrightarrow \nabla \circ \overrightarrow v } \right) \end{array}\)
Beispiel: Anwendung des Kreuzprodukts aus dem Nabla-Operator und einer Vektorfunktion mit 3 unabhängigen Variablen, bzw. Bildung der Divergenz der Funktion.
\(\begin{array}{l} \overrightarrow v \left( {x,y,z} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}}\\ {{v_y}}\\ {{v_z}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} + {z^3}}\\ {{x^2} + {y^3}}\\ {{y^2} + {z^3}} \end{array}} \right)\\ rot\,\overrightarrow v = ?\\ \\ rot\,\overrightarrow v = \overrightarrow \nabla \times \overrightarrow v \\ rot\,\overrightarrow v = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\partial _y}{v_z} - {\partial _z}{v_y}}\\ {{\partial _z}{v_x} - {\partial _x}{v_z}}\\ {{\partial _x}{v_y} - {\partial _y}{v_x}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{d\left( {{y^2} + {z^3}} \right)}}{{dy}} - \dfrac{{d\left( {{x^2} + {y^3}} \right)}}{{dz}}}\\ {\dfrac{{d\left( {{x^2} + {z^3}} \right)}}{{dz}} - \dfrac{{d\left( {{y^2} + {z^3}} \right)}}{{dx}}}\\ {\dfrac{{d\left( {{x^2} + {y^3}} \right)}}{{dx}} - \dfrac{{d\left( {{x^2} + {z^3}} \right)}}{{dy}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2y - 0}\\ {3{z^2} - 0}\\ {2x - 0} \end{array}} \right)\\ \\ rot\,\overrightarrow v = \overrightarrow \nabla \times \overrightarrow v = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2y}\\ {3{z^2}}\\ {2x} \end{array}} \right) \end{array}\)
Das bedeutet, dass sich jeder Punkt des räumlichen Vektorfeldes um die Rotationsachse \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2y}\\ {3{z^2}}\\ {2x} \end{array}} \right)\) dreht.
Mit Hilfe der Differentialoperatoren Gradient (grad), Divergenz (div) und Rotation (rot) kann man die Eigenschaften von Feldern untersuchen.
- Wendet man Gradient auf ein skalares Feld an, erhält man ein Vektorfeld.
- Wendet man Divergenz auf ein Vektorfeld an, erhält man ein Skalarfeld.
- Wendet man Rotation auf ein Vektorfeld an, erhält man wieder ein Vektorfeld.
grad, div und rot sind unterschiedliche Arten der Differentiation im Zusammenhang mit der Vektorrechnung.
Zur Vereinfachung der Schreibweise partieller Ableitungen bedient sich die Vektoranalysis weiterer Operatoren
Differentialoperator Nabla
Der Nabla-Operator ist ein vektorieller Differentialoperator und hat alleinstehend keine Bedeutung. Er muss auf ein Skalar s oder einen Vektor \(\overrightarrow v \) angewendet werden und entspricht dann der ersten partiellen Ableitung eines ortsabhängigen Feldes.
Der Nabla-Operator fasst in einem Symbol \(\overrightarrow \nabla \) die drei partiellen Differentiationen nach der jeweiligen Ortskoordinate x, y bzw. z zusammen.
\(\vec \nabla = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{\partial }{{\partial x}}}\\ {\dfrac{\partial }{{\partial y}}}\\ {\dfrac{\partial }{{\partial z}}} \end{array}} \right)\)
Mit Hilfe vom Differentialoperator Nabla ist es möglich die Operatoren grad, div und rot in einer einheitlichen Form anzuschreiben.
\(\begin{array}{*{20}{l}} {grad\,s = \overrightarrow \nabla s}\\ {div\,\overrightarrow v = \overrightarrow \nabla \circ \overrightarrow v }\\ {rot\,\overrightarrow v = \overrightarrow \nabla \times \overrightarrow v } \end{array}\)
Laplace Operator
Der Laplace Operator ist ein Differentialoperator und hat alleinstehend keine Bedeutung. Er entspricht der zweifachen Anwendung des Nabla Operators. Er muss auf ein Skalar s oder einen Vektor \(\overrightarrow v \) angewendet werden und entspricht dann der zweiten partiellen Ableitung eines jeweiligen ortsabhängigen Feldes.
\(\overrightarrow \nabla \circ \overrightarrow \nabla = {\overrightarrow \nabla ^2} = \Delta {\rm{ }}...{\rm{Laplace Operator}}\)
\({\rm{\Delta }} = \left( {\dfrac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}} + \dfrac{{{\partial ^2}}}{{\partial {y^2}}} + \dfrac{{{\partial ^2}}}{{\partial {z^2}}}} \right)\)
Laplace Operator auf ein Skalarfeld angewendet
Wendet man den Laplace Operator auf ein Skalarfeld s an, ist das Resultat wieder ein Skalar.
\({\nabla ^2}s = {\rm{\Delta s}} = \dfrac{{{\partial ^2}s}}{{\partial {x^2}}} + \dfrac{{{\partial ^2}s}}{{\partial {y^2}}} + \dfrac{{{\partial ^2}s}}{{\partial {z^2}}}\)
- Ein Beispiel für die Anwendung des Laplace Operators auf ein Skalarfeld ist die Laplace-Gleichung. Skalarfelder \(s\left( {x,y,z} \right)\) die der Laplacegleichung \({\rm{\Delta s}} = 0 \) genügen, sind quellen- und wirbelfrei, etwa die Temperaturverteilung in einem homogenen Medium.
