Analysis
Wissenswertes über: Folgen, Reihen und Grenzwerte, Funktionen und Modelle, Differentialrechnung, Integralrechnung
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Bestimmtes Integral - Rotationskörper
Das bestimmte Integral ermöglicht es, die Mantelfläche und das Volumen von Rotationskörpern zu berechnen, die durch die Rotation einer Funktion um eine Koordinatenachse entstehen.
Bestimmtes Integral - Mantelfläche eines Rotationskörpers
Es sei y=f(x) eine über dem Intervall [a,b] stetige Funktion. Dann beträgt die Mantelfläche des Körpers, der durch Rotation der Funktion um die x-Achse entsteht Mx, bzw. sei die Mantelfläche bei Rotation der Funktion um die y-Achse My.
Bei Rotation um die x-Achse:
\({M_x} = 2\pi \int\limits_{x = a}^b {f\left( x \right) \cdot \sqrt {1 + {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}} \,\,dx = } 2\pi \int\limits_{x = a}^b {y \cdot \sqrt {1 + {{\left( {y'} \right)}^2}} \,\,dx}\)
Bei Rotation um die y-Achse:
\({M_y} = 2\pi \int\limits_{\min \left[ {f\left( a \right),f\left( b \right)} \right]}^{\max \left[ {f\left( 1 \right),f\left( b \right)} \right]} {x \cdot \sqrt {1 + {{\left( {x'} \right)}^2}} \,\,dy}\)
Bestimmtes Integral - Volumen eines Rotationskörpers
Es sei y=f(x) eine über dem Intervall [a,b] stetige Funktion. Dann ist das Volumen des Körpers, der durch Rotation der Funktion um die x-Achse entsteht Vx, bzw. das Volumen bei Rotation der Funktion um die y-Achse sei Vy.
Bei Rotation um die x-Achse:
\({V_x} = \pi \int\limits_{x = a}^b {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}\,\,dx = \pi \int\limits_a^b {{y^2}\,\,dx} }\)
Bei Rotation um die y-Achse:
\({V_y} = \pi \int\limits_{y = c}^d {{{\left[ {x \left( y \right)} \right]}^2}\,\,dy}\)
Anmerkung: Da Funktionen üblicher Weise als y=f(x) gegeben sind, muss man in diesen Fällen die Funktionsgleichung so umformen, dass x2 explizit wird.
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Gerade und ungerade Funktionen
Abhängig vom Symmetrieverhalten unterscheidet man zwischen geraden und ungeraden Funktionen.
Gerade Funktion
Gerade Funktionen sind symmetrisch zur y-Achse. Spiegelt man die Funktionswerte mit positivem x um die y-Achse, so erhält man die Funktionswerte mit negativem x.
\(f\left( x \right) = f\left( { - x} \right)\)
Beispiele für gerade Funktionen:
- die konstante Funktion \(f\left( x \right) = c\)
- die Betragsfunktion \(f\left( x \right) = \left| x \right|\)
- die Potenzfunktion \(f\left( x \right) = a \cdot {x^n}{\text{ mit }}a \ne 0{\text{ und n gerade}}\)
- die Polynomfunktion \({\text{f}}\left( x \right) = {a_0} + {a_1} \cdot x + {a_2} \cdot {x^2} + ... + {a_n} \cdot {x^n}{\text{ mit }}{{\text{a}}_1},{a_3},{a_{ungerade}} = 0\)
- die Kosinusfunktion \(f\left( x \right) = \cos \left( x \right)\)
- die Sekansfunktion \(f\left( x \right) = \sec \left( x \right)\)
Ungerade Funktion
Ungerade Funktionen sind symmetrisch zum Ursprung. Dreht man die Funktionswerte mit positivem x um 180° um den Ursprung, so erhält man die Funktionswerte mit negativem x.
\(f\left( x \right) = - f\left( { - x} \right)\)
Beispiele für ungerade Funktionen
- die Vorzeichenfunktion \(f\left( x \right) = \operatorname{sgn} \left( x \right)\)
- die identische Funktion \(f\left( x \right) = x\)
- die Potenzfunktion \(f\left( x \right) = a \cdot {x^n}{\text{ mit }}a \ne 0{\text{ und n ungerade}}\)
- die Polynomfunktion \({\text{f}}\left( x \right) = {a_0} + {a_1} \cdot x + {a_2} \cdot {x^2} + ... + {a_n} \cdot {x^n}{\text{ mit }}{{\text{a}}_0},{a_2},{a_{gerade}} = 0\)
- die Sinusfunktion \(f\left( x \right) = \sin \left( x \right)\)
- die Tangensfunktion \(f\left( x \right) = \tan \left( x \right)\)
Parameterfunktionen
Parameterfunktionen enthalten in ihren Funktionsgleichungen nicht nur die abhängige y-Variable und die unabhängige x-Variable, sondern auch einen oder mehrere Parameter (a, b, c, d). Durch die Variation dieser Parameter streckt, staucht oder verschiebt man den Graph der Funktion.
Parameter einer Sinusfunktion
Über Parameter kann die Form von Funktionen verändert werden.
\(f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {b \cdot x + c} \right) + d\)
- Der Faktor a bewirkt eine Streckung oder Stauchung der „Höhe“ - der sogenannten Amplitude.
- Der Faktor b bewirkt eine Änderung der Periodendauer - dem Kehrwert der Frequenz - also einer Streckung oder Stauchung in Richtung der x-Achse
- Der Summand c im Argument bewirkt eine Phasenverschiebung (Zeitpunkt des „Null-Durchgangs) in Richtung der x-Achse (=Parallelverschiebung in Richtung der x-Achse).
- Der Summand d bewirkt eine Parallelverschiebung der Funktion in Richtung der y-Achse.
Funktionsschar
Eine Schar ist eine Anzahl von Funktionsgraphen, die jeweils aus einer gegebenen Funktionsgleichung mit veränderlichen Parametern hervorgehen.
Bijektive, injektive und surjektive Funktionen
Abhängig von der Zuordnung zwischen den Elementen der Definitions- und der Wertemenge unterscheidet man zwischen bijektiven, injektiven und surjektiven Funktionen.
Bijektivität
Bijektiv oder umkehrbar eindeutig ist eine Funktion f(x) dann, wenn nicht nur jedem Element x der Definitionsmenge Df eindeutig ein Element y der Wertemenge Wf zugeordnet wird, sondern wenn auch umgekehrt zu jedem Element y der Wertemenge Wf genau ein Element x der Definitionsmenge Df gehört. Umkehrbar eindeutige Funktionen heißen auch „ein-eindeutig“. Die Zuordnung von Wertepaaren ist also in beide Richtungen eindeutig, daher „umkehrbar“ eindeutig. Bijektive Funktionen sind daher sowohl injektiv als auch surjektiv.
Um zu zeigen, dass eine Funktion bijektiv ist und somit eine Umkehrfunktion besitzt, muss man zeigen, dass sie
- entweder streng monoton steigend ist, dh man zeigt, dass f'(x)>0 ist
- oder dass sie streng monoton fallend ist, dh man zeigt, dass f'(x)<0 ist.