\(\begin{array}{*{20}{l}} {\overrightarrow \nabla s = grad{\mkern 1mu} s}\\ {div\,\overrightarrow s = div\left( {grad{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} s} \right) = {\rm{\Delta s}} = 0 \to {\rm{Quellenfreiheit}}}\\ {rot\,\overrightarrow s = rot\left( {grad{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} s} \right) = 0 \to {\rm{Wirbelfreiheit}}} \end{array}\) -
Ein Beispiel für die Anwendung des Laplace-Operators auf ein wirbelfreies Quellenfeld, etwa das elektrische Potential, ist die poissonsche Differentialgleichung
\({\nabla ^2}\varphi = {\rm{\Delta }}\varphi = \dfrac{{{\partial ^2}\varphi }}{{\partial {x^2}}} + \dfrac{{{\partial ^2}\varphi }}{{\partial {y^2}}} + \dfrac{{{\partial ^2}\varphi }}{{\partial {z^2}}} = - q\)
der zufolge der Laplace-Operator des elektrischen Potentials Phi gleich der negativen Ladungsdichte q ist. Diese Gleichung beschreibt, wie jede punktförmige Ladung Q an einem Punkt im Raum, einen Beitrag zum Potential Phi an einem anderen Punkt im Raum erbringt.
Laplace Operator auf ein Vektorfeld angewendet
Wendet man den Laplace Operator auf ein Vektorfeld \(\overrightarrow v \) an, ist das Resultat wieder ein Vektor.
\({\nabla ^2}\overrightarrow v = {\rm{\Delta }}\overrightarrow v = \dfrac{{{\partial ^2}\overrightarrow v }}{{\partial {x^2}}} + \dfrac{{{\partial ^2}\overrightarrow v }}{{\partial {y^2}}} + \dfrac{{{\partial ^2}\overrightarrow v }}{{\partial {z^2}}}\)
Ein Beispiel für die Anwendung des Laplace Operators auf ein Vektorfeld ist die Wellengleichung.
Die Wellengleichung beschreibt die Ausbreitung von Wellen in Raum und Zeit mittels einer partiellen Differenzialgleichung. Sie besagt, dass die 2. räumliche Ableitung der Auslenkung proportional zur 2. zeitlichen Ableitung der Auslenkung ist, wobei der Proportionalitätsfaktor 1/c² beträgt. Der Laplace Operator ist eine Kurzschreibweise für die 2. räumliche Ableitung.
\(\begin{array}{l} \psi = \psi \left( {x,y,z,t} \right)\\ \dfrac{{{\partial ^2}\psi }}{{\partial {x^2}}} + \dfrac{{{\partial ^2}\psi }}{{\partial {y^2}}} + \dfrac{{{\partial ^2}\psi }}{{\partial {z^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} \cdot \dfrac{{{\partial ^2}\psi }}{{d{t^2}}}\\ \Delta \psi = \dfrac{1}{{{c^2}}} \cdot \dfrac{{{\partial ^2}\psi }}{{d{t^2}}}\\ \dfrac{1}{{{c^2}}} \cdot \dfrac{{{\partial ^2}\psi }}{{d{t^2}}} - \Delta \psi = 0 \end{array}\)
D’Alembert-Operator Quabla
Der D’Alembert Operator namens "Quabla", auch als Wellenoperator bezeichnet, ist ein hyperbolischer Differentialoperator. Er ist eine lineare Kombination aus der zeitlichen Ableitung und dem Laplace-Operator.
Er stellt eine Verallgemeinerung des Laplace Operators für den 4-dimensionalen Minkowski Raum dar und findet daher im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie (SRT) Anwendung. Der D’Alembert Operator ist invariant unter der Lorenz-Transformation.
\(\square = \dfrac{1}{{{c^2}}} \cdot \dfrac{{{\partial ^2}}}{{\partial {t^2}}} - {\nabla ^2} = \dfrac{1}{{{c^2}}} \cdot \dfrac{{{\partial ^2}}}{{\partial {t^2}}} - {\Delta} = \dfrac{1}{{{c^2}}} \cdot \dfrac{{{\partial ^2}}}{{\partial {t^2}}} - \dfrac{\partial }{{\partial {x^2}}} - \dfrac{\partial }{{\partial {y^2}}} - \dfrac{\partial }{{\partial {z^2}}}\)
Manche Autoren schreiben obige Gleichung gleichwertig auch wie folgt an
\(\square = {\nabla ^2} - \dfrac{1}{{{c^2}}}\dfrac{{{\partial ^2}}}{{\partial {t^2}}}\)
wobei:
c … Lichtgeschwindigkeit
- Die Wellengleichung in der speziellen Relativitätstheorie mit dem D’Alembert-Operator formuliert lautet:
\(\eqalign{ & \psi = \psi \left( {x,y,z,t} \right) \cr & \square \psi = 0 \cr} \)
Diese Gleichung beschreibt, wie sich Wellen (etwa elektromagnetische Wellen) in der Raumzeit ausbreiten. Sie besagt, dass die Wellenfunktion in allen 4 Raumzeit-Koordinaten (x,y,z und t) glatt ist und keine Divergenz oder Rotation hat.
Skalarfeld
In einem Skalarfeld wird jedem Punkt des vom Feld erfüllten Raums ein bestimmter Absolutwert \({s_P} = s\left( {{P_x},{P_y},{P_z}} \right)\) zugeordnet.
\(s = s\left( {x,y,z} \right)\)
Beispiele für Skalarfelder sind die Temperatur in einem Raum oder das Potential.
Illustration eines Skalarfeldes
Gradient eines Skalarfeldes
Das Produkt des Nabla-Operators mit einem Skalarfeld f(x,y,z) nennt man Gradient. Der Gradient ist ein Vektor, dessen x,y,z-Komponenten sich aus den 3 ersten partiellen Ableitung (nach x, nach y, nach z) der Gleichung vom Skalarfeld ergeben.
Der Gradient gibt die Richtung des steilsten Anstiegs des Skalarfeldes in Form eines Vektors an. Der Betrag des Gradienten gibt, wie bei Betrag eines x-beliebigen Vektors, die Größe der Änderung an.
Das Resultat ist ein Vektorfeld. Der Gradient ordnet einem Skalarfeld, welches naturgemäß keine Richtung aber eine Ortsabhängigkeit hat, ein Vektorfeld zu, welches die Richtung der größten Zunahme des Skalarfelds anzeigt.
\(\eqalign{ & \vec \nabla s = \operatorname{grad} s = \left( {\dfrac{{\partial s}}{{\partial x}},\dfrac{{\partial s}}{{\partial y}},\dfrac{{\partial s}}{{\partial z}}} \right) \cr & \left| {\operatorname{grad} s} \right| = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{\partial s}}{{\partial x}}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{\partial s}}{{\partial y}}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{\partial s}}{{\partial z}}} \right)}^2}} \cr} \)
Rechenregeln für Gradienten
\(\eqalign{ & \overrightarrow \nabla \left( {{s_1} + {s_2}} \right) = \overrightarrow \nabla {s_1} + \overrightarrow \nabla {s_2} \cr & \overrightarrow \nabla \left( {{s_1} \cdot {s_2}} \right) = {s_1} \cdot \overrightarrow \nabla {s_2} + {s_2} \cdot \overrightarrow \nabla {s_1} \cr} \)
Der Gradient \(\vec \nabla s = \operatorname{grad} s\) steht senkrecht auf jene Flächen, für die \(s = s\left( {x,y,z} \right) = konst.\) gilt. Wenn die skalare Funktion etwa ein Potential darstellt, bezeichnet man diese Flächen als Äquipotentialflächen und die Richtung der Größten Änderung des Potentials ist senkrecht auf die Äquipotentialfläche.
Illustration vom Gradienten eines Skalarfeldes
2. Ableitungen von Skalarfeldern
Wendet man Gradient auf ein skalares Feld an, erhält man ein Vektorfeld. Auf dieses Vektorfeld kann man nun die Rotation und die Divergenz anwenden.
Rotation des Gradienten eines Skalarfeldes
Die Rotation des Gradienten eines Skalarfeldes ist Null. Kurz: Skalarfelder sind wirbelfrei.
\({\text{rot}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \times {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\text{grad}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} s = \overrightarrow \nabla \times \left( {\overrightarrow \nabla s} \right) = 0\)
Divergenz des Gradienten eines Skalarfeldes
Die Divergenz des Gradienten eines Skalarfeldes entspricht der Anwendung vom Laplace-Operator.
\(div\left( {grad{\text{ s}}} \right) = \overrightarrow \nabla \cdot \overrightarrow \nabla s = \Delta s\)
Spezialfall: Ist die Divergenz des Gradienten eines Skalarfeldes null, dann bezeichnet man das Skalarfeld als harmonisch. Bei einem harmonischem Skalarfeld verschwindet in jedem Punkt des Raums die Krümmung des Feldes.
\(div\left( {grad{\text{ s}}} \right) = \overrightarrow \nabla \cdot \overrightarrow \nabla s = \Delta s = 0\)
Beispiel: Harmonisches Skalarfeld
\(\eqalign{ & s\left( {x,y,z} \right) = 2{x^2} - {y^2} - {z^2} \cr & grad{\text{ s = }}\overrightarrow \nabla s = \left( {4x, - 2y, - 2z} \right) \cr & \Delta s = 4 - 2 - 2 = 0 \cr} \)
Vektorfeld
In einem Vektorfeld wird jedem Punkt \(P\left( {{P_x},{P_y},{P_z}} \right)\) des vom Feld erfüllten Raums, ein bestimmter Vektor\(\overrightarrow {{v_P}} = \vec v\left( {{P_x},{P_y},{P_z}} \right)\) zugeordnet.
\(\overrightarrow v = \overrightarrow v \left( {x,y,z} \right)\)
Beispiele für Vektorfelder sind der Wärmefluss oder die elektrische oder magnetische Feldstärke.
Man kann sich ein Vektorfeld räumlich so vorstellen, als würde in jedem Punkt vom Zimmer in dem man sitzt, ein Vektor seinen Anfangspunkt haben. Jeder dieser unendlich vielen Vektoren würde in jene Richtung zeigen, in der sich die Temperatur im Raum am stärksten ändert. Die Länge von jedem der unendlich vielen Vektoren wäre ein Maß dafür, wie stark sich die Temperatur im jeweiligen Raumpunkt ändert. Was wir in den letzten drei Sätzen beschrieben haben, ist das "vektorielle Gradientenfeld vom skalaren Temperaturfeld".