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = y\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{f^{ - 1}}\left( y \right) = x \cr & {f^{ - 1}} = {\text{Umkehrfunktion}} \cr}\)
Illustration einer bijektiven Funktion
Umkehrfunktion
Eine bijektive Funktion ist immer invertierbar, sie hat also eine Umkehrfunktion. Eine Funktion f besitzt genau dann eine Umkehrfunktion f-1, wenn sie streng monoton steigend oder streng monoton fallend ist. Der Graph der Umkehrfunktion f-1 geht durch Spiegelung vom Funktionsgraphen f um die 1. Mediane hervor.
Reziproke Funktion
Der Kehrwert einer Funktion wird als reziproke Funktion bezeichnet. Achtung: Die reziproke Funktion ist ungleich der Umkehrfunktion
\(g\left( x \right) = \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}\)
Illustration einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion
Injektivität
Injektivität bedeutet, dass bei einer Funktion jedes Element der Wertemenge höchstens einmal als Funktionswert angenommen wird. Jedes Element der Wertemenge wird höchstens von einem (oder keinem) Pfeil aus der Definitionsmenge getroffen.
Illustration einer injektiven, aber nicht surjektiven Funktion
Surjektivität
Surjektivität bedeutet, dass bei einer Funktion jedes Element der Wertmenge mindestens einmal als Funktionswert angenommen wird. Jedes Element der Wertemenge wird mindestens von einem (oder mehreren) Pfeil(en) aus der Definitionsmenge getroffen.
Illustration einer surjektiven, aber nicht injektiven Funktion
Numerische Integration
Die numerische Integration, sie behandelt die näherungsweise Berechnung von Integralen, kommt dann zum Einsatz,
- wenn der Integrand nicht als Funktion f(x) gegeben ist, sondern aus einer Messreihe nur punktweise vorliegt.
- In diesem Fall kann man allerdings vorab versuchen durch Regression z.B. eine lineare Funktion, eine Polynomfunktion n-ten Grades oder eine exponentielle Funktion zu finden, welche den Graph der Messwertreihe hinreichend genau annähert und die dann anschließend durch das Auffinden einer Stammfunktion geschlossen integrierbar ist.
Erläuterung an Hand eines Beispiels:
zur Erinnerung, der Integrand ist die konkrete Funktion f(x), zu der durch Integration die Stammfunktion F(x) gefunden werden soll...
Nun wird es bei physikalischen Anwendungen in der Praxis des täglichen Lebens so sein, dass man f(x) gar nicht kennt, weil f(x) ein Geheimnis der Natur bleibt, sondern nur eine Anzahl an Messwerten. In der Maturaaufgabe "Bewegung eines Bootes - Teil b" kennt man die Geschwindigkeit v(t) des Bootes nur zu 4 konkreten Zeitpunkten t1 bis t4, an denen jeweils die Geschwindigkeit gemessen wurde. Die Funktion v(t) selbst kennt man (zunächst) aber nicht. Daher ist es nicht möglich etwa den zurückgelegten Weg s(t) zu bestimmen, der ja der Fläche unter v(t), bzw.dem Integral über t von v(t) entspricht.
Bei einer numerischen Integration würde man die Fläche unter den Verbindungslinien zwischen den 4 Punkten, die ja dem bestimmten Integral s(t) entspricht, z.b. durch Trapeze annähern und führt so eine "numerische" Integration durch.
→ Dh bei der numerischen Integration man erhält einen Zahlenwert für das bestimmte Integral, ohne f(x) oder F(x) explizit anschreiben zu können.
In der Maturaaufgabe "Bewegung eines Bootes - Teil b" wählt man allerdings einen anderen Ansatz und umgeht die numerische Integration, indem man durch Regression die Funktion f(x) - in der Aufgabe allerdings v(t) - aus den 4 Messwerten näherungsweise als Exponentialfunktion bestimmt und dann die Stammfunktion s(t) ermittelt.
- wenn die Funktion f(x) zwar gegeben aber nicht analytisch integrierbar ist. Das ist beim Integrieren leider nicht die Ausnahme, sondern die Regel! Nur die wenigsten Funktionen können analytisch Integriert werden.
Beispiele für solche Funktionen sind
\(\eqalign{ & \int {\frac{{{e^x}}}{x}} \,\,dx \cr & \int {{e^{ - {x^2}}}} \,\,dx \cr & \int {\dfrac{{\sin x}}{x}} \,\,dx \cr & \int {\sin \left( {{x^2}} \right)} \,\,dx \cr} \)
Bei der numerischen Integration kommen etwa Quadraturformeln zum Einsatz, die auf einer gewichteten Summe von Funktionswerten basieren
- Rechtecksregel
- Trapezregel
- Simpsonsche Regel
- Keplersche Fassregel
Heute setzt man bevorzugt Computeralgebrasysteme wie Maple® oder Mathematica® ein.
Numerische Integration - Rechteck
Der Flächeninhalt A zwischen dem Graphen von f(x) und der x-Achse wird durch Rechtecke - sehr grob – angenähert.
\(\eqalign{ & A = \int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx \approx } \cr & \approx \dfrac{{b - a}}{n} \cdot \left[ {f\left( {{x_0}} \right) + f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_2}} \right) + ... + f\left( {{x_{n - 1}}} \right)} \right] = \cr & = \Delta x \cdot \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {f\left( {{x_i}} \right)} ; \cr}\)
Numerische Integration - Trapez
Der Flächeninhalt A zwischen dem Graphen und der x-Achse wird durch Trapeze angenähert, indem man den Kurvenbogen abschnittsweise durch Sehnen ersetzt.
\(\eqalign{ & A = \int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx \approx } \cr & \approx \dfrac{{b - a}}{{2n}} \cdot \left[ {f\left( {{x_0}} \right) + 2f\left( {{x_1}} \right) + 2f\left( {{x_2}} \right) + ... + 2f\left( {{x_{n - 1}}} \right) + f\left( {{x_n}} \right)} \right] \cr}\)
Numerische Integration - Keplersche Fassregel
Der Flächeninhalt A zwischen dem Graphen und der x-Achse wird durch eine Parabel angenähert, die durch den Funktionswert am Anfang und am Ende verläuft.
\(\eqalign{ & A = \int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx} \approx \cr & \approx \dfrac{{b - a}}{6} \cdot \left[ {f\left( a \right) + 4f\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right) + f\left( b \right)} \right] \cr}\)
Numerische Integration - Simpsonsche Regel
Der Flächeninhalt A zwischen dem Graphen und der x-Achse wird durch Teilflächen unter Parabelbögen angenähert, wobei jeder Parabelbogen durch drei aufeinanderfolgende Intervallpunkte verläuft.
\(\eqalign{ & A = \int\limits_a^b {f\left( x \right)\,\,dx \approx } \cr & \approx \dfrac{{b - a}}{{3n}} \cdot \left[ {f\left( {{x_0}} \right) + 4f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_2}} \right)} \right] + \cr & + \left[ {f\left( {{x_2}} \right) + 4f\left( {{x_3}} \right) + f\left( {{x_4}} \right)} \right] + ... \cr & + \left[ {f\left( {{x_{n - 2}}} \right) + 4f\left( {{x_{n - 1}}} \right) + f\left( {{x_n}} \right)} \right] \cr}\)
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Ableitungsfunktion f'(x) zur Funktion f(x) auffinden
Die Differenzierbarkeit einer Funktion y=f(x) an einer Stelle x0 bedeutet, dass die Funktionskurve an dieser Stelle eine eindeutig bestimmte Tangente mit einer endlichen Steigung besitzt. Eine Funktion f(x) heißt an der Stelle x differenzierbar, wenn der Grenzwert gemäß nachfolgender Gleichung vorhanden ist. Diesen Grenzwert nennt man die 1. Ableitung.
\(f'({x_0}) = {\left. {\dfrac{{df}}{{dx}}} \right|_{x = {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}} = \dfrac{{dy}}{{dx}}\)
Differential
Das Differential bezeichnet den linearer Anteil des Zuwachses der abhängigen Variablen y, bei einer Veränderung der unabhängigen Variablen x.
\(\dfrac{d}{{dx}}f\left( x \right) = f'\left( x \right) = \dfrac{{dy}}{{dx}} = y'\)
Intervallweise differenzierbare Funktion
Eine Funktion f(x) ist in einem Intervall I genau dann differenzierbar, wenn sie für jedes x im Intervall I differenzierbar ist.
\(f'({x_1}) = {\left. {\dfrac{{df}}{{dx}}} \right|_{x = {x_1}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{f({x_1} + \Delta x) - f({x_1})}}{{\Delta x}} = \dfrac{{dy}}{{dx}}\)
Man spricht von einer Knickstelle, wenn die linksseitige und die rechtsseitige Ableitung verschieden sind. Zur Ableitung von lediglich intervallweise differenzierbaren Funktionen bildet man daher Intervalle, welche die nicht differenzierbaren Stellen ausschließen. Man ersetzt dabei die Funktionsgleichung durch zwei oder mehrere geeignete abschnittweise definierte Teilfunktionen.
Stetigkeit einer Funktion
Eine Funktion ist an der Stelle x0 dann stetig, wenn an dieser Stelle der Funktionswert mit dem Grenzwert übereinstimmt. Eine Funktion, die an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs stetig ist, heißt stetige Funktion.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)
Der Graph einer stetigen Funktion ist eine „durchgängige“ Linie, die durchaus Knicks aber keine Sprünge enthalten darf, die sich also „ohne mit dem Bleistift abzusetzen“ zeichnen lässt.
- Aus Stetigkeit folgert nicht automatisch Differenzierbarkeit. Da bei stetigen Funktionen „Knicks“ zugelassen sind, sind nicht alle stetigen Funktionen deshalb automatisch auch durchgängig differenzierbar.
- Aus Differenzierbarkeit folgert Stetigkeit (aber nicht umgekehrt!)
Definition der Ableitung
Existiert von einer reellen Funktion f(x) an jeder Stelle x0 ihrer Definitionsmenge Df ein Differentialquotient, so ist die Funktion f(x) differenzierbar.
Die nachfolgende Funktion ist zwar stetig, aber an 2 Stellen (x=+/-4) nicht differenzierbar.
Weierstraß Funktion
Die Weierstraß-Funktion ist auf Grund der unendlich vielen Summanden zwar überall konvergent und stetig, aber da man keine Tangente konstruieren kann, ist sie nicht differenzierbar:
\(f\left( x \right) = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\dfrac{{{2^k} \cdot \sin \left( {{2^k}x} \right)}}{{{3^k}}}} \)
Erste Ableitung einer Funktion
Die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion an der Stelle x0 wird durch den Wert der 1. Ableitung der Funktion bestimmt.
\(y' = f'\left( x \right) = \dfrac{d}{{dx}}f\left( x \right) = k = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \tan \alpha \)
Wir unterscheiden dabei 3 Fälle:
- Steigende Tangente: \(f'\left( {{x_0}} \right) > 0\) bzw. k>0: Der Graph ist an der Stelle x0 steigend. Die Tangente in x0 verläuft von links unten nach rechts oben.
- Horizontale Tangente: \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) bzw. k=0: Der Graph verläuft an der Stelle x0 horizontal. Die Tangente in x0 hat keine Steigung, sie verläuft waagrecht. Es liegt eine Extremstelle (Hochpunkt, Tiefpunkt) oder ein Sattelpunk vor. Umgekehrt formuliert: Eine Funktion hat dann keine waagrechte Tangente, wenn ihre 1. Ableitung keine Nullstelle hat.
- Fallende Tangente: \(f'\left( {{x_0}} \right) < 0\) bzw. k<0: Der Graph verläuft an der Stelle x0 fallend. Die Tangente in x0 verläuft von links oben nach rechts unten
Zweite Ableitung einer Funktion
Das Krümmungsverhalten vom Graph der Funktion an der Stelle x0 wird durch den Wert der 2. Ableitung der Funktion bestimmt.
\(y'' = f''\left( x \right) = \dfrac{d}{{dx}}f'\left( x \right) = \dfrac{{{d^2}}}{{d{x^2}}}f\left( x \right)\)
Links gekrümmter Graph, lokales Minimum
Ist \(f''\left( {{x_0}} \right) > 0\) so ist der Funktionsgraph ist an der Stelle x0linksgekrümmt - die Steigung der Tangente nimmt zu. Merkregel: Fährt man den Graph mit einem Fahrzeug entlang, dann muss man nach links lenken. Darin liegt auch die Begründung, warum für ein lokales Minimum \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) > 0\) neben der 1. Ableitung auch die 2. Ableitung auf ihr Vorzeichen geprüft werden muss.
Rechtsgekrümmter Graph, lokales Maximum
Ist \(f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) so ist der Funktionsgraph an der Stelle x0rechtsgekrümmt - die Steigung der Tangente nimmt ab. Merkregel: Fährt man den Graph mit einem Fahrzeug entlang, dann muss man nach rechts lenken. Darin liegt auch die Begründung, warum für ein lokales Maximum \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) neben der 1. Ableitung auch die 2. Ableitung auf ihr Vorzeichen geprüft werden muss.
Dritte Ableitung einer Funktion
Der Wechsel des Krümmungsverhaltens vom Graph einer Funktion an der Stelle x0 wird durch den Wert der 3. Ableitung der Funktion bestimmt.
\(y''' = f'''\left( x \right) = \dfrac{d}{{dx}}f''\left( x \right) = \dfrac{{{d^2}}}{{d{x^2}}}f'\left( x \right) = \dfrac{{{d^3}}}{{d{x^3}}}f\left( x \right)\)
Wir unterscheiden dabei 2 Fälle:
Ist \(f'''\left( {{x_0}} \right) > 0\) so erfolgt im Wendepunkt ein Übergang von einer Rechtskurve zu einer Linkskurve.
Ist \(f'''\left( {{x_0}} \right) < 0\): so erfolgt im Wendepunkt ein Übergang von einer Linkskurve zu einer Rechtskurve.