Zu einem Vektorfeld kann man dessen Divergenz (Quellen) und dessen Rotation (Wirbeln) bestimmen. Ein Vektorfeld ist bis auf eine Integrationskonstante eindeutig bestimmt, wenn man dessen Quellen und Wirbel kennt. Die Quellendichte (Divergenz) ist eine skalare Größe, die Wirbeldichte (Rotation) ist eine vektorielle Größe.
Illustration eines Vektorfeldes
Divergenz eines Vektorfeldes
Das Skalarprodukt vom Nabla-Operator mit einem Vektorfeld \(\overrightarrow v \) nennt man Divergenz. Das Skalarprodukt aus dem Nabla-Vektor und dem Feldvektor ist ein Skalar.
Die Divergenz eines Vektorfeldes ist ein Maß für die Existenz von Quellen oder Senken. Das Resultat ist ein Skalarfeld. Wenn die Divergenz eines Vektorfeldes Null ist, so ist das Vektorfeld quellenfrei.
Elektrische Felder sind ein Beispiel für Quellenfelder, deren Quellen die positiven elektrischen Ladungen und deren Senken die negativen elektrischen Ladungen sind.
\(div\,\vec v = \left( {\dfrac{{\partial {v_x}}}{{\partial x}} + \dfrac{{\partial {v_y}}}{{\partial y}} + \dfrac{{\partial {v_z}}}{{\partial z}}} \right) = \vec \nabla \circ \vec v\)
Die Divergenz eines Vektorfeldes ist ein Skalarfeld, welches für jeden Punkt des Raums angibt, ob dort Feldlinien entstehen, Quelle mit \(div\,\vec v\left( x \right) > 0\) oder verschwinden, Senke mit \(div\,\vec v\left( x \right) < 0\). Die Divergenz ist am Ort einer positiven Punktladung größer null, da dort Feldlinien entstehen.
Rotation eines Vektorfeldes
Das Kreuzprodukt vom Nabla-Operator mit einem Vektorfeld \(\overrightarrow v \) nennt man Rotation. Das Kreuzprodukt aus dem Nabla-Vektor und dem Feldvektor ist ein Vektor. Der Vektor \(rot\overrightarrow v \) bezeichnet die Wirbeldichte des Vektorfeldes \(\overrightarrow v \).
Die Rotation eines Vektorfeldes ist ein Maß für Drehbewegungen bzw. für die Wirbel des Vektorfeldes. Das Resultat ist erneut ein Vektorfeld. Wenn die Rotation eines Vektorfeldes Null ist, so ist das Vektorfeld wirbelfei.
\(rot\,\vec v = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{\partial {v_z}}}{{\partial y}} - \dfrac{{\partial {v_y}}}{{\partial z}}}\\ {\dfrac{{\partial {v_x}}}{{\partial z}} - \dfrac{{\partial {v_z}}}{{\partial x}}}\\ {\dfrac{{\partial {v_y}}}{{\partial x}} - \dfrac{{\partial {v_x}}}{{\partial y}}} \end{array}} \right) = \vec \nabla \times \vec v\)
Die Rotation eines Vektorfeldes ist ein Vektorfeld, welches angibt, wie stark sich das Vektorfeld \(\overrightarrow v \) n eine bestimmte Koordinatenrichtung ändert. Vektorfelder mit nicht verschwindender Rotation werden Wirbelfelder genannt. Ein Beispiel dafür ist das Magnetfeld.
2. Ableitungen von Vektorfeldern
Divergenz der Rotation eines Vektorfeldes ist immer Null
Der Rotationssatz besagt, dass die Divergenz der Rotation eines Vektorfeldes \(\overrightarrow v \)
immer Null ist. Das bedeutet, dass die Rotation eines Vektorfeldes nie zu einer Quelle oder Senke führt, oder kurz:
Ein Wirbelfeld ist quellenfrei!
\(div{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} rot\,\vec v = \overrightarrow \nabla \circ \left( {\overrightarrow \nabla \times \vec v} \right) = 0\)
Rotation der Rotation eines Vektorfeldes
Die Doppelrotation eines Vektorfeldes ist erneut ein Vektorfeld.
\(rot\,\,rot\overrightarrow v = \overrightarrow \nabla \times \left( {\overrightarrow \nabla \times \overrightarrow v } \right) = \overrightarrow \nabla \left( {\overrightarrow \nabla \circ \overrightarrow v } \right) - \overrightarrow \Delta \circ \overrightarrow v = grad\left( {div\overrightarrow v } \right) - \overrightarrow \Delta \circ \overrightarrow v \)
Fundamentalsatz der Vektoranalysis
- Vektorfelder deren Rotation Null ist, nennt man wirbelfrei.
- Vektorfelder deren Divergenz Null ist, nennt man quellenfrei.
Der Helmholtzsche Zerlegungssatz sagt aus, dass man jedes Vektorfeld \(\overrightarrow v \) als Summe eines wirbelfreien Quellenfeldes \(\overrightarrow {{v_Q}} \) und eines quellenfreien Wirbelfeldes \(\overrightarrow {{v_W}} \) beschreiben kann.
\(\overrightarrow v = \overrightarrow {{v_Q}} + \overrightarrow {{v_W}} \)
Ein allgemeines Vektorfeld ist nur dann eindeutig spezifiziert, wenn sowohl die Quellen- als Wirbeldichten und allfällige Randwerte vorliegen.