Höhere Ableitungen
Wenn die n-te Ableitung einer Funktion f(x) wiederum eine Funktion in x oder eine Konstante ist, so kann man auch diese n-te Ableitung erneut ableiten und erhält so die (n+1)-te Ableitung usw. Man spricht allgemein von "höheren Ableitungen".
\(y = f\left( x \right)\)
\(y' = f'\left( x \right) = \dfrac{d}{{dx}}f\left( x \right)\)
\(y'' = f''\left( x \right) = \dfrac{d}{{dx}}f'\left( x \right) = \dfrac{{{d^2}}}{{d{x^2}}}f\left( x \right)\)
\(y''' = f'''\left( x \right) = \dfrac{d}{{dx}}f''\left( x \right) = \dfrac{{{d^2}}}{{d{x^2}}}f'\left( x \right) = \dfrac{{{d^3}}}{{d{x^3}}}f\left( x \right)\)
Zuordnungen
Von einer Zuordnung spricht man, wenn ein Wert eindeutig einem anderen Wert zugeordnet wird. Ein Wert wird durch die Zuordungsvorschrift von einem anderen Wert abhängig.
Darstellungsformen für Zuordnungen
Zuordnungen können als Pfeile, als Wertetabellen, als Linien- oder Punktdiagramme in einem Koordinatensystem (auf der x-Achse der unabhängige Wert, auf der y-Achse der abhängige Wert) oder in Form einer mathematisch formulierten Zuordungsvorschrift (etwa als Funktion) abgebildet werden.
Proportionale Zuordnung
Von einer proportionalen, auch direkt proportionalen Zuordnung spricht man, der Quotient aus dem abhängigen und dem unabhängigen Wert konstant, also für alle Zahlenpaare gleich, ist.
\(\dfrac{{{\text{y - Wert}}}}{{{\text{x - Wert}}}}{\text{ = konstant}}\)
Direkter Proportionalitätsfaktor
Ist der Quotient zweier Werte konstant, so sind die beiden Werte direkt proportional. Der direkte Proportionalitätsfaktor ist der Quotient aus dem abhängigen y- und dem unabhängigen x-Wert.
\({\text{k = }}\dfrac{{{\text{y - Wert}}}}{{{\text{x - Wert}}}}\)
- Die Zahlenpaare xi, yi sind quotientengleich. Umgekehrt formuliert heißt eine Zuordnung proportional, wenn sich jeder y-Wert durch Multiplikation vom x-Wert mit dem Proportionalitätsfaktor ergibt.
- Proportionale Zuordnungen sind vom Typ "Je mehr, desto mehr".
- Verdoppelt bzw. halbiert man den unabhängigen Wert so verdoppelt bzw. halbiert sich auch der abhängige Wert.
- Der Graph einer proportionalen Zuordnung ist eine Gerade durch den Ursprung.
Beispiel:
Stückzahl und Kosten
1 Wiener Schnitzel → 12 € Kosten
2 Wiener Schnitzel → 24 € Kosten
3 Wiener Schnitzel → 36 € Kosten
Die Zuordnungsvorschrift besagt, dass ein Wiener Schnitzel 12 € kostet, und dass die n-fache Anzahl an Wiener Schnitzel den n-fachen Preis kosten. k=12
Antiproportionale Zuordnung
Von einer antiproportionalen, auch indirektproportionalen Zuordnung spricht man, wenn das Produkt aus dem abhängigen und dem unabhängigen Wert konstant, also für alle Zahlenpaare gleich ist
\({\text{x - Wert}} \cdot {\text{y - Wert = konstant}}\)
Indirekter Proportionalitätsfaktor
Ist das Produkt zweier Werte konstant, so sind die beiden Werte indirekt proportional. Der indirekte Proportionalitätsfaktor ist das Produkt aus dem unabhängigen x und dem abhängigen y-Wert.
\({\text{k = x - Wert}} \cdot {\text{y - Wert}}\)
- Die Zahlenpaare xi, yi sind produktgleich. Umgekehrt formuliert heißt eine Zuordnung antiproportional, wenn sich jeder y-Wert durch Multiplikation vom 1/x-Wert (Kehrwert) mit dem Proportionalitätsfaktor ergibt.
- Antiproportionale Zuordnungen sind vom Typ "Je mehr, desto weniger".
- Verdoppelt bzw. halbiert man den unabhängigen Wert, so halbiert bzw. verdoppelt sich der abhängige Wert.
- Der Graph einer antiproportionalen Zuordnung ist ein Hyperbelast, welcher von oben unendlich nach rechts unendlich verläuft.
Beispiel:
Arbeiter und Dauer der Baustelle
1 Arbeiter → Dauer der Baustelle 12 Tage
2 Arbeiter → Dauer der Baustelle 6 Tage
3 Arbeiter → Dauer der Baustelle 4 Tage
Die Zuordnungsvorschrift besagt, dass 1 Arbeiter 12 Tage benötigt und dass sich bei jedem weiteren Arbeiter die Baustellendauer halbiert. 0 Arbeiter werden jedoch nie fertig. k=12.
Mathematisches Modell
Ein mathematisches Modell beschreibt das Zusammenspiel von einzelnen Komponenten eines komplexen Systems (aus der Natur), mit den Mitteln der Mathematik.
Zweck der Modellbildung (Regelungstechnik)
Das Modell ist dabei eine vereinfachte Darstellung des komplexen Systems. Bei der Modellbildung darf nur soweit vereinfacht werden, solange das Modell das System hinreichend genau repräsentiert.
Vorgehen bei der Modellbildung (Regelungstechnik)
Bei der Modellbildung klärt man zunächst ab, welche Größen und welche Zusammenhänge zur Beschreibung des komplexen Originalsystems überhaupt relevant sind. Zur Abbildung in ein mathematisches Modell beschreibt man die Zusammenhänge zwischen den Zustandsgrößen durch Gleichungen
Black Box (Regelungstechnik)
Um vom komplexen System (aus der Natur) zu einem Modell zu kommen, betrachtet man das komplexe System wie eine Black Box. Eine Black Box ist ein Objekt, von dem zunächst nur das Verhalten über definierte äußere Schnittstellen bekannt ist. Man hat also kein Wissen darüber, wie das Innere der Black Box aufgebaut ist.
Um ein Modell über das unbekannte Innere der Black Box und somit ein Modell für das komplexe System aufstellen zu können, verändert man gezielt den Input, also die Eingangsgrößen und beobachtet wie sich der Output, also die Ausgangsgrößen verändern und versucht dafür eine mathematische Funktion aufzustellen.
Durch Parametervariation prüft man, ob die Ausgangsgrößen des realen komplexen Systems genauso den veränderten Parametern der Eingangsgrößen folgen, wie dies der Output der Black Box bei entsprechenden Veränderungen des Inputs macht.
1. Schritt der Modellbildung
Zunächst werden nur die Ein- bzw. Ausgangsgrößen untersucht:
\(Input \to \boxed{BlackBox} \to Output\)
2. Schritt der Modellbildung
Dann wird versucht, die innere unbekannte Struktur zu modellieren:
\({\text{unabhängige Größe}} \to \boxed{Modell} \to {\text{abhängige Größe}}\)
Unabhängige Größe im Regelkreis
Unter der unabhängigen Größe, auch Stellgröße, im Sinne der Regelungstechnik, verstehen wir den erwünschten Wert am Ausgang vom Regelkreis. Aus dem Sollwert und dem vom Regelkreis-Ausgang rückgeführten Istwert wird durch Vergleich die Regelwertabweichung gebildet, die dem Regler mit der Absicht zugeführt wird, Übereinstimmung zwischen der Stellgröße und dem Istwert der Regelgröße herzustellen.
Abhängige Größe im Regelkreis
Unter der abhängigen Größe, auch Regelgröße, im Sinne der Regelungstechnik, verstehen wir das Ausgangssignal vom Regelkreis.
3. Schritt der Modellbildung
Letztlich versucht man einen mathematischen Zusammenhang zwischen der Änderung der Ausgangsgröße in Abhängigkeit von einer Änderung der Eingangsgröße herzustellen.
\(x \in {D_f} \to \boxed{y = f\left( x \right)} \to y \in {W_f}\)
Dabei unterscheidet man zwischen diskreten und kontinuierlichen Modellen.
Diskretes Modell (Ausdruck für Quantisierbarkeit)
In diskreten Modellen ändert sich der Anfangswert um ein bestimmtes Quantum oder ein ganzzahliges Vielfaches davon. Dieses Quantum hat dabei einen bestimmten Mindestwert. Dieser Mindestwert kann nicht beliebig klein werden, sondern es handelt sich um eine bestimmte Menge oder eine bestimmte Anzahl. Einen Zwischenwert (etwa die Hälfte) von diesem Mindestwert gibt es nicht.
t | f(x) |
0 | \({{y_0}}\) |
\({\Delta t}\) | \({{y_1}}\) |
\({2\Delta t}\) | \({{y_2}}\) |
Beispiele:
- Geldmünzen: Die kleinste Einheit die man mit Bargeld bezahlen kann ist 1 Cent. Einen halben Cent als Zwischenwert gibt es (als Bargeld) nicht
- Quantenphysik und das Standardmodell der Elementarteilchen sind Teilgebiete der Physik, die sich der Quantisierung widmen , dort gibt es Energie nur in bestimmten nicht weiter teilbaren Mengen
Kontinuierliches Modell (Ausdruck für Kontinuität)
In kontinuierlichen Modellen ändert sich der Anfangswert stetig. Änderungen (Zu- oder Abnahme) können beliebig klein sein. Zum Zeitpunkt t beträgt er yt = y(t). Differentialgleichungen eignen sich zur Beschreibung von kontinuierlichen Systemen.
Beispiel:
Die Gleichung einer Geraden. Für jedes (unabhängige) x gibt es ein (abhängiges) y=f(x).
Simulation zur Überprüfung des Modells
In der Simulation stellt man zuerst fest, wie sich die Ausgangsgrößen des Modells in Abhängigkeit von den Eingangsgrößen verhalten. Man analysiert das mathematische Modell hinsichtlich der Existenz und deren Eindeutigkeit von Lösungen. Im Falle von Abweichungen des Modellverhaltens während der Simulation vom Verhalten des realen komplexen Systems, sucht man nach Modellfehlern bzw. nach Datenfehlern.
Wachstum
Unter Wachstum versteht man den Anstieg einer Messgröße im Verlauf der Zeit.
- Positivwachstum: Zunahme
- Negativwachstum: Abnahme, Zerfall oder Schrumpfung
- Nullwachstum: über den Zeitverlauf hinweg bleibt die Messgröße konstant
Wir unterscheiden folgende Wachstumsmodelle
- Lineare Wachstumsmodelle
- Exponentielle Wachstumsmodelle
- Beschränkte exponentielle Wachstumsmodelle
- Logistische Wachstumsmodelle
Lineare Wachstumsmodelle
Bei linearen Wachstumsmodellen kommt t in der Gleichung, die das Übertragungsverhalten beschreibt, nur in der 1. Potenz vor. In gleichen Zeitschritten, erfolgen gleiche absolute Änderungen. Die Wachstumsrate ist konstant. Wir unterscheiden diskrete und kontinuierliche Modelle
\(f\left( t \right) = kt + d\)
d | Anfangswert an der Stelle t=0 |
k | Wachstumswert |
Diskretes lineares Wachstumsmodell
Beim diskreten linearen Wachstumsmodell bleibt die absolute Änderung pro Schritt konstant.
\(\Delta {y_n} = {\text{k wobei: k}} \in {\Bbb R}\)
- Rekursive Form: \({y_{n + 1}} = {y_n} + k\)
- Explizite Form: \({y_n} = {y_0} + n \cdot k\)
Kontinuierliches lineares Wachstumsmodell
Beim kontinuierlichen linearen Wachstumsmodell ist die mittlere Änderungsrate konstant und unabhängig von jeweils aktuellen Wert.
\(\eqalign{ & \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta t}} = k{\text{ mit }}k \in {\Bbb R} \cr & y\left( t \right) = {y_0} + k \cdot t \cr}\)
Exponentielle Wachstumsmodelle
Bei exponentiellen Wachstumsmodellen (gemäß Exponentialfunktionen) kommt t in der Gleichung, die das Übertragungsverhalten beschreibt, als Exponent (Hochzahl) vor. In (absolut) gleichgroßen Zeitschritten t, erfolgen relative (=prozentual) gleichgroße Änderungen des Funktionswerts N(t). Charakteristisch ist die am Anfang langsame, dann zunehmend schneller werdende Zunahme, die letztlich explosionsartig schnell wird (Kettenprozesse). Unbegrenzt exponentielles Wachstum kann es in der Natur nicht geben. Wir unterscheiden diskrete und kontinuierliche Modelle
- exponentielles Wachstum:
\(N(t) = {N_0} \cdot {e^{\lambda \cdot t}} = {N_0} \cdot {b^t}{\text{ mit }}\lambda {\text{ = ln}}\left( b \right)\)
- exponentielle Abnahme:
\(N(t) = {N_0} \cdot {e^{ - \lambda \cdot t}}\)
mit
- N0 .. Startwert oder Anfangsbestand
- b ... Wachstumsfaktor
-
\(\lambda > 0\)
Diskretes exponentielles Wachstumsmodell
Beim diskreten exponentiellen Wachstumsmodell ist die relative Änderung pro Schritt konstant. Die Wachstumsrate ist proportional zum Bestand.
\(\dfrac{{\Delta {y_n}}}{{{y_n}}} = k{\text{ wobei: }}k \in {\Bbb R}\)
- Rekursive Form: \({y_{n + 1}} = \left( {1 + k} \right) \cdot {y_n}\)
- Explizite Form: \({y_n} = {y_0} \cdot {\left( {1 + k} \right)^n}\)
Kontinuierlich exponentielles Wachstumsmodell
Beim kontinuierlichen exponentiellen Wachstumsmodell ist die mittlere Änderungsrate proportional zum jeweils aktuellen Wert.