Kartesische Koordinaten
In einem kartesischen Koordinatensystem stehen die drei Koordinatenachsen jeweils im rechten Winkel, also orthogonal, auf einander. Die Position eines Punktes P(x|y|z) wird mit Hilfe von je einer x, y und z Koordinate beschrieben.
P(x|y|z)
Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems
Im Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems nimmt jede Koordinatenachse den Wert Null an.
Quadranten im kartesischen Koordinatensystem
In der Ebene stehen die beiden x- und y-Koordinatenachsen orthogonal (in 90°) aufeinander, sie teilen die gaußsche Ebene in 4 Quadranten, die vom rechten oberen Quadranten „1“ ausgehend gegen den Uhrzeigersinn, von 1..4 gezählt werden. Den Schnittpunkt der beiden Achsen nennt man den Ursprung 0 (0|0). Auf jeder Koordinatenachse ist ein Einheitsvektor ex, ey definiert.
Illustration der 4 Quadranten eines zweidimensionalen Koordinatensystems
Achsen im kartesischen Koordinatensystem
Die Achsen eines kartesischen Koordinatensystems stehen orthogonal auf einander und werden nach den drei Richtungen in denen sie den dreidimensionalen Raum aufspannen benannt.
Abszisse
Die Abszisse ist die horizontale x-Achse (Definitionsbereich).
Ordinate
Die Ordinate ist die vertikale y-Achse (Wertebereich).
Applikate
Im 3 dimensionalen Raum kommt noch die räumliche z-Achse (Applikate, Kote) dazu.
Rechte Hand Regel im kartesischen Koordinatensystem
Bei der rechten Hand Regel veranschaulichen 3 jeweils um 90° gespreizte Finger der rechten Hand die 3 Achsen eines kartesischen Koordinatensystems
- Daumen = x;
- Zeigefinger = y;
- Mittelfinger = z
Polarkoordinaten
Die Polarkoordinaten bestimmen die Position eines Punktes P(r, φ) in der Ebene mit Hilfe von zwei Koordinaten, dem Abstand r vom Ursprung und dem Winkel φ.
P(r, \(\varphi\))
Umrechnung von Polar- auf kartesische Koordinaten
Bei der Umrechnung von Polar- auf kartesische Koordinate errechnet sich die x-Koordinate aus dem Produkt vom Abstand r und dem Kosinus vom Winkel Phi und die y-Koordinate aus dem Produkt vom Abstand r und dem Sinus vom Winkel Phi
\(\begin{array}{l} x = r \cdot \cos \varphi \\ y = r \cdot \sin \varphi \end{array}\)
Umrechnung von kartesischen auf Polarkoordinaten
Bei der Umrechnung von kartesischen auf Polarkoordinaten errechnet sich der Abstand r mit Hilfe vom Satz des Pythagoras aus der x- bzw. y-Koordinate, und der Winkel Phi aus dem Arkustangens vom Quotienten aus y- und x-Koordinate
\(\eqalign{ & r = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \cr & \varphi = \arctan \left( {\frac{y}{x}} \right) \cr} \)
Beispiel:
Rechne die kartesischen Koordinaten in die Polarkoordinatenform um!
\(\eqalign{
& P(4\left| 3 \right.) \cr
& \cr
& r = \sqrt {{4^2} + {3^2}} = 5 \cr
& \varphi = \arctan \left( {\frac{3}{4}} \right) = 36,87^\circ \cr
& \cr
& P = \left( {5\left| {36,87^\circ } \right.} \right) \cr} \)
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Polygon
Ein Polygon, auch n-Eck oder Vieleck genannt, ist eine ebene geometrische Figur, die durch einen in sich geschlossenen Streckenzug aus n Seiten bzw. Kanten und n Ecken gebildet wird. Das Polygon heißt eben, wenn alle Seiten und Ecken in derselben Ebene liegen, andernfalls heißt es windschief. Das einfachste Polygon, das Dreieck, wird aus drei Strecken und drei Ecken gebildet. Weitere Polygone sind das Viereck, Fünfeck, Sechseck und so weiter. Polygone werden also nach der Anzahl n der Ecken benannt.
Unregelmäßiges Polygon
Für alle Polygone gilt,
- Verbindungsstecken benachbarter Eckpunkte werden als Seiten oder Kanten bezeichnet. Die Summe deren Längen ergibt den Umfang.
- Verbindungsstrecken nicht benachbarter Eckpunkte werden als Diagonale bezeichnet
- dass die Anzahl der Ecken gleich der Anzahl der Seiten ist.
- die Anzahl der Diagonalen ergibt sich zu: \({d_n} = \dfrac{1}{2} \cdot n \cdot \left( {n - 3} \right)\)
- die Fläche kann durch Zerlegung in Teildreicke berechnet werden.
Man unterscheidet
- konvexes n-Eck: Jede Verbindungsstrecke zweier Eckpunkte (Diagonalen) liegt im Inneren vom Polygon, oder fällt mit einer Seite zusammen. Jeder Innenwinkel ist kleiner gleich 180°.
- Für die Summe der Innenwinkel gilt: \({S_n} = \left( {n - 2} \right) \cdot 180^\circ \)
- Für die Summe der Außenwinkel beträgt 360°.
- konkaves n-Eck: liegt mindestens eine Verbindungsstrecke zweier nicht benachbarter Eckpunkte, also eine Diagonale, außerhalb vom Polygon, dann gibt es mindestens einen Innenwinkel größer als 180°.
- überschlagenes n-Eck: Es schneiden einander zwei oder mehr Seiten an einer Stelle, die kein Eckpunkt ist.
Gleichseitiges Polygon
Ein gleichseitiges Polygon hat lauter gleich lange Seiten, aber unterschiedlich große Winkel
Illustration von einem gleichseitigen Polygon
Gleichwinkeliges Polygon
Ein gleichwinkeliges Polygon hat lauter gleich große Winkel, aber unterschiedlich lange Seiten
Illustration von einem gleichwinkeligen Polygon
Regelmäßiges Polygon
Ein Vieleck (n Eck) heißt regelmäßig, wenn dessen \(n \geqslant 3\) Seiten gleich lang sind und alle Innenwinkel und alle Außenwinkel gleich groß sind. Ein regelmäßiges Vieleck ist daher gleichseitig und gleichwinkelig.
\(\eqalign{ & a = b = c = ... \cr & \alpha = \beta = \gamma = .. \cr} \)
- Jedes regelmäßige Vieleck hat einen Um- und einen Inkreis, die jeweils den gleichen Mittelpunkt M haben.
- Verbindet man den Mittelpunkt M mit den n Ecken, so entstehen n kongruente gleichschenkelige Dreiecke
Umfang vom regelmäßigen Polygon
Der Umfang vom regelmäßigen Vieleck errechnet sich aus Seitenanzahl mal Seitenlänge
\(U = n \cdot a\)
Winkelsumme im regelmäßigen Polygon
An jeder Ecke im regelmäßigen Vieleck ergänzen sich der Innen- und der Außenwinkel auf 180°.
\(\alpha + \alpha ' = 180^\circ \)
Die Winkelsumme im regelmäßigen Vieleck ergibt sich aus der um zwei reduzierten Anzahl an Ecken mal 180°
\(\left( {n - 2} \right) \cdot 180^\circ \)
Der Innenwinkel im regelmäßigen Vieleck ergibt sich aus der Winkelsumme im regelmäßigen Vieleck dividiert durch die Anzahl der Ecken
\(\alpha = \dfrac{{n - 2}}{n} \cdot 180^\circ \)
Die Außenwinkel im regelmäßigen Vieleck ergeben sich aus dem Vollkreis dividiert durch die Anzahl der Ecken
\(\alpha ' = \dfrac{{360^\circ }}{n}\)
Flächeninhalt vom regelmäßigen Polygon
Der Flächeninhalt vom regelmäßigen Vieleck errechnet sich aus der Summe der Fläche des Bestimmungsdreiecks
\(A = \dfrac{{n \cdot a \cdot {r_i}}}{2} = \dfrac{{n \cdot {r_u}^2}}{2} \cdot \sin \left( {\dfrac{{2\pi }}{n}} \right)\)
Länge der Diagonalen im regelmäßigen Polygon
Von jeder Ecke im regelmäßigen Vieleck gehen n-3 Diagonalen aus. Die Länge der k-ten Diagonale errechnet sich wir folgt:
\({d_k} = a \cdot \sin \left( {\dfrac{{\left( {k + 1} \right) \cdot \pi }}{n}} \right) \cdot \csc \left( {\dfrac{\pi }{n}} \right)\)
Inkreisradius vom regelmäßigen Polygon
Der Inkreisradius vom regelmäßigen Vieleck ist das Produkt aus der halben Seitenlänge und dem Kotangens von π geteilt durch n
\({r_i} = \dfrac{a}{2} \cdot \cot \left( {\dfrac{\pi }{n}} \right)\)
Umkreisradius vom regelmäßigen Polygon
Der Umkreisradius vom regelmäßigen Vieleck ist das Produkt aus der halben Seitenlänge und dem Kosekans von π geteilt durch n
\({r_u} = \dfrac{a}{2} \cdot \csc \left( {\dfrac{\pi }{n}} \right)\)
Illustration vom regelmäßigen Dreieck bis zum regelmäßigen 12-Eck
Kreis
Ein Kreis ist die Menge all jener Punkte der Ebene, die von einem Punkt, dem Kreismittelpunkt, den gleichen Abstand haben. Ein Kreis ist durch seinen Mittelpunkt und seinen Radius definiert. Will man sprachlich die Außenkontur des Kreises hervorheben, so spricht man von der Kreislinie.
\(k\left( {M;r} \right) = \left\{ {P\left| {\overline {MP} = r} \right.} \right\}\)
- Punkt der Ebene liegt innerhalb vom Kreis \(\overline {MP} < r\)
- Punkt der Ebene liegt auf der Kreislinie \(\overline {MP} = r\)
- Punkt der Ebene liegt außerhalb vom Kreis \(\overline {MP} > r\)
Kreismittelpunkt
Der Kreismittelpunkt ist jener Punkt in der Mitte vom Kreis, von dem alle anderen Punkte auf der Kreislinie den gleichen Abstand haben.
Kreisradius
Der Kreisradius entspricht der Strecke bzw. dem Abstand vom Kreismittelpunkt zu jedem beliebigen Punkt auf der Kreislinie.
\(r = \overline {MP} \)
Kreisdurchmesser
Der Kreisdurchmesser entspricht jeder Strecke, die von einem beliebigen Punkt auf der Kreislinie, durch den Kreismittelpunkt bis zum gegenüber liegenden Punkt am Kreis verläuft. Der Kreisdurchmesser ist doppelt so lang wie der Kreisradius.
\(d = 2r\)
Kreisumfang
Der Kreisumfang entspricht der Länge der Kreislinie.
\(U = 2r\pi = d\pi \)
Kreiszahl π
Die Kreiszahl Pi ist das Verhältnis vom Kreisumfang zum Kreisdurchmesser. Dieser Quotient ist für jeden Kreis, unabhängig von seinem Radius, immer gleich. D.h. der Umfang eines Kreises ist immer das 3,14-fache vom Durchmesser des Kreises. Die Zahl π ist eine irrationale Zahl, d.h. sie kann nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden. Die Kreiszahl hat unendlich viele Nachkommastellen und ist nicht periodisch.
\(\pi = \dfrac{U}{d} \approx 3,141592\)
Näherungen von Pi: Der Bruch \(\dfrac{{355}}{{113}}\) nähert die Zahl Pi auf sieben Stellen genau an. Das entspricht einem Fehler beim Kreisumfang von 26 cm bei einem Kreisdurchmesser von 1.000 km (das sind immerhin ca. 30% vom Monddurchmesser)
Kreisfläche
Die Kreisfläche ist die Fläche innerhalb der Kreislinie. Die Kreisfläche ist die Menge all jener Punkte der Ebene, die von einem Punkt, dem Kreismittelpunkt, einen Abstand haben, der kleiner oder gleich dem Radius ist.
\(\eqalign{ & A\left( {M;r} \right) = \left\{ {P\left| {\overline {MP} } \right. \leqslant r} \right\} \cr & A = {r^2}\pi = \dfrac{{{d^2}}}{4} \cdot \pi \cr} \)
Illustration vom Kreis
Kreissektor
Der Kreissektor wird von zwei Kreisradien und einem davon aufgespannten Kreisbogen gebildet. Seine Fläche und sein Umfang berechnen sich wie folgt:
\(\eqalign{ & A = \dfrac{{{r^2} \cdot \pi \cdot \alpha }}{{360}} = \frac{{b \cdot r}}{2} \cr & U = b + 2r \cr} \)
Beispiel:
Berechne die Fläche vom Kreissektor bei gegebenen Radius und Öffnungswinkel
\(\eqalign{
& r = 5cm \cr
& \alpha = 53^\circ \cr
& A = {\left( {5cm} \right)^2} \cdot \dfrac{{\pi \cdot 53^\circ }}{{360}} = 15,563c{m^2} \cr} \)
Länge vom Kreisbogen
Die Bogenlänge eines Kreissektors berechnet sich aus dem Kreisradius und dem vom zugrunde liegenden Kreissektor eingeschlossenen Öffnungswinkel
\(b = r \cdot \dfrac{{\pi \cdot \alpha }}{{180}}\)
Beispiel:
Berechne die Bogenlänge eines Keissektors bei gegebenem Radius und Öffnungswinkel
\(\eqalign{
& r = 5{\text{ cm}} \cr
& \alpha = 53^\circ \cr
& b = 5cm \cdot d\frac{{\pi \cdot 53^\circ }}{{180^\circ }} \approx 4,625{\text{ cm}} \cr} \)
Illustration von Kreissektor und Kreisbogen
Kreisring
Der Kreisring wird von 2 konzentrischen Kreisen, einem äußeren und einem inneren Kreis, gebildet. Die konzentrischen Kreise haben den selben Kreismittelpunkt.
\(\eqalign{ & U = 2\pi \left( {{r_a} + {r_i}} \right); \cr & A = \pi \left( {r_a^2 - r_i^2} \right);{\text{ mit }}{{\text{r}}_a}{\text{ > }}{{\text{r}}_i}{\text{;}} \cr}\)
Illustration vom Kreisring
Kreissegment
Ein Kreissegment wird von einer Sehne und dem davon aufgespannten Kreisbogen gebildet. r ist der Kreisradius und \(\alpha\) ist der Mittelpunktswinkel, er ist im Bogenmaß einzusetzen und allenfalls gemäß \(\operatorname{arc} \alpha = \alpha \cdot \dfrac{\pi }{{180^\circ }}\) umzurechnen.
\(\eqalign{
& s = 2r \cdot \sin \dfrac{\alpha }{2} \cr
& U = b + s \cr
& A = \dfrac{{{r^2}}}{2}\left( {\alpha - \sin \alpha } \right) \cr} \)
Illustration vom Kreissegment
Satz von Thales
Jeder Winkel im Halbkreis ist ein rechter Winkel.
Peripheriewinkel bzw. Umfangswinkel über einem Kreisdurchmesser betragen immer 90°.
Satz von Thales - Interaktive Illustration auf der Website von Geogebra.org
Illustration auf GeoGebra.org anzeigen
Bewege den Punkt P entlang vom Halbkreis und beobachte wie sich die beiden Winkel immer zu 90° aufsummieren.