\(\eqalign{ & \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta t}} = k \cdot y\left( t \right){\text{ mit }}k \in {\Bbb R} \cr & y\left( t \right) = {y_0} \cdot {\left( {1 + k} \right)^t} \cr}\)
Beschränkte exponentielle Wachstumsmodelle
Bei beschränkten Wachstumsmodellen gibt es einen das Wachstum beschränkenden Wert S, wodurch das Wachstum nach oben oder nach unten beschränkt wird. Es handelt sich um ein sogenanntes Sättigungsmodell. Die absolute Änderung je Schritt ist proportional dem jeweils verbleibenden Abstand zur endlichen Obergrenze. Charakteristisch ist die Anfangs explosionsartig, dann zunehmend langsamer werdende Zunahme, die letztlich völlig abklingt und einer endlichen Obergrenze zustrebt. Wir unterscheiden diskrete und kontinuierliche Modelle
- beschränktes exponentielles Wachstum:
\(N\left( t \right) = S - a \cdot {e^{ - \lambda \cdot t}}\) - beschränktes exponentielle Abnahme:
\(N\left( t \right) = S + a \cdot {e^{ - \lambda \cdot t}}\)
mit:
- S ... Sättigungswert
- a=|S-N0|
Kontinuierlich beschränktes Wachstumsmodell
Beim kontinuierlich beschränkten Wachstumsmodell (z.B.: gemäß Logarithmusfunktionen) können bis zum Erreichen des Sättigungswertes alle Zwischenwerte auftreten
\(f\left( x \right) = S - \left( {S - k} \right){e^{ - cx}}\)
Als Maß für die Steigung dient die 1. Ableitung
\(f'\left( x \right) = c \cdot \left( {S - f\left( x \right)} \right)\)
wobei: k=f(0)
Diskret beschränktes Wachstumsmodell
Beim diskreten beschränkten Wachstumsmodell (z.B. Verkaufte Stückzahl von einem Produkt) können bis zum Erreichen des Sättigungswertes nur eine endliche Anzahl an diskreten Zwischenwerten auftreten.
mit S als Sättigungswert:
\(\Delta {y_n} = k \cdot \left( {S - {y_n}} \right)\)
- Rekursive Form: \({y_{n + 1}} = {y_n} + k\left( {S - {y_n}} \right)\)
- Explizite Form: \({y_n} = S - \left( {S - {y_0}} \right) \cdot {\left( {1 - k} \right)^n}\)
Logistische Wachstumsmodelle
Logistische Wachstumsmodelle sind eine Kombination aus exponentiellem und beschränktem Modell. Die absolute Änderung je Schritt ist proportional zum jeweiligen Wert N(t) und dem jeweils verbleibenden Abstand zur endlichen Obergrenze S.
Kontinuierlich logistisches Wachstumsmodell
Beim kontinuierlich logistischen Wachstumsmodell wächst der Bestand N(t) ausgehend von einem Startwert bzw. Anfangsbestand N0 zur Zeit t=0 zunächst exponentiell, wobei der s-förmige Graph dann einen Wendepunkt hat, ab dem sich das Wachstum abschwächst um sich einem Sättigungswert S anzunähern. Der Wendepunkt einer logistischen Wachstumsfunktion liegt immer beim halben Sättigungswert. Im Wendepunkt einer Funktion hat diese das größte Wachstum.
\(N\left( t \right) = \dfrac{{{N_0} \cdot S}}{{{N_0} + \left( {S - {N_0}} \right) \cdot {e^{ - S \cdot k \cdot t}}}} = \dfrac{S}{{1 + \left( {\dfrac{S}{{{N_0}}} - 1} \right) \cdot {e^{ - S \cdot k \cdot t}}}} = \dfrac{S}{{1 + c \cdot {e^{ - \lambda \cdot t}}}}\)
- N(t) ... Bestand zur Zeit t
- N0 ... Anfangsbestand, Bestand zur Zeit t=0, Startwert N(0)
- k ... Wachstumskonstante
- S ... Sättigungswert, -schranke, -grenze
Abbildung zur Veranschaulichung der Zusammenhänge bei logistischem Wachstum
Beispiel Grippe: Einige Touristen N0 bringen Grippeviren ins Land. Schnell infizieren sich immer mehr Menschen. Auf Grund von Immunisierung und dem Umstand dass die Wahrscheinlichkeit dass ein kranker Mensch einem noch gesunden Menschen begegnet mit Zunehmender Ausbreitung immer kleiner wird, bremst sich der Zuwachs zunehmend ein, sodass am Ende der Epidemie eine bestimmte Anzahl der Bevölkerung S angesteckt ist. Die maximale Anzahl an Grippekranken ist natürlich mit 100% der Bevölkerung nach oben begrenzt.
Diskretes logistisches Wachstumsmodell
Beim diskreten logistischen Wachstumsmodell ist die absolute Änderung je Schritt proportional zum jeweiligen Wert und dem jeweils verbleibenden Abstand zur endlichen Obergrenze.
\(\Delta {y_n} = k \cdot {y_n} \cdot \left( {S - {y_n}} \right)\)
Rekursive Form:
\({y_{n + 1}} = {y_n} + k \cdot {y_n} \cdot \left( {S - {y_n}} \right)\)
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Lineare Optimierung
Einfache Minimum-, Maximumaufgaben
Dabei handelt es sich meist um textlich ausformulierte Fragestellungen, bei denen aus (sehr) vielen möglichen Lösungen die „optimale Lösung“ im Sinne eines erwünschten Minimums oder Maximums herausgesucht werden soll. Muss man lediglich 2 Variablen, die noch dazu „nur“ linear (also zur 1. Potenz) vorliegen, mit in die Suche einbeziehen, dann bestimmt man zunächst die Durchschnittsmenge und sucht anschließen daraus die optimale Lösung.
Zielfunktion: Die Zielfunktion fasst die zu maximierende bzw. zu minimierende Größe als Funktion der für die Optimierung maßgeblichen Variablen zusammen.
Nebenbedingung: Nebenbedingungen sind Bedingung für die Variablen, welche die allgemeine Lösungen der Optimierungsaufgabe auf einen kleineren Lösungsbereich einschränken.
Extremwertaufgaben bzw. Optimierung mittels Differentialrechnung
Bei Extremwertaufgaben geht es um die Beantwortung einer Aufgabenstellung vom Typ "finde Minimum" oder "finde Maximum", wobei die Aufgabenstellung als Zielfunktion formuliert wird, unter der Berücksichtigung von Nebenbedingungen. Für die Lösung solcher Aufgaben bewährt sich folgendes Vorgehen:
- Skizze mit allen Variablen und Beschriftungen
- Zielfunktion aufstellen, indem der Zusammenhang zwischen der Variable die „minimiert oder maximiert“ werden soll und den restlichen Variablen angeschrieben wird.