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Aufgaben
Aufgabe 98
Halbierungspunkt eines Vektors
Ermittle den Mittelpunkt \({M_{\overrightarrow {AB} }}\) der Strecke \(\overrightarrow {AB}\), wenn
\(\overrightarrow A = \left( {\matrix{ 3 \cr 4 \cr } } \right);\,\,\,\,\,\overrightarrow B = \left( {\matrix{ { - 7} \cr 6 \cr } } \right);\)
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Aufgabe 99
Richtungsvektor der Winkelsymmetrale
Ermittle den Richtungsvektor der Winkelsymmetrale zwischen den beiden gegebenen Vektoren
\(\overrightarrow a = \left( {\matrix{ { - 4} \cr 7 \cr 4 \cr } } \right);\,\,\,\,\,\overrightarrow b = \left( {\matrix{ 3 \cr 6 \cr { - 6} \cr } } \right);\)
Aufgabe 100
Schwerpunkt eines Dreiecks mittels Vektorrechnung
Bestimme auf 2 Arten den Schwerpunkt des Dreieckes, welches durch nachfolgende Punkte gebildet wird
\(A = \left( {\matrix{ 3 \cr 2 \cr } } \right);\,\,\,\,\,B = \left( {\matrix{ 5 \cr 3 \cr } } \right);\,\,\,\,\,C = \left( {\matrix{ 1 \cr 4 \cr } } \right);\)
1. Teilaufgabe: Setze direkt in die entsprechende Formel ein
2. Teilaufgabe: Schneide 2 der 3 Schwerelinien
Aufgabe 101
Halbierungspunkt
Gegeben ist ein Parallelogramm mit 2 Eckpunkten A, D sowie dem Schnittpunkt M der beiden Diagonalen:
\(A\left( {\matrix{ { - 2} \cr { - 3} \cr } } \right);\,\,\,\,\,D\left( {\matrix{ { - 2} \cr 4 \cr } } \right);\,\,\,\,\,M\left( {\matrix{ 1 \cr 2 \cr } } \right)\)
Berechne die Koordinaten der fehlenden beiden Eckpunkte B und C.
Aufgabe 102
Höhenschnittpunkt eines Dreieckes
Bestimme den Höhenschnittpunkt des Dreieckes, welches durch nachfolgende Punkte gebildet wird
\(A = \left( {\matrix{ { - 2} \cr { - 4} \cr } } \right);\,\,\,\,\,B = \left( {\matrix{ {20} \cr 2 \cr } } \right);\,\,\,\,\,C = \left( {\matrix{ { - 4} \cr {10} \cr } } \right);\)
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Aufgabe 103
Verbindungsvektor
Es sind folgende 2 Punkte gegeben:
\(P\left( {\matrix{ 3 \cr 2 \cr } } \right);\,\,\,\,\,Q\left( {\matrix{ 5 \cr 4 \cr } } \right)\)
1. Teilaufgabe: Berechne die Koordinaten des Verbindungsvektors:\(\overrightarrow v = \overrightarrow {PQ}\)
2. Teilaufgabe: Berechne den Betrag des Verbindungsvektors: \(\left| {\overrightarrow v } \right|\)
Aufgabe 104
Verbindungsvektor
Es sind folgende 2 Punkte gegeben:
\(P\left( {\matrix{ {15} \cr { - 2} \cr 2 \cr } } \right);\,\,\,\,\,Q\left( {\matrix{ 3 \cr 2 \cr 5 \cr } } \right);\)
1. Teilaufgabe: Berechne die Koordinaten des Verbindungsvektors: \(\overrightarrow v = \overrightarrow {PQ}\)
2. Teilaufgabe: Berechne den Betrag des Verbindungsvektors: \(\left| {\overrightarrow v } \right|\)
Aufgabe 105
Winkel zwischen 2 Vektoren
Es sind die Punkte \(A\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ 3 \end{array}} \right)\), \(B\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 2 \end{array}} \right)\) und \(S\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ { - 4} \end{array}} \right)\)gegeben.
Berechne den Winkel \(\varphi\) zwischen \(\overrightarrow {AS}\) und \(\overrightarrow {BS} \).
Aufgabe 106
Orthogonalitätskriterium
Zeige durch Vektorrechnung, dass nachfolgende Punkte ein rechtwinkeliges Dreieck bilden:
\(A\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ { - 4} \end{array}} \right);\,\,\,\,\,B\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 2 \end{array}} \right);\,\,\,\,\,C\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ 2 \end{array}} \right);\)
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Aufgabe 107
Orthogonalitätskriterium
Zeige durch Vektorrechnung, dass nachfolgende Punkte ein rechtwinkeliges Dreieck bilden:
\(A\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ { - 2} \end{array}} \right);\,\,\,\,\,B\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 4 \end{array}} \right);\,\,\,\,\,C\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 9\\ { - 1} \end{array}} \right);\)
Aufgabe 108
Parallelogramm mittels Vektoren berechnen
Gegeben ist ein Parallelogramm mit:
\(A\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ { - 2} \end{array}} \right);\,\,\,\,\,B\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 1 \end{array}} \right);\,\,\,\,\,C\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 4}\\ 3 \end{array}} \right);\)
1. Teilaufgabe: Prüfe, ob es sich tatsächlich „nur“ um ein Parallelogramm handelt, oder ob nicht sogar ein Rechteck vorliegt
2. Teilaufgabe: Berechne die Koordinaten von D auf 2 Arten
3. Teilaufgabe: Berechne den Umfang der Figur
Aufgabe 109
Quadrat mittels Vektorrechnung berechnen
Gegeben sei ein Quadrat mit:
\(A\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ { - 2} \end{array}} \right);\,\,\,\,\,B\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 4 \end{array}} \right);\)
1. Teilaufgabe: Überlege, wie viele Quadrate es geben kann
2. Teilaufgabe: Berechne die Koordinaten von C und D