- Nebenbedingungen aufstellen, indem alle Zusammenhänge der Variablen angeschrieben werden
- In den Nebenbedingungen die Variable(n) „explizit“ machen, damit man sie in die Zielfunktion einsetzen kann und diese nur mehr von einer einzigen Variablen abhängig ist
- Durch differenzieren den Extremwert der Zielfunktion bestimmen
Periodische Funktion
Eine zeitlich veränderliche Funktion heißt periodisch mit der Periodendauer T, wenn die Funktion bei Verschiebung um T in sich selbst übergeführt wird, d.h. deckungsgleich ist. Eine Schwingung umfasst eine positive und einer negative Halbwelle und dauert eine Periode T lang. Die Zeit T wird als die Periode bzw. als die Schwingdauer des Systems bezeichnet
\(x\left( {t + T} \right) = x\left( t \right)\)
Frequenz
Die Frequenz ist ein Maß für die „Häufigkeit“ der Wiederholungen einer Schwingung pro Zeiteinheit. Ihre Einheit ist daher die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde und wird in Hertz (Hz) gemessen.
\(f = \dfrac{1}{T}\)
Periodendauer
Eine Funktion heißt periodisch mit der Periodendauer T, wenn die Funktion bei Verschiebung um T in sich selbst übergeführt wird, d.h. deckungsgleich ist.
\(f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right)\)
Bei einer Schwingung vom Typ \(f\left( t \right) = {A_0} \cdot \sin \left( {\omega \cdot t + \varphi } \right)\)gibt
- A0 die Höhe der Amplitude an
- \(\omega \) die Kreisfrequenz, gemessen in der Anzahl der vollen Schwingungen in einem Intervall der Länge \(2 \cdot \pi \)
- \(\varphi\) den Phasenverschiebungswinkel , als den Winkel an um den der Nulldurchgang der Schwingung gegenüber t=0 verschoben ist.
Ein Anschauungsbeispiel aus der Elektrotechnik:
In der Elektrotechnik beträgt die Periodendauer bei in Europa gebräuchlichem 50 Hz Wechsel- oder Drehstrom 20 msec (1sec dividiert durch 50 Hz). Eine Halbperiode, das ist die Zeit von einem Nulldurchgang (=Vorzeichenwechsel) zum nächsten Nulldurchgang beträgt daher 10 msec (20msec : 2 Halbwellen). D.h. man muss maximal 10 msec warten, bis die betrachtete elektrische Größe für kurze Zeit zu Null wird.
Wellenlänge
Als Wellenlänge bezeichnet man bei einer wellenförmigen Ausbreitung den kleinsten Abstand zweier Punkte gleicher Phase. Die Wellenlänge errechnet sich indem man die Ausbreitungsgeschwindigkeit c im jeweiligen Medium durch die Frequenz dividiert. Bei zweidimensionaler Ausbreitung spricht man von Schwingungen und deren Periodendauern. Bei dreidimensionaler Ausbreitung spricht man von Wellen (z.B.: Schall, div. Felder) und von deren Wellenlänge.
\(\lambda = \dfrac{c}{f}\)
Beispiele für Ausbreitungsgeschwindigkeiten:
- Für Schallwellen: c = 343 m/s
- Für elektromagnetische Wellen: c = 299 792 458 m/s
Zusammenhang zwischen Periodendauer, Frequenz und Wellenlänge
Die Periodendauer T entspricht der Kehrwert der Frequenz, bzw. der Quotient aus Wellenlänge und Ausbreitungsgeschwindigkeit im jeweiligen Medium.
\(T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{{\dfrac{c}{\lambda }}} = \dfrac{\lambda }{c}\)
Schwingung
Eine Schwingung umfasst eine positive und einer negative Halbwelle und dauert eine Periodendauer T lang. Bei zweidimensionaler Ausbreitung spricht man von Schwingungen und deren Periodendauer. Bei dreidimensionaler Ausbreitung spricht man von Wellen (z.B.: Schall, div. Felder) und von deren Wellenlänge.
\(T = \dfrac{1}{f}\)
Harmonische Schwingung
Harmonische Schwingungen sind ein Sonderfall der periodischen Schwingung, da sie durch Sinus- bzw. Kosinusfunktionen vollständig beschrieben werden können. Man bezeichnet die zeitliche Änderung des horizontalen bzw. des vertikalen Abstands eines Punktes P auf einer Kreisbahn als harmonische Schwingung. Die Darstellung des Punktes über seinen Ortsvektor wird als Vektor- oder Zeigerdiagramm bezeichnet.
- Die zeitliche Änderung des horizontalen Abstands vom rotierenden Punkt P von der y-Achse erzeugt eine reine Kosinusschwingung.
- Die zeitliche Änderung des vertikalen Abstands vom rotierenden Punkt P von der x-Achse erzeugt eine reine Sinusschwingung
Die Funktion u(t) beschreibt einen Schwingungsvorgang, wie er bei mechanischen oder elektrischen Schwingkreisen vorkommt.
\(\eqalign{ & u\left( t \right) = U \cdot \cos \left( {wt + \varphi } \right) \cr & u\left( t \right) = a \cdot \cos \left( {\omega t} \right) + b \cdot \sin \left( {\omega t} \right) \cr & u\left( t \right) = U \cdot {e^{\left( {\omega t + \varphi } \right)}} \cr}\)
U | die Amplitude der Schwingung (deren Maximalauslenkung) |
\(\omega\) | die Kreisfrequenz |
Dabei gilt:
\(\eqalign{ & \omega = 2\pi f = \dfrac{{2\pi }}{T} \cr & f = \dfrac{1}{T} \cr}\)
T | die Schwingungsdauer |
\(\varphi\) | der Nullphasenwinkel, also der Winkel zum Zeitpunkt t=0 |
Änderung von Parametern einer harmonischen Schwingung
Über Parameter kann die Form der Schwingung verändert werden.
\(f\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {bx + c} \right) + d\)
- Der Faktor a bewirkt eine Streckung oder Stauchung der „Höhe“ - der sogenannten Amplitude - der Schwingung
- Der Faktor b bewirkt eine Änderung der Periodendauer - dem Kehrwert der Frequenz - also einer Streckung oder Stauchung in Richtung der x-Achse
Der Faktor b entspricht der Anzahl der Perioden im Intervall \(\left[ {0;\,\,2\pi } \right]\). Verdoppelt man den Faktor, so liegen doppelt so viele Perioden in diesem Intervall.
\(b = \dfrac{{2 \cdot \pi }}{T}\) - Der Summand c im Argument bewirkt eine Phasenverschiebung (Zeitpunkt des „Null-Durchgangs) in Richtung der x-Achse (=Parallelverschiebung in Richtung der x-Achse).
- Ist c positiv, so wird die betrachtete Funktion nach links verschoben
- Ist c negativ, so wird die betrachtete Funktion nach rechts verschoben
- Der Summand d bewirkt eine Parallelverschiebung der Schwingung in Richtung der y-Achse. Die Schwingung erfolgt dann nicht mehr symmetrisch zur x-Achse, sondern symmetrisch zur Geraden y=d
Illustration
- In rot die Sinusfunktion.
- In grün die um +90° und somit nach links phasenverschobene Sinusfunktion, die somit in Phase zur reinen Kosinusfunktion (blau) wird.
- In blau die Kosinusfunktion. Wir haben deren Amplitude auf 75% reduziert, damit der grüne und der blaue Graph nicht deckungsgleich sind.
Phasenverschiebung c zwischen Sinus und Kosinus
Anmerkung: In der Technik bevorzugt man die Sinus Darstellung gegenüber der Kosinus Darstellung. Dies ist immer möglich, da man durch Berücksichtigung einer Phasenverschiebung c die beiden Winkelfunktionen in einander umrechnen kann gemäß
- \(\sin \left( x \right) = \cos \left( {x + \dfrac{{3\pi }}{2}} \right) = \cos \left( {x - \dfrac{\pi }{2}} \right)\)
- \(\cos \left( x \right) = \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{2}} \right) = \sin \left( {x - \dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\)
Lineare Funktion
Bei linearen Funktionen kommt x nur in der 1. Potenz vor. Ihr Funktionsgraph ist eine Gerade, deren Erscheinungsbild durch die beiden Parameter k und d bestimmt ist. Dabei ist
- y die von x abhängige Variable, sie wird auch als Funktionswert bezeichnet
- k der Anstieg bzw. die Steigung. Die Steigung ist bei einer Geraden natürlich unveränderlich konstant
- x die unabhängige Variable, sie wird auch als das Argument der Funktion bezeichnet
- d der Abschnitt auf der y-Achse. Der Punkt (0|d) ist daher der Schnittpunkt der Funktion f(x) mit der y-Achse, man spricht vom Achsenabschnitt
\(f\left( x \right) =y= kx + d\)
Homogene lineare Funktion
Bei der homogenen linearen Funktion ist d=0, daher verläuft ihr Graph durch den Koordinatenursprung.
\(f\left( x \right) = kx\)
Inhomogene lineare Funktion
Bei der inhomogenen linearen Funktion ist d≠0, daher verläuft der Graph nicht durch den Koordinatenursprung.
\(f\left( x \right) = kx + d\)
Konstante Funktion
Bei der konstanten Funktion ist k=0, daher verläuft der Graph parallel zur x-Achse, im Abstand d. Für k=0 und d=0 entspricht der Graph der Funktion dem Verlauf der x-Achse
\(f\left( x \right) = d\)
1. bzw. 2. Mediane
Die Funktion \(f\left( x \right) = \pm x\) heißt 1. bzw. 2. Mediane, wenn k=1 bzw. -1 und d=0. Ihr Graph verläuft durch den Ursprung und steht im 45° Winkel zur x- und zur y-Achse.
Gleichung einer Geraden, die parallel zur y-Achse verläuft
Es gibt auch Geraden, die nicht der Graph einer linearen Funktion sind. Man spricht nicht von einer Funktion, wenn x=c. Das wäre die Gleichung einer Geraden, die parallel zur y-Achse verläuft oder speziell für x=c=0 wäre es die Gleichung der y-Achse
Steigung k
Die Steigung einer linearen Funktion ist ein Maß dafür, wie stark sich die Funktionswerte y=f(x) ändern, wenn sich die Argumente x ändern. Bei positivem k steigt der Graph der Funktion an, bei negativem k fällt er im Koordinatensystem von links oben nach rechts unten. Andere Bezeichnungen für k sind. Steigungsverhältnis bzw. Differenzenquotient.
Die Steigung k der linearen Funktion ist unabhängig von x, was man wie folgt zeigen kann:
\(\dfrac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \dfrac{{\left( {k \cdot {x_2} + d} \right) - \left( {k \cdot {x_1} + d} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = k\)
Aus der konstanten Steigung folgert, dass der Graph einer linearen Funktion eine Gerade sein muss.
Achsenabschnitt d
Der Achsenabschnitt d ist der Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse, was man wie folgt zeigen kann:
\(f\left( {x = 0} \right) = k \cdot 0 + d = d\)
Beispiel:
Lineare Funktion mit k=1 und d=0
Beachte:
- Zufolge k=1 ergibt sich die Steigung der Funktion f(x), indem man von einem Ausgangspunkt, der selbst auf der Funktion liegt um 1 Einheit nach rechts und um 1 Einheit nach oben geht.
- Zufolge d=0 liegt der Schnittpunkt der Funktion f(x) mit der y-Achse im Ursprung
Beispiel:
Lineare Funktion mit k=-1 und d=0
Beachte:
- Zufolge k=-1 ergibt sich die Steigung der Funktion f(x), indem man von einem Ausgangspunkt, der selbst auf der Funktion liegt um 1 Einheit nach rechts und um 1 Einheit nach unten geht.
- Zufolge d=0 liegt der Schnittpunkt der Funktion f(x) mit der y-Achse im Ursprung
Beispiel:
Lineare Funktion mit k=1 und d=2;
Beachte:
- Zufolge k=1 ergibt sich die Steigung der Funktion f(x), indem man von einem Ausgangspunkt, der selbst auf der Funktion liegt um 1 Einheit nach rechts und um 1 Einheit nach oben geht.
- Zufolge d=2 liegt der Schnittpunkt der Funktion f(x) mit der y-Achse in \(P\left( {0\left| 2 \right.} \right)\)
Beispiel:
Lineare Funktion mit k=1 und d=-2;
Beachte:
- Zufolge k=1 ergibt sich die Steigung der Funktion f(x), indem man von einem Ausgangspunkt, der selbst auf der Funktion liegt um 1 Einheit nach rechts und um 1 Einheit nach oben geht.
- Zufolge d=-2 liegt der Schnittpunkt der Funktion f(x) mit der y-Achse in \(P\left( {0\left| -2 \right.} \right)\)
Aufgaben
Aufgabe 176
Differenzieren von Wurzeln
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = \sqrt {\sin x}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
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Aufgabe 177
Kettenregel beim Differenzieren
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = \sin \left( {\sqrt x } \right)\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Aufgabe 178
Kettenregel beim Differenzieren
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = \tan \left( {\sqrt x } \right)\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Aufgabe 179
Produktregel beim Differenzieren
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = \dfrac{{\tan x}}{x}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Aufgabe 180
Kettenregel beim Differenzieren
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = {\left( {\cot \sqrt {2x} } \right)^2} = {\cot ^2}\left( {\sqrt {2x} } \right)\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung.
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Aufgabe 181
Kettenregel beim Differenzieren
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = {\cot ^2}\left( {\sqrt {2{x^3}} } \right) = {\left( {\cot \left( {\sqrt {2{x^3}} } \right)} \right)^2}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Aufgabe 182
Kettenregel beim Differenzieren
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = \tan \left( {\sqrt x } \right)\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Aufgabe 183
Differenzieren von Brüchen
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = \dfrac{{\sin \left( x \right)}}{{{x^4}}}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Aufgabe 184
Kettenregel beim Differenzieren
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = \root 4 \of {\cos \left( {\dfrac{1}{{\root 3 \of x }}} \right)}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
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Aufgabe 185
Differenzieren von Winkelfunktionen
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = \cos \left( {2x} \right) + sin\left( {5x} \right) + cos\left( {2{x^2}} \right) + sin\left( {5{x^2}} \right)\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Aufgabe 186
Differenzieren von Exponentialfunktionen
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = {e^{ - cx}}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Aufgabe 187
Differenzieren von Exponentialfunktionen
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = {x^3} \cdot {e^{cx}}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